Función de utilidad indirecta

En economía, un consumidor función de utilidad indirecta${\displaystyle v(p,w)}$ da la máxima utilidad alcanzable del consumidor cuando se enfrenta a un vector ${\displaystyle p}$ de los precios de los bienes y una cantidad de ingresos ${\displaystyle w}$. Refleja tanto las preferencias del consumidor como las condiciones del mercado.

Esta función se llama indirecta porque los consumidores suelen pensar en sus preferencias en términos de lo que consumen en lugar de precios. Una utilidad indirecta del consumidor ${\displaystyle v(p,w)}$ puede ser calculado de su función de utilidad ${\displaystyle u(x),}$ definidos sobre vectores ${\displaystyle x}$ de las cantidades de bienes fungibles, por primera vez calculando el paquete asequible más preferido, representado por el vector ${\displaystyle x(p,w)}$ resolver el problema de maximización de la utilidad, y segundo, computar la utilidad ${\displaystyle u(x(p,w)}$ el consumidor deriva de ese paquete. La función de utilidad indirecta resultante es

${\displaystyle v(p,w)=u(x(p,w)). }$

La función de utilidad indirecta es:

• Continuando Rⁿ₊ × R₊ Donde n es el número de bienes;
• Disminución de los precios;
• Aumento estricto de los ingresos;
• Homogenous con grado cero en precios e ingresos; si los precios y los ingresos se multiplican por una determinada constante el mismo paquete de consumo representa un máximo, por lo que la utilidad óptima no cambia;
• quasi-convex enp,w).

Además, la identidad de Roy dice que si v()p,w) es diferente en ${\displaystyle (p^{0},w^{0})}$ y ${\displaystyle {\frac {\partial v(p,w)}{\partial w}\neq 0}$Entonces

${\displaystyle -{\frac {\partial v(p^{0},w^{0}/(\partial p_{i})}{\partial v(p^{0},w^{0})/\partial w}=x_{i}(p^{0}),\quad i=1,\dotsn}$

Utilidad y gasto indirecto

La función de utilidad indirecta es la inversa de la función de gasto cuando los precios se mantienen constantes. I.e, por cada precio vector ${\displaystyle p}$ y nivel de utilidad ${\displaystyle u}$:

${\displaystyle v(p,e(p,u)\equiv u}$

Ejemplo

Digamos que la función de utilidad es la función Cobb-Douglas ${\displaystyle u(x_{1},x_{2}=x_{1}{0.6}x_{2}{0.4}$ que tiene las funciones de demanda Marshall

${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2}={\frac {0.6w}{1}\;\;\;\;\;{\rm} {y}\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{2}={\frac} {0.4w}{p_{2}}}}}$

Donde ${\displaystyle w}$ es el ingreso del consumidor. Función de utilidad indirecta ${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)}$ se encuentra reemplazando las cantidades en la función de utilidad con las funciones de demanda por lo tanto:

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fn]} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\c}} {\fnMicroc} {0}} {0}}} {\c}}} {\0}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\c} {\c}}}}} {\c}\c}}}}}}}}}}}\c}}}}}}}}}} {\c\c}}}}}}}}}\c}}}}}}}}}\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c}\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c}}}}}}}} {0.4w}{2}}}\derecha)}{0.4}=(0.6^{0.6}*.4^{.4})w^{0.6+0.4}p_{1}{-0.6}p_{2}=0.4}=Kp_{1}{0.6}p_{2}{0.4}w,}{0.4}w} {0}{0}{0}{0}w}{0}{0}{0}{0}{0}{0}w}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}w}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}w}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}w}{0}{0}{0}{0}{0}{0}w}{0}w}{0$

Donde ${\displaystyle K=(0.6^{0.6}*0.4^{0.4}). }$ Tenga en cuenta que la función de utilidad muestra la utilidad para cualquier cantidad que sus argumentos sostienen, incluso si no son óptimos para el consumidor y no resuelven su problema de maximización de utilidad. La función indirecta de utilidad, en cambio, supone que el consumidor ha derivado sus funciones de demanda óptimamente para los precios e ingresos dados.