Función de una variable real

En el análisis matemático, y aplicaciones en geometría, matemáticas aplicadas, ingeniería y ciencias naturales, a función de una variable real es una función cuyo dominio es el número real ${\displaystyle \mathbb {R}$, o un subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {R}$ que contiene un intervalo de longitud positiva. La mayoría de las funciones reales que se consideran y estudian son diferentes en algún intervalo. Las funciones más consideradas son las funciones reales, que son las funciones de valor real de una variable real, es decir, las funciones de una variable real cuyo codomain es el conjunto de números reales.

Sin embargo, el codominio de una función de una variable real puede ser cualquier conjunto. Sin embargo, a menudo se supone que tiene una estructura ${\displaystyle \mathbb {R}$-Espacio del vencedor sobre los reales. Es decir, el codominio puede ser un espacio euclidiano, un vector de coordenadas, el conjunto de matrices de números reales de un tamaño determinado, o un ${\displaystyle \mathbb {R}$- álgebra, como los números complejos o las quaterniones. La estructura ${\displaystyle \mathbb {R}$- el espacio del codomain induce una estructura ${\displaystyle \mathbb {R}$- el espacio del actor en las funciones. Si el codominio tiene una estructura ${\displaystyle \mathbb {R}$- álgebra, lo mismo es cierto para las funciones.

La imagen de una función de una variable real es una curva en el codominio. En este contexto, una función que define la curva se llama ecuación paramétrica de la curva.

Cuando el codominio de una función de una variable real es un espacio vectorial de dimensión finita, la función puede verse como una secuencia de funciones reales. Esto se usa a menudo en aplicaciones.

Función real

Una función real es una función de un subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {R}$ a ${\displaystyle \mathbb}$ Donde ${\displaystyle \mathbb {R}$ denota como siempre el conjunto de números reales. Es decir, el dominio de una función real es un subconjunto ${\displaystyle \mathbb {R}$, y su codominio es ${\displaystyle \mathbb {R}$ Se supone generalmente que el dominio contiene un intervalo de longitud positiva.

Ejemplos básicos

Para muchas funciones reales de uso común, el dominio es el conjunto completo de números reales y la función es continua y diferenciable en cada punto del dominio. Se dice que estas funciones son definidas, continuas y diferenciables en todas partes. Este es el caso de:

• Todas las funciones polinómicas, incluyendo funciones constantes y funciones lineales
• Funciones sine y cosine
• Función exponencial

Algunas funciones están definidas en todas partes, pero no son continuas en algunos puntos. Por ejemplo

• La función paso Heaviside se define en todas partes, pero no continua a cero.

Algunas funciones están definidas y son continuas en todas partes, pero no son diferenciables en todas partes. Por ejemplo

• El valor absoluto es definido y continuo en todas partes, y es diferente en todas partes, excepto en cero.
• La raíz cúbica está definida y continua en todas partes, y es diferente en todas partes, excepto por cero.

Muchas funciones comunes no se definen en todas partes, pero son continuas y diferenciables en todas partes donde se definen. Por ejemplo:

• Una función racional es un cociente de dos funciones polinómicas, y no se define en los ceros del denominador.
• La función tangente no se define para ${\displaystyle {\frac {\fn\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\fn\\\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMin } {2}+k\pi}$ Donde k es cualquier entero.
• La función de logaritmo se define sólo para valores positivos de la variable.

Algunas funciones son continuas en todo su dominio, y no diferenciables en algunos puntos. Este es el caso de:

• La raíz cuadrada se define sólo para valores no negativos de la variable, y no diferenciable en 0 (es diferente para todos los valores positivos de la variable).

Definición general

Una función de valor real de una variable real es una función que toma como entrada un número real, comúnmente representado por la variable x, para producir otro número real, el valor de la función, comúnmente denominado f(x). Para simplificar, en este artículo una función con valor real de una variable real se llamará simplemente función. Para evitar cualquier ambigüedad, se especificarán explícitamente el otro tipo de funciones que puedan ocurrir.

Algunas funciones se definen para todos los valores reales de las variables (uno dice que están en todas partes definidas), pero algunas otras funciones se definen sólo si el valor de la variable se toma en un subconjunto X de R, el dominio de la función, que se supone que siempre contiene un intervalo de longitud positiva. En otras palabras, una función de valor real de una variable real es una función

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R}$

tal que su dominio X es un subconjunto de ℝ que contiene un intervalo de longitud positiva.

Un ejemplo simple de una función en una variable podría ser:

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R}$

${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {R} \:\,x\geq #$

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}$

que es la raíz cuadrada x.

