Función de Möbius

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Función multiplicativa en la teoría de números

La función de Möbius $μ (n)$ es una función multiplicativa en teoría de números introducido por el matemático alemán August Ferdinand Möbius (también transliterado Moebius) en 1832. Es omnipresente en la teoría de números elemental y analítica y aparece con mayor frecuencia como parte de su homónimo, la fórmula de inversión de Möbius. Siguiendo el trabajo de Gian-Carlo Rota en la década de 1960, las generalizaciones de la función de Möbius se introdujeron en la combinatoria y se denotan de manera similar $μ (x)$ .

Definición

Para cualquier número entero positivo $n$ , defina $μ (n)$ como la suma de las raíces enésimas primitivas de la unidad. Tiene valores en ${-1, 0, 1}$ dependiendo de la factorización de $n$ en factores primos:

$μ () n) = +1$ si $n$ es un entero positivo sin cuadrado con un número uniforme de factores principales.
$μ () n) = -1$ si $n$ es un entero positivo sin cuadrado con un número impar de factores primos.
$μ () n) - 0$ si $n$ tiene un factor primario cuadrado.

La función de Möbius se puede representar alternativamente como

{displaystyle mu (n)=delta _{omega (n)Omega (n)}lambda (n),}

donde $δ$ es la delta de Kronecker, $λ (n)$ es la función de Liouville, $ω(n)$ es el número de divisores primos distintos de $n$ , y $Ω(n)$ es el número de factores primos de $n$ , contado con multiplicidad.

Valores

Los valores de $μ (n)$ para los primeros 50 números positivos son

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$μ () n)$	1	−1	−1	0	−1	1	−1	0	0	1

$n$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$μ () n)$	−1	0	−1	1	1	0	−1	0	−1	0

$n$	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
$μ () n)$	1	1	−1	0	0	1	0	0	−1	−1

$n$	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
$μ () n)$	−1	0	1	1	1	0	−1	1	1	0

$n$	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
$μ () n)$	−1	−1	−1	0	0	1	−1	0	0	0

Los primeros 50 valores de la función se representan a continuación:

Los valores más grandes se pueden registrar:

Wolframalpha
el fichero b de OEIS

Aplicaciones

Series matemáticas

La serie de Dirichlet que genera la función de Möbius es el inverso (multiplicativo) de la función zeta de Riemann; si $s$ es un número complejo con parte real mayor que 1, tenemos

sum_{n=1}^infty frac{mu(n)}{n^s}=frac{1}{zeta(s)}.

Esto se puede ver en su producto de Euler

{displaystyle {frac {1}{zeta (s)}}=prod _{p{text{ prime}}}{left(1-{frac {1}{p^{s}}}right)}=left(1-{frac {1}{2^{s}}}right)left(1-{frac {1}{3^{s}}}right)left(1-{frac {1}{5^{s}}}right)cdots }

También:

${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }{frac {|mu (n)|}{n^{s}}}={frac {zeta (s)}{zeta (2s)}}}$

${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }{frac {mu (n)ln n}{n}}=-1.}$

${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }{frac {mu (n)ln ^{2}n}{n}}=-2gamma}$ Donde $gamma$ - La constante de Euler.

La serie de Lambert para la función de Möbius es:

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q,}

que converge para $| q | < 1$ . Para números primos $α \geq 2$ , también tenemos

<math alttext="{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {mu (alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=sum _{ngeq 0}q^{alpha ^{n}},|q|.. n=1JUEGO JUEGO μ μ ()α α n)qnqn− − 1=.. n≥ ≥ 0qα α n,SilencioqSilencio.1.{displaystyle sum _{n=1}{infty }{frac {mu (alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=sum _{ngeq 0}q^{alpha ^{n}}}}<img alt="{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {mu (alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=sum _{ngeq 0}q^{alpha ^{n}},|q|

Teoría algebraica de números

Gauss demostró que para un número primo $p$ la suma de sus raíces primitivas es congruente con <span class="texhtml" μ(p − 1) (modificación p).

