Función de Liouville

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La función Lambda de Liouville, denotada por λ(n) y nombrada en honor a Joseph Liouville, es una función aritmética importante. Su valor es +1 si n es el producto de un número par de números primos, y −1 si es el producto de un número impar de números primos.

Explícitamente, el teorema fundamental de la aritmética declara que cualquier entero positivo n puede ser representado únicamente como un producto de los poderes de los primos: $n=p_{1}^{{a_{1}}}cdots p_{k}^{{a_{k}}}$ Donde p₁. p₂ - No. p_k son los primeros y los a_j son números enteros positivos. (1 es dado por el producto vacío.) Las funciones principales de omega cuentan el número de primos, con (Ω) o sin (ω) multiplicidad:

⋅()n) k,

Ω(n) a₁ + a₂ +... + a_k.

λ(n) se define mediante la fórmula

{displaystyle lambda (n)=(-1)^{Omega (n)}.}

(secuencia) A008836 en el OEIS).

λ es completamente multiplicativo ya que Ω(n) es completamente aditivo, es decir: Ω(ab) = Ω(a) + Ω (b). Como 1 no tiene factores primos, Ω(1) = 0 entonces λ(1) = 1.

Está relacionado con la función de Möbius μ(n). Escribe n como n = a²b donde b no tiene cuadrados, es decir, ω(b) = Ω(b). Entonces

{displaystyle lambda (n)=mu (b).}

La suma de la función de Liouville sobre los divisores de n es la función característica de los cuadrados:

sum _{{d|n}}lambda (d)={begin{cases}1&{text{if }}n{text{ is a perfect square,}}\0&{text{otherwise.}}end{cases}}

La inversión de Möbius de esta fórmula produce

{displaystyle lambda (n)=sum _{d^{2}|n}mu left({frac {n}{d^{2}}}right).}

El inverso Dirichlet de la función Liouville es el valor absoluto de la función Möbius, ${displaystyle lambda ^{-1}(n)=|mu (n)|=mu ^{2}(n),}$ la función característica de los enteros sin cuadrado. También tenemos eso ${displaystyle lambda (n)mu (n)=mu ^{2}(n)}$ .

Serie

La serie de Dirichlet para la función de Liouville está relacionada con la función zeta de Riemann por

{frac {zeta (2s)}{zeta (s)}}=sum _{{n=1}}^{infty }{frac {lambda (n)}{n^{s}}}.

También:

{displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }{frac {lambda (n)ln n}{n}}=-zeta (2)=-{frac {pi ^{2}}{6}}.}

La serie de Lambert para la función de Liouville es

sum _{{n=1}}^{infty }{frac {lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=sum _{{n=1}}^{infty }q^{{n^{2}}}={frac {1}{2}}left(vartheta _{3}(q)-1right),

Donde $vartheta _{3}(q)$ es la función Jacobi theta.

Conjeturas sobre funciones sumatorias ponderadas

Función de Summatory Liouville L()nhasta n= 10⁴. Las oscilaciones fácilmente visibles se deben al primer cero no-trivial de la función Riemann zeta.

Función de Summatory Liouville L()nhasta n= 10⁷. Observe la invariancia de la escala aparente de las oscilaciones.

Gráfico logarítmico del negativo de la función summatoria Liouville L()nhasta n= 2 × 10⁹. El pico verde muestra la función misma (no su negativa) en la región estrecha donde falla la conjetura de Pólya; la curva azul muestra la contribución oscilatoria del primer Riemann cero.

Función del Summatorio Armónico Liouville T()nhasta n= 10³

La conjetura de Pólya es una conjetura hecha por George Pólya en 1919. Definición

{displaystyle L(n)=sum _{k=1}^{n}lambda (k)}

(secuencia) A002819 en el OEIS),

la conjetura declara que $L(n)leq 0$ para n■ 1. Esto resultó ser falso. El contra-ejemplo más pequeño es n= 906150257, encontrado por Minoru Tanaka en 1980. Desde entonces se ha demostrado que L()n)√n para infinitamente muchos números enteros positivos n, mientras que también se puede mostrar a través de los mismos métodos L()n)√n para infinitamente muchos números enteros positivos n.

Para cualquier $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ , asumiendo la hipótesis Riemann, tenemos que la función summatoria ${displaystyle L(x)equiv L_{0}(x)}$ está obligado por

{displaystyle L(x)=Oleft({sqrt {x}}exp left(Ccdot log ^{1/2}(x)left(log log xright)^{5/2+varepsilon }right)right),}

Donde $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">C■0{displaystyle C confiar0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84d4126c6df243734f9355927c026df6b0d3859" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.027ex; height:2.176ex;"/>$ es una constante límite absoluta.

Defina la suma relacionada

T(n)=sum _{{k=1}}^{n}{frac {lambda (k)}{k}}.

Durante algún tiempo estuvo abierto si T(n) ≥ 0 para n suficientemente grande ≥ n ₀ (esta conjetura se atribuye ocasionalmente, aunque incorrectamente, a Pál Turán). Esto luego fue refutado por Haselgrove (1958), quien demostró que T(n) toma valores negativos infinitamente a menudo. Una confirmación de esta conjetura de positividad habría llevado a una demostración de la hipótesis de Riemann, como demostró Pál Turán.