Imagen

La imagen de una función ${\displaystyle f(x)}$ es el conjunto de todos los valores de f cuando la variable x se ejecuta en todo el dominio de f. Para una función continua (ver abajo para una definición) de valor real con un dominio conectado, la imagen es un intervalo o un valor único. En este último caso, la función es una función constante.

La preimagen de un número real dado y es el conjunto de las soluciones de la ecuación y = f(x).

Dominio

El dominio de una función de varias variables reales es un subconjunto de ℝ que a veces se define explícitamente. De hecho, si uno restringe el dominio X de una función f a un subconjunto Y ⊂ X, se obtiene formalmente una función diferente, la restricción de f a Y, que se denota f_|Y. En la práctica, a menudo no es perjudicial identificar f y f_|Y y omitir el subíndice <. sub>|Y.

Por el contrario, a veces es posible ampliar naturalmente el dominio de una función dada, por ejemplo mediante continuidad o continuación analítica. Esto significa que no vale la pena definir explícitamente el dominio de una función de una variable real.

Estructura algebraica

Las operaciones aritméticas se pueden aplicar a las funciones de la siguiente manera:

• Por cada número real r, la función constante ${\displaystyle (x)\mapsto r}$, está definido en todas partes.
• Por cada número real r y cada función f, la función ${\displaystyle rf:(x)\mapsto rf(x)}$ tiene el mismo dominio que f (o se define en todas partes si r = 0).
• Si f y g son dos funciones de dominios respectivos X y Y tales que X∩Y contiene un subconjunto abierto de R, entonces ${\displaystyle f+g:(x)\mapsto f(x)+g(x)}$ y ${\displaystyle f\,g:(x)\mapsto f(x)\,g(x)}$ son funciones que tienen un dominio que contiene X∩Y.

De ello se desprende que las funciones de n variables que se definen en todas partes y las funciones de n variables que se definen en algún barrio de un punto dado ambos forman álgebras conmutativas sobre los reales (R-álgebras).

Uno puede definir de forma similar ${\displaystyle 1/f:(x)\mapsto 1/f(x),}$ que es una función sólo si el conjunto de los puntos ()x) en el dominio de f tales que f()x) contiene un subconjunto abierto de R. Esta limitación implica que los dos álgebras anteriores no son campos.

Continuidad y límite

Hasta la segunda parte del siglo XIX, sólo las funciones continuas fueron consideradas por los matemáticos. En ese momento, se elaboró la noción de continuidad para las funciones de una o varias variables reales un tiempo bastante largo antes de la definición formal de un espacio topológico y un mapa continuo entre los espacios topológicos. Como funciones continuas de una variable real son omnipresentes en matemáticas, vale la pena definir esta noción sin referencia a la noción general de mapas continuos entre el espacio topológico.

Para definir la continuidad, es útil considerar la función de distancia de R, que es una función definida en todas partes de 2 variables reales: ${\displaystyle d(x,y)=Princex-y sobrevivir$

Una función f es continuo en un momento ${\displaystyle a}$ que es interior a su dominio, si, por cada número real positivo ε, hay un número real positivo φ tales que ${\displaystyle tenciónf(x)-f(a) intimidad$ para todos ${\displaystyle x}$ tales que ${\displaystyle d(x,a)cantado\varphi.}$ En otras palabras, φ puede ser elegido lo suficientemente pequeño para tener la imagen f del intervalo de radio φ centrado en ${\displaystyle a}$ contenido en el intervalo de longitud 2ε centrado en ${\displaystyle f(a).}$ Una función es continua si es continua en cada punto de su dominio.

El límite de una función con valor real de una variable real es el siguiente. Sea a un punto en el cierre topológico del dominio X de la función f. La función f tiene un límite L cuando x tiende hacia a, denotado

${\displaystyle L=\lim _{x\to a}f(x),}$

si se cumple la siguiente condición: Por cada número real positivo ε > 0, hay un número real positivo δ > 0 tal que

${\displaystyle Silenciof(x)-L invisible\varepsilon }$

para todos los x en el dominio de modo que

${\displaystyle d(x,a) interpretado\delta.}$

Si el límite existe, es único. Si a está en el interior del dominio, el límite existe si y sólo si la función es continua en a. En este caso, tenemos

${\displaystyle f(a)=\lim _{x\to a}f(x).}$

Cuando a está en el límite del dominio de f, y si f tiene un límite en a >, esta última fórmula permite "extender por continuidad" el dominio de f a a.

