Función de demanda marshalliana

En microeconómica, un consumidor Función de demanda Marshall (llamado después de Alfred Marshall) es la cantidad que demandan de un bien particular como función de su precio, sus ingresos, y los precios de otros bienes, una exposición más técnica de la función estándar de demanda. Es una solución al problema de maximización de la utilidad de cómo el consumidor puede maximizar su utilidad para los ingresos y precios dados. Un término sinónimo es función de demanda no compensada, porque cuando el precio aumenta el consumidor no se compensa con mayores ingresos nominales por la caída de sus ingresos reales, a diferencia de la función de demanda Hicksian. Así el cambio en la cantidad demandada es una combinación de un efecto de sustitución y un efecto de riqueza. Aunque la demanda Marshall está en el contexto de la teoría del equilibrio parcial, a veces se llama Demanda de Walrasian como se utiliza en la teoría general del equilibrio (nombre de Léon Walras).

Según el problema de maximización de la utilidad, hay ${displaystyle L.$ productos básicos con vector de precio ${displaystyle p}$ vector de la cantidad ${displaystyle x}$. El consumidor tiene ingresos ${displaystyle I}$, y por lo tanto un conjunto presupuestario de paquetes asequibles

${displaystyle B(p,I)={x:pcdot xleq Yo...$

Donde ${displaystyle pcdot x=sum ¿Qué?$ es el producto del punto del precio y la cantidad vectores. El consumidor tiene una función de utilidad

${displaystyle u:mathbb {fnK} L}rightarrow mathbb {R}$

La correspondencia de demanda marshalliana del consumidor se define como

${displaystyle x^{*}(p,I)=operatorname {argmax} _{xin B(p,I)}u(x)}$

Preferencia revelada

La teoría de Marshall sugiere que la búsqueda de utilidad es un factor de motivación para un consumidor que puede lograrse mediante el consumo de bienes o servicios. La cantidad de utilidad del consumidor depende del nivel de consumo de un determinado bien, que está sujeto a la tendencia fundamental de la naturaleza humana y se describe como la ley de la utilidad marginal decreciente.

Como máximo de utilidad siempre existe, la correspondencia de demanda Marshall debe ser ineficaz a cada valor que corresponda con el conjunto de presupuesto estándar.

Singularidad

${displaystyle x^{*}(p,I)}$ se llama correspondencia porque en general puede ser valorado en conjunto - puede haber varios paquetes diferentes que alcanzan la misma utilidad máxima. En algunos casos, hay un único bulto de máxima utilidad para cada precio y situación de ingresos; entonces, ${displaystyle x^{*}(p,I)}$ es una función y se llama Función de demanda Marshall.

Si el consumidor tiene preferencias estrictamente convexas y los precios de todas las mercancías son estrictamente positivos, entonces hay un único paquete de utilidad máxima. Para demostrar esto, supongamos, por contradicción, que hay dos paquetes diferentes, ${displaystyle x_{1}}$ y ${displaystyle x_{2}$Eso maximiza la utilidad. Entonces... ${displaystyle x_{1}}$ y ${displaystyle x_{2}$ son igualmente preferidos. Por definición de convexidad estricta, el paquete mixto ${displaystyle 0,5x_{1}+0,5x_{2}$ es estrictamente mejor que ${displaystyle x_{1},x_{2}}$. Pero esto contradice la óptimaidad de ${displaystyle x_{1},x_{2}}$.

Continuidad

El teorema del máximo implica que si:

• La función de utilidad ${displaystyle u(x)}$ es continuo con respecto a ${displaystyle x}$,
• La correspondencia ${displaystyle B(p,I)}$ es no vacío, valor compacto y continuo con respecto a ${displaystyle p,I}$,

entonces ${displaystyle x^{*}(p,I)}$ es una correspondencia alta-semicontínua. Además, si ${displaystyle x^{*}(p,I)}$ es único, entonces es una función continua ${displaystyle p}$ y ${displaystyle I}$.

