Función de verde

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Respuesta impulsiva de un operador diferencial lineal inhomogeneous

En matemáticas, una función de Green es la respuesta de impulso de un operador diferencial lineal no homogéneo definido en un dominio con condiciones iniciales o condiciones de contorno específicas.

Esto significa que si ${displaystyle operatorname {L} }$ es el operador diferencial lineal, entonces

la función de Green $G$ es la solución de la ecuación ${displaystyle operatorname {L} G=delta }$ , donde $delta$ es la función delta de Dirac;
la solución del problema de valor inicial ${displaystyle operatorname {L} y=f}$ es la convolución ${displaystyle Gast f}$ ).

A través del principio de la superposición, dada una ecuación diferencial lineal ordinaria (ODE), ${displaystyle operatorname {L} y=f}$ , uno puede resolver primero ${displaystyle operatorname {L} G=delta _{s}}$ , para cada $s$ , y comprendiendo que, ya que la fuente es una suma de las funciones delta, la solución es una suma de las funciones de Green también, por linearidad de $L$ .

Las funciones de Green llevan el nombre del matemático británico George Green, quien desarrolló el concepto por primera vez en la década de 1820. En el estudio moderno de las ecuaciones diferenciales parciales lineales, las funciones de Green se estudian en gran medida desde el punto de vista de las soluciones fundamentales.

Bajo la teoría de muchos cuerpos, el término también se usa en física, específicamente en teoría cuántica de campos, aerodinámica, aeroacústica, electrodinámica, sismología y teoría estadística de campos, para referirse a varios tipos de funciones de correlación, incluso aquellas que no encajan la definición matemática. En la teoría cuántica de campos, las funciones de Green asumen el papel de propagadores.

Definición y usos

Una función de Green, $G () x, s)$ , de un operador diferencial lineal ${displaystyle operatorname {L} =operatorname {L} (x)}$ actuando en distribuciones sobre un subconjunto del espacio Euclideano $mathbb {R} ^{n}$ , en un momento $s$ , es cualquier solución

{displaystyle operatorname {L} ,G(x,s)=delta (s-x),,}

()1)

donde $δ$ es la función delta de Dirac. Esta propiedad de la función de Green se puede aprovechar para resolver ecuaciones diferenciales de la forma

{displaystyle operatorname {L} ,u(x)=f(x)~.}

()2)

Si el kernel de $L$ no es trivial, entonces la función de Green no es única. Sin embargo, en la práctica, alguna combinación de simetría, condiciones de contorno y/u otros criterios impuestos externamente darán una función de Green única. Las funciones de Green pueden categorizarse, por el tipo de condiciones de contorno satisfechas, por un número de función de Green. Además, las funciones de Green en general son distribuciones, no necesariamente funciones de una variable real.

Las funciones de Green también son herramientas útiles para resolver ecuaciones de onda y ecuaciones de difusión. En mecánica cuántica, la función de Green del hamiltoniano es un concepto clave con vínculos importantes con el concepto de densidad de estados.

Did you mean:

The Green 's function as used in physics is usually defined with the opposite sign, instead. That is,

{displaystyle operatorname {L} ,G(x,s)=delta (x-s)~.}

Si el operador es invariante de traducción, es decir, cuando ${displaystyle operatorname {L} }$ tiene coeficientes constantes con respecto a $x$ , entonces la función de Green se puede tomar para ser un kernel de la convolución, es decir,

{displaystyle G(x,s)=G(x-s)~.}

Did you mean:

In this case, Green 's function is the same as the impulse response of linear time-invariant system theory.

Motivación

Loosely speaking, if such a function $G$ se puede encontrar para el operador ${displaystyle operatorname {L} }$ , entonces, si multiplicamos la ecuación (1) para la función de Green por $f () s)$ , y luego integrar con respecto a $s$ , obtenemos,

{displaystyle int operatorname {L} ,G(x,s),f(s),ds=int delta (x-s),f(s),ds=f(x)~.}

Porque el operador ${displaystyle operatorname {L} =operatorname {L} (x)}$ es lineal y actúa sólo en la variable $x$ (y) no sobre la variable de integración $s$ ), uno puede tomar el operador ${displaystyle operatorname {L} }$ fuera de la integración, rindiendo

{displaystyle operatorname {L} ,left(int G(x,s),f(s),dsright)=f(x)~.}

{displaystyle u(x)=int G(x,s),f(s),ds}

()3)

es una solución a la ecuación ${displaystyle operatorname {L} u(x)=f(x)~.}$

Así, uno puede obtener la función $u () x)$ a través del conocimiento de la función de Green en la ecuación (1) y el término fuente en el lado derecho en la ecuación (2). Este proceso se basa en la linealidad del operador ${displaystyle operatorname {L} }$ .

