Función de Lyapunov

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Concepto en el análisis de sistemas dinámicos

En la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), las funciones de Lyapunov, que llevan el nombre de Aleksandr Lyapunov, son funciones escalares que pueden usarse para demostrar la estabilidad del equilibrio de una EDO. Las funciones de Lyapunov (también llamadas segundo método de Lyapunov para la estabilidad) son importantes para la teoría de la estabilidad de los sistemas dinámicos y la teoría del control. Un concepto similar aparece en la teoría de las cadenas de Markov en el espacio de estados general, generalmente bajo el nombre de funciones de Foster-Lyapunov.

Para ciertas clases de EDO, la existencia de funciones de Lyapunov es una condición necesaria y suficiente para la estabilidad. No existe una técnica general para construir funciones de Lyapunov para EDO; sin embargo, dependiendo del tipo de formulación, el Prof. Cem Civelek proporcionó un método sistemático para construir funciones de Lyapunov para ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando su forma más general en casos autónomos. Sin embargo, en muchos casos específicos se conoce la construcción de las funciones de Lyapunov. Por ejemplo, según muchos matemáticos aplicados, para un sistema giroscópico disipativo no se podría construir una función de Lyapunov. Sin embargo, utilizando el método expresado en la publicación anterior, incluso para tal sistema se podría construir una función de Lyapunov según el artículo relacionado de C. Civelek y Ö. Cihanbegendi. Además, las funciones cuadráticas son suficientes para sistemas con un estado; la solución de una desigualdad matricial lineal particular proporciona funciones de Lyapunov para sistemas lineales, y las leyes de conservación a menudo se pueden utilizar para construir funciones de Lyapunov para sistemas físicos.

Definición

Una función de Lyapunov para un sistema dinámico autónomo

{displaystyle {begin{cases}g:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}&\{dot {y}}=g(y)end{cases}}}

con un punto de equilibrio $y=0$ es una función de escalar ${displaystyle V:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }$ que es continuo, tiene los primeros derivados continuos, es estrictamente positivo para ${displaystyle yneq 0}$ , y para el cual el tiempo derivado ${displaystyle {dot {V}}=nabla {V}cdot g}$ no es positivo (se requieren estas condiciones en alguna región que contenga el origen). La condición (más fuerte) ${displaystyle -nabla {V}cdot g}$ es estrictamente positivo ${displaystyle yneq 0}$ a veces se declara ${displaystyle -nabla {V}cdot g}$ es localmente positivo definido, o ${displaystyle nabla {V}cdot g}$ es localmente negativo definido.

Más discusión sobre los términos que surgen en la definición

Las funciones de Lyapunov surgen en el estudio de puntos de equilibrio de sistemas dinámicos. In ${displaystyle mathbb {R} ^{n},}$ un sistema dinámico autónomo arbitrario puede ser escrito como

{displaystyle {dot {y}}=g(y)}

para algunos suave ${displaystyle g:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}.}$

Un punto de equilibrio es un punto $y^{*}$ tales que ${displaystyle gleft(y^{*}right)=0.}$ Dado un punto de equilibrio, ${displaystyle y^{*},}$ siempre existe una transformación coordinada ${displaystyle x=y-y^{*},}$ tal que:

{displaystyle {begin{cases}{dot {x}}={dot {y}}=g(y)=gleft(x+y^{*}right)=f(x)\f(0)=0end{cases}}}

Así, en el estudio de puntos de equilibrio, es suficiente asumir que el punto de equilibrio ocurre en ${displaystyle 0}$ .

