Función de peso

Una función de peso es un dispositivo matemático que se utiliza cuando se realiza una suma, una integral o un promedio para dar a algunos elementos más "peso" o influencia en el resultado que otros elementos del mismo conjunto. El resultado de esta aplicación de una función de peso es una suma ponderada o promedio ponderado. Las funciones de peso ocurren con frecuencia en estadísticas y análisis, y están estrechamente relacionadas con el concepto de medida. Las funciones de peso se pueden emplear tanto en configuraciones discretas como continuas. Se pueden utilizar para construir sistemas de cálculo denominados "cálculo ponderado" y "metacálculo".

Pesos discretos

Definición general

En el ajuste discreto, una función de peso w:: A→ → R+{displaystyle wcolon Ato mathbb {R} {fn} es una función positiva definida en un conjunto discreto A{displaystyle A}, que es típicamente finito o contable. La función de peso w()a):=1{displaystyle w(a):=1} corresponde a sin peso situación en la que todos los elementos tienen igual peso. Uno puede aplicar este peso a varios conceptos.

Si la función f:: A→ → R{displaystyle fcolon Ato mathbb {R} es una función de valor real, entonces la suma no ponderada f{displaystyle f} on A{displaystyle A} se define como

.. a▪ ▪ Af()a);{displaystyle sum _{ain A}f(a);}

pero dado función de peso w:: A→ → R+{displaystyle wcolon Ato mathbb {R} {fn}, el suma ponderada o combinación cónica se define como

.. a▪ ▪ Af()a)w()a).{displaystyle sum _{ain A}f(a)w(a). }

Una aplicación común de las sumas ponderadas surge en la integración numérica.

Si B es un subconjunto finito de A, se puede reemplazar la cardinalidad no ponderada |B| de B por la cardinalidad ponderada

.. a▪ ▪ Bw()a).{displaystyle sum _{ain B}w(a).}

Si A es un conjunto finito no vacío, se puede reemplazar la media no ponderada o el promedio

1SilencioASilencio.. a▪ ▪ Af()a){displaystyle {frac {1}}sum _{ain A}f(a)}

por la media ponderada o el promedio ponderado

.. a▪ ▪ Af()a)w()a).. a▪ ▪ Aw()a).{displaystyle {frac {sum _{ain A}f(a)w(a)}{sum _{ain A}w(a)}}}

En este caso, solo los pesos relativos son relevantes.

Estadísticas

Los medios ponderados se utilizan comúnmente en las estadísticas para compensar la presencia de prejuicios. Para una cantidad f{displaystyle f} medidos múltiples veces independientes fi{displaystyle F_{i} con diferencia σ σ i2{displaystyle sigma _{i}{2}, la mejor estimación de la señal se obtiene promediando todas las mediciones con peso wi=1/σ σ i2{textstyle w_{i}=1/{sigma ¿Qué?, y la varianza resultante es menor que cada una de las mediciones independientes σ σ 2=1/.. iwi{textstyle sigma ^{2}=1/sum ¿Qué?. El método de probabilidad máxima pesa la diferencia entre el ajuste y los datos utilizando los mismos pesos wi{displaystyle ¿Qué?.

El valor esperado de una variable aleatoria es el promedio ponderado de los posibles valores que podría tomar, siendo los pesos las respectivas probabilidades. De manera más general, el valor esperado de una función de una variable aleatoria es el promedio ponderado de probabilidad de los valores que toma la función para cada valor posible de la variable aleatoria.

En las regresiones en las que se supone que la variable dependiente se ve afectada por los valores actuales y rezagados (pasados) de la variable independiente, se estima una función rezagada distribuida, siendo esta función un promedio ponderado de la variable independiente actual y varias rezagadas valores. De manera similar, un modelo de promedio móvil especifica una variable en evolución como un promedio ponderado de los valores actuales y varios rezagados de una variable aleatoria.

Mecánica

La terminología función de peso surge de la mecánica: si uno tiene una colección de n{displaystyle n} objetos en una palanca, con pesos w1,...... ,wn{displaystyle ¿Qué? (donde el peso ahora se interpreta en el sentido físico) y localizaciones x1,...... ,xn{displaystyle {boldsymbol {x}_{1},dotsc{boldsymbol {x}_{n}, entonces la palanca estará en equilibrio si el fulcrum de la palanca está en el centro de masa

.. i=1nwixi.. i=1nwi,{displaystyle {frac {fnMicroc}sum ###{i=1}######################################################################################################################################################################################################################################################## {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}} {f}}} {fn}} {fnMicrosoft}}}}}} {fn}}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}} {f}} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { ¿Qué?

que es también el promedio ponderado de las posiciones xi{displaystyle {boldsymbol {x}_{i}.

Pesos continuos

En el entorno continuo, un peso es una medida positiva como w()x)dx{displaystyle w(x),dx} en algunos dominios Ω Ω {displaystyle Omega }, que es típicamente un subconjunto de un espacio euclidiano Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}, por ejemplo Ω Ω {displaystyle Omega } podría ser un intervalo [a,b]{displaystyle [a,b]}. Aquí. dx{displaystyle dx} es la medida de Lebesgue y w:: Ω Ω → → R+{displaystyle wcolon Omega to mathbb {R} {fn} es una función medible no negativa. En este contexto, la función de peso w()x){displaystyle w(x)} a veces se denomina densidad.

Definición general

Si f:: Ω Ω → → R{displaystyle fcolon Omega to mathbb {R} es una función de valor real, entonces la sin peso integral

∫ ∫ Ω Ω f()x)dx{displaystyle int _{Omega }f(x) dx}

puede generalizarse a la integral ponderada

∫ ∫ Ω Ω f()x)w()x)dx{displaystyle int _{Omega }f(x)w(x),dx}

Tenga en cuenta que uno puede necesitar f{displaystyle f} ser absolutamente integrador con respecto al peso w()x)dx{displaystyle w(x),dx} para que esta integral sea finita.

Volumen ponderado

Si E es un subconjunto de Ω Ω {displaystyle Omega }, entonces el volumen volE) de E puede ser generalizado a volumen ponderado

∫ ∫ Ew()x)dx,{displaystyle int _{E}w(x) dx,}

Promedio ponderado

Si Ω Ω {displaystyle Omega } tiene volumen finito no-cero ponderado, entonces podemos reemplazar el promedio no ponderado

1vol()Ω Ω )∫ ∫ Ω Ω f()x)dx{displaystyle {frac {1}{mathrm {vol}}int _{Omega }f(x) dx}

por el promedio ponderado

∫ ∫ Ω Ω f()x)w()x)dx∫ ∫ Ω Ω w()x)dx{displaystyle {frac {int _{\Omega }f(x),w(x),dx}{int _{omega }w(x),dx}}

Forma bilineal

Si f:: Ω Ω → → R{displaystyle fcolon Omegato {mathbb {R}} y g:: Ω Ω → → R{displaystyle gcolon Omega to {mathbb {R} son dos funciones, una puede generalizar la forma bilineal sin peso

.. f,g.. :=∫ ∫ Ω Ω f()x)g()x)dx{displaystyle langle f,grangle:=int _{Omega }f(x)g(x) dx}

a una forma bilineal ponderada

.. f,g.. :=∫ ∫ Ω Ω f()x)g()x)w()x)dx.{displaystyle langle f,grangle:=int _{Omega }f(x)g(x) w(x) dx.}

Consulte la entrada sobre polinomios ortogonales para ver ejemplos de funciones ortogonales ponderadas.