En otras palabras, la solución de la ecuación (2), $u () x)$ , puede ser determinado por la integración dada en la ecuación (3). Aunque $f () x)$ es conocido, esta integración no puede realizarse a menos que $G$ es también conocido. El problema ahora radica en encontrar la función de Green $G$ que satisface la ecuación (1). Por esta razón, la función de Green también se llama a veces la solución fundamental asociada al operador ${displaystyle operatorname {L} }$ .

No todos los operadores ${displaystyle operatorname {L} }$ Admite la función de Green. Una función de Green también se puede considerar como un inverso derecho ${displaystyle operatorname {L} }$ . Aparte de las dificultades de encontrar una función verde para un operador particular, la integral en la ecuación (3) puede ser bastante difícil de evaluar. Sin embargo el método da un resultado teóricamente exacto.

Esto se puede considerar como una expansión $f$ según una base de función Dirac delta (proyección $f$ sobre ${displaystyle delta (x-s)}$ ; y una superposición de la solución en cada proyección. Tal ecuación integral se conoce como una ecuación integral de Fredholm, cuyo estudio constituye la teoría de Fredholm.

Did you mean:

Green 's functions for solving inhomogeneous boundary value problems

El uso principal de las funciones de Green en matemáticas es resolver problemas de valores límite no homogéneos. En la física teórica moderna, las funciones de Green también se suelen utilizar como propagadores en los diagramas de Feynman; el término función de Green se usa a menudo para cualquier función de correlación.

Marco

Vamos ${displaystyle operatorname {L} }$ ser el operador de Sturm-Liouville, un operador diferencial lineal de la forma

{displaystyle operatorname {L} ={dfrac {d}{dx}}left[p(x){dfrac {d}{dx}}right]+q(x)}

{displaystyle {vec {operatorname {D} }}}

{displaystyle {vec {operatorname {D} }},u={begin{bmatrix}alpha _{1}u'(0)+beta _{1}u(0)\alpha _{2}u'(ell)+beta _{2}u(ell)end{bmatrix}}~.}

Vamos $f(x)$ ser una función continua en ${displaystyle [0,ell ],.}$ Supongamos además que el problema

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {L} ,u&=f\{vec {operatorname {D} }},u&={vec {0}}end{aligned}}}

f(x) = 0

x

u(x)=0

Teorema

Hay una sola solución $u(x)$ que satisfice

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {L} ,u&=f\{vec {operatorname {D} }},u&={vec {0}}end{aligned}}}

{displaystyle u(x)=int _{0}^{ell }f(s),G(x,s),ds~,}

G(x,s)

$G(x,s)$ es continuo $x$ y $s$ .
Para ${displaystyle xneq s~}$ , ${displaystyle quad operatorname {L} ,G(x,s)=0~}$ .
Para ${displaystyle sneq 0~}$ , ${displaystyle quad {vec {operatorname {D} }},G(x,s)={vec {0}}~}$ .
Derivative "jump": ${displaystyle quad G'(s_{0+},s)-G'(s_{0-},s)=1/p(s)~}$ .
Simetría: ${displaystyle quad G(x,s)=G(s,x)~}$ .