Por la regla de la cadena, para cualquier función, ${displaystyle H:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R}}$ el tiempo derivado de la función evaluada a lo largo de una solución del sistema dinámico es

{displaystyle {dot {H}}={frac {d}{dt}}H(x(t))={frac {partial H}{partial x}}cdot {frac {dx}{dt}}=nabla Hcdot {dot {x}}=nabla Hcdot f(x).}

Una función $H$ se define como función localmente positiva-definida (en el sentido de los sistemas dinámicos) si ambos ${displaystyle H(0)=0}$ y hay un barrio de origen, ${mathcal {B}}$ , tal que:

0quad forall xin {mathcal {B}}setminus {0}.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">H()x)■0О О x▪ ▪ B∖ ∖ {}0}.{displaystyle H(x)}quad forall xin {mathcal {B}setminus {0}.}0quad forall xin {mathcal {B}}setminus {0}.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c5077fe58b1b9790b65efa8d4b9aa9f38e11eb6" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.121ex; height:2.843ex;"/>

Teoremas básicos de Lyapunov para sistemas autónomos

Vamos ${displaystyle x^{*}=0}$ ser un equilibrio del sistema autónomo

{displaystyle {dot {x}}=f(x).}

y utilizar la notación ${displaystyle {dot {V}}(x)}$ para denotar el tiempo derivado de la función Lyapunov-candidate- $V$ :

{displaystyle {dot {V}}(x)={frac {d}{dt}}V(x(t))={frac {partial V}{partial x}}cdot {frac {dx}{dt}}=nabla Vcdot {dot {x}}=nabla Vcdot f(x).}

Equilibrio localmente asintóticamente estable

Si el equilibrio está aislado, la función de Lyapunov-candidate- $V$ es localmente positivo definido, y el derivado del tiempo de la función Lyapunov-candidate- es localmente negativo definido:

<math alttext="{displaystyle {dot {V}}(x)VÍ Í ()x).0О О x▪ ▪ B∖ ∖ {}0}{displaystyle {dot { dot}(x) 0 0quadforall xin {mathcal {B}setminus {0} <img alt="{dot {V}}(x)

para algún vecindario ${mathcal {B}}$ de origen entonces el equilibrio se demuestra ser localmente asintotically estable.

Equilibrio estable

Si $V$ es una función de Lyapunov, entonces el equilibrio es Lyapunov estable. El contrario también es cierto, y fue probado por J. L. Massera.

Equilibrio globalmente asintóticamente estable

Si la función de Lyapunov-candidate- $V$ es globalmente positivo definido, radialmente sin límites, el equilibrio aislado y el derivado del tiempo de la función Lyapunov-candidate- es globalmente negativo definido:

<math alttext="{displaystyle {dot {V}}(x)VÍ Í ()x).0О О x▪ ▪ Rn∖ ∖ {}0},{displaystyle {dot {dot {}(x) 0quadforall xin mathbb {R} ^{n}setminus {0},}<img alt="{displaystyle {dot {V}}(x)

entonces se demuestra que el equilibrio es globalmente asintóticamente estable.

La función Lyapunov-candidate $V(x)$ está radialmente sin límites si

|x|to infty Rightarrow V(x)to infty.

(Esto también se conoce como norma-coercitividad).

Ejemplo

Considerar la siguiente ecuación diferencial $mathbb {R}$ :

{dot {x}}=-x.

Considerando que $x^{2}$ es siempre positivo alrededor del origen es un candidato natural para ser una función de Lyapunov para ayudarnos a estudiar $x$ . Así que... ${displaystyle V(x)=x^{2}}$ on ${displaystyle mathbb {R} }$ . Entonces,

<math alttext="{displaystyle {dot {V}}(x)=V'(x){dot {x}}=2xcdot (-x)=-2x^{2}VÍ Í ()x)=V.()x)xÍ Í =2x⋅ ⋅ ()− − x)=− − 2x2.0.{displaystyle {dot {}(x)=V'(x){dot {x}=2xcdot (-x)=-2x^{2}traducido0.}<img alt="{displaystyle {dot {V}}(x)=V'(x){dot {x}}=2xcdot (-x)=-2x^{2}

Esto muestra correctamente que la ecuación diferencial anterior, $x,$ es asintóticamente estable sobre el origen. Tenga en cuenta que el uso del mismo candidato de Lyapunov puede demostrar que el equilibrio también es globalmente asintotically estable.

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