Función de paso Heaviside

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Función indicadora de números positivos

La función de paso de Heaviside, o la función de paso de unidad, generalmente denotada por $H$ o $θ$ (pero a veces $u$ , $1$ o $𝟙$ ), es una función de paso, llamada después de Oliver Heaviside (1850-1925), cuyo valor es cero para argumentos negativos y uno para argumentos positivos. Es un ejemplo de la clase general de funciones escalonadas, todas las cuales pueden representarse como combinaciones lineales de traslaciones de esta.

La función se desarrolló originalmente en cálculo operativo para la solución de ecuaciones diferenciales, donde representa una señal que se enciende en un momento específico y permanece encendida indefinidamente. Oliver Heaviside, quien desarrolló el cálculo operativo como herramienta en el análisis de las comunicaciones telegráficas, representó la función como $1$ .

La función de Heaviside se puede definir como:

una función en sentido parcial: $0\0,&xleq 0end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">H()x):={}1,x■00,x≤ ≤ 0{displaystyle H(x):={begin{cases}1⁄4x confianza0, limitadaxleq 0end{cases}}}0\0,&xleq 0end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/038ae334b534acb52b7902830d5fecfb7a528628" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.165ex; height:6.176ex;"/>$
usando la notación del corchete Iverson: $0]}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">H()x):=[x■0]{displaystyle H(x):=[x]}0]}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c587b264dfb263aa5b931f5591bce53d40fade" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.832ex; height:2.843ex;"/>$
una función indicadora: $0}=mathbf {1} _{mathbb {R} _{+}}(x)}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">H()x):=1x■0=1R+()x){displaystyle H(x):=mathbf {1} _{x Conf0}=mathbf {1} _{mathbb [R] _{+}(x)}0}=mathbf {1} _{mathbb {R} _{+}}(x)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5001edac3433dde099e87bfc873795a67019f446" style="vertical-align: -1.005ex; width:23.753ex; height:3.009ex;"/>$
el derivado de la función de rampa: ${displaystyle H(x):={frac {d}{dx}}max{x,0}quad {mbox{for }}xneq 0}$

La función delta de Dirac es la derivada de la función de Heaviside

{displaystyle delta (x)={frac {d}{dx}}H(x)}

Por lo tanto, la función de Heaviside puede considerarse la integral de la función delta de Dirac. Esto a veces se escribe como

{displaystyle H(x):=int _{-infty }^{x}delta (s),ds}

aunque esta expansión puede no ser válida (o incluso no tener sentido) para $x = 0$ , según el formalismo que se use para dar significado a las integrales involucrando $δ$ . En este contexto, la función de Heaviside es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria que casi seguramente es 0. (Ver variable aleatoria constante).

En cálculo operativo, las respuestas útiles rara vez dependen del valor que se use para $H (0)$ , ya que $H$ se utiliza principalmente como distribución. Sin embargo, la elección puede tener algunas consecuencias importantes en el análisis funcional y la teoría de juegos, donde se consideran formas más generales de continuidad. Algunas opciones comunes se pueden ver a continuación.

Las aproximaciones a la función escalonada de Heaviside son útiles en bioquímica y neurociencia, donde se pueden usar aproximaciones logísticas de funciones escalonadas (como las ecuaciones de Hill y Michaelis-Menten) para aproximar los interruptores celulares binarios en respuesta a señales químicas.

