Función de Walsh

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En matemáticas, más específicamente en análisis armónico, las funciones de Walsh forman un conjunto ortogonal completo de funciones que se pueden usar para representar cualquier función discreta, al igual que las funciones trigonométricas se pueden usar para representar cualquier función continua. en el análisis de Fourier. Por lo tanto, pueden verse como una contraparte digital discreta del sistema analógico continuo de funciones trigonométricas en el intervalo unitario. Pero a diferencia de las funciones seno y coseno, que son continuas, las funciones de Walsh son constantes por partes. Toman los valores −1 y +1 únicamente, en subintervalos definidos por fracciones diádicas.

El sistema de funciones de Walsh se conoce como sistema de Walsh. Es una extensión del sistema Rademacher de funciones ortogonales.

Las funciones de Walsh, el sistema de Walsh, la serie de Walsh y la transformada rápida de Walsh-Hadamard llevan el nombre del matemático estadounidense Joseph L. Walsh. Encuentran diversas aplicaciones en física e ingeniería al analizar señales digitales.

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Historically, various generations of Walsh functions have been used; none of them is particularly superior to another. This articles uses the Walsh–Paley numeration.

Definición

Definimos la secuencia de funciones de Walsh $W_{k}:[0,1]rightarrow {-1,1}$ , ${displaystyle kin mathbb {N} }$ como sigue.

Para cualquier número natural k, y número real $xin [0,1]$ , vamos

{displaystyle k_{j}}

ser el jt bit en la representación binaria de k, empezando con

k_{0}

como la menor cantidad significativa, y

x_{j}

ser el jt bit en la representación binaria fraccional de

x

, empezando con

x_{1}

como el bit fraccional más significativo.

Entonces, por definición

W_{k}(x)=(-1)^{{sum _{{j=0}}^{infty }k_{j}x_{{j+1}}}}

En particular, $W_{0}(x)=1$ en todas partes en el intervalo, desde todos los trozos de k son cero.

Note que $W_{{2^{m}}}$ es precisamente la función Rademacher r_m. Así, el sistema Rademacher es un subsistema del sistema Walsh. Además, cada función Walsh es un producto de las funciones de Rademacher:

W_{k}(x)=prod _{{j=0}}^{infty }r_{j}(x)^{{k_{j}}}

Comparación entre funciones de Walsh y funciones trigonométricas

Funciones Walsh y funciones trigonométricas son ambos sistemas que forman un conjunto completo de funciones ortonormales, una base ortonormal en el espacio Hilbert $L^{2}[0,1]$ de las funciones cuadradas-integrables en el intervalo de unidad. Ambos son sistemas de funciones vinculadas, a diferencia del sistema Haar o del sistema Franklin.

Tanto los sistemas trigonométricos como Walsh admiten la extensión natural por periodicidad desde el intervalo de unidad hasta la línea real ${mathbb R}$ . Además, tanto el análisis de Fourier en el intervalo de unidad (serie Fourier) como en la línea real (Fourier transform) tienen sus contrapartes digitales definidas a través del sistema Walsh, la serie Walsh análoga a la serie Fourier, y el Hadamard transformado analógico a la transformación Fourier.

Propiedades

El sistema Walsh ${W_{k}},kin {mathbb N}_{0}$ es una isomorfa de grupo multiplicativo conmutativo $coprod _{{n=0}}^{infty }{mathbb Z}/2{mathbb Z}$ , el doble Pontryagin del grupo Cantor $prod _{{n=0}}^{infty }{mathbb Z}/2{mathbb Z}$ . Su identidad es $W_{0}$ , y cada elemento es del orden dos (es decir, auto-inverso).

El sistema Walsh es una base ortonormal del espacio Hilbert $L^{2}[0,1]$ . Ortonormalidad significa

int _{0}^{1}W_{k}(x)W_{l}(x)dx=delta _{{kl}}

y ser una base significa que si, por cada $fin L^{2}[0,1]$ , nos hemos fijado $f_{k}=int _{0}^{1}f(x)W_{k}(x)dx$ entonces

int _{0}^{1}(f(x)-sum _{{k=0}}^{N}f_{k}W_{k}(x))^{2}dx{xrightarrow[ {Nrightarrow infty }]{}}0

Resulta que para cada $fin L^{2}[0,1]$ , la serie $sum _{{k=0}}^{infty }f_{k}W_{k}(x)$ converger $f(x)$ para casi todos $xin [0,1]$ .

El sistema Walsh (en la numeración Walsh-Paley) forma una base Schauder en $L^{p}[0,1]$ , $<math alttext="{displaystyle 1<p1.p.JUEGO JUEGO {displaystyle 1 seccionó] <img alt="1<p$ . Tenga en cuenta que, a diferencia del sistema Haar, y como el sistema trigonométrico, esta base no es incondicional, ni es el sistema una base Schauder en $L^{1}[0,1]$ .

Generalizaciones

Sistemas Walsh-Ferleger

Vamos ${mathbb D}=prod _{{n=1}}^{infty }{mathbb Z}/2{mathbb Z}$ ser el grupo compacto Cantor dotado con medida Haar y dejar ${hat {{mathbb D}}}=coprod _{{n=1}}^{infty }{mathbb Z}/2{mathbb Z}$ ser su discreto grupo de personajes. Elementos de ${hat {{mathbb D}}}$ se identifican fácilmente con funciones de Walsh. Por supuesto, los caracteres se definen en ${mathbb D}$ Mientras que las funciones de Walsh se definen en el intervalo de unidad, pero como existe un modulo cero isomorfismo entre estos espacios de medida, las funciones mensurables en ellos se identifican a través de la isometría.

Entonces la teoría básica de la representación sugiere la siguiente generalización amplia del concepto de sistema de Walsh.

Para un espacio de Banach arbitrario $(X,||cdot ||)$ Deja ${R_{t}}_{{tin {mathbb D}}}subset Aut(X)$ ser una acción fiel fuertemente continua y uniformemente ligada ${mathbb D}$ on X. Por todos $gamma in {hat {{mathbb D}}}$ , considerar su eigenspace $X_{gamma }={xin X:R_{t}x=gamma (t)x}$ . Entonces... X es el lazo lineal cerrado de los eigenspaces: $X=overline {operatorname {Span}}(X_{gamma },gamma in {hat {{mathbb D}}})$ . Suponga que cada eigenespacio es unidimensional y elija un elemento $w_{gamma }in X_{gamma }$ tales que $||w_{gamma }||=1$ . Entonces el sistema ${w_{gamma }}_{{gamma in {hat {{mathbb D}}}}}$ , o el mismo sistema en la numeración Walsh-Paley de los caracteres ${w_{k}}_{{kin {{mathbb N}}_{0}}}$ se llama sistema generalizado Walsh asociado con la acción ${R_{t}}_{{tin {mathbb D}}}$ . El sistema clásico Walsh se convierte en un caso especial, a saber, para

R_{t}:x=sum _{{j=1}}^{infty }x_{j}2^{{-j}}mapsto sum _{{j=1}}^{infty }(x_{j}oplus t_{j})2^{{-j}}

Donde $oplus$ modulo adicional 2.

A principios de la década de 1990, Serge Ferleger y Fyodor Sukochev demostraron que en una amplia clase de espacios de Banach (los llamados espacios UMD) los sistemas generalizados de Walsh tienen muchas propiedades similares al clásico: forman un La base de Schauder y una descomposición uniforme de dimensión finita en el espacio tienen la propiedad de convergencia aleatoria incondicional. Un ejemplo importante de sistema de Walsh generalizado es el sistema de Fermion Walsh en espacios L^p no conmutativos asociados con un factor hiperfinito de tipo II.

Sistema Fermion Walsh

El sistema Fermion Walsh es un sistema no conmutativo o "cuántico" análogo del sistema clásico de Walsh. A diferencia de este último, consta de operadores, no de funciones. Sin embargo, ambos sistemas comparten muchas propiedades importantes, por ejemplo, ambos forman una base ortonormal en el espacio de Hilbert correspondiente, o una base de Schauder en espacios simétricos correspondientes. Los elementos del sistema Fermion Walsh se denominan operadores Walsh.

El término Fermion en nombre del sistema se explica por el hecho de que el espacio del operador envolvente, el denominado factor hiperfinito tipo II ${displaystyle {mathcal {R}}}$ , puede ser visto como el espacio observables del sistema de número contablemente infinito de giros distintos ${frac {1}{2}}$ fermions. Cada operador de Rademacher actúa en una única coordinación de fermion particular, y allí es una matriz Pauli. Se puede identificar con el componente de medición de la columna vertebral observable de ese fermión a lo largo de uno de los ejes ${x,y,z}$ en el espacio de la columna. Así, un operador de Walsh mide el giro de un subconjunto de fermions, cada uno a lo largo de su propio eje.

Sistema Vilenkin

Arreglar una secuencia ${displaystyle alpha =(alpha _{1},alpha _{2},...)}$ de enteros con ${displaystyle alpha _{k}geq 2,k=1,2,dots }$ y dejar ${displaystyle mathbb {G} =mathbb {G} _{alpha }=prod _{n=1}^{infty }mathbb {Z} /alpha _{k}mathbb {Z} }$ dotado con la topología del producto y la medida Haar normalizada. Define ${displaystyle A_{0}=1}$ y ${displaystyle A_{k}=alpha _{1}alpha _{2}dots alpha _{k-1}}$ . Cada uno ${displaystyle xin mathbb {G} }$ puede estar asociado con el número real

{displaystyle left|xright|=sum _{k=1}^{infty }{frac {x_{k}}{A_{k}}}in left[0,1right].}

Esta correspondencia es un módulo cero isomorfismo entre ${displaystyle mathbb {G} }$ y el intervalo de unidad. También define una norma que genera la topología de ${displaystyle mathbb {G} }$ . Para ${displaystyle k=1,2,dots }$ , vamos ${displaystyle rho _{k}:mathbb {G} to mathbb {C} }$ Donde

{displaystyle rho _{k}(x)=exp(i{frac {2pi x_{k}}{alpha _{k}}})=cos({frac {2pi x_{k}}{alpha _{k}}})+isin({frac {2pi x_{k}}{alpha _{k}}}).}

El set ${displaystyle {rho _{k}}}$ se llama sistema de Rademacher generalizado. El sistema Vilenkin es el grupo ${displaystyle {hat {mathbb {G} }}=coprod _{n=1}^{infty }mathbb {Z} /alpha _{k}mathbb {Z} }$ de caracteres (valorados complejos) ${displaystyle mathbb {G} }$ , que son todos productos finitos de ${displaystyle {rho _{k}}}$ . Para cada entero no negativo $n$ hay una secuencia única ${displaystyle n_{0},n_{1},dots }$ tales que $<math alttext="{displaystyle 0leq n_{k}0≤ ≤ nk.α α k+1,k=0,1,2,...... {displaystyle 0leq n_{k}cantado ¿Qué?<img alt="{displaystyle 0leq n_{k}$ y

{displaystyle n=sum _{k=0}^{infty }n_{k}A_{k}.}

Entonces... ${displaystyle {hat {mathbb {G} }}={chi _{n}|n=0,1,dots }}$ Donde

{displaystyle chi _{n}=sum _{k=0}^{infty }rho _{k+1}^{n_{k}}.}

En particular, si ${displaystyle alpha _{k}=2,k=1,2...}$ , entonces ${displaystyle mathbb {G} }$ es el grupo Cantor y ${displaystyle {hat {mathbb {G} }}=left{chi _{n}|n=0,1,dots right}}$ es el (valor real) Sistema Walsh-Paley.

El sistema Vilenkin es un sistema ortonormal completo ${displaystyle mathbb {G} }$ y forma una base Schauder en ${displaystyle L^{p}(mathbb {G}mathbb {C})}$ , $<math alttext="{displaystyle 1<p1.p.JUEGO JUEGO {displaystyle 1 seccionó] <img alt="{displaystyle 1<p$ .

Superficies binarias

Romanuke demostró que las funciones de Walsh se pueden generalizar a superficies binarias en un caso particular de función de dos variables. También existen ocho bases de funciones binarias ortonormales tipo Walsh, cuya estructura no es regular (a diferencia de la estructura de las funciones de Walsh). Estas ocho bases también se generalizan a superficies (en el caso de la función de dos variables). Se demostró que las funciones constantes por partes se pueden representar dentro de cada una de las nueve bases (incluida la base de las funciones de Walsh) como sumas finitas de funciones binarias, cuando se ponderan con los coeficientes adecuados.

Extensiones de fase no lineal

Se desarrollaron extensiones de fase no lineales de la transformada discreta de Walsh-Hadamard. Se demostró que las funciones de base de fase no lineal con propiedades de correlación cruzada mejoradas superan significativamente a los códigos Walsh tradicionales en comunicaciones de acceso múltiple por división de código (CDMA).

Aplicaciones

Las aplicaciones de las funciones de Walsh se pueden encontrar dondequiera que se utilicen representaciones de dígitos, incluido el reconocimiento de voz, el procesamiento de imágenes médicas y biológicas y la holografía digital.

Por ejemplo, la transformada rápida de Walsh-Hadamard (FWHT) se puede utilizar en el análisis de métodos digitales cuasi-Monte Carlo. En radioastronomía, las funciones de Walsh pueden ayudar a reducir los efectos de la diafonía eléctrica entre señales de antena. También se utilizan en paneles LCD pasivos como formas de onda de conducción binaria X e Y donde la autocorrelación entre X e Y se puede minimizar para los píxeles que están apagados.

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