Función de correlación (mecánica estadística)

En mecánica estadística, la función de correlación es una medida del orden en un sistema, caracterizada por una función de correlación matemática. Las funciones de correlación describen cómo se relacionan las variables microscópicas, como el giro y la densidad, en diferentes posiciones. Más específicamente, las funciones de correlación cuantifican cómo las variables microscópicas covarían entre sí en promedio a lo largo del espacio y el tiempo. Un ejemplo clásico de tales correlaciones espaciales es el de los materiales ferromagnéticos y antiferromagnéticos, donde los espines prefieren alinearse en paralelo y antiparalelo con sus vecinos más cercanos, respectivamente. La correlación espacial entre los espines de dichos materiales se muestra en la figura de la derecha.

Definiciones

La definición más común de una función de correlación es el conjunto canónico (termal) promedio del producto escalar de dos variables aleatorias, ${\displaystyle S_{1}$ y ${\displaystyle s_{2}$, en posiciones ${\displaystyle R.$ y ${\displaystyle R+r.$ y tiempos ${\displaystyle t}$ y ${\displaystyle t+\tau }$:

$${\displaystyle C(r,\tau)=\langle \mathbf {} (R,t)\cdot \mathbf {s_{2} (R+r,t+\tau)\rangle \ -\langle \mathbf {} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2} (R+r,t+\tau)\rangle \,.}$$

Aquí los corchetes, ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$, indicar el promedio térmico mencionado anteriormente. Sin embargo, es importante señalar que si bien los corchetes se denominan promedio, se calculan como un valor esperado, no como un valor promedio. Es cuestión de convención si se restringe el producto medio no relacionado de ${\displaystyle S_{1}$ y ${\displaystyle s_{2}$, ${\displaystyle \langle \mathbf {} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2} (R+r,t+\tau)\rangle }$ del producto correlativo, ${\displaystyle \langle \mathbf {} (R,t)\cdot \mathbf {s_{2} (R+r,t+\tau)\rangle }$, con la convención que difiere entre campos. Los usos más comunes de las funciones de correlación son cuando ${\displaystyle S_{1}$ y ${\displaystyle s_{2}$ describir la misma variable, como una función de correlación de la columna vertebral o una función de correlación de posición de partículas en un líquido elemental o un sólido (a menudo llamada función de distribución radial o función de correlación de par). Las funciones de correlación entre la misma variable aleatoria son funciones de autocorrelación. Sin embargo, en la mecánica estadística, no todas las funciones de correlación son funciones de autocorrelación. Por ejemplo, en fases condensadas multicomponentes, la función de correlación entre diferentes elementos suele ser de interés. Tales funciones de correlación de pares de elemento mixto son un ejemplo de funciones de corelación cruzada, como variables aleatorias ${\displaystyle S_{1}$ y ${\displaystyle s_{2}$ representan las variaciones medias de la densidad como posición de función para dos elementos distintos.

Funciones de correlación (espacial) de igual tiempo de equilibrio

A menudo, uno está interesado solamente en espacial influencia de una determinada variable aleatoria, diga la dirección de un giro, en su entorno local, sin considerar tiempos posteriores, ${\displaystyle \tau }$. En este caso, descuidamos la evolución del tiempo del sistema, por lo que la definición anterior es reescrita con ${\displaystyle \tau =0}$. Esto define el función de correlación de tiempo igual, ${\displaystyle C(r,0)}$. Está escrito como:

$${\displaystyle C(r,0)=\langle \mathbf {s_{1} (R,t)\cdot \mathbf {s_{2} (R+r,t)\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2} (R+r,t)\rangle \,.}$$

A menudo, uno omite el tiempo de referencia, ${\displaystyle t}$, y radio de referencia, ${\displaystyle R.$, asumiendo el equilibrio (y por lo tanto la invariancia del conjunto) y el promedio sobre todas las posiciones de la muestