Función Dirichlet ETA

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Función en la teoría del número analítico

En Matemáticas, en el área de la teoría de números analíticos, la función Dirichlet ETA se define mediante la siguiente serie Dirichlet, que converge para cualquier número complejo que tenga parte y GT real; 0:

{displaystyle eta (s)=sum _{n=1}^{infty }{(-1)^{n-1} over n^{s}}={frac {1}{1^{s}}}-{frac {1}{2^{s}}}+{frac {1}{3^{s}}}-{frac {1}{4^{s}}}+cdots.}

Esta serie Dirichlet es la suma alterna correspondiente a la expansión de la serie Dirichlet de la función Riemann Zeta, ζ ( s ), y por esta razón la función Dirichlet ETA es También conocido como la función Zeta alterna , también denotó ζ *( s ). La siguiente relación es contenida:

{displaystyle eta (s)=left(1-2^{1-s}right)zeta (s)}

Tanto la función Dirichlet eta como la función Riemann zeta son casos especiales de polilogaritmo.

Mientras que la expansión de la serie Dirichlet para la función eta es convergente sólo para cualquier número complejo s con la parte real 0, es Abel sumible para cualquier número complejo. Esto sirve para definir la función eta como una función completa. (La relación anterior y los hechos que la función eta es entera y ${displaystyle eta (1)neq 0}$ juntos mostrar la función zeta es meromorfa con un simple poste en s = 1, y posiblemente polos adicionales en los otros ceros del factor $1-2^{1-s}$ , aunque de hecho estos polos adicionales hipotéticos no existen.)

De manera equivalente, podemos comenzar por definir

{displaystyle eta (s)={frac {1}{Gamma (s)}}int _{0}^{infty }{frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}{dx}}

Gamma(s)

Did you mean:

Hardy have a simple proof of the functional equation for the eta function, which is

{displaystyle eta (-s)=2{frac {1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}}}pi ^{-s-1}ssin left({pi s over 2}right)Gamma (s)eta (s+1).}

De esto, uno también tiene la ecuación funcional de la función ZETA, así como otro medio para extender la definición de ETA a todo el plano complejo.

ceros

Los ceros de la función eta incluyen todos los ceros de la función zeta: los números negativos incluso enteros (los ceros simples equidistantes reales); los ceros a lo largo de la línea crítica, ninguno de los cuales se sabe que son múltiples y más del 40% de los cuales se han demostrado ser simples, y los ceros hipotéticos en la tira crítica pero no en la línea crítica, que si existen deben ocurrir en las vertices de los simetrías x-eje y la línea crítica y cuya multiplicidad es desconocida. Además, el factor $1-2^{1-s}$ añade un número infinito de simples ceros complejos, ubicados en puntos equidistas en la línea ${displaystyle Re (s)=1}$ , a ${displaystyle s_{n}=1+2npi i/ln(2)}$ Donde n es cualquier entero no cero.

Bajo la hipótesis Riemann, los ceros de la función eta se ubicarían simétricamente con respecto al eje real en dos líneas paralelas $Re(s)=1/2, Re(s)=1$ , y en la línea media perpendicular formada por el eje real negativo.

Did you mean:

Landau 's problem with ζ(s) = η(s)/0 and solutions

En la ecuación $η (s) = (1 - 2 1- s) ζ (s)$ , "el polo de $ζ (s)$ en $s = 1$ se cancela por el cero del otro factor" (Titchmarsh, 1986, p. 17), y como resultado $η (1)$ no es infinito ni cero (ver § Valores particulares). Sin embargo, en la ecuación

{displaystyle zeta (s)={frac {eta (s)}{1-2^{1-s}}},}

{displaystyle s_{n}=1+n{frac {2pi }{ln {2}}}i,nneq 0,nin mathbb {Z} }

s_nne1

Una primera solución para el problema de Landau fue publicada casi 40 años después por D. V. Widder en su libro The Laplace Transform. Utiliza el próximo 3 en lugar de 2 para definir una serie Dirichlet similar a la función eta, que llamaremos a la $lambda$ función, definida para $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">R R ()s)■0{displaystyle Re (s)}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec03014e086a0950cb457c05cba94bf8553af880" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.085ex; height:2.843ex;"/>$ y con algunos ceros también en ${displaystyle Re (s)=1}$ , pero no igual a los de eta.

Prueba indirecta de $. () s n) = 0$ siguiente Widder

{displaystyle lambda (s)=left(1-{frac {3}{3^{s}}}right)zeta (s)=left(1+{frac {1}{2^{s}}}right)-{frac {2}{3^{s}}}+left({frac {1}{4^{s}}}+{frac {1}{5^{s}}}right)-{frac {2}{6^{s}}}+cdots }

Si $s$ es real y estrictamente positivo, la serie converge ya que los términos reagrupados alternan en señal y disminución en valor absoluto a cero. Según un teorema sobre convergencia uniforme de la serie Dirichlet probada por Cahen en 1894, el $lambda(s)$ función es entonces analytic para $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">R R ()s)■0{displaystyle Re (s)}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec03014e086a0950cb457c05cba94bf8553af880" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.085ex; height:2.843ex;"/>$ , una región que incluye la línea $Re(s)=1$ . Ahora podemos definir correctamente, donde los denominadores no son cero,

