Función de producción Cobb-Douglas

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Fórmula macroeconómica que describe la productividad

Superficie de producción de Cobb-Douglas con isocuantes

En economía y econometría, la función de producción Cobb-Douglas es una forma funcional particular de la función de producción, ampliamente utilizada para representar la relación tecnológica entre las cantidades de dos o más insumos (particularmente capital físico). y mano de obra) y la cantidad de producción que se puede producir con esos insumos. La forma Cobb-Douglas es desarrollada y probada contra evidencia estadística por Charles Cobb y Paul Douglas entre 1927 y 1947; Según Douglas, la forma funcional en sí fue desarrollada anteriormente por Philip Wicksteed.

Formulación

En su forma más estándar para la producción de un solo bien con dos factores, la función es

{displaystyle Y(L,K)=AL^{beta }K^{alpha }}

donde:

Y = producción total (el valor real de todas las mercancías producidas en un año o 365,25 días)
L = entrada de trabajo (horas de persona trabajadas en un año o 365,25 días)
K = entrada de capital (una medida de toda maquinaria, equipo y edificios; el valor de la entrada de capital dividida por el precio del capital)
A = productividad del factor total
$<math alttext="{displaystyle 0<alpha 0.α α .1{displaystyle 0 realizadasalpha. <img alt="0<alpha$ y $<math alttext="{displaystyle 0<beta 0.β β .1{displaystyle 0. <img alt="0<beta$ son las elasticidades de salida del capital y del trabajo, respectivamente. Estos valores son constantes determinadas por la tecnología disponible.

Did you mean:

Capital and labour are the two "factors of production " of the Cobb-Douglas production function.

Historia

Paul Douglas explicó que su primera formulación de la función de producción Cobb-Douglas se desarrolló en 1927; Cuando buscaba una forma funcional para relacionar las estimaciones que había calculado para los trabajadores y el capital, habló con el matemático y colega Charles Cobb, quien sugirió una función de la forma $Y = AL β K 1- β$ , utilizado anteriormente por Knut Wicksell, Philip Wicksteed y Léon Walras, aunque Douglas sólo reconoce a Wicksteed y Walras por sus contribuciones. Poco después de la muerte de Knut Wicksell en 1926, Paul Douglas y Charles Cobb implementaron la función Cobb-Douglas en su trabajo que cubría por primera vez la forma temática de la teoría del productor. Al estimar esto usando mínimos cuadrados, obtuvo un resultado para el exponente del trabajo de 0,75, que posteriormente fue confirmado por la Oficina Nacional de Investigación Económica como 0,741. Trabajos posteriores en la década de 1940 los llevaron a permitir que los exponentes de K y L variaran, lo que dio como resultado estimaciones que posteriormente demostraron estar muy cerca de la medida mejorada de productividad desarrollada en ese momento.

Una crítica importante en ese momento fue que las estimaciones de la función de producción, aunque aparentemente precisas, se basaban en datos tan escasos que era difícil darles mucha credibilidad. Douglas comentó: "Debo admitir que esta crítica me desanimó y pensé en abandonar el esfuerzo, pero hubo algo que me dijo que debía aguantar". El gran avance se produjo al utilizar datos del censo estadounidense, que eran transversales y proporcionaban una gran cantidad de observaciones. Douglas presentó los resultados de estos hallazgos, junto con los de otros países, en su discurso de 1947 como presidente de la Asociación Económica Estadounidense. Poco después, Douglas se dedicó a la política y sufrió problemas de salud, lo que provocó poco desarrollo adicional por su parte. Sin embargo, dos décadas después, su función de producción fue ampliamente utilizada, siendo adoptada por economistas como Paul Samuelson y Robert Solow. La función de producción Cobb-Douglas es especialmente notable por ser la primera vez que se desarrolló, estimó y luego presentó a la profesión para su análisis una función de producción agregada o para toda la economía; Marcó un cambio histórico en la forma en que los economistas abordaban la macroeconomía desde una perspectiva microeconómica.

Positividad de los productos marginales

El producto marginal de un factor de producción es el cambio en la producción cuando ese factor de producción cambia, manteniendo constantes todos los demás factores de producción, así como la productividad total del factor.

El producto marginal del capital, ${displaystyle MPK}$ corresponde al primer derivado de la función de producción con respecto al capital:

${displaystyle MPK={dfrac {partial Y}{partial K}}=alpha AL^{beta }K^{alpha -1}=alpha {dfrac {AL^{beta }K^{alpha }}{K}}=alpha {dfrac {Y}{K}}}$

Porque... $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">α α ■0{displaystyle alpha œ0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd4f784b6e8bb68fa774213ceacbab2d97825dc" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;"/>$ (y) $0,K>0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Y■0,K■0{displaystyle Y Claus0,K}0,K>0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/995a0552e2c74b2bfe37af1b18f11bf2968e561a" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.395ex; height:2.509ex;"/>$ , también), encontramos que el producto marginal del capital es siempre positivo, es decir, el aumento del capital conduce a un aumento de la producción.

Ejemplo

Suppose ${displaystyle A=3,L=25,alpha =0.5,K=36,beta =0.5}$ (unidad de medidas omitidas para brevedad).

La producción es ${displaystyle Y=3cdot 25^{0.5}cdot 36^{0.5}=90$}$ .

Aumento del capital ${displaystyle K=37}$ conduce a una producción de ${displaystyle approx 91.24$}$ , un aumento de ${displaystyle 1.24$}$ .

También encontramos que aumenta la productividad del factor total $A$ aumenta el producto marginal del capital.

Un razonamiento análogo se aplica al trabajo.

Ley de rendimientos decrecientes

Tomando la derivada del producto marginal del capital con respecto al capital, es decir, tomando la segunda derivada de la función de producción con respecto al capital, tenemos:

${displaystyle {dfrac {partial MPK}{partial K}}={dfrac {partial ^{2}Y}{partial K^{2}}}={dfrac {partial }{partial K}}(AL^{beta }alpha K^{alpha -1})=AL^{beta }alpha (alpha -1)K^{alpha -2}=alpha (alpha -1)AL^{beta }{dfrac {K^{alpha }}{K^{2}}}=alpha (alpha -1){dfrac {Y}{K^{2}}}}$

Porque... $<math alttext="{displaystyle alpha α α .1{displaystyle alpha. <img alt="alpha$ , entonces $<math alttext="{displaystyle alpha -1α α - - 1.0{displaystyle alpha -1 won0} <img alt="{displaystyle alpha -1$ y así $<math alttext="{displaystyle {dfrac {partial MPK}{partial K}}∂ ∂ MPK∂ ∂ K.0{displaystyle {dfrac {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft\\\\\\\fnMicrosoft {fnMicro ¿Qué?<img alt="{displaystyle {dfrac {partial MPK}{partial K}}$ .

Por tanto, esta función satisface la ley de los “rendimientos decrecientes”, es decir, el producto marginal del capital, aunque siempre positivo, es decreciente. A medida que aumenta el capital (manteniendo constantes la productividad laboral y la productividad total de los factores), la producción aumenta, pero a un ritmo decreciente.

Ejemplo

Suppose ${displaystyle A=3,L=25,alpha =0.5,K=36,beta =0.5}$ (unidad de medidas omitidas para brevedad).

La producción es ${displaystyle Y=3cdot 25^{0.5}cdot 36^{0.5}=90$}$ .

Aumento del capital en 10 a 10 ${displaystyle K=46}$ conduce a una producción de ${displaystyle approx 101.73$}$ , un aumento de ${displaystyle 11.73$}$ sobre el ${displaystyle K=36}$ caso.

Aumento del capital en 10 a 10 ${displaystyle K=56}$ conduce a una producción de ${displaystyle approx 112.25$}$ , un aumento de ${displaystyle 10.52$}$ sobre el ${displaystyle K=46}$ caso.