Aproximaciones analíticas

{displaystyle {tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{2}}tanh(kx)={frac {1}{1+e^{-2kx}}}}

acerca de la función del paso como

k \to

Para una aproximación suave a la función de paso, se puede usar la función logística

{displaystyle H(x)approx {tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{2}}tanh kx={frac {1}{1+e^{-2kx}}},}

donde una $k$ más grande corresponde a una transición más nítida en $x = 0$ . Si tomamos $H (0) = 1 / 2$ , la igualdad se mantiene en el límite:

{displaystyle H(x)=lim _{kto infty }{tfrac {1}{2}}(1+tanh kx)=lim _{kto infty }{frac {1}{1+e^{-2kx}}}.}

Existen muchas otras aproximaciones analíticas suaves a la función escalonada. Entre las posibilidades están:

{displaystyle {begin{aligned}H(x)&=lim _{kto infty }left({tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{pi }}arctan kxright)\H(x)&=lim _{kto infty }left({tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{2}}operatorname {erf} kxright)end{aligned}}}

Estos límites se cumplen puntualmente y en el sentido de las distribuciones. En general, sin embargo, la convergencia puntual no necesita implicar convergencia distribucional, y viceversa, la convergencia distributiva no necesita implicar convergencia puntual. (Sin embargo, si todos los miembros de una secuencia de funciones convergente puntualmente están uniformemente acotadas por alguna función 'agradable', entonces la convergencia también se cumple en el sentido de las distribuciones).

En general, cualquier función de distribución acumulativa de una distribución de probabilidad continua que tenga un pico alrededor de cero y tenga un parámetro que controle la varianza puede servir como una aproximación, en el límite cuando la varianza se acerca a cero. Por ejemplo, las tres aproximaciones anteriores son funciones de distribución acumulativa de distribuciones de probabilidad comunes: las distribuciones logística, de Cauchy y normal, respectivamente.

Representaciones integrales

A menudo es útil una representación integral de la función escalón de Heaviside:

{displaystyle {begin{aligned}H(x)&=lim _{varepsilon to 0^{+}}-{frac {1}{2pi i}}int _{-infty }^{infty }{frac {1}{tau +ivarepsilon }}e^{-ixtau }dtau \&=lim _{varepsilon to 0^{+}}{frac {1}{2pi i}}int _{-infty }^{infty }{frac {1}{tau -ivarepsilon }}e^{ixtau }dtau.end{aligned}}}

donde la segunda representación es fácil de deducir de la primera, dado que la función escalón es real y, por lo tanto, es su propio conjugado complejo.

Argumento cero

Dado que $H$ se suele utilizar en la integración, y el valor de una función en un único punto no afecta a su integral, rara vez importa qué valor particular se elige de $H (0)$ . De hecho, cuando $H$ se considera una distribución o un elemento de $L \infty$ (ver espacio Lp) ni siquiera tiene sentido hablar de un valor en cero, ya que tales objetos solo se definen en casi todas partes. Si se usa alguna aproximación analítica (como en los ejemplos anteriores), a menudo se usa el límite relevante en cero.

Existen varias razones para elegir un valor en particular.

$H (0) 1 / 2$ se utiliza a menudo ya que el gráfico entonces tiene simetría rotacional; poner otra manera, $H - 1 / 2$ es entonces una función extraña. En este caso, la siguiente relación con la función de signo tiene para todos $x$ : ${displaystyle H(x)={tfrac {1}{2}}(1+operatorname {sgn} x).}$
$H (0) = 1$ se utiliza cuando $H$ necesita ser continuo. Por ejemplo, las funciones de distribución acumulativa generalmente se toman como continuas correctas, al igual que las funciones integradas en la integración Lebesgue–Stieltjes. En este caso $H$ es la función indicadora de un intervalo semiinfinito cerrado: ${displaystyle H(x)=mathbf {1} _{[0,infty)}(x).}$ La distribución de probabilidad correspondiente es la distribución degenerada.
$H (0) = 0$ se utiliza cuando $H$ necesita ser continuada. En este caso $H$ es una función indicadora de un intervalo semiinfinito abierto: ${displaystyle H(x)=mathbf {1} _{(0,infty)}(x).}$
En contextos funcionales-análisis desde la optimización y la teoría del juego, a menudo es útil definir la función Heaviside como una función valorada por conjunto para preservar la continuidad de las funciones limitantes y asegurar la existencia de ciertas soluciones. En estos casos, la función Heaviside devuelve todo un intervalo de posibles soluciones, $H (0) = [0,1]$ .

