Función de transferencia

En ingeniería, una función de transferencia (también conocida como función de sistema o función de red) de un sistema, subsistema o componente es una función matemática que modela teóricamente la salida del sistema para cada entrada posible. Son ampliamente utilizados en electrónica y sistemas de control. En algunos casos simples, esta función es un gráfico bidimensional de una entrada escalar independiente frente a la salida escalar dependiente, llamada curva de transferencia o curva característica. Las funciones de transferencia para componentes se utilizan para diseñar y analizar sistemas ensamblados a partir de componentes, particularmente utilizando la técnica de diagrama de bloques, en electrónica y teoría de control.

Las dimensiones y unidades de la función de transferencia modelan la respuesta de salida del dispositivo para un rango de entradas posibles. Por ejemplo, la función de transferencia de un circuito electrónico de dos puertos como un amplificador podría ser un gráfico bidimensional del voltaje escalar en la salida como función del voltaje escalar aplicado a la entrada; la función de transferencia de un actuador electromecánico podría ser el desplazamiento mecánico del brazo móvil en función de la corriente eléctrica aplicada al dispositivo; la función de transferencia de un fotodetector podría ser el voltaje de salida en función de la intensidad luminosa de la luz incidente de una determinada longitud de onda.

El término "función de transferencia" también se utiliza en el análisis del dominio de la frecuencia de sistemas que utilizan métodos de transformada como la transformada de Laplace; aquí significa la amplitud de la salida en función de la frecuencia de la señal de entrada. Por ejemplo, la función de transferencia de un filtro electrónico es la amplitud del voltaje en la salida en función de la frecuencia de una onda sinusoidal de amplitud constante aplicada a la entrada. Para los dispositivos de imágenes ópticas, la función de transferencia óptica es la transformada de Fourier de la función de dispersión de puntos (por lo tanto, una función de frecuencia espacial).

Sistemas lineales invariantes en el tiempo

Las funciones de transferencia se usan comúnmente en el análisis de sistemas como filtros de una sola entrada y una sola salida en los campos del procesamiento de señales, la teoría de la comunicación y la teoría del control. El término a menudo se usa exclusivamente para referirse a sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). La mayoría de los sistemas reales tienen características de entrada/salida no lineales, pero muchos sistemas, cuando se operan dentro de parámetros nominales (no 'sobreexcitados') tienen un comportamiento lo suficientemente cercano a la linealidad que la teoría del sistema LTI es una representación aceptable de la comportamiento de entrada/salida.

Las descripciones a continuación se dan en términos de una variable compleja, s=σ σ +j⋅ ⋅ ⋅ ⋅ {displaystyle s=sigma +jcdot omega }, que lleva una breve explicación. En muchas aplicaciones, es suficiente definir σ σ =0{displaystyle sigma =0} (thus s=j⋅ ⋅ ⋅ ⋅ {displaystyle s=jcdot omega }), que reduce el Laplace transforma con argumentos complejos a Fourier transforma con el argumento real ω. Las aplicaciones en las que esto es común son aquellas en las que sólo hay interés en la respuesta de estado estable de un sistema LTI, no en los comportamientos fugaces y desvío o problemas de estabilidad. Ese es generalmente el caso para el procesamiento de señales y la teoría de la comunicación.

Así, para señal de entrada continua x()t){displaystyle x(t)} y producción Sí.()t){displaystyle y(t)}, la función de transferencia H()s){displaystyle H(s)} es la cartografía lineal de la transformación de Laplace de la entrada, X()s)=L{}x()t)}{displaystyle X(s)={mathcal {L}left{x(t)right}, a la transformación de Laplace de la salida Y()s)=L{}Sí.()t)}{displaystyle Y(s)={mthcal {L}left{y(t)right}:

Y()s)=H()s)X()s){displaystyle Y(s)=H(s);X(s)}

o

H()s)=Y()s)X()s)=L{}Sí.()t)}L{}x()t)}.{displaystyle H(s)={frac {Y(s)}={frac {mthcal {}left{y(t)right}{mthcal {}left{x(t)right}}}}}}} {m}} {m}}}}}}} {m}}} {m}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}mmmm}}} {m}} {m}}} {m}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

En sistemas discretos, la relación entre una señal de entrada x()t){displaystyle x(t)} y producción Sí.()t){displaystyle y(t)} se trata con el uso de la z-transform, y luego la función de transferencia está similarmente escrito como H()z)=Y()z)X()z){displaystyle H(z)={frac {Y(z)}{X(z)}} y esto se conoce a menudo como la función de transmisión de pulso.

