Función de dirichlet

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En matemáticas, la Función de Dirichlet es la función indicadora ${displaystyle mathbf {1} _{mathbb {}$ del conjunto de números racionales ${displaystyle mathbb {Q}$ , es decir. ${displaystyle mathbf [1] _{mathbb {Q}(x)=1}$ si $x$ es un número racional y ${displaystyle mathbf {1} _{mathbb {Q}(x)=0}$ si $x$ no es un número racional (es decir, un número irracional).

{displaystyle mathbf {1} {Q} }(x)={begin{cases}1 curvaxin mathbb {Q} \0 curvaxnotin mathbb {Q}end{cases}}

Lleva el nombre del matemático Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Es un ejemplo de función patológica que proporciona contraejemplos a muchas situaciones.

Propiedades topológicas

La función Dirichlet no es continua.
Prueba
- Si $Sí.$ es racional, entonces $f () Sí.) = 1$ . Para mostrar la función no es continua en $Sí.$ , necesitamos encontrar un $ε$ tal que no importa lo pequeño que elijamos $δ$ , habrá puntos $z$ dentro $δ$ de $Sí.$ tales que $f () z)$ no está dentro $ε$ de $f () Sí.) = 1$ . De hecho, 1.2 es tal $ε$ . Porque los números irracionales son densos en los reinos, no importa lo que sea $δ$ elegimos que siempre podemos encontrar un irracional $z$ dentro $δ$ de $Sí.$ , y $f () z) = 0$ al menos 1.2 lejos de 1.
- Si $Sí.$ es irracional, entonces $f () Sí.) = 0$ . De nuevo, podemos tomar $ε = 1.2$ , y esta vez, porque los números racionales son densos en los reales, podemos elegir $z$ ser un número racional tan cercano $Sí.$ como es necesario. Otra vez, $f () z) = 1$ es más que 1.2 lejos $f () Sí.) = 0$ .
Sus restricciones al conjunto de números racionales y al conjunto de números irracionales son constantes y por lo tanto continuas. La función Dirichlet es un ejemplo arquetípico del teorema Blumberg.
La función Dirichlet se puede construir como el doble límite de punta de una secuencia de funciones continuas, como sigue: ${displaystyle forall xin mathbb {R}quad mathbf {1} {Q} }(x)=lim _{kto infty }left(lim _{jto infty }left(cos(k!pi x)right)^{2j}right)}$ para entero $j$ y $k$ . Esto muestra que la función Dirichlet es una función Baire class 2. No puede ser una función de clase 1 de Baire porque una función de clase 1 de Baire sólo puede ser discontinua en un conjunto de measgre.

Periodicidad

Para cualquier número real $x$ y cualquier número racional positivo $T$ , ${displaystyle mathbf {1} _{mathbb {Q}(x+T)=mathbf {1} _{mathbb {Q}(x)}$ . Por lo tanto, la función Dirichlet es un ejemplo de una función periódica real que no es constante, pero cuyo conjunto de períodos, el conjunto de números racionales, es un subconjunto denso de ${displaystyle mathbb {R}$ .

Propiedades de integración

La función Dirichlet no es Riemann-integrable en ningún segmento de ${displaystyle mathbb {R}$ mientras que está ligada porque el conjunto de sus puntos de discontinuidad no es insignificante (para la medida Lebesgue).
La función Dirichlet proporciona un contraejemplo que muestra que el teorema de convergencia monotona no es cierto en el contexto de la integral Riemann.
Prueba
Usando una enumeración de los números racionales entre 0 y 1, definimos la función $f n$ (para todo entero no negativo $n$ ) como la función indicadora del conjunto de la primera $n$ términos de esta secuencia de números racionales. La creciente secuencia de funciones $f n$ (que no son negativas, Riemann-integrable con una integral desaparecida) punto a punto converge a la función Dirichlet que no es Riemann-integrable.
La función Dirichlet es Lebesgue-integrable en ${displaystyle mathbb {R}$ y su integral ${displaystyle mathbb {R}$ es cero porque es cero excepto en el conjunto de números racionales que es insignificante (para la medida Lebesgue).

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