Generalizaciones

Más generalmente, podemos considerar las funciones summatorias ponderadas sobre la función Liouville definida para cualquier $alpha in mathbb {R}$ como sigue para números enteros positivos x donde (como arriba) tenemos los casos especiales ${displaystyle L(x):=L_{0}(x)}$ y ${displaystyle T(x)=L_{1}(x)}$

{displaystyle L_{alpha }(x):=sum _{nleq x}{frac {lambda (n)}{n^{alpha }}}.}

Éstos $alpha ^{-1}$ - funciones summatorias ponderadas están relacionadas con la función Mertens, o funciones summatorias ponderadas de la función Moebius. De hecho, tenemos que la función no ponderada tan determinada, o ordinaria $L(x)$ corresponde precisamente a la suma

{displaystyle L(x)=sum _{d^{2}leq x}Mleft({frac {x}{d^{2}}}right)=sum _{d^{2}leq x}sum _{nleq {frac {x}{d^{2}}}}mu (n).}

Además, estas funciones satisfacen relaciones asintoticas similares. Por ejemplo, cuando sea ${displaystyle 0leq alpha leq {frac {1}{2}}}$ , vemos que existe una constante absoluta $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Cα α ■0{displaystyle C_{alpha }0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cade189aa31a4db5e4ed7f371545ceb021adb3b" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.207ex; height:2.509ex;"/>$ tales que

{displaystyle L_{alpha }(x)=Oleft(x^{1-alpha }exp left(-C_{alpha }{frac {(log x)^{3/5}}{(log log x)^{1/5}}}right)right).}

Por una aplicación de la fórmula de Perron, o de manera equivalente por una transformada clave (inversa) de Mellin, tenemos que

{displaystyle {frac {zeta (2alpha +2s)}{zeta (alpha +s)}}=scdot int _{1}^{infty }{frac {L_{alpha }(x)}{x^{s+1}}}dx,}

que entonces puede ser invertido a través de la transformación inversa para mostrar que $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x■1{displaystyle x confianza1}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0549e1fb7ee2023519833093c6e3b60236e7d09f" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;"/>$ , ${displaystyle Tgeq 1}$ y $<math alttext="{displaystyle 0leq alpha 0≤ ≤ α α .12{displaystyle 0leq alpha âfrac {1}{2}}<img alt="{displaystyle 0leq alpha$

{displaystyle L_{alpha }(x)={frac {1}{2pi imath }}int _{sigma _{0}-imath T}^{sigma _{0}+imath T}{frac {zeta (2alpha +2s)}{zeta (alpha +s)}}cdot {frac {x^{s}}{s}}ds+E_{alpha }(x)+R_{alpha }(x,T),}

donde podemos ${displaystyle sigma _{0}:=1-alpha +1/log(x)}$ , y con los términos restantes definidos tal ${displaystyle E_{alpha }(x)=O(x^{-alpha })}$ y ${displaystyle R_{alpha }(x,T)rightarrow 0}$ como $Trightarrow infty$ .

En particular, si asumimos que La hipótesis de Riemann (RH) es verdadera y que todos los ceros no-triviales, denotados por ${displaystyle rho ={frac {1}{2}}+imath gamma }$ , de la función Riemann zeta son simples, entonces para cualquier $<math alttext="{displaystyle 0leq alpha 0≤ ≤ α α .12{displaystyle 0leq alpha âfrac {1}{2}}<img alt="{displaystyle 0leq alpha$ y ${displaystyle xgeq 1}$ existe una secuencia infinita ${displaystyle {T_{v}}_{vgeq 1}}$ que satisface ${displaystyle vleq T_{v}leq v+1}$ para todos v tales que

<math alttext="{displaystyle L_{alpha }(x)={frac {x^{1/2-alpha }}{(1-2alpha)zeta (1/2)}}+sum _{|gamma |Lα α ()x)=x1/2− − α α ()1− − 2α α )Especificaciones Especificaciones ()1/2)+.. Silencioγ γ Silencio.TvEspecificaciones Especificaciones ()2*** *** )Especificaciones Especificaciones .. ()*** *** )⋅ ⋅ x*** *** − − α α ()*** *** − − α α )+Eα α ()x)+Rα α ()x,Tv)+Iα α ()x),{displaystyle L_{alpha }(x)={frac {x^{1/2-alpha ##{(1-2alpha)zeta (1/2)}+sum _{ forevergamma {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}}cdot {frac {x^{rho} - 'alpha } {rho -alpha)}+E_{alpha }(x)+R_{alpha }(x,T_{v})+I_{alpha }(x),}<img alt="{displaystyle L_{alpha }(x)={frac {x^{1/2-alpha }}{(1-2alpha)zeta (1/2)}}+sum _{|gamma |

donde para cualquier pequeño $<math alttext="{displaystyle 0<varepsilon 0.ε ε .12− − α α {displaystyle 0 wonvarepsilon } {frac {2}}-alpha }<img alt="{displaystyle 0<varepsilon$ definimos

{displaystyle I_{alpha }(x):={frac {1}{2pi imath cdot x^{alpha }}}int _{varepsilon +alpha -imath infty }^{varepsilon +alpha +imath infty }{frac {zeta (2s)}{zeta (s)}}cdot {frac {x^{s}}{(s-alpha)}}ds,}

y donde el término restante

{displaystyle R_{alpha }(x,T)ll x^{-alpha }+{frac {x^{1-alpha }log(x)}{T}}+{frac {x^{1-alpha }}{T^{1-varepsilon }log(x)}},}

que por supuesto tiende a 0 como $Trightarrow infty$ . Estas extensivas fórmulas analíticas exactas de nuevo comparten propiedades similares a las correspondientes a los casos de función Mertens ponderados. Adicionalmente, desde $<math alttext="{displaystyle zeta (1/2)Especificaciones Especificaciones ()1/2).0{displaystyle zeta (1/2) <img alt="{displaystyle zeta (1/2)$ tenemos otra similitud en forma de ${displaystyle L_{alpha }(x)}$ a $M(x)$ en tanto que el término dominante en las fórmulas anteriores predice un sesgo negativo en los valores de estas funciones sobre los números naturales positivos x.

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