Derivación directa de ecuaciones diferenciales

Considere una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes

L[u]=dnudtn+a1dn− − 1udtn− − 1+⋯ ⋯ +an− − 1dudt+anu=r()t){displaystyle ¿Qué? {d^{n-1}u} {dt}{n-1}}+dotsb ¿Qué?

Donde u y r son funciones cómodas t, y L es el operador definido en el espacio de función pertinente, que se transforma u en r. Ese tipo de ecuación se puede utilizar para limitar la función de salida u en términos de la forcing función r. La función de transferencia se puede utilizar para definir un operador F[r]=u{displaystyle F[r]=u} que sirve como un derecho inverso de L, significa que L[F[r]]=r{displaystyle L[F[r]=r}.

Soluciones de las homogénea, ecuación diferencial de coeficiente constante L[u]=0{displaystyle L[u]=0} puede ser encontrado por u=eλ λ t{displaystyle u=e^{lambda t}. Esa sustitución produce el polinomio característico

pL()λ λ )=λ λ n+a1λ λ n− − 1+⋯ ⋯ +an− − 1λ λ +an{displaystyle p_{L}(lambda)=lambda ^{n}+a_{1}lambda ^{n-1}+dotsb +a_{n-1}lambda #

El caso inhomogeneous se puede resolver fácilmente si la función de entrada r es también de la forma r()t)=est{displaystyle r(t)=e^{st}. En ese caso, sustituyendo u=H()s)est{displaystyle u=H(s)e^{st} uno encuentra que L[H()s)est]=est{displaystyle L[H(s)e^{st}=e^{st} si definimos

H()s)=1pL()s)donde seapL()s)ل ل 0.{displaystyle H(s)={frac {1}{p_{L}qquad {text{where }quad p_{L}(s)neq 0.}

Tomando esto como definición de la función de transferencia requiere una cuidadosa desambiguación entre los valores complejos vs. reales, que está tradicionalmente influenciada por la interpretación de abs(H()s) como la ganancia y −atan(H()s)) como el lag de fase. Se utilizan otras definiciones de la función de transferencia: por ejemplo 1/pL()ik).{displaystyle 1/p_{L}(ik).}

Ganancia, comportamiento transitorio y estabilidad

Una entrada sinusoidal general a un sistema de frecuencia ⋅ ⋅ 0/()2π π ){displaystyle omega _{0}/(2pi)} puede ser escrito exp⁡ ⁡ ()j⋅ ⋅ 0t){displaystyle exp(jomega _{0}t)}. La respuesta de un sistema a una entrada sinusoidal que comienza a la vez t=0{displaystyle t=0} consistirá en la suma de la respuesta del estado estable y una respuesta transitoria. La respuesta del estado estable es la salida del sistema en el límite de tiempo infinito, y la respuesta transitoria es la diferencia entre la respuesta y la respuesta constante del estado (se corresponde a la solución homogénea de la ecuación diferencial anterior). La función de transferencia para un sistema LTI puede ser escrita como el producto:

H()s)=∏ ∏ i=1N1s− − sPi{displaystyle H(s)=prod ¿Por qué? {1} {fn}} {fn}} {fn}}}} {fn}}}} {cH}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {cH}}} {cH}}} {}}}}}}}}}} {cH}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Donde s_Pi son N raíces del polinomio característico y por lo tanto serán los polos de la función de transferencia. Considere el caso de una función de transferencia con un solo polo H()s)=1s− − sP{displaystyle H(s)={frac {1}{s-s_{P}} Donde sP=σ σ P+j⋅ ⋅ P{displaystyle S_{P}=sigma _{P}+jomega ¿Qué?. La transformación de Laplace de un sinusoide general de amplitud de unidad será 1s− − j⋅ ⋅ i{displaystyle {frac {1}{s-jomega - Sí.. La transformación de la salida será H()s)s− − j⋅ ⋅ 0{displaystyle {frac {H(s)}{s-jomega ♪♪ y la salida temporal será la transformación inversa de Laplace de esa función:

g()t)=ej⋅ ⋅ 0t− − e()σ σ P+j⋅ ⋅ P)t− − σ σ P+j()⋅ ⋅ 0− − ⋅ ⋅ P){displaystyle g(t)={frac {e^{j,omega _{0},t}-e^{(sigma ¿Por qué? _{P}+j(omega) ¿Por qué?