Cálculo

Se pueden recopilar varias funciones, cada una de ellas de una variable real, digamos

${\displaystyle Y...$

en un vector parametrizado por x:

${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\ldotsy_{n})=[f_{1}(x),f_{2}(x),\ldotsf_{n}(x)}}$

La derivada del vector y son las derivadas del vector de f_i(x) para yo = 1, 2,..., n:

${\displaystyle {\frac {\fnMithbf} {\f}=\left({\frac} {\fnMitbf} {\fn}}} {\fnK}}=\fnK}=\fnK} {\fnK} {\fnMicroc} {y_{2} {dx}}\ldots{\frac {\fn} {\fn}}\derecho)}$

También se pueden realizar integrales de línea a lo largo de una curva espacial parametrizada por x, con el vector de posición r = r(x), integrando respecto de la variable x:

${\displaystyle \int _{a}\b}\mathbf {y} (x)\cdot d\mathbf {r} =\int _{b}\mathbf {y} (x)\cdot {\frac {d\mathbf {r} (x)}{dx}dx} {}dx}$

donde · es el producto escalar, y x = a y x = b son el inicio y puntos finales de la curva.

Teoremas

Con las definiciones de integración y derivadas, se pueden formular teoremas clave, incluido el teorema fundamental del cálculo, la integración por partes y el teorema de Taylor. La evaluación de una mezcla de integrales y derivadas se puede realizar utilizando la diferenciación de teoremas bajo el signo integral.

Funciones implícitas

Una función implícita de valor real de una variable real no está escrita en la forma "y = f(x)". En cambio, el mapeo es desde el espacio ℝ² al elemento cero en ℝ (solo el cero ordinario 0):

${\displaystyle \phi:\mathbb {R} ^{2}\to {0}$

y

${\displaystyle \phi (x,y)=0}$

es una ecuación en las variables. Las funciones implícitas son una forma más general de representar funciones, ya que si:

${\displaystyle y=f(x)}$

entonces siempre podemos definir:

${\displaystyle \phi (x,y)=y-f(x)=0}$

pero el contrario no siempre es posible, es decir, no todas las funciones implícitas tienen la forma de esta ecuación.

Curvas espaciales unidimensionales en ℝn

Formulación

Dadas las funciones r₁ = r₁(t), r₂ = r_{2< /sub>(t)},..., r_{n< /sub> = rn(t)} todo de una variable común t , de modo que:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}\quad r_{2}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} > 'cdots > } {R} \rightarrow \mathbb {R}\r_{1}=r_{1}(t) limitada\quad r_{2}=r_{2}(t) limitada\cdots > ¿Qué?$

o juntos:

${\displaystyle \mathbf {r}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} {n}\,\quad \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$

luego la tupla n parametrizada,

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=[r_{1}(t),r_{2}(t),\ldotsr_{n}(t)}}$

describe una curva espacial unidimensional.

Línea tangente a la curva

En un punto r(t = c) = a = (a₁, a₂,..., a_n) para alguna constante t = c, las ecuaciones de la recta tangente unidimensional a la curva en ese punto están dadas en términos de las derivadas ordinarias de r₁(t), r₂(t),..., r_n(t), y r con respecto a t:

${\displaystyle {\frac {}(t)-a_{1}{1}{1}(t)/dt}={\frac {r_{2}(t)-a_{2}{2}{dr_{2}(t)/dt}=\cdots}=\cdots {\fn} {\fn}$

Plano normal a curva

La ecuación del hiperplano n-dimensional normal a la recta tangente en r = a es:

${\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fnh}}}+(p_{2}-a_{2}){\n} {\fn} {\fn} {\fn}} {\cdot}+\cdots +(p_{n}-a_{n} {} {\f} {} {} {}}} {}}}}}}}} {}} {}}}}}}}} {} {} {}} {}}}}} {}}}}}}} {} {}}}}}} {}}}} {}}}}}} {} {}}}}}} {} {} {}}} {} {}}}}} {} {}}}}} {} {}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}} {} {}}}}}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}$

o en términos del producto escalar:

${\displaystyle (\mathbf {p} -\mathbf {a})\cdot {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}=0}$

donde p = (p₁, p ₂,..., p_n) son puntos en el plano , no en la curva espacial.

Relación con la cinemática

La interpretación física y geométrica de dr(t)/dt es la " velocidad" de una partícula puntual que se mueve a lo largo de la trayectoria r(t), tratando r como las coordenadas del vector de posición espacial parametrizadas por el tiempo t, y es un vector tangente a la curva espacial para todo t en la dirección instantánea del movimiento. En t = c, la curva espacial tiene un vector tangente dr (t)/dt|_{t = c}, y el hiperplano normal a la curva espacial en t = c también es normal a la tangente en t = c. Cualquier vector en este plano (p − a) debe ser normal a dr(t)/dt|_{t = c} .