Un razonamiento similar se aplica al trabajo.

Derivadas cruzadas

(feminine)

Podemos estudiar qué sucede con el producto marginal del capital cuando el trabajo aumenta tomando la derivada parcial del producto marginal del capital con respecto al trabajo, es decir, la derivada cruzada de la producción con respecto al capital y el trabajo:

${displaystyle {dfrac {partial MPK}{partial L}}={dfrac {partial ^{2}Y}{partial Kpartial L}}={dfrac {partial }{partial L}}(AL^{beta }alpha K^{alpha -1})=Abeta L^{beta -1}alpha K^{alpha -1}=Aalpha beta {dfrac {L^{beta }K^{alpha }}{LK}}=alpha beta {dfrac {Y}{LK}}}$

Desde $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">∂ ∂ MPK∂ ∂ L■0{displaystyle {dfrac {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft\\\\\\\fnMicrosoft {fnMicro ¿Qué?0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb38d844adde1c21902bf7e42a789c9841c4339" style="vertical-align: -2.005ex; width:12.669ex; height:5.509ex;"/>$ , un aumento del trabajo eleva el producto marginal del capital.

Ejemplo

Suppose ${displaystyle A=3,L=25,alpha =0.5,K=36,beta =0.5}$ (unidad de medidas omitidas para brevedad).

La producción es ${displaystyle Y=3cdot 25^{0.5}cdot 36^{0.5}=90$}$ .

Aumento del capital en 10 a 10 ${displaystyle K=46}$ conduce a una producción de ${displaystyle approx 101.73$}$ , un aumento de ${displaystyle 11.73$}$ .

Ahora supongamos ${displaystyle A=3,L=36,alpha =0.5,K=36,beta =0.5}$ (unidad de medidas omitidas para brevedad).

La producción es ${displaystyle 108$}$ .

Aumento del capital en 10 a 10 ${displaystyle K=46}$ conduce a una producción de ${displaystyle approx 122.08$}$ , un aumento de ${displaystyle 14.08$}$

Revoluciones a escala

La elasticidad del producto mide la capacidad de respuesta del producto a un cambio en los niveles de mano de obra o de capital utilizados en la producción, ceteris paribus. Por ejemplo, si $α = 0,45$ , un aumento del $1%$ en el uso de capital conduciría a aproximadamente un aumento del $.45%$ en la producción.

A veces el término tiene un significado más restringido, requiriendo que la función muestre constante retorna a escala, lo que significa que el aumento del capital K y trabajo L por factor k también aumenta la producción Y por el mismo factor, es decir, ${displaystyle Y(kL,kK)=kY(L,K)}$ . Esto sostiene si ${displaystyle alpha +beta =1}$ .

Prueba

${displaystyle Y(kL,kK)=A(kL)^{beta }(kK)^{alpha }=Ak^{beta }L^{beta }k^{alpha }K^{alpha }=Ak^{alpha +beta }L^{beta }K^{alpha }=k^{alpha +beta }Y(L,K)}$

Enchufe en ${displaystyle alpha +beta =1}$ :

${displaystyle Y(kL,kK)=kY(L,K)}$

Si $<math alttext="{displaystyle alpha +beta α α +β β .1{displaystyle alpha +beta. <img alt="{displaystyle alpha +beta$ , entonces los retornos a escala están disminuyendo, lo que significa que un aumento del capital K y trabajo L por factor k producirá un aumento de la producción Y menor que un factor k, eso es $<math alttext="{displaystyle Y(kL,kK)Y()kL,kK).kY()L,K){displaystyle Y(kL,kK) Seguido(L,K)} <img alt="{displaystyle Y(kL,kK)$ .