Did you mean:

Advanced and retarded Green 's functions

La función de Green no es necesariamente única ya que la adición de cualquier solución de la ecuación homogénea a una función de Green resulta en otra función de Green. Por lo tanto, si la ecuación homogénea tiene soluciones no reales, existen múltiples funciones de Green. En algunos casos, es posible encontrar una función de Green que no está desvestizando sólo para ${displaystyle sleq x}$ , que se llama una función retardada de Green, y otra función de Green que no es sólo para el ${displaystyle sgeq x}$ , que se llama una función avanzada de Green. En tales casos, cualquier combinación lineal de las dos funciones de Green es también una función válida de Green. La terminología avanzada y retardada es especialmente útil cuando la variable x corresponde al tiempo. En tales casos, la solución proporcionada por el uso de la función del Verde retardado depende sólo de las fuentes pasadas y es causal, mientras que la solución proporcionada por el uso de la función del Verde avanzado depende sólo de las fuentes futuras y es acausal. En estos problemas, es a menudo el caso de que la solución causal es la físicamente importante. El uso de la función avanzada y retardada de Green es especialmente común para el análisis de soluciones de la ecuación de onda electromagnética inhomogénea.

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Finding Green 's functions

Unidades

Si bien no fija de manera única la forma que tomará la función de Green, realizar un análisis dimensional para encontrar las unidades que debe tener una función de Green es una verificación importante de la cordura de cualquier función de Green. 39; función s encontrado a través de otros medios. Un examen rápido de la ecuación definitoria,

{displaystyle LG(x,s)=delta (x-s),}

G

L

x

s

{displaystyle [[G]]=[[L]]^{-1}[[dx]]^{-1},}

{displaystyle [[G]]}

G

{displaystyle dx}

Por ejemplo, si ${displaystyle L=partial _{t}^{2}}$ y el tiempo es la única variable entonces:

{displaystyle [[L]]=[[{text{time}}]]^{-2},}

{displaystyle [[dx]]=[[{text{time}}]], {text{and}}}

{displaystyle [[G]]=[[{text{time}}]].}

{displaystyle L=square ={frac {1}{c^{2}}}partial _{t}^{2}-nabla ^{2}}

{displaystyle [[L]]=[[{text{length}}]]^{-2},}

{displaystyle [[dx]]=[[{text{time}}]][[{text{length}}]]^{3}, {text{and}}}

{displaystyle [[G]]=[[{text{time}}]]^{-1}[[{text{length}}]]^{-1}.}

Expansiones de valores propios

Si un operador diferencial $L$ admite un conjunto de vectores propios $Ψ n (x)$ (es decir, un conjunto de funciones $Ψ n$ y escalares $λ n$ tales que $L Ψ n = λ n Ψ n$ ) que está completo, entonces es posible construir una función de Green a partir de estos vectores propios y valores propios.

"Completo" significa que el conjunto de funciones ${Ψ n}$ satisface la siguiente relación de completitud,

{displaystyle delta (x-x')=sum _{n=0}^{infty }Psi _{n}^{dagger }(x)Psi _{n}(x').}

Entonces se cumple lo siguiente,

$G(x, x')=sum_{n=0}^infty dfrac{Psi_n^dagger(x) Psi_n(x')}{lambda_n},$

Donde $dagger$ representa una conjugación compleja.

Did you mean:

Applying the operator L to each side of this equation results in the completeness relation, which was assumed.

Did you mean:

The general study of Green 's function written in the above form, and its relationship to the function spaces formed by the eigenvectors, is known as Fredholm theory.

Existen otros métodos para encontrar las funciones de Green, incluido el método de las imágenes, la separación de variables y las transformadas de Laplace.

Did you mean:

Combining Green 's functions

Si el operador diferencial $L$ se puede considerar como ${displaystyle L=L_{1}L_{2}}$ entonces la función de Green $L$ se puede construir a partir de las funciones de Green $L_{1}$ y $L_{2}$ :

{displaystyle G(x,s)=int G_{2}(x,s_{1}),G_{1}(s_{1},s),ds_{1}.}

{displaystyle G(x,s)}

L

C

{displaystyle C=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}

{displaystyle C_{i,j}}

Otra identidad sigue para operadores diferenciales que son polinomios escalares del derivado, ${displaystyle L=P_{N}(partial _{x})}$ . El teorema fundamental del álgebra, combinado con el hecho de que $partial _{x}$ comunica con sí mismo, garantiza que el polinomio puede ser factorizado, poniendo $L$ en la forma:

