Función de paso

En matemáticas, una función sobre los números reales se denomina función escalonada si se puede escribir como una combinación lineal finita de funciones indicadoras de intervalos. Informalmente hablando, una función escalonada es una función constante por partes que tiene solo un número finito de partes.

Ejemplo de una función de paso (el gráfico rojo). Esta función de paso en particular es continua.

Definición y primeras consecuencias

Una función f:: R→ → R{displaystyle fcolon mathbb {R} rightarrow mathbb {R} se llama función paso si puede ser escrito como

f()x)=.. i=0nα α iχ χ Ai()x){displaystyle f(x)=sum limits - ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Qué?, para todos los números reales x{displaystyle x}

Donde n≥ ≥ 0{displaystyle ngeq 0}, α α i{displaystyle alpha _{i} son números reales, Ai{displaystyle A_{i} son intervalos, y χ χ A{displaystyle chi _{A}} es la función indicadora de A{displaystyle A}:

χ χ A()x)={}1six▪ ▪ A0six∉ ∉ A{displaystyle chi _{A}(x)={begin{cases}1 {text{if }xin A simultáneamente{if}xnotin A\\end{cases}}

En esta definición, los intervalos Ai{displaystyle A_{i} se puede suponer que tiene las siguientes dos propiedades:

1. Los intervalos son descomunales: Ai∩ ∩ Aj=∅ ∅ {displaystyle A_{i}cap A_{j}=emptyset } para iل ل j{displaystyle ineq j}
2. La unión de los intervalos es toda la línea real: ⋃ ⋃ i=0nAi=R.{displaystyle bigcup ¿Qué? {R}.}

De hecho, si ese no es el caso para empezar, se puede elegir un conjunto diferente de intervalos para los que se cumplen estas suposiciones. Por ejemplo, la función de paso

f=4χ χ [− − 5,1)+3χ χ ()0,6){displaystyle f=4chi _{-5,1)}+3chi _{(0,6)}

se puede escribir como

f=0χ χ ()− − JUEGO JUEGO ,− − 5)+4χ χ [− − 5,0]+7χ χ ()0,1)+3χ χ [1,6)+0χ χ [6,JUEGO JUEGO ).{displaystyle f=0chi _{(-infty-5)}+4chi _{[-5,0]}+7chi _{(0,1)}+3chi _{[1,6)}+0chi _{[6,infty)}}

Variaciones en la definición

A veces, se requiere que los intervalos estén abiertos a la derecha o que sean singleton. La condición de que la colección de intervalos debe ser finita a menudo se descarta, especialmente en matemáticas escolares, aunque aún debe ser localmente finita, lo que da como resultado la definición de funciones constantes por partes.

Ejemplos

La función paso Heaviside es una función paso a menudo utilizada.

• Una función constante es un ejemplo trivial de una función de paso. Entonces sólo hay un intervalo, A0=R.{displaystyle A_{0}=Mathbb {R}.}
• La función de signo sgn(x), que es −1 para números negativos y +1 para números positivos, y es la función paso más simple no constante.
• La función Heaviside H()x), que es 0 para números negativos y 1 para números positivos, es equivalente a la función de registro, hasta un cambio y escala de rango (H=()Sgn+1)/2{displaystyle H=(operatorname {sgn} +1)/2}). Es el concepto matemático detrás de algunas señales de prueba, como las utilizadas para determinar la respuesta paso de un sistema dinámico.

La función rectangular, la siguiente función paso más simple.

• La función rectangular, la función boxcar normalizada, se utiliza para modelar un pulso de unidad.

No ejemplos

• La función de parte entero no es una función de paso según la definición de este artículo, ya que tiene un número infinito de intervalos. Sin embargo, algunos autores también definen las funciones de paso con un número infinito de intervalos.

Propiedades

• La suma y el producto de dos funciones paso es otra vez una función paso. El producto de una función paso con un número es también una función paso. Como tal, las funciones de paso forman un álgebra sobre los números reales.
• Una función de paso lleva sólo un número finito de valores. Si los intervalos Ai,{displaystyle A_{i},} para i=0,1,...... ,n{displaystyle i=0,1,dotsn} en la definición anterior de la función paso son descomunal y su unión es la línea real, entonces f()x)=α α i{displaystyle f(x)=alpha ¿Qué? para todos x▪ ▪ Ai.{displaystyle xin A_{i}
• La parte integral definida de una función paso es una función lineal.
• La Lebesgue integral de una función de paso f=.. i=0nα α iχ χ Ai{displaystyle textstyle f=sum ¿Por qué? ¿Qué? es ∫ ∫ fdx=.. i=0nα α il l ()Ai),{displaystyle textstyleint f,dx=sum - ¿Por qué? ¿Qué? Donde l l ()A){displaystyle ell (A)} es la longitud del intervalo A{displaystyle A}, y se supone aquí que todos los intervalos Ai{displaystyle A_{i} tienen longitud finita. De hecho, esta igualdad (visada como definición) puede ser el primer paso en la construcción de la Lebesgue integral.
• Una variable discreta aleatoria se define a veces como una variable aleatoria cuya función de distribución acumulativa es constante en sentido parcial. En este caso, es localmente una función de paso (globalmente, puede tener un número infinito de pasos). Por lo general, cualquier variable aleatoria con sólo contar muchos valores posibles se llama una variable discreta aleatoria, en este caso su función de distribución acumulativa no es necesariamente localmente una función paso, ya que infinitamente muchos intervalos pueden acumularse en una región finita.