Si $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">α α +β β ■1{displaystyle alpha +beta }1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c97f8b1c3087b4a8031a2c4ee6e2a45a655a198" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.921ex; height:2.509ex;"/>$ , entonces los retornos a escala están aumentando, lo que significa que un aumento del capital K y trabajo L por factor k producir un aumento de la producción Y mayor que un factor k, es decir, $kY(L,K)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Y()kL,kK)■kY()L,K){displaystyle Y(kL,kK)}kY(L,K)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d333ad1df948a36494e50dfe33b0f63737401cb3" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.263ex; height:2.843ex;"/>$ .

Remuneración en competencia perfecta

En competencia perfecta, los factores de producción se remuneran según su producto marginal total.

El producto marginal del capital es: ${displaystyle MPK=alpha {dfrac {Y}{K}}}$ . Esta es la remuneración de cada unidad de capital. Para averiguar la remuneración del capital total tenemos que multiplicar esta cantidad por $K$ :

${displaystyle {text{Capital earnings}}=Kcdot MPK=alpha Y}$ .

Así que una parte $alpha$ de la producción remunerará el capital.

Por un razonamiento similar podemos averiguar que una parte $beta$ de la salida remunerará el trabajo.

Estas acciones suman hasta el 100% de la salida sólo si ${displaystyle alpha +beta =1}$ .

Forma generalizada

En su forma generalizada, la función Cobb-Douglas modela más de dos bienes. La función Cobb-Douglas se puede escribir como

{displaystyle f(x)=Aprod _{i=1}^{n}x_{i}^{lambda _{i}},qquad x=(x_{1},ldotsx_{n}).}

dónde

A es un parámetro de eficiencia
n es el número total de variables de entrada (bienes)
$x 1,... x n$ son las cantidades (no negativas) de buenas consumidas, producidas, etc.
$lambda _{i}$ es un parámetro de elasticidad para el bien i

Críticas

La función ha sido criticada por su falta de fundamento. Cobb y Douglas estuvieron influenciados por evidencia estadística que parecía mostrar que las participaciones de trabajo y capital en la producción total se mantuvieron constantes a lo largo del tiempo en los países desarrollados; explicaron esto mediante una regresión de mínimos cuadrados de ajuste estadístico de su función de producción. Actualmente se acepta ampliamente que la participación laboral está disminuyendo en las economías industrializadas. La función de producción contiene un supuesto principal que tal vez no siempre proporcione la representación más precisa de las capacidades productivas y las eficiencias de la oferta de un país. Este supuesto es una “participación constante de la mano de obra en la producción”, que puede no ser efectivo cuando se aplica a casos de países cuyos mercados laborales están creciendo a tasas significativas. Otro problema dentro de la composición fundamental de la función de producción de Cobb Douglas es la presencia de sesgo de ecuación simultánea. Cuando se supone que hay competencia, el sesgo de la ecuación simultánea tiene un impacto en todos los tipos de funciones que implican decisiones firmes, incluida la función de Cobb Douglas. En algunos casos, este sesgo de ecuación simultánea no aparece. Sin embargo, es evidente cuando se utilizan aproximaciones asintóticas de mínimos cuadrados.

La función de producción de Cobb-Douglas no se desarrolló sobre la base de ningún conocimiento de ingeniería, tecnología o gestión del proceso de producción. Este razonamiento puede ser cierto dada la definición del término Capital. Las horas de trabajo y el capital necesitan una mejor definición. Si el capital se define como un edificio, la mano de obra ya está incluida en el desarrollo de ese edificio. Un edificio se compone de mercancías, trabajo y riesgos y condiciones generales. En cambio, se desarrolló porque tenía características matemáticas atractivas, como rendimientos marginales decrecientes para cualquiera de los factores de producción y la propiedad de que las proporciones óptimas del gasto en cualquier insumo dado de una empresa que opera una tecnología Cobb-Douglas son constantes. Al principio no existía ninguna base de servicios públicos para ello. En la era moderna, algunos economistas intentan construir modelos a partir de agentes individuales que actúan, en lugar de imponer una forma funcional a una economía entera. La función de producción Cobb-Douglas, si se define adecuadamente, puede aplicarse desde un nivel microeconómico hasta un nivel macroeconómico.