{displaystyle L=prod _{i=1}^{N}(partial _{x}-z_{i}),}

z_{i}

{displaystyle P_{N}(z)}

{displaystyle LG(x,s)=delta (x-s)}

x

s

{displaystyle {widehat {G}}(k_{x},k_{s})={frac {delta (k_{x}-k_{s})}{prod _{i=1}^{N}(ik_{x}-z_{i})}}.}

x

s

{displaystyle L=(partial _{x}+gamma)(partial _{x}+alpha)^{2}}

{displaystyle {begin{aligned}G(x,s)&={frac {1}{(alpha -gamma)^{2}}}Theta (x-s)e^{-gamma (x-s)}-{frac {1}{(alpha -gamma)^{2}}}Theta (x-s)e^{-alpha (x-s)}+{frac {1}{gamma -alpha }}Theta (x-s),(x-s)e^{-alpha (x-s)}\[5pt]&=int Theta (x-s_{1})(x-s_{1})e^{-alpha (x-s_{1})}Theta (s_{1}-s)e^{-gamma (s_{1}-s)},ds_{1}.end{aligned}}}

nabla ^{2}

Did you mean:

Table of Green 's functions

La siguiente tabla ofrece una visión general de las funciones de Green de operadores diferenciales que aparecen con frecuencia, donde ${textstyle r={sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ , ${textstyle rho ={sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ , ${textstyle Theta (t)}$ es la función paso Heaviside, ${textstyle J_{nu }(z)}$ es una función Bessel, ${textstyle I_{nu }(z)}$ es una función Bessel modificada del primer tipo, y ${textstyle K_{nu }(z)}$ es una función Bessel modificada del segundo tipo. Dónde tiempo ( $t$ ) aparece en la primera columna, la función retardada (causal) Green está lista.

