Función de landau

En matemáticas, la función de Landau g(n), llamada así por Edmund Landau, se define para cada número natural n para ser el mayor orden de un elemento del grupo simétrico S_n. De manera equivalente, g(n) es el mínimo común múltiplo más grande (mcm) de cualquier partición de n, o el número máximo de veces que una permutación de n elementos se pueden aplicar recursivamente a sí mismo antes de que regrese a su secuencia inicial.

Por ejemplo, 5 = 2 + 3 y mcm(2,3) = 6. Ninguna otra partición de 5 produce un mcm mayor, entonces g(5) = 6. Un elemento de orden 6 en el grupo S₅ se puede escribir en notación cíclica como (1 2) (3 4 5). Tenga en cuenta que el mismo argumento se aplica al número 6, es decir, g(6) = 6. Hay secuencias arbitrariamente largas de números consecutivos n, n + 1, …, n + m en los que la función g es constante.

La secuencia entera g(0) = 1, g(1) = 1, g(2) = 2, g(3) = 3, g(4) = 4, g(5) = 6, g(6) = 6, g(7) = 12, g(8) = 15,... (secuencia A000793 en la OEIS) lleva el nombre de Edmund Landau, quien demostró en 1902 que

limn→ → JUEGO JUEGO In⁡ ⁡ ()g()n))nIn⁡ ⁡ ()n)=1{displaystyle lim _{nto infty}{frac {ln(g(n)}{sqrt {nln(n)}}}=1}

(donde In denota el logaritmo natural). Equivalentemente (utilizando notación poco o), g()n)=e()1+o()1))nIn⁡ ⁡ n{displaystyle g(n)=e^{(1+o(1)){sqrt {nln}}}}.

La afirmación de que

<math alttext="{displaystyle ln g(n)In⁡ ⁡ g()n).Li− − 1()n){displaystyle ln g(n) won{sqrt {mathrm {Li} ^{-1}(n)}}<img alt="ln g(n)

para todos los n suficientemente grandes, donde Li⁻¹ denota el inverso de la función integral logarítmica, es equivalente a la hipótesis de Riemann.

Se puede demostrar que

g()n)≤ ≤ en/e{displaystyle g(n)leq e^{n/e}

con la única igualdad entre las funciones en n = 0, y de hecho

g()n)≤ ≤ exp⁡ ⁡ ()1.05314nIn⁡ ⁡ n).{displaystyle g(n)leq exp left(1.05314{sqrt {nln n}right). }