Función de identidad

Gráfico de la función de identidad en los números reales

En matemáticas, una función de identidad, también llamada relación de identidad, mapa de identidad o transformación de identidad, es una función que siempre devuelve el valor que se usó como argumento, sin cambios. Es decir, cuando f es la función identidad, la igualdad f(X) = X es verdadero para todos los valores de X al que se puede aplicar f.

Definición

Formalmente, si M es un conjunto, la función identidad f en M se define como una función con M como su dominio y codominio, satisfaciendo

En otras palabras, el valor de la función f(X) en el codominio <span class="texhtml" M es siempre el mismo que el elemento de entrada X en el dominio M. La función identidad en M es claramente una función inyectiva así como una función sobreyectiva, por lo que es biyectiva.

La función de identidad f en M a menudo se denota por id_M.

En la teoría de conjuntos, donde una función se define como un tipo particular de relación binaria, la función de identidad viene dada por la relación de identidad, o diagonal de M.

Propiedades algebraicas

Si f: M → N es cualquier función, entonces tenemos f ∘ id_M = f = id_N ∘ f (donde "∘" denota composición de funciones). En particular, id_M es el elemento de identidad del monoide de todas las funciones de M a M (bajo composición de funciones).

Dado que el elemento de identidad de un monoide es único, se puede definir alternativamente la función de identidad en M para que sea este elemento de identidad. Tal definición se generaliza al concepto de un morfismo de identidad en la teoría de categorías, donde los endomorfismos de M no necesitan ser funciones.

Propiedades

• La función de identidad es un operador lineal cuando se aplica a los espacios vectoriales.
• En un n-dimensional espacio vectorial la función de identidad está representada por la matriz de identidad I_n, independientemente de la base elegida para el espacio.
• La función de identidad en los enteros positivos es una función completamente multiplicativa (esencialmente multiplicación por 1), considerada en la teoría de números.
• En un espacio métrico la función de identidad es trivialmente una isometría. Un objeto sin ninguna simetría tiene como grupo de simetría el grupo trivial que contiene sólo esta isometría (tipo de simetría) C₁).
• En un espacio topológico, la función de identidad es siempre continua.
• La función de identidad es idempotente.