Operador diferencial $L$	Función de Green $G$	Ejemplo de aplicación
${displaystyle partial _{t}^{n+1}}$	${displaystyle {frac {t^{n}}{n!}}Theta (t)}$
$partial_t + gamma$	${displaystyle Theta (t)e^{-gamma t}}$
$left(partial_t + gamma right)^2$	${displaystyle Theta (t)te^{-gamma t}}$
$partial_t^2 + 2gammapartial_t + omega_0^2$ Donde $<math alttext="{displaystyle gamma γ γ .\cdot \cdot 0{displaystyle gamma ¿Qué? <img alt="{displaystyle gamma$	${displaystyle Theta (t)e^{-gamma t}~{frac {sin(omega t)}{omega }}}$ con $omega=sqrt{omega_0^2-gamma^2}$	oscilador armónico de 1D
$partial_t^2 + 2gammapartial_t + omega_0^2$ Donde $omega _{0}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">γ γ ■⋅ ⋅ 0{displaystylegamma }omega ¿Qué?omega _{0}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf6c49d7803bac367f19ded84795e12b9bbd397" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.861ex; height:2.343ex;"/>$	${displaystyle Theta (t)e^{-gamma t}~{frac {sinh(omega t)}{omega }}}$ con ${displaystyle omega ={sqrt {gamma ^{2}-omega _{0}^{2}}}}$	oscilador armónico amortiguador 1D
$partial_t^2 + 2gammapartial_t + omega_0^2$ Donde ${displaystyle gamma =omega _{0}}$	${displaystyle Theta (t)e^{-gamma t}t}$	1D oscilador armónico de humedad crítica
2D Operador de locales ${displaystyle nabla _{text{2D}}^{2}=partial _{x}^{2}+partial _{y}^{2}}$	${displaystyle {frac {1}{2pi }}ln rho }$ con $rho=sqrt{x^2+y^2}$	Ecuación de Poisson 2D
3D Laplace operator ${displaystyle nabla _{text{3D}}^{2}=partial _{x}^{2}+partial _{y}^{2}+partial _{z}^{2}}$	$frac{-1}{4 pi r}$ con ${displaystyle r={sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$	Ecuación de Poisson
Helmholtz operator ${displaystyle nabla _{text{3D}}^{2}+k^{2}}$	${displaystyle {frac {-e^{-ikr}}{4pi r}}=i{sqrt {frac {k}{32pi r}}}}$ ${displaystyle H_{1/2}^{(2)}(kr)}$ ${displaystyle =i{frac {k}{4pi }},}$ ${displaystyle h_{0}^{(2)}(kr)}$	Estacionarios 3D Schrödinger ecuación para partículas libres
Divergence operator ${displaystyle nabla cdot v}$	${displaystyle 1/(4pi)({bf {{x}-{bf {{x_{0}})/\|{bf {{x}-{bf {{x_{0}}\|^{3}}}}}}}}}}$
Operador de curvas $nabla times v$	${displaystyle 1/(4pi)({bf {{x}-{bf {{x_{0}})times ({bf {{x}-{bf {{x_{0}})/\|{bf {{x}-{bf {{x_{0}}\|^{3}}}}}}}}}}}}}}$
${displaystyle nabla ^{2}-k^{2}}$ dentro $n$ dimensiones	${displaystyle -(2pi)^{-n/2}left({frac {k}{r}}right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr)}$	potencial de Yukawa, propagador de Feynman, ecuación de Poisson Screened
$partial_t^2 - c^2partial_x^2$	${displaystyle {frac {1}{2c}}Theta (t-\|x/c\|)}$	Ecuación de onda 1D
${displaystyle partial _{t}^{2}-c^{2},nabla _{text{2D}}^{2}}$	${displaystyle {frac {1}{2pi c{sqrt {c^{2}t^{2}-rho ^{2}}}}}Theta (t-rho /c)}$	Ecuación de onda 2D
D'Alembert operator ${displaystyle square ={frac {1}{c^{2}}}partial _{t}^{2}-nabla _{text{3D}}^{2}}$	$frac{delta(t-frac{r}{c})}{4 pi r}$	Ecuación de onda 3D
$partial_t - kpartial_x^2$	${displaystyle Theta (t)left({frac {1}{4pi kt}}right)^{1/2}e^{-x^{2}/4kt}}$	Difusión 1D
${displaystyle partial _{t}-k,nabla _{text{2D}}^{2}}$	${displaystyle Theta (t)left({frac {1}{4pi kt}}right)e^{-rho ^{2}/4kt}}$	Difusión 2D
${displaystyle partial _{t}-k,nabla _{text{3D}}^{2}}$	${displaystyle Theta (t)left({frac {1}{4pi kt}}right)^{3/2}e^{-r^{2}/4kt}}$	Difusión 3D
${displaystyle {frac {1}{c^{2}}}partial _{t}^{2}-partial _{x}^{2}+mu ^{2}}$	${displaystyle {frac {1}{2}}left[left(1-sin {mu ct}right)(delta (ct-x)+delta (ct+x))+mu Theta (ct-\|x\|)J_{0}(mu u)right]}$ con ${displaystyle u={sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}$	1D Klein-Gordon ecuación
${displaystyle {frac {1}{c^{2}}}partial _{t}^{2}-nabla _{text{2D}}^{2}+mu ^{2}}$	${displaystyle {frac {1}{4pi }}left[(1+cos(mu ct)){frac {delta (ct-rho)}{rho }}+mu ^{2}Theta (ct-rho)operatorname {sinc} (mu u)right]}$ con ${displaystyle u={sqrt {c^{2}t^{2}-rho ^{2}}}}$	2D Klein–Gordon ecuación
${displaystyle square +mu ^{2}}$	${displaystyle {frac {1}{4pi }}left[{frac {delta left(t-{frac {r}{c}}right)}{r}}+mu cTheta (ct-r){frac {J_{1}left(mu uright)}{u}}right]}$ con ${displaystyle u={sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}$	3D Klein–Gordon ecuación
${displaystyle partial _{t}^{2}+2gamma partial _{t}-c^{2}partial _{x}^{2}}$	${displaystyle {frac {1}{2}}e^{-gamma t}left[delta (ct-x)+delta (ct+x)+Theta (ct-\|x\|)left({frac {gamma }{c}}I_{0}left({frac {gamma u}{c}}right)+{frac {gamma t}{u}}I_{1}left({frac {gamma u}{c}}right)right)right]}$ con ${displaystyle u={sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}$	ecuación del telégrafo
${displaystyle partial _{t}^{2}+2gamma partial _{t}-c^{2},nabla _{text{2D}}^{2}}$	${displaystyle {frac {e^{-gamma t}}{4pi }}left[(1+e^{-gamma t}+3gamma t){frac {delta (ct-rho)}{rho }}+Theta (ct-rho)left({frac {gamma sinh left({frac {gamma u}{c}}right)}{cu}}+{frac {3gamma tcosh left({frac {gamma u}{c}}right)}{u^{2}}}-{frac {3ctsinh left({frac {gamma u}{c}}right)}{u^{3}}}right)right]}$ con ${displaystyle u={sqrt {c^{2}t^{2}-rho ^{2}}}}$	2D conducción de calor relativista
${displaystyle partial _{t}^{2}+2gamma partial _{t}-c^{2},nabla _{text{3D}}^{2}}$	${displaystyle {frac {e^{-gamma t}}{20pi }}left[left(8-3e^{-gamma t}+2gamma t+4gamma ^{2}t^{2}right){frac {delta (ct-r)}{r^{2}}}+{frac {gamma ^{2}}{c}}Theta (ct-r)left({frac {1}{cu}}I_{1}left({frac {gamma u}{c}}right)+{frac {4t}{u^{2}}}I_{2}left({frac {gamma u}{c}}right)right)right]}$ con ${displaystyle u={sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}$	Conducción de calor relativista 3D

