Función de demanda hicksiana

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Concepto en la microeconómica

En microeconomía, la función de demanda hicksiana o la función de demanda compensada de un consumidor para un bien es la cantidad demandada como parte de la solución para minimizar su gasto en todos los bienes y al mismo tiempo ofrecer un nivel fijo de utilidad. Esencialmente, una función de demanda de Hicks muestra cómo reaccionaría un agente económico ante el cambio en el precio de un bien, si el ingreso del agente fuera compensado para garantizarle la misma utilidad antes del cambio en el precio del bien. —el agente permanecerá en la misma curva de indiferencia antes y después del cambio en el precio del bien. La función lleva el nombre de John Hicks.

Matemáticamente,

{displaystyle h(p,{bar {u}})=arg min _{x}sum _{i}p_{i}x_{i}}

{displaystyle {rm {subject~to}} u(x)geq {bar {u}}}

Donde h()p,u) es la función de demanda Hicksian, o paquete de mercancía demandado, a precio vectorial p y nivel de utilidad ${displaystyle {bar {u}}}$ . Aquí. p es un vector de precios, y x es un vector de cantidades demandadas, así que la suma de todo p_ix_i es el gasto total en todas las mercancías. (Nota que si hay más de un vector de cantidades que minimiza los gastos para la utilidad dada, tenemos una correspondencia de demanda Hicksian en lugar de una función).

Las funciones de demanda de Hicks son útiles para aislar el efecto de los precios relativos sobre las cantidades demandadas de bienes, en contraste con las funciones de demanda marshallianas, que combinan eso con el efecto de que el ingreso real del consumidor se reduce por un aumento de precio, como se explica abajo.

Relación con otras funciones

Las funciones de demanda Hicksian son a menudo convenientes para la manipulación matemática porque no requieren ingresos o riqueza para ser representados. Además, la función a minimizar es lineal en el ${displaystyle x_{i}}$ , que da un problema de optimización más simple. Sin embargo, las funciones de demanda Marshall de la forma ${displaystyle x(p,w)}$ que describen la demanda de precios dados p e ingresos ${displaystyle w}$ son más fáciles de observar directamente. Los dos están relacionados

{displaystyle h(p,u)=x(p,e(p,u)), }

Donde ${displaystyle e(p,u)}$ es la función de gasto (la función que da la riqueza mínima necesaria para llegar a un nivel de utilidad dado), y por

{displaystyle h(p,v(p,w))=x(p,w), }

Donde ${displaystyle v(p,w)}$ es la función de utilidad indirecta (que da el nivel de utilidad de tener una determinada riqueza bajo un régimen de precio fijo). Sus derivados están más relacionados fundamentalmente por la ecuación Slutsky.

Mientras que la demanda marshalliana proviene del problema de maximización de la utilidad, la demanda hicksiana proviene del problema de minimización del gasto. Los dos problemas son duales matemáticos y, por tanto, el teorema de la dualidad proporciona un método para demostrar las relaciones descritas anteriormente.

La función de demanda Hicksian está íntimamente relacionada con la función de gastos. Si la función de utilidad del consumidor ${displaystyle u(x)}$ es localmente no satisfecho y estrictamente convexo, entonces por la lema de Shephard es cierto que ${displaystyle h(p,u)=nabla _{p}e(p,u).}$

Demanda hicksiana y cambios de precios compensados

Las curvas de demanda marshallianas muestran el efecto de los cambios de precios sobre la cantidad demandada. A medida que aumenta el precio de un bien, normalmente la cantidad demandada de ese bien disminuirá, pero no en todos los casos. El aumento de precios tiene tanto un efecto sustitución como un efecto ingreso. El efecto sustitución es el cambio en la cantidad demandada debido a un cambio de precio que altera la pendiente de la restricción presupuestaria pero deja al consumidor en la misma curva de indiferencia (es decir, en el mismo nivel de utilidad). El efecto sustitución siempre es comprar menos de ese bien. El efecto renta es el cambio en la cantidad demandada debido al efecto del cambio de precio sobre el poder adquisitivo total del consumidor. Dado que para la función de demanda marshalliana la renta nominal del consumidor se mantiene constante, cuando un precio sube su renta real cae y es más pobre. Si el bien en cuestión es un bien normal y su precio aumenta, el efecto renta de la caída del poder adquisitivo refuerza el efecto sustitución. Si el bien es un bien inferior, el efecto renta compensará en cierta medida el efecto sustitución. Si el bien es un bien Giffen, el efecto renta es tan fuerte que la cantidad demandada marshalliana aumenta cuando aumenta el precio.

La función de demanda de Hicks aísla el efecto sustitución suponiendo que el consumidor es compensado con exactamente suficiente ingreso adicional después del aumento de precio para comprar algún paquete en la misma curva de indiferencia. Si la función de demanda de Hicks es más pronunciada que la demanda marshalliana, el bien es un bien normal; de lo contrario, el bien es inferior. La demanda hicksiana siempre tiene una pendiente descendente.

Propiedades matemáticas

Si la función de utilidad del consumidor ${displaystyle u(x)}$ es continua y representa una relación preferencial localmente no satisfecha, luego la correspondencia de demanda Hicksian ${displaystyle h(p,u)}$ satisfecha las siguientes propiedades:

i. Homogeneidad del grado cero en pPara todos $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■0{displaystyle a confía0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;"/>$ , ${displaystyle h(ap,u)=h(p,u)}$ . Esto es porque lo mismo x que minimiza ${displaystyle sum _{i}p_{i}x_{i}}$ también minimiza ${displaystyle sum _{i}ap_{i}x_{i}}$ sujeto a la misma limitación.

ii. No hay demanda excesiva: La limitación ${displaystyle u(hx)geq {bar {u}}}$ mantiene una estricta igualdad, ${displaystyle u(x)={bar {u}}}$ . Esto se deriva de la continuidad de la función de utilidad. Informalmente, simplemente podían gastar menos hasta que la utilidad era exactamente ${displaystyle {bar {u}}}$ .

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