Función de soporte

En matemáticas, la función de apoyo h_A de un conjunto convexo cerrado no vacío A dentro ${\displaystyle \mathbb {R} {} {}} {\fn}}$describe las distancias (firmadas) de apoyo a los hiperplanos de A del origen. La función de soporte es una función convexa ${\displaystyle \mathbb {R} {} {}} {\fn}}$. Cualquier conjunto convexo cerrado no vacío A está determinado por h_A. Además, la función de soporte, como función del conjunto A, es compatible con muchas operaciones geométricas naturales, como escalado, traducción, rotación y adición de Minkowski. Debido a estas propiedades, la función de soporte es uno de los conceptos básicos más centrales en la geometría convexa.

La función de apoyo ${\displaystyle h_{A}\colon \mathbb {R} {n}\to \mathbb {R}$ de un conjunto convexo cerrado no vacío A dentro ${\displaystyle \mathbb {R} {} {}} {\fn}}$ es dado por

${\displaystyle h_{A}(x)=\sup\{x\cdot a:a\in A\}$

${\displaystyle x\in \mathbb {R} {\fn}$; ver . Su interpretación es más intuitiva cuando x es un vector unitario: por definición, A está contenido en el espacio medio cerrado

${\displaystyle \{y\in\mathbb - Sí.$

y hay al menos un punto de A en el límite

${\displaystyle H(x)=\{y\in \mathbb - Sí.$

de este semiespacio. El hiperplano H(x) se denomina, por tanto, un hiperplano de apoyo con un vector unitario normal exterior (o externo) x. La palabra exterior es importante aquí, ya que la orientación de x juega un papel, el conjunto H(x) es en general diferente de H(−x). Ahora bien, h_A(x) es la distancia (con signo) de H(x) desde el origen.

La función de soporte de un singleton A =a} es ${\displaystyle h_{A}(x)=x\cdot a}$.

La función de soporte de la bola de unidad Euclidea ${\displaystyle B=\{y\in \mathbb {R} ^{n}\,\,\fnMicrosoft Sans Serif} #$ es ${\displaystyle h_{B}(x)=\Sobrevivir_{2}$ Donde ${\displaystyle {\cdot\cdot}$ es el 2-norm.

Si A es un segmento de línea a través del origen con puntos finales −a y aEntonces ${\displaystyle h_{A}(x)= Toddx\cdot aprehensión}$.

Función de apoyo de un compacto conjunto convexo no vacío es real valorado y continuo, pero si el set está cerrado y sin límites, su función de soporte se extiende valor real real ( toma el valor ${\displaystyle \infty }$). Como cualquier conjunto convexo cerrado no vacío es la intersección su apoyo medio espacios, la función h_A determinaciones A singularmente. Esto se puede utilizar para describir ciertas propiedades geométricas de conjuntos convexo analíticamente. Por ejemplo, un conjunto A es punto simétrico con respecto al origen si y sólo si h_Aes una función uniforme.

En general, la función de soporte no es diferenciable. Sin embargo, existen derivadas direccionales que dan lugar a funciones de soporte de conjuntos de soporte. Si A es compacta y convexa, y h_A'(u;x) denota la derivada direccional de h_A en u ≠ 0 en la dirección x, tenemos

${\displaystyle h_{A}'(u;x)=h_{A\cap H(u)}(x)\qquad x\in \mathbb {R} ^{n}$

Aquí, H(u) es el hiperplano de soporte de A con el vector normal exterior u, definido arriba. Si A ∩ H(u) es un singleton {y}, por ejemplo, se deduce que la función de soporte es diferenciable en u y su gradiente coincide con y. Por el contrario, si h_A es diferenciable en u, entonces A ∩ H(u) es un singleton. Por lo tanto, h_A es diferenciable en todos los puntos u ≠ 0 si y sólo si A es estrictamente convexa (el límite de A no contiene ningún segmento de línea).