El segundo término en el numerador es la respuesta transitoria, y en el límite del tiempo infinito divergerá al infinito si σ_P es positivo. Para que un sistema sea estable, su función de transferencia no debe tener polos cuyas partes reales sean positivas. Si la función de transferencia es estrictamente estable, las partes reales de todos los polos serán negativas y el comportamiento transitorio tenderá a cero en el límite del tiempo infinito. La salida de estado estacionario será:

g()JUEGO JUEGO )=ej⋅ ⋅ 0t− − σ σ P+j()⋅ ⋅ 0− − ⋅ ⋅ P){displaystyle g(infty)={frac {e^{j,fnMiega ¿Qué? _{P}+j(omega) ¿Por qué?

La respuesta de frecuencia (o "ganancia") G del sistema se define como el valor absoluto de la relación entre la amplitud de salida y la amplitud de entrada de estado estable:

G()⋅ ⋅ i)=Silencio1− − σ σ P+j()⋅ ⋅ 0− − ⋅ ⋅ P)Silencio=1σ σ P2+()⋅ ⋅ P− − ⋅ ⋅ 0)2,{displaystyle G(omega ¿Por qué? {1}{-sigma _{P}+j(omega) ¿Qué? Está bien. {1}{sqrt {sigma} ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?

que es sólo el valor absoluto de la función de transferencia H()s){displaystyle H(s)} evaluados j⋅ ⋅ i{displaystyle jomega _{i}. Este resultado se puede demostrar que es válido para cualquier número de polos de función de transferencia.

Procesamiento de señales

Vamos x()t){displaystyle x(t)} ser la entrada a un sistema lineal de tiempo invariante general, y Sí.()t){displaystyle y(t)} ser el producto, y la transformación bilateral de Laplace x()t){displaystyle x(t)} y Sí.()t){displaystyle y(t)} Ser

X()s)=L{}x()t)}=def∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO x()t)e− − stdt,Y()s)=L{}Sí.()t)}=def∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO Sí.()t)e− − stdt.{displaystyle {begin{aligned}X(s) ventaja={mathcal {L}left{x(t)right} {fnK} {fnK}}} int _{-infty }{infty }x(t)e^{-st},dt,\Y(s) limit={mathcal {L}left{y(t)right} {fnK} {fnK}}} ¿Qué?

Luego la salida está relacionada con la entrada por la función de transferencia H()s){displaystyle H(s)} como

Y()s)=H()s)X()s){displaystyle Y(s)=H(s)X(s)}

y la función de transferencia en sí es por lo tanto

H()s)=Y()s)X()s).{displaystyle H(s)={frac {Y(s)} {X(s)}}

En particular, si una señal armónica compleja con un componente sinusoidal con amplitud SilencioXSilencio{displaystyle Silencioso, frecuencia angular ⋅ ⋅ {displaystyle omega } y fase arg⁡ ⁡ ()X){displaystyle arg(X)}, donde arg es el argumento

x()t)=Xej⋅ ⋅ t=SilencioXSilencioej()⋅ ⋅ t+arg⁡ ⁡ ()X)){displaystyle x(t)=Xe^{jomega t}= ToddX Presse^{j(omega t+arg(X)}}

Donde X=SilencioXSilencioejarg⁡ ⁡ ()X){displaystyle X= foreverX habite^{jarg(X)}

es la entrada de un sistema lineal invariante en el tiempo, entonces el componente correspondiente en la salida es:

Sí.()t)=Yej⋅ ⋅ t=SilencioYSilencioej()⋅ ⋅ t+arg⁡ ⁡ ()Y)),Y=SilencioYSilencioejarg⁡ ⁡ ()Y).{displaystyle {begin{aligned}y(t) t}= sobrevivir Y sobrevivire^{j(omega t+arg(Y)},\Y también= sobrevivir Y sobrevivire^{jarg(Y)}.end{aligned}}

Tenga en cuenta que, en un sistema lineal de tiempo invariante, la frecuencia de entrada ⋅ ⋅ {displaystyle omega } no ha cambiado, sólo la amplitud y el ángulo de fase del sinusoide ha sido cambiado por el sistema. La respuesta de frecuencia H()j⋅ ⋅ ){displaystyle H(jomega)} describe este cambio para cada frecuencia ⋅ ⋅ {displaystyle omega } en términos de Ganancia:

G()⋅ ⋅ )=SilencioYSilencioSilencioXSilencio=SilencioH()j⋅ ⋅ )Silencio{displaystyle G(omega)={frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

y cambio de fase:

φ φ ()⋅ ⋅ )=arg⁡ ⁡ ()Y)− − arg⁡ ⁡ ()X)=arg⁡ ⁡ ()H()j⋅ ⋅ )).{displaystyle phi (omega)=arg(Y)-arg(X)=arg(H(jomega)). }

El retraso de fase (es decir, la cantidad de retraso dependiente de la frecuencia introducida en la sinusoide por la función de transferencia) es:

τ τ φ φ ()⋅ ⋅ )=− − φ φ ()⋅ ⋅ )⋅ ⋅ .{displaystyle tau _{phi }(omega)=-{frac {phi (omega)}{omega }}

El retraso del grupo (es decir, la cantidad de retraso dependiente de la frecuencia introducida al sobre del sinusoide por la función de transferencia) se encuentra computando el derivado del cambio de fase con respecto a la frecuencia angular ⋅ ⋅ {displaystyle omega },

τ τ g()⋅ ⋅ )=− − dφ φ ()⋅ ⋅ )d⋅ ⋅ .{displaystyle tau _{g}(omega)=-{frac {dphi (omega)}{domega }}

La función de transferencia también se puede mostrar utilizando la transformación Fourier que es sólo un caso especial de la transformación bilateral de Laplace para el caso en que s=j⋅ ⋅ {displaystyle s=jomega }.

Familias comunes de funciones de transferencia

Si bien cualquier sistema LTI puede describirse mediante una u otra función de transferencia, hay ciertas "familias" de funciones de transferencia especiales que se utilizan comúnmente.

Algunas familias de funciones de transferencia comunes y sus características particulares son:

• Filtro Butterworth – maximalmente plano en banda de paso y banda de parada para el pedido dado
• Filtro Chebyshev (Tipo I) – maximalmente plano en banda de parada, corte más afilado que un filtro Butterworth del mismo orden
• Filtro Chebyshev (Tipo II) – maximalmente plano en banda, corte más afilado que un filtro Butterworth del mismo orden
• Filtro Bessel – mejor respuesta de pulso para un pedido dado porque no tiene retraso de grupo
• Filtro Elíptico – corte más agudo (transición más estrecha entre banda de paso y banda de parada) para el orden dado
• Filtro Optimum "L"
• Filtro Gaussiano – retraso mínimo del grupo; no da solución a una función de paso
• Filtro de reloj de arena
• Filtro de bizcocho

Ingeniería de control

En ingeniería de control y teoría de control, la función de transferencia se obtiene mediante la transformada de Laplace.

La función de transferencia fue la principal herramienta utilizada en la ingeniería de control clásica. Sin embargo, ha demostrado ser difícil de manejar para el análisis de sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO), y ha sido reemplazado en gran medida por representaciones de espacio de estado para tales sistemas. A pesar de esto, siempre se puede obtener una matriz de transferencia para cualquier sistema lineal, con el fin de analizar su dinámica y otras propiedades: cada elemento de una matriz de transferencia es una función de transferencia que relaciona una determinada variable de entrada con una variable de salida.

Howard H. Rosenbrock propuso una representación útil que une los métodos del espacio de estado y la función de transferencia y se denomina matriz del sistema de Rosenbrock.

Óptica

En óptica, la función de transferencia de modulación indica la capacidad de transmisión de contraste óptico.

Por ejemplo, al observar una serie de franjas de luz blanca y negra dibujadas con una frecuencia espacial específica, la calidad de la imagen puede decaer. Los flecos blancos se desvanecen mientras que los negros se vuelven más brillantes.

La función de transferencia de modulación en una frecuencia espacial específica se define mediante

MTF()f)=M()image)M()source),{displaystyle mathrm {MTF} (f)={frac {M(mathrm {image}}{M(mathrm {source}}}}}}

donde la modulación (M) se calcula a partir de la siguiente imagen o brillo de la luz:

M=Lmax− − LminLmax+Lmin.{displaystyle M={frac {L_{max }-L_{min }{L_{max - Sí.

Imágenes

En imágenes, las funciones de transferencia se utilizan para describir la relación entre la luz de la escena, la señal de la imagen y la luz mostrada.

Sistemas no lineales

Las funciones de transferencia no existen correctamente para muchos sistemas no lineales. Por ejemplo, no existen para osciladores de relajación; sin embargo, la descripción de funciones a veces se puede usar para aproximar tales sistemas no lineales invariantes en el tiempo.