Si $F q$ denota el campo finito de orden $q$ (donde $q$ es necesariamente una potencia principal), luego el número $N$ de polinomios irreducibles mónicos de grado $n$ sobre $F q$ está dada por:

{displaystyle N(q,n)={frac {1}{n}}sum _{dmid n}mu (d)q^{frac {n}{d}}.}

Física

La función de Möbius también surge en el modelo de supersimetría de gas primon o gas libre de Riemann. En esta teoría, las partículas fundamentales o "primones" tienen energías $log p$ . Bajo la segunda cuantificación, se consideran excitaciones multipartículas; estos están dados por $log n$ para cualquier número natural $n. Esto se sigue del hecho de que la factorización de los números naturales en primos es única.$

En el gas libre de Riemann, cualquier número natural puede ocurrir, si los primones se toman como bosones. Si se toman como fermiones, el principio de exclusión de Pauli excluye los cuadrados. El operador $(-1)F$ que distingue fermiones y bosones no es otro que la función de Möbius $μ (n)$ .

El gas libre de Riemann tiene otras conexiones interesantes con la teoría de números, incluido el hecho de que la función de partición es la función zeta de Riemann. Esta idea subyace en el intento de prueba de Alain Connes de la hipótesis de Riemann.

Propiedades

La función de Möbius es multiplicativa (es decir, $μ (ab) = μ (a) μ (b)$ ) siempre que $a$ y $b$ son coprimos.

La suma de la función de Möbius sobre todos los divisores positivos de $n$ (incluyendo $n$ y 1) es cero excepto cuando $n = 1$ :

1.end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">.. d▪ ▪ nμ μ ()d)={}1sin=1,0sin■1.{displaystyle sum _{dmid n}mu (d)={begin{cases}1 - No.1.end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c8967623869cf210c04030901f1f6d4c3a0619" style="vertical-align: -3.505ex; width:25.489ex; height:7.176ex;"/>

La igualdad anterior conduce a la importante fórmula de inversión de Möbius y es la razón principal por la cual $μ$ es relevante en la teoría de Funciones multiplicativas y aritméticas.

Otras aplicaciones de $μ (n)$ en combinatoria están conectadas con el uso del teorema de enumeración de Pólya en combinatoria grupos y enumeraciones combinatorias.

Existe una fórmula para calcular la función de Möbius sin conocer directamente la factorización de su argumento:

{displaystyle mu (n)=sum _{stackrel {1leq kleq n}{gcd(k,,n)=1}}e^{2pi i{frac {k}{n}}},}

es decir $μ (n)$ es la suma de la primitiva $n$ -th raíces de la unidad. (Sin embargo, la complejidad computacional de esta definición es al menos la misma que la de la definición del producto de Euler).

Otras identidades satisfechas por la función de Möbius incluyen

{displaystyle sum _{kleq n}leftlfloor {frac {n}{k}}rightrfloor mu (k)=1}

{displaystyle sum _{jkleq n}cos left({frac {pi (jk-1)}{2}}right)mu (k)=1}

El primero de ellos es un resultado clásico, mientras que el segundo se publicó en 2020. Identidades similares son válidas para la función de Mertens.

Prueba de la fórmula para Σd|n μ(d)

Uso

{displaystyle mu (n)=sum _{stackrel {1leq kleq n}{gcd(k,,n)=1}}e^{2pi i{frac {k}{n}}},}

la fórmula

1end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">.. d▪ ▪ nμ μ ()d)={}1sin=1,0sin■1{displaystyle sum _{dmid n}mu (d)={begin{cases}1 - No.1end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/521b459898765b0d0753a4abd5c178a5b5356a35" style="vertical-align: -3.505ex; width:25.489ex; height:7.176ex;"/>

puede verse como una consecuencia del hecho de que las $n$ ésimas raíces de la unidad suman 0, ya que cada $n$ ésima raíz de la unidad es una primitiva $d$ ésima raíz de la unidad para exactamente un divisor $d$ de $n$ .

Sin embargo, también es posible probar esta identidad a partir de primeros principios. Primero tenga en cuenta que es trivialmente cierto cuando $n = 1$ . Supongamos entonces que $n > 1$ . Entonces hay una biyección entre los factores $d$ de $n$ para los cuales $μ (d) \neq 0$ y los subconjuntos del conjunto de todos los primos factores de $n$ . El resultado afirmado se deriva del hecho de que todo conjunto finito no vacío tiene el mismo número de subconjuntos de cardinalidad par e impar.

