Función de Euler

En matemáticas, la función de Euler está dada por

<math alttext="{displaystyle phi (q)=prod _{k=1}^{infty }(1-q^{k}),quad |q|φ φ ()q)=∏ ∏ k=1JUEGO JUEGO ()1− − qk),SilencioqSilencioc)1.{displaystyle phi (q)=prod _{k=1}{infty }(1-q^{k}),quad ¦<img alt="{displaystyle phi (q)=prod _{k=1}^{infty }(1-q^{k}),quad |q|

Nombrado en honor a Leonhard Euler, es un ejemplo de modelo de una serie q y proporciona el ejemplo prototípico de una relación entre combinatoria y análisis complejo.

Propiedades

El coeficiente p()k){displaystyle p(k)} en la expansión de la serie de potencia formal 1/φ φ ()q){displaystyle 1/phi (q)} da el número de particiones de k. Eso es,

1φ φ ()q)=. . k=0JUEGO JUEGO p()k)qk{displaystyle {frac {1}{f}=sum _{k=0}{infty }p(k)q^{k}}

Donde p{displaystyle p} es la función de partición.

La identidad de Euler, también conocida como teorema del número pentagonal, es

φ φ ()q)=. . n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO ()− − 1)nq()3n2− − n)/2.{displaystyle phi (q)=sum _{n=-infty } {infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}

()3n2− − n)/2{displaystyle (3n^{2}-n)/2} es un número pentagonal.

La función de Euler está relacionada con la función eta de Dedekind como

φ φ ()e2π π iτ τ )=e− − π π iτ τ /12. . ()τ τ ).{displaystyle phi (e^{2pi itau })=e^{-pi itau /12}eta (tau).}

La función de Euler se puede expresar como un símbolo q-Pochhammer:

φ φ ()q)=()q;q)JUEGO JUEGO .{displaystyle phi (q)=(q;q)_{infty }

El logaritmo de la función de Euler es la suma de los logaritmos en la expresión del producto, cada uno de los cuales se puede expandir alrededor de q = 0, dando como resultado

In⁡ ⁡ ()φ φ ()q))=− − . . n=1JUEGO JUEGO 1nqn1− − qn,{displaystyle ln(phi (q))=-sum _{n=1}{infty }{frac {1}{n}}\,{frac {fn}{1-q^{n}}}}

que es una serie de Lambert con coeficientes -1/n. Por tanto, el logaritmo de la función de Euler se puede expresar como

In⁡ ⁡ ()φ φ ()q))=. . n=1JUEGO JUEGO bnqn{displaystyle ln(phi (q)=sum _{n=1}{infty }b_{n}q^ {n}

Donde bn=− − . . dSilencion1d={displaystyle b_{n}=-sum ¿Por qué? {1}{d}=} -[1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10,...] (véase OEIS A000203)

A causa de la identidad σ σ ()n)=. . dSilenciond=. . dSilencionnd{displaystyle sigma (n)=sum - ¿Por qué? ¿Por qué? {n} {d}} Donde σ σ ()n){displaystyle sigma (n)} es la función suma de visores, esto también puede ser escrito como

In⁡ ⁡ ()φ φ ()q))=− − . . n=1JUEGO JUEGO σ σ ()n)n qn{displaystyle ln(phi (q)=-sum _{n=1}{infty }{frac {sigma (n)}{n}} q^{n}.

También si a,b▪ ▪ R+{displaystyle a,bin mathbb {R} {+} y ab=π π 2{displaystyle ab=pi ^{2}Entonces

a1/4e− − a/12φ φ ()e− − 2a)=b1/4e− − b/12φ φ ()e− − 2b).{displaystyle a^{1/4}e^{-a/12}phi (e^{-2a})=b^{1/4}e^{-b/12}phi (e^{-2b}). }

Valores especiales

Las siguientes identidades provienen de los Cuadernos de Ramanujan:

φ φ ()e− − π π )=eπ π /24. . ()14)27/8π π 3/4{displaystyle phi (e^{-pi })={frac {e^{pi /24}Gamma left({frac {1}{4}}right)}{2^{7/8}pi} ^{3/4}}}

φ φ ()e− − 2π π )=eπ π /12. . ()14)2π π 3/4{displaystyle phi (e^{-2pi })={frac {e^{pi /12}Gamma left({frac {1}{4}}right)}{2pi ^{3/4}}}

φ φ ()e− − 4π π )=eπ π /6. . ()14)211/8π π 3/4{displaystyle phi (e^{-4pi })={frac {e^{pi /6}Gamma left({frac {1}{4}}}right)}{2^{11}/8}pi} ^{3/4}}}

φ φ ()e− − 8π π )=eπ π /3. . ()14)229/16π π 3/4()2− − 1)1/4{displaystyle phi (e^{-8pi })={frac {e^{pi /3}Gamma left({frac {1}{4}}}right)}{2^{29/16}pi ^{3/4}} {sqrt {2}}}-1)}{1/4}}}}}}}} {

Usando el teorema del número pentagonal, intercambiando suma e integral, y luego invocando métodos analíticos complejos, se deriva

∫ ∫ 01φ φ ()q)dq=8323π π pecado⁡ ⁡ ()23π π 6)2cosh⁡ ⁡ ()23π π 3)− − 1.{displaystyle int ¿Qué? q={frac {8{sqrt {fnK}}pi} sinh left({frac {sqrt {23}pi} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {23}pi} - Sí.