Did you mean:

Green 's functions for the Laplacian

Did you mean:

Green 's functions for linear differential operators involving the Laplacian may be readily put to use using the second of Green 's identities.

Did you mean:

To derive Green 's theorem, begin with the divergence theorem (otherwise known as Gauss 's theorem),

{displaystyle int _{V}nabla cdot {vec {A}} dV=int _{S}{vec {A}}cdot d{widehat {sigma }}~.}

Vamos ${displaystyle {vec {A}}=varphi ,nabla psi -psi ,nabla varphi }$ y sustituir a la ley de Gauss.

Computación $nablacdotvec A$ y aplicar la regla del producto para el operador de bia,

{displaystyle {begin{aligned}nabla cdot {vec {A}}&=nabla cdot (varphi ,nabla psi ;-;psi ,nabla varphi)\&=(nabla varphi)cdot (nabla psi);+;varphi ,nabla ^{2}psi ;-;(nabla varphi)cdot (nabla psi);-;psi nabla ^{2}varphi \&=varphi ,nabla ^{2}psi ;-;psi ,nabla ^{2}varphi.end{aligned}}}

Reemplazar esto en el teorema de la divergencia produce el teorema de Green,

{displaystyle int _{V}(varphi ,nabla ^{2}psi -psi ,nabla ^{2}varphi),dV=int _{S}(varphi ,nabla psi -psi nabla ,varphi)cdot d{widehat {sigma }}.}

Suponga que el operador diferencial lineal $L$ es el laplaciano, ∇², y que hay es una función de Green $G$ para el laplaciano. La propiedad definitoria de la función de Green aún se mantiene,

{displaystyle LG(x,x')=nabla ^{2}G(x,x')=delta (x-x').}

Vamos $psi=G$ en la segunda identidad de Green, vea las identidades de Green. Entonces,

{displaystyle int _{V}left[varphi (x')delta (x-x')-G(x,x'),{nabla '}^{2},varphi (x')right] d^{3}x'=int _{S}left[varphi (x'),{nabla '}G(x,x')-G(x,x'),{nabla '}varphi (x')right]cdot d{widehat {sigma }}'.}

Usando esta expresión, es posible resolver la ecuación de Laplace ∇²φ(x) = 0 o Poisson&# 39;s ecuación ∇²φ(x) = −ρ(x), sujeto a las condiciones de contorno de Neumann o Dirichlet. En otras palabras, podemos resolver φ(x) en todas partes dentro de un volumen donde (1) el valor de φ( x) se especifica en la superficie límite del volumen (condiciones de contorno de Dirichlet), o (2) la derivada normal de φ(x) se especifica en la superficie límite (condiciones de contorno de Neumann).

Supongamos que el problema es resolver φ(x) dentro de la región. Entonces la integral

{displaystyle int _{V}varphi (x')delta (x-x'),d^{3}x'}

φx

{displaystyle varphi (x)=-int _{V}G(x,x')rho (x') d^{3}x'+int _{S}left[varphi (x'),nabla 'G(x,x')-G(x,x'),nabla 'varphi (x')right]cdot d{widehat {sigma }}'.}

Esta forma expresa la bien conocida propiedad de las funciones armónicas, que si el valor o la derivada normal se conoce en una superficie límite, entonces el valor de la función dentro del volumen se conoce en todas partes.