Más generalmente, cuando ${\displaystyle A}$ es convex y cerrado entonces para cualquier ${\displaystyle u\in \mathbb {R} {n}\setminus {0}$,

${\displaystyle \partial h_{A}(u)=H(u)\cap A\,}$

Donde ${\displaystyle \partial h_{A}(u)}$ denota el conjunto de subgradientes de ${\displaystyle H_{A}$ a ${\displaystyle u}$.

De su definición se deduce directamente que la función de soporte es homogénea positiva:

${\displaystyle h_{A}(\alpha x)=\alpha h_{A}(x),\qquad \alpha \geq 0,x\in \mathbb {R} {n},}$

y subaditivo:

${\displaystyle h_{A}(x+y)\leq h_{A}(x)+h_{A}(y),\qquad x,y\in \mathbb {R} ^{n}$

De ello se desprende que h_A es una función convexa. Es crucial en la geometría convexa que estas propiedades caracterizan las funciones de soporte: Cualquier función positiva homogénea, convexa, real valorada en ${\displaystyle \mathbb {R} {} {}} {\fn}}$ es función de soporte de un conjunto de convex compacto no vacío. Se conocen varias pruebas, uno está utilizando el hecho de que la Legendre transforma de una función homogénea positiva, convexa, real valorada es la función indicadora (convex) de un conjunto convexo compacto.

Muchos autores restringen la función de soporte a la esfera de unidad Euclidea y considerarlo como una función en S^n-1. La propiedad de homogeneidad muestra que esta restricción determina la función de apoyo ${\displaystyle \mathbb {R} {} {}} {\fn}}$, como se define anteriormente.

Las funciones de soporte de un conjunto dilatado o trasladado están estrechamente relacionadas con el conjunto original A:

${\displaystyle h_{\alpha A}(x)=\alpha h_{A}(x),\qquad \alpha \geq 0,x\in \mathbb {R} {\fn}$

y

${\displaystyle h_{A+b}(x)=h_{A}(x)+x\cdot b,\qquad x,b\in \mathbb {R} ^{n}$

Esto último se generaliza a

${\displaystyle h_{A+B}(x)=h_{A}(x)+h_{B}(x),\qquad x\in \mathbb {R} {n},}$

donde A + B representa la suma de Minkowski:

${\displaystyle A+B:=\{\,a+b\in \mathbb {R}\mid a\in A,\b\in B\,\}$

La distancia de Hausdorff d_H(A, B) de dos conjuntos convexos compactos no vacíos A y B se puede expresar en términos de funciones de soporte,

${\displaystyle d_{\mathrm {H} [A,B]=\fnh_{A}-h_{B}\fn_{\infty }$

donde, en el lado derecho, se utiliza la norma uniforme sobre la esfera unitaria.

Las propiedades de la función de soporte como función del conjunto A a veces se resumen en decir que ${\displaystyle \tau }$:A ${\displaystyle \mapsto }$ h _A maps the family of non-empty compacto convex se fija en el cono de todas las funciones continuas de valor real en la esfera cuya positiva extensión homogénea es convex. Abusando ligeramente la terminología, ${\displaystyle \tau }$ a veces se llama lineal, como respeta la adición de Minkowski, aunque no definido en un espacio lineal, pero más bien en un cono convexo (abstract) de conjuntos convexos compactos no vacíos. La asignación ${\displaystyle \tau }$ es una isometría entre este cono, dotado con la métrica Hausdorff, y un subcono de la familia de funciones continuas en S^n-1 con la norma uniforme.

A diferencia de lo anterior, las funciones de soporte a veces se definen en el límite de A en lugar de en S^n-1, bajo el supuesto de que existe una única normal unitaria exterior en cada punto límite. La convexidad no es necesaria para la definición. Para una superficie regular orientada, M, con un vector normal unitario, N, definido en todas partes de su superficie, la función de soporte se define entonces por

${\displaystyle {x}\mapsto {x}\cdot N({x}}$.

En otras palabras, para cualquier ${\displaystyle {x}\in M}$, esta función de soporte da la distancia firmada del hiperplano único que toca M dentro x.

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