Forma discreta

Una forma alternativa del escalón unitario, definida en cambio como una función $H : ℤ \to ℝ$ (es decir, tomando una variable discreta $n$ ), es:

<math alttext="{displaystyle H[n]={begin{cases}0,&nH[n]={}0,n.0,1,n\geq \geq 0,{displaystyle ¿Qué? <img alt="{displaystyle H[n]={begin{cases}0,&n

o usando la convención de la mitad del máximo:

<math alttext="{displaystyle H[n]={begin{cases}0,&n0,end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">H[n]={}0,n.0,12,n=0,1,n■0,{displaystyle H[n]={begin{cases}0, limitadan made0,\{\tfrac {1}{2}}}}, limitn=0,1, limitn confianza0,end{cases}<img alt="{displaystyle H[n]={begin{cases}0,&n0,end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f164d5bf42583f4f09a2871a3f589ff0a89d43" style="vertical-align: -4.005ex; width:21.598ex; height:9.176ex;"/>

donde $n$ es un número entero. Si $n$ es un número entero, entonces $n < 0$ debe implicar que $n \leq -1$ , mientras que $n > 0$ debe implicar que la función alcanza la unidad en $n = 1$ . Por lo tanto, la "función de paso" exhibe un comportamiento similar a una rampa sobre el dominio de $[-1, 1]$ , y no puede ser auténticamente una función de paso, usando la convención de la mitad del máximo.

A diferencia del caso continuo, la definición de $H [0]$ es significativa.

El impulso unitario de tiempo discreto es la primera diferencia del paso de tiempo discreto

{displaystyle delta [n]=H[n]-H[n-1].}

Esta función es la suma acumulada del delta de Kronecker:

{displaystyle H[n]=sum _{k=-infty }^{n}delta [k]}

dónde

{displaystyle delta [k]=delta _{k,0}}

es la función de impulso unitario discreto.

Antiderivada y derivada

La función rampa es una antiderivada de la función escalón de Heaviside:

{displaystyle int _{-infty }^{x}H(xi),dxi =xH(x)=max{0,x},.}

La derivada distribucional de la función escalón de Heaviside es la función delta de Dirac:

{displaystyle {frac {dH(x)}{dx}}=delta (x),.}

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier de la función escalón de Heaviside es una distribución. Usando una elección de constantes para la definición de la transformada de Fourier, tenemos

{displaystyle {hat {H}}(s)=lim _{Nto infty }int _{-N}^{N}e^{-2pi ixs}H(x),dx={frac {1}{2}}left(delta (s)-{frac {i}{pi }}operatorname {p.v.} {frac {1}{s}}right).}

Aquí. $p.v. 1 / s$ es la distribución que toma una función de prueba $φ$ al valor principal de Cauchy ${displaystyle textstyle int _{-infty }^{infty }{frac {varphi (s)}{s}},ds}$ . El límite que aparece en la integral también se toma en el sentido de las distribuciones (temperadas).

Transformada unilateral de Laplace

La transformada de Laplace de la función escalón de Heaviside es una función meromórfica. Usando la transformada unilateral de Laplace tenemos:

{displaystyle {begin{aligned}{hat {H}}(s)&=lim _{Nto infty }int _{0}^{N}e^{-sx}H(x),dx\&=lim _{Nto infty }int _{0}^{N}e^{-sx},dx\&={frac {1}{s}}end{aligned}}}

Cuando se usa la transformada bilateral, la integral se puede dividir en dos partes y el resultado será el mismo.

Otras expresiones

La función escalón de Heaviside se puede representar como una hiperfunción como

{displaystyle H(x)=left(1-{frac {1}{2pi i}}log z, -{frac {1}{2pi i}}log zright).}

log z

z

También se puede expresar para $x \neq 0$ en términos de la función de valor absoluto como

{displaystyle H(x)={frac {x+|x|}{2x}},.}

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