Combinando con la subsección anterior, si el consumidor tiene preferencias estrictamente convexas, entonces la demanda marshalliana es única y continua. Por el contrario, si las preferencias no son convexas, entonces la demanda marshalliana puede ser no única y no continua.

Homogeneidad

La correspondencia óptima de demanda Marshall de una función de utilidad continua es una función homogénea con grado cero. Esto significa que por cada constante ${displaystyle a confiar0,}$

${displaystyle x^{*}(acdot p,acdot I)=x^{*}(p,I).}$

Esto es intuitivamente claro. Suppose ${displaystyle p}$ y ${displaystyle I}$ se miden en dólares. Cuando ${displaystyle a=100}$, ${displaystyle ap}$ y ${displaystyle aI}$ son exactamente las mismas cantidades medida en centavos. Cuando los precios y la riqueza suben por un factor a, el patrón de compra de un agente económico sigue siendo constante. Obviamente, expresar en diferentes unidades de medición de precios e ingresos no debe afectar la demanda.

Curva de demanda

La teoría de Marshall explota que la curva de demanda representa los valores marginales decrecientes del bien por parte de los individuos. La teoría insiste en que la decisión de compra del consumidor depende de la utilidad que puede obtener de un bien o servicio en comparación con el precio, ya que la utilidad adicional que obtiene el consumidor debe ser al menos tan grande como el precio. La siguiente sugerencia propone que el precio demandado sea igual al precio máximo que el consumidor pagaría por una unidad extra de bien o servicio. Por tanto, la utilidad se mantiene constante a lo largo de la curva de demanda. Cuando la utilidad marginal del ingreso es constante, o su valor es el mismo entre los individuos dentro de una curva de demanda de mercado, es posible generar beneficios netos de las unidades compradas o excedente del consumidor mediante la suma de los precios de demanda.

Ejemplos

En los siguientes ejemplos, hay dos productos, 1 y 2.

1. La función de utilidad tiene la forma Cobb-Douglas:

${displaystyle u(x_{1},x_{2}=x_{1}{alpha }x_{2} {beta }$

La optimización restringida conduce a la función de demanda marshalliana:

${displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=left({frac {alpha I}{(alpha +beta)p_{1}}},{frac {beta} Yo...$

2. La función de utilidad es una función de utilidad CES:

${displaystyle u(x_{1},x_{2}=left[{frac] {x_{1}{delta }{delta }+{frac {x_{2}{delta Está bien. {1}{delta }}$

Entonces... ${displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=left({frac} {Ip_{1}{epsilon - ¿Qué? ¿Qué? {Ip_{2}{epsilon - ¿Qué? }+p_{2} {epsilon }derecha,quad {text{with}quad epsilon ={frac {delta }{delta - Sí.$

En ambos casos, las preferencias son estrictamente convexas, la demanda es única y la función de demanda es continua.

3. La función de utilidad tiene la forma lineal:

${displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}$

La función de utilidad es sólo débilmente convexa, y de hecho la demanda no es única: cuando ${displaystyle P_{1}=p_{2}$, el consumidor puede dividir sus ingresos en relaciones arbitrarias entre los tipos de productos 1 y 2 y obtener la misma utilidad.

4. La función de utilidad exhibe una tasa marginal de sustitución no decreciente:

${displaystyle u(x_{1},x_{2}=(x_{1}{alpha }+x_{2} {alpha }),quad {text{with}quad alpha œ1.}$

La función de utilidad no es convexa, y de hecho la demanda no es continua: cuando ${displaystyle - ¿Qué?$, el consumidor sólo demanda producto 1, y cuando ${displaystyle - ¿Qué?$, el consumidor sólo demanda producto 2 (cuando ${displaystyle P_{1}=p_{2}$ la correspondencia de la demanda contiene dos paquetes distintos: ya sea comprar sólo el producto 1 o comprar sólo el producto 2).