Función de rampa

La función rampa es una función real unaria, cuyo gráfico tiene forma de rampa. Puede expresarse mediante numerosas definiciones, por ejemplo, "0 para entradas negativas, la salida es igual a la entrada para entradas no negativas". El término "rampa" también puede utilizarse para otras funciones obtenidas por escalado y desplazamiento, y la función de este artículo es la función rampa unitaria (pendiente 1, comenzando en 0).

En matemáticas, la función rampa también se conoce como parte positiva.

En el aprendizaje automático, se lo conoce comúnmente como función de activación ReLU o rectificador, en analogía con la rectificación de media onda en ingeniería eléctrica. En estadística (cuando se lo utiliza como función de verosimilitud), se lo conoce como modelo Tobit.

Esta función tiene numerosas aplicaciones en matemáticas e ingeniería y recibe distintos nombres según el contexto. Existen variantes diferenciables de la función rampa.

La función rampa (R(x): R → R₀⁺) puede definirse analíticamente de varias maneras. Las posibles definiciones son:

• Una función en sentido parcial: $${\displaystyle R(x):={\begin{cases}x, implicax\geq 0;\0, Pulsando 0\end{cases}}$$
• Usando la notación entre corchetes Iverson: $${\displaystyle R(x):=x\cdot [x\geq 0]}$$ o $${\displaystyle R(x):=x\cdot [x]}$$
• La función max: $${\displaystyle R(x):=\max(x,0)}$$
• La media de una variable independiente y su valor absoluto (una línea recta con gradiente de unidad y su módulo): $${\displaystyle R(x):={\frac {x+Principi} {2}}}$$ esto puede derivarse notando la siguiente definición de max(a, b), $${\displaystyle \max(a,b)={\frac {a+b+Principalmente*} {2}$$ para la cual a = x y b = 0
• La función paso Heaviside multiplicada por una línea recta con gradiente de unidad: $${\displaystyle R\left(x\right):=xH(x)}$$
• La evolución de la función paso Heaviside con sí misma: $${\displaystyle R\left(x\right):=H(x)*H(x)}$$
• La parte integral de la función paso Heaviside: $${\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }H(\xi)\,d\xi }$$
• Soportes Macaulay: $${\displaystyle R(x):=\langle x\rangle }$$
• La parte positiva de la función de identidad: $${\displaystyle R:= 'operatorname {id} ^{+}$$
• Como función límite: $${\displaystyle R\left(x\right):=\lim _{a\to \infty }{\begin{cases}{\frac {1}{a}}\quad x=0\{\dfrac {x}{1-e^{-ax}}},\quad x\neq 0\end{cases}$$

Se puede aproximar tan cerca como se desee eligiendo un valor positivo creciente ${\displaystyle a confía0}$.

La función rampa tiene numerosas aplicaciones en ingeniería, como por ejemplo en la teoría del procesamiento de señales digitales.

En finanzas, el resultado de una opción de compra es una rampa (desplazada por el precio de ejercicio). Si se cambia la rampa horizontalmente se obtiene una opción de venta, mientras que si se cambia verticalmente (se obtiene el valor negativo), se obtiene una opción de venta o una posición "corta". En finanzas, la forma se denomina comúnmente "palo de hockey", debido a que su forma es similar a la de un palo de hockey sobre hielo.

En estadística, las funciones de bisagra de los splines de regresión adaptativa multivariante (MARS) son rampas y se utilizan para construir modelos de regresión.

En todo el dominio la función no es negativa, por lo que su valor absoluto es en sí mismo, es decir. $${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R}:R(x)\geq 0}$$y $${\displaystyle \left WordPressR(x)\right sobrevivir=R(x)}$$

Su derivado es la función paso Heaviside: $${\displaystyle R'(x)=H(x)\quad {\mbox{for }x\neq 0}$$

La función de rampa satisface la ecuación diferencial: $${\displaystyle {\frac {}{dx^{2}}R(x-x_{0}=\delta (x-x_{0}),}$$Donde δ()x) es el Dirac delta. Esto significa que R()x) es una función de Green para el segundo operador derivado. Así, cualquier función, f()x), con un segundo derivado integrador, f′′x), satisfará la ecuación: $${\displaystyle f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{b}R(x-s)f'(s)\,ds\quad {\mbox{for }a {\b}a seleccionóx.}$$

$${\fnMicrosoft Sans {\fnMicrosoft Sans Serif} {\big} {\big} {\f)=\int _{-\infty }{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}\,dx={\dx={\delta 'f)}{4\pi }-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}}}$$Donde δ()x) es el delta Dirac (en esta fórmula aparece su derivado).

La transformación de un solo lado de Laplace R()x) se da como sigue: $${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}(s)=\int ¿Por qué? {1}{2}}}}$$

Cada función iterada de la cartografía de la rampa es en sí misma, como $${\displaystyle R{\big (}R(x){\big)}=R(x).}$$

• Modelo Tobit
• Rectificador (redes neuronales)