Este último hecho puede demostrarse fácilmente por inducción sobre la cardinalidad $| S |$ de un conjunto finito no vacío $S$ . Primero, si $| S | = 1$ , hay exactamente un subconjunto de cardinalidad impar de $S$ , a saber, $S$ y exactamente un subconjunto de cardinalidad par, a saber, $\emptyset$ . A continuación, si $| S | > 1$ , luego divida los subconjuntos de $S$ en dos subclases dependiendo de si contienen o no algún elemento fijo $x$ en $S$ . Hay una biyección obvia entre estas dos subclases, emparejando aquellos subconjuntos que tienen el mismo complemento relativo al subconjunto ${x}$ . Además, una de estas dos subclases consta de todos los subconjuntos del conjunto $S {x}$ , y por lo tanto, por la hipótesis de inducción, tiene un número igual de subconjuntos de cardinalidad par e impar. Estos subconjuntos, a su vez, corresponden biyectivamente a los subconjuntos que contienen cardinalidad par e impar ${x}$ de $S$ . El paso inductivo se sigue directamente de estas dos biyecciones.

Un resultado relacionado es que los coeficientes binomiales exhiben entradas alternas de potencia par e impar que se suman simétricamente.

Orden promedio

El valor medio (en el sentido de órdenes promedio) de la función de Möbius es cero. Esta afirmación es, de hecho, equivalente al teorema de los números primos.

Μ(n) secciones

$μ (n) = 0$ si y solo si $n$ es divisible por el cuadrado de un número primo. Los primeros números con esta propiedad son

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63... A013929 en el OEIS).

Si $n$ es primo, entonces $μ (n) = -1$ , pero lo contrario no es cierto. El primer no primo $n$ para el cual $μ (n) = -1$ es 30 = 2 × 3 × 5. Los primeros números de este tipo con tres factores primos distintos (números esfénicos) son

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222,... A007304 en el OEIS).

y los primeros números con 5 factores primos distintos son

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690,... A046387 en el OEIS).

Función de Mertens

En teoría de números, otra función aritmética estrechamente relacionada con la función de Möbius es la función de Mertens, definida por

M(n) = sum_{k = 1}^n mu(k)

para todo número natural $n$ . Esta función está estrechamente relacionada con las posiciones de los ceros de la función zeta de Riemann. Consulte el artículo sobre la conjetura de Mertens para obtener más información sobre la conexión entre $M (n)$ y la hipótesis de Riemann.

De la fórmula

{displaystyle mu (n)=sum _{stackrel {1leq kleq n}{gcd(k,n)=1}}e^{2pi i{frac {k}{n}}},}

Se deduce que la función de Mertens viene dada por:

{displaystyle M(n)=-1+sum _{ain {mathcal {F}}_{n}}e^{2pi ia},}

donde F_$n$ es la secuencia de Farey de orden $n$ .

Esta fórmula se usa en la demostración del teorema de Franel-Landau.

Generalizaciones

Álgebras de incidencia

En combinatoria, a cada conjunto parcialmente ordenado localmente finito (poset) se le asigna un álgebra de incidencia. Un miembro distinguido de esta álgebra es la 'función de Möbius' de Poset. La función de Möbius clásica tratada en este artículo es esencialmente igual a la función de Möbius del conjunto de todos los números enteros positivos parcialmente ordenados por divisibilidad. Consulte el artículo sobre álgebras de incidencia para obtener la definición precisa y varios ejemplos de estas funciones generales de Möbius.

Función de Popovici

Constantin Popovici definió una función de Möbius generalizada $μ k = μ *... * μ$ para ser la convolución de Dirichlet $k$ -fold de la función de Möbius consigo misma. Por lo tanto, es nuevamente una función multiplicativa con

{displaystyle mu _{k}left(p^{a}right)=(-1)^{a}{binom {k}{a}} }

donde el coeficiente binomial se toma como cero si $a > k$ . La definición se puede extender al complejo $k$ leyendo el binomio como un polinomio en $k$ .

Implementaciones

WOLFRAM MATHEMATICA tiene función Moebius Mu
Maxima CAS tiene función moebius (n)
geeksforgeeks tiene C++, Python3, Java, C#, PHP, implementaciones Javascript
Código de Rosetta
Función de Moebius sabio

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