Sin embargo, muchos autores modernos han desarrollado modelos que proporcionan funciones de producción Cobb-Douglas con base microeconómica, incluidos muchos modelos neokeynesianos. Sin embargo, es un error matemático suponer que sólo porque la función Cobb-Douglas se aplica en el nivel microeconómico, también se aplica siempre en el nivel macroeconómico. De manera similar, no es necesariamente cierto que se aplique un Cobb-Douglas macro a nivel desagregado. En Houthakker (1955) se deriva una microfundamentación temprana de la tecnología agregada Cobb-Douglas basada en actividades lineales. La función de producción Cobb-Douglas es inconsistente con las estimaciones empíricas modernas de la elasticidad de sustitución entre capital y trabajo, que sugieren que el capital y el trabajo son complementos brutos. Un metaanálisis de 3186 estimaciones realizado en 2021 concluye que "el peso de la evidencia acumulada en la literatura empírica rechaza enfáticamente la especificación Cobb-Douglas".

Utilidades Cobb-Douglas

La función Cobb-Douglas suele utilizarse como función de utilidad. Utilidad ${tilde {u}}$ es una función de las cantidades $x_{i}$ de la $n$ bienes consumidos:

{displaystyle {tilde {u}}(x)=prod _{i=1}^{n}x_{i}^{lambda _{i}}}

Las funciones de Utilidad representan las preferencias ordinal y no tienen unidades naturales, a diferencia de las funciones de producción. Como resultado, una transformación monotónica de una función de utilidad representa las mismas preferencias. A diferencia de una función de producción Cobb-Douglas, donde la suma de los exponentes determina el grado de economías de escala, la suma se puede normalizar a una para una función de utilidad porque la normalización es una transformación monotónica de la función original de utilidad. Así, definamos ${displaystyle lambda =sum _{i=1}^{n}lambda _{i}}$ y ${displaystyle alpha _{i}={frac {lambda _{i}}{lambda }}}$ Así que ${displaystyle sum _{i=1}^{n}alpha _{i}=1}$ , y escribir la función de utilidad como:

{displaystyle u(x)=prod _{i=1}^{n}x_{i}^{alpha _{i}}}

El consumidor maximiza la utilidad sujeta a la limitación presupuestaria de que el costo de las mercancías es menor que su riqueza $w$ . Letting $p_{i}$ denota los precios de las mercancías, resuelve:

{displaystyle max _{x_{i}}prod _{i=1}^{n}x_{i}^{alpha _{i}}quad {text{ subject to the constraint }}quad sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}=w}

Resulta que la solución para la demanda de Cobb-Douglas es

{displaystyle forall j:qquad x_{j}^{star }={frac {walpha _{j}}{p_{j}}}}

Desde ${displaystyle alpha _{j}={frac {p_{j}x_{j}^{*}}{w}}}$ , el consumidor gasta la fracción $alpha _{j}$ de su riqueza en bien $j$ . Tenga en cuenta que esta es la solución para ambos $u(x)$ o ${displaystyle {tilde {u}}(x),}$ ya que las mismas preferencias generan la misma demanda.

La función de utilidad indirecta puede calcularse sustituyendo las demandas $x_{j}$ en la función de utilidad. Define la constante ${displaystyle K=Pi _{i=1}^{n}alpha _{i}^{alpha _{i}}}$ ) y tenemos:

{displaystyle v(p,w)=prod _{i=1}^{n}left({frac {walpha _{i}}{p_{i}}}right)^{alpha _{i}}={frac {Pi _{i=1}^{n}w^{alpha _{i}}cdot Pi _{i=1}^{n}alpha _{i}^{alpha _{i}}}{Pi _{i=1}^{n}p_{i}^{alpha _{i}}}}=Kleft({frac {w}{Pi _{i=1}^{n}p_{i}^{alpha _{i}}}}right)}

que es un caso especial de la forma polar de Gorman. La función de gasto es la inversa de la función de utilidad indirecta:

{displaystyle e(p,u)=(1/K)prod _{i=1}^{n}p_{i}^{alpha _{i}}u}

Varias representaciones de la función de producción

La forma de la función Cobb-Douglas se puede estimar como una relación lineal utilizando la siguiente expresión:

ln(Y)=a_{0}+sum _{i}a_{i}ln(I_{i})

dónde

${displaystyle Y={text{output}}}$
${displaystyle I_{i}={text{inputs}}}$
${displaystyle a_{i}={text{model coefficients}}}$

El modelo también se puede escribir como

{displaystyle Y=e^{a_{0}}(I_{1})^{a_{1}}cdot (I_{2})^{a_{2}}cdots }

Como se señaló, la función Cobb-Douglas común utilizada en el modelado macroeconómico es

{displaystyle Y=K^{alpha }L^{beta }}

donde K es capital y L es trabajo. Cuando los exponentes del modelo suman uno, la función de producción es homogénea de primer orden, lo que implica rendimientos de escala constantes; es decir, si todos los insumos se escalan mediante un factor común mayor que cero, la producción se escalará según el mismo factor.

Relación con la función de producción del CES

La función de producción de elasticidad de sustitución constante (CES) (en el caso de dos factores) es

{displaystyle Y=Aleft(alpha K^{gamma }+(1-alpha)L^{gamma }right)^{1/gamma },}

en el que se limita el caso $γ = 0$ corresponde a una función Cobb-Douglas, $Y=AK^{alpha }L^{1-alpha },$ con retornos constantes a escala.

Para ver esto, el registro de la función CES,

ln(Y)=ln(A)+{frac {1}{gamma }}ln left(alpha K^{gamma }+(1-alpha)L^{gamma }right)

Did you mean:

can be taken to the limit by applying l''Hôpital's rule:

lim _{gamma to 0}ln(Y)=ln(A)+alpha ln(K)+(1-alpha)ln(L).

Por lo tanto, $Y=AK^{alpha }L^{1-alpha }$ .

Función de producción translogada

La función de producción translog es una aproximación de la función CES por un polinomio Taylor de segundo orden en la variable $gamma$ sobre $gamma = 0$ Es decir, el caso Cobb-Douglas. El nombre translog significa "logarítmico transitorio". A menudo se utiliza en econometría por el hecho de que es lineal en los parámetros, lo que significa que los mínimos cuadrados ordinarios pueden ser utilizados si los insumos pueden ser asumidos exógenos.

En el caso de dos factores anterior, la función de producción translog es

{displaystyle {begin{aligned}ln(Y)&=ln(A)+alpha ln(K)+(1-alpha)ln(L)+{frac {1}{2}}gamma alpha (1-alpha)left[ln(K)-ln(L)right]^{2}\&=ln(A)+a_{K}ln(K)+a_{L}ln(L)+b_{KK}ln ^{2}(K)+b_{LL}ln ^{2}(L)+b_{KL}ln(K)ln(L)end{aligned}}}

Donde ${displaystyle a_{K}}$ , ${displaystyle a_{L}}$ , ${displaystyle b_{KK}}$ , ${displaystyle b_{LL}}$ , y ${displaystyle b_{KL}}$ se definen apropiadamente. En el caso de tres factores, la función de producción translog es:

{displaystyle {begin{aligned}ln(Y)&=ln(A)+a_{L}ln(L)+a_{K}ln(K)+a_{M}ln(M)+b_{LL}ln ^{2}(L)+b_{KK}ln ^{2}(K)+b_{MM}ln ^{2}(M)\&{}qquad qquad +b_{LK}ln(L)ln(K)+b_{LM}ln(L)ln(M)+b_{KM}ln(K)ln(M)\&=f(L,K,M).end{aligned}}}

Donde $A$ = productividad total del factor, $L$ = trabajo, $K$ = capital, $M$ = materiales y suministros, y $Y$ = salida.

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