En electrostáticos, φ()x) se interpreta como el potencial eléctrico, ***()x) como densidad de carga eléctrica, y el derivado normal ${displaystyle nabla varphi (x')cdot d{widehat {sigma }}'}$ como componente normal del campo eléctrico.

Si el problema es resolver un problema de valores en la frontera de Dirichlet, la función de Green debe elegirse de tal manera que G(x,x′) desaparece cuando x o x′ están en la superficie delimitadora. Por tanto, sólo queda uno de los dos términos de la integral de superficie. Si el problema es resolver un problema de valores en la frontera de Neumann, podría parecer lógico elegir la función de Green para que su derivada normal desaparezca en la superficie delimitadora. Sin embargo, la aplicación del teorema de Gauss a la ecuación diferencial que define la función de Green produce

{displaystyle int _{S}nabla 'G(x,x')cdot d{widehat {sigma }}'=int _{V}nabla '^{2}G(x,x')d^{3}x'=int _{V}delta (x-x')d^{3}x'=1~,}

Gxx

La forma más simple que puede tomar la derivada normal es la de una constante, concretamente 1/S, donde S es el área superficial de la superficie. El término de superficie en la solución se convierte en

{displaystyle int _{S}varphi (x'),nabla 'G(x,x')cdot d{widehat {sigma }}'=langle varphi rangle _{S}}

{displaystyle langle varphi rangle _{S}}

Did you mean:

With no boundary conditions, the Green 's function for the Laplacian (Green 's function for the three-variable Laplace equation) is

{displaystyle G(x,x')=-{dfrac {1}{4pi |x-x'|}}.}

Suponiendo que la superficie delimitadora llega al infinito y reemplazando esta expresión para la función de Green, finalmente se obtiene la expresión estándar para el potencial eléctrico en términos de densidad de carga eléctrica como

${displaystyle varphi (x)=int _{V}{dfrac {rho (x')}{4pi varepsilon |x-x'|}},d^{3}x'~.}$

Ejemplo

Did you mean:

Find the Green function for the following problem, whose Green 's function number is X11:

{displaystyle {begin{aligned}Lu&=u''+k^{2}u=f(x)\u(0)&=0,quad uleft({tfrac {pi }{2k}}right)=0.end{aligned}}}

Did you mean:

First step: The Green 's function for the linear operator at hand is defined as the solution to

{displaystyle G''(x,s)+k^{2}G(x,s)=delta (x-s).}

(Eq. *)

Si $xne s$ , entonces la función delta da cero, y la solución general es

{displaystyle G(x,s)=c_{1}cos kx+c_{2}sin kx.}

Para $<math alttext="{displaystyle x x.s{displaystyle x realizadas} <img alt="x$ ~~, la condición de límite en $x=0$ implicación~~

{displaystyle G(0,s)=c_{1}cdot 1+c_{2}cdot 0=0,quad c_{1}=0}

~~si $<math alttext="{displaystyle x x.s{displaystyle x realizadas} <img alt="x$ ~~y $s ne tfrac{pi}{2k}$ .~~~~

Para $s}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x■s{displaystyle x títulos}s" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e6f9baae82dfbdf5d8e76a51b673084446e5f8" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.519ex; height:1.843ex;"/>$ , la condición de límite en $x=tfrac{pi}{2k}$ implicación

{displaystyle Gleft({tfrac {pi }{2k}},sright)=c_{3}cdot 0+c_{4}cdot 1=0,quad c_{4}=0}

~~La ecuación de ${displaystyle G(0,s)=0}$ se salta por razones similares.~~

~~Para resumir los resultados hasta el momento:~~

<math alttext="{displaystyle G(x,s)={begin{cases}c_{2}sin kx,&{text{for }}x<s,\c_{3}cos kx,&{text{for }}sG()x,s)={}c2pecado⁡ ⁡ kx,parax.s,c3#⁡ ⁡ kx,paras.x.{displaystyle G(x,s)={begin{cases}c_{2}sin kx, reducida{text{for ##xtraducidos,c_{3}cos kx, - Está escrito.<img alt="{displaystyle G(x,s)={begin{cases}c_{2}sin kx,&{text{for }}x<s,\c_{3}cos kx,&{text{for }}s

Segundo paso: La próxima tarea es determinar $c_{2}$ y $c_{3}$ .

~~Asegurar la continuidad en la función de Green $x=s$ implicación~~

{displaystyle c_{2}sin ks=c_{3}cos ks}

Uno puede asegurar la discontinuidad adecuada en el primer derivado mediante la integración de la ecuación diferencial definitoria (es decir, Eq. *) de ${displaystyle x=s-varepsilon }$ a ${displaystyle x=s+varepsilon }$ y tomar el límite como $varepsilon$ va a cero. Tenga en cuenta que sólo integramos el segundo derivado ya que el término restante será continuo por la construcción.

{displaystyle c_{3}cdot (-ksin ks)-c_{2}cdot (kcos ks)=1}

~~Las dos ecuaciones de continuidad se pueden resolver para $c_{2}$ y $c_{3}$ para obtener~~

{displaystyle c_{2}=-{frac {cos ks}{k}}quad;quad c_{3}=-{frac {sin ks}{k}}}

Did you mean:
So Green 's function for this problem is:
$<math alttext="{displaystyle G(x,s)={begin{cases}-{frac {cos ks}{k}}sin kx,&x<s,\-{frac {sin ks}{k}}cos kx,&sG()x,s)={}− − #⁡ ⁡ kskpecado⁡ ⁡ kx,x.s,− − pecado⁡ ⁡ ksk#⁡ ⁡ kx,s.x.{displaystyle G(x,s)={begin{cases}-{frac {fnMicrosoft Sans Serif}cos kx, limites {fnMicrosoft Sans Serif}cos kx.<img alt="{displaystyle G(x,s)={begin{cases}-{frac {cos ks}{k}}sin kx,&x<s,\-{frac {sin ks}{k}}cos kx,&s$
Más ejemplos
Vamos $n = 1$ y dejar que el subconjunto sea todo R. Vamos $L$ Ser ${textstyle {frac {d}{dx}}}$ . Entonces, la función paso Heaviside $H () x - x 0)$ es una función de Green $L$ a $x 0$ .
Vamos $n = 2$ y dejar que el subconjunto sea el plan trimestral $[x, Sí.) x, Sí. \geq 0}$ y $L$ Sé el Laplacian. Además, asuma una condición de límites Dirichlet se impone a $x = 0$ y una condición de límite de Neumann se impone $Sí. = 0$ . Entonces la función de X10Y20 Green es ${displaystyle {begin{aligned}G(x,y,x_{0},y_{0})={dfrac {1}{2pi }}&left[ln {sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-ln {sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}right.\[5pt]&left.{}+ln {sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}-ln {sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}},right].end{aligned}}}$
Vamos $<math alttext="{displaystyle a<x a.x.b{displaystyle a seccionóx <img alt="{displaystyle a<x$ , y los tres son elementos de los números reales. Entonces, para cualquier función ${displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {R} }$ con una $n$ - el derivado que es integrado sobre el intervalo $[a,b]$ : ${displaystyle {begin{aligned}f(x)&=sum _{m=0}^{n-1}{frac {(x-a)^{m}}{m!}}left[{frac {d^{m}f}{dx^{m}}}right]_{x=a}+int _{a}^{b}left[{frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}Theta (x-s)right]left[{frac {d^{n}f}{dx^{n}}}right]_{x=s}dsend{aligned}}~.}$ La función de Green en la ecuación anterior, ${displaystyle G(x,s)={frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}Theta (x-s)}$ , no es único. ¿Cómo se modifica la ecuación si ${displaystyle g(x-s)}$ se añade a $G(x,s)$ , donde $g(x)$ satisfizo ${textstyle {frac {d^{n}g}{dx^{n}}}=0}$ para todos ${displaystyle xin [a,b]}$ (por ejemplo, ${displaystyle g(x)=-x/2}$ con $n=2$ )? Además, compare la ecuación anterior a la forma de una serie Taylor centrada en $x=a$ .

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