{displaystyle zeta (s)={frac {eta (s)}{1-{frac {2}{2^{s}}}}}}

{displaystyle zeta (s)={frac {lambda (s)}{1-{frac {3}{3^{s}}}}}}

Desde $frac{log 3}{log 2}$ es irracional, los denominadores en las dos definiciones no son cero al mismo tiempo excepto para $s=1$ , y el $zeta(s),$ función es así bien definida y analítica para $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">R R ()s)■0{displaystyle Re (s)}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec03014e086a0950cb457c05cba94bf8553af880" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.085ex; height:2.843ex;"/>$ excepto en $s=1$ . Finalmente obtenemos indirectamente que $eta(s_n)=0$ cuando $s_nne1$ :

{displaystyle eta (s_{n})=left(1-{frac {2}{2^{s_{n}}}}right)zeta (s_{n})={frac {1-{frac {2}{2^{s_{n}}}}}{1-{frac {3}{3^{s_{n}}}}}}lambda (s_{n})=0.}

Un directo elemental y $zeta,$ - prueba independiente de la desaparición de la función eta en $s_nne1$ fue publicado por J. Sondow en 2003. Expresa el valor de la función eta como límite de sumas especiales Riemann asociadas a una integral conocida como cero, utilizando una relación entre las sumas parciales de la serie Dirichlet que define las funciones eta y zeta para $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">R R ()s)■1{displaystyle Re (s)}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea5968732ea35f67b36093364400e0fd8ca23bf" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.085ex; height:2.843ex;"/>$ .

Prueba directa $. () s n) = 0$ por Sondow

Con un álgebra simple realizada en sumas finitas, podemos escribir para cualquier complejo s

{displaystyle {begin{aligned}eta _{2n}(s)&=sum _{k=1}^{2n}{frac {(-1)^{k-1}}{k^{s}}}\&=1-{frac {1}{2^{s}}}+{frac {1}{3^{s}}}-{frac {1}{4^{s}}}+dots +{frac {(-1)^{2n-1}}{{(2n)}^{s}}}\[2pt]&=1+{frac {1}{2^{s}}}+{frac {1}{3^{s}}}+{frac {1}{4^{s}}}+dots +{frac {1}{{(2n)}^{s}}}-2left({frac {1}{2^{s}}}+{frac {1}{4^{s}}}+dots +{frac {1}{{(2n)}^{s}}}right)\[2pt]&=left(1-{frac {2}{2^{s}}}right)zeta _{2n}(s)+{frac {2}{2^{s}}}left({frac {1}{{(n+1)}^{s}}}+dots +{frac {1}{{(2n)}^{s}}}right)\[2pt]&=left(1-{frac {2}{2^{s}}}right)zeta _{2n}(s)+{frac {2n}{{(2n)}^{s}}},{frac {1}{n}},left({frac {1}{{(1+1/n)}^{s}}}+dots +{frac {1}{{(1+n/n)}^{s}}}right).end{aligned}}}

Ahora si $s=1+it$ y $2^s=2$ , el factor multiplicando ${displaystyle zeta _{2n}(s)}$ es cero, y

{displaystyle eta _{2n}(s)={frac {1}{n^{it}}}R_{n}left({frac {1}{{(1+x)}^{s}}},0,1right),}

Donde

Rn(f () x), a, b)

denota una suma especial Riemann aproximando la parte integral de

f () x)

sobre

[a, b]

. Para

t = 0

i.e.,

s = 1

, tenemos

{displaystyle eta (1)=lim _{nto infty }eta _{2n}(1)=lim _{nto infty }R_{n}left({frac {1}{1+x}},0,1right)=int _{0}^{1}{frac {dx}{1+x}}=log 2neq 0.}

Si no, $tneq 0$ , entonces $|n^{1-s}|=|n^{-it}|=1$ , que rinde

{displaystyle |eta (s)|=lim _{nto infty }|eta _{2n}(s)|=lim _{nto infty }left|R_{n}left({frac {1}{{(1+x)}^{s}}},0,1right)right|=left|int _{0}^{1}{frac {dx}{{(1+x)}^{s}}}right|=left|{frac {2^{1-s}-1}{1-s}}right|=left|{frac {1-1}{-it}}right|=0.}

Sumas $eta(s_n)=0$ , por cada punto $s_nne1$ Donde $2^{s_n}=2$ , ahora podemos definir $zeta(s_n),$ por continuidad como sigue:

{displaystyle zeta (s_{n})=lim _{sto s_{n}}{frac {eta (s)}{1-{frac {2}{2^{s}}}}}=lim _{sto s_{n}}{frac {eta (s)-eta (s_{n})}{{frac {2}{2^{s_{n}}}}-{frac {2}{2^{s}}}}}=lim _{sto s_{n}}{frac {eta (s)-eta (s_{n})}{s-s_{n}}},{frac {s-s_{n}}{{frac {2}{2^{s_{n}}}}-{frac {2}{2^{s}}}}}={frac {eta '(s_{n})}{log(2)}}.}

La aparente singularidad de zeta en $s_nne1$ ahora se elimina, y la función zeta se demuestra que es analista en todas partes $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">R R s■0{displaystyle Re {s} confía0} 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e142cf2478f0d80e7c8d06032c2deef7fec829" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.276ex; height:2.176ex;"/>$ , excepto en $s=1$ Donde

{displaystyle lim _{sto 1}(s-1)zeta (s)=lim _{sto 1}{frac {eta (s)}{frac {1-2^{1-s}}{s-1}}}={frac {eta (1)}{log 2}}=1.}

Representaciones integrales

Se puede enumerar una serie de fórmulas integrales que involucran la función eta. La primera se deriva de un cambio de variable de la representación integral de la función Gamma (Abel, 1823), dando una transformación de Mellin que se puede expresar de diferentes maneras como una doble integral (Sondow, 2005). Esto es válido para $0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">R R s■0.{displaystyle Re s título0.} 0." aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71fe3bb04ce695f9289c0d3fe1028c28744d5db" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.922ex; height:2.176ex;"/>$

{displaystyle {begin{aligned}Gamma (s)eta (s)&=int _{0}^{infty }{frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}},dx=int _{0}^{infty }int _{0}^{x}{frac {x^{s-2}}{e^{x}+1}},dy,dx\[8pt]&=int _{0}^{infty }int _{0}^{infty }{frac {(t+r)^{s-2}}{e^{t+r}+1}}dr,dt=int _{0}^{1}int _{0}^{1}{frac {left(-log(xy)right)^{s-2}}{1+xy}},dx,dy.end{aligned}}}

La transformación Cauchy-Schlömilch (Amdeberhan, Moll et al., 2010) se puede utilizar para probar esta otra representación, válida para $-1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">R R s■− − 1{displaystyle Re s título-1} -1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4163139b02d5b75185d02027252642529902994d" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.084ex; height:2.343ex;"/>$ . La integración por partes de la primera integral anterior en esta sección produce otra derivación.

{displaystyle 2^{1-s},Gamma (s+1),eta (s)=2int _{0}^{infty }{frac {x^{2s+1}}{cosh ^{2}(x^{2})}},dx=int _{0}^{infty }{frac {t^{s}}{cosh ^{2}(t)}},dt.}

La siguiente fórmula, debida a Lindelöf (1905), es válida en todo el plano complejo, cuando se toma el valor principal del logaritmo implícito en la exponencial.

{displaystyle eta (s)=int _{-infty }^{infty }{frac {(1/2+it)^{-s}}{e^{pi t}+e^{-pi t}}},dt.}

(s-1),zeta(s)

{displaystyle (s-1)zeta (s)=2pi ,int _{-infty }^{infty }{frac {(1/2+it)^{1-s}}{(e^{pi t}+e^{-pi t})^{2}}},dt.}

<math alttext="{displaystyle 0<c0.c.1{displaystyle 0 sec se hizo realidad] <img alt="0<c

s

{displaystyle eta (s)={frac {1}{2}}int _{-infty }^{infty }{frac {(c+it)^{-s}}{sin {(pi (c+it))}}},dt.}

cto 0^+

<math alttext="{displaystyle Re sR R s.0{displaystyle Re s won0} <img alt="Re s

{displaystyle eta (s)=-sin left({frac {spi }{2}}right)int _{0}^{infty }{frac {t^{-s}}{sinh {(pi t)}}},dt.}

Algoritmos numéricos

La mayoría de las técnicas de aceleración en serie desarrolladas para series alternas se pueden aplicar de manera rentable a la evaluación de la función eta. Un método particularmente simple pero razonable es aplicar la transformación de series alternas de Euler para obtener

{displaystyle eta (s)=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{2^{n+1}}}sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n choose k}{frac {1}{(k+1)^{s}}}.}

Tenga en cuenta que la segunda suma interna es una diferencia directa.

Did you mean:

Borwein 's method

Peter Borwein utilizó aproximaciones que involucraban polinomios de Chebyshev para producir un método para la evaluación eficiente de la función eta. Si

{displaystyle d_{k}=nsum _{ell =0}^{k}{frac {(n+ell -1)!4^{ell }}{(n-ell)!(2ell)!}}}

{displaystyle eta (s)=-{frac {1}{d_{n}}}sum _{k=0}^{n-1}{frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+gamma _{n}(s),}

Re(s) ge frac{1}{2}

γ n

{displaystyle |gamma _{n}(s)|leq {frac {3}{(3+{sqrt {8}})^{n}}}(1+2|Im (s)|)exp left({frac {pi }{2}}|Im (s)|right).}

El factor de $3+sqrt{8}approx 5.8$ en el límite de error indica que la serie Borwein converge bastante rápido n aumenta.

Valores particulares

.(0) 1.2, la suma Abel de la serie 1 de Grandi - 1 + 1 - 1 + · · · ·
.(1)− 1.4, la suma Abel de 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·.
Para k un entero, si B_k es k- el número Bernoulli entonces ${displaystyle eta (1-k)={frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}.}$