Del mismo modo, d²r(t)/dt² es la "aceleración" de la partícula, y es un vector normal a la curva dirigida a lo largo del radio de curvatura.

Funciones con valores matriciales

Una matriz también puede ser función de una sola variable. Por ejemplo, la matriz de rotación en 2d:

${\displaystyle R(\theta)={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta\\\\sin \theta > \theta\\end{bmatrix}}}}$

es una función valorada por matriz del ángulo de rotación alrededor del origen. De manera similar, en relatividad especial, la matriz de transformación de Lorentz para un impulso puro (sin rotaciones):

${\displaystyle \Lambda (\beta)={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {1-\beta }} {\beta}} {\beta} . {1-\beta ¿Qué? {2}}}} {\frac {1}{\sqrt {1-\beta - ¿Qué?$

es una función del parámetro de impulso β = v/c, en el que v es el valor relativo velocidad entre los marcos de referencia (una variable continua), y c es la velocidad de la luz, una constante.

Espacios de Banach y Hilbert y mecánica cuántica

Generalizando la sección anterior, la salida de una función de una variable real también puede estar en un espacio de Banach o en un espacio de Hilbert. En estos espacios, la división, la multiplicación y los límites están definidos, por lo que todavía se aplican nociones como derivada e integral. Esto ocurre especialmente a menudo en la mecánica cuántica, donde se toma la derivada de un ket o de un operador. Esto ocurre, por ejemplo, en la ecuación general de Schrödinger dependiente del tiempo:

${\displaystyle i\hbar {\fnMicroc} }{\partial . {H}\Psi}$

donde se toma la derivada de una función de onda, que puede ser un elemento de varios espacios de Hilbert diferentes.

Función de valor complejo de una variable real

Una función con valores complejos de una variable real puede definirse relajando, en la definición de funciones con valores reales, la restricción del codominio a los números reales y permitiendo valores complejos.

Si f(x) es una función con valores tan complejos, se puede descomponer como

f()x) = g()x) + i()x),

donde g y h son funciones de valor real . En otras palabras, el estudio de las funciones valoradas complejas se reduce fácilmente al estudio de los pares de funciones valoradas reales.

Cardenalidad de conjuntos de funciones de una variable real

La cardinalidad del conjunto de funciones de valor real de una variable real, ${\displaystyle \mathbb {R} # Mathbb # {R} \to \mathbb {R}}$, es ${\displaystyle \beth _{2}=2^{\mathfrak {c}}$, que es estrictamente más grande que la cardinalidad del continuum (es decir, conjunto de todos los números reales). Este hecho es fácilmente verificado por aritmética cardenal:

$${\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrok} {\c} {\fnMitfrak} {\0} {\f} {\f}\f}}\f}\f} {\f} {\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f} {\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f} {\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fnK\f}\f}\f}\f}\f}\ {c}=2^{\aleph ¿Qué? {c}}$$

Además, si ${\displaystyle X}$ es un conjunto tal que ${\displaystyle 2\leq \mathrm {card} (X)\leq {\mathfrak {c}}$, entonces la cardinalidad del conjunto ${\displaystyle X^{\Mathbb # Mathbb # {R} \to X}$ también ${\displaystyle 2^{\Mathfrak {c}}$, desde

$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}=\mathrm {card} (2^{\mathbb {R})\leq \mathrm {card} (X^{\mathbb {R})\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} } } } {\mthbb {\mthbb {\mthbb})} [R]=2^{\mathfrak {c}}$$

Sin embargo, el conjunto de funciones continuas ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R})=\f:\Mathbb {R} \to \mathbb {R}:f\mathrm {continuous}}}$ tiene una cardenalidad estrictamente menor, la cardenalidad del continuum, ${\displaystyle {\Mathfrak}}$. Esto se debe al hecho de que una función continua está completamente determinada por su valor en un subconjunto denso de su dominio. Así, la cardinalidad del conjunto de funciones continuas de valor real en los reales no es mayor que la cardinalidad del conjunto de funciones de valor real de una variable racional. Por aritmética cardenal:

$${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R})\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {Q})=(2^{\aleph _{0}})^{\aleph}) ¿Por qué? ¿Qué? ¿Qué? {c}}$$

Por otro lado, ya que hay una clara bijección entre ${\displaystyle \mathbb {R}$ y el conjunto de funciones constantes ${\displaystyle \{f:\Mathbb {R} \to \mathbb {R}:f(x)\equiv #$, que forma un subconjunto de ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R})}$, ${\displaystyle \mathrm {card}(\mathbb {R})\geq {\mathfrak {c}}$ También debe esperar. Por lo tanto, ${\displaystyle \mathrm {card}(\mathbb {R})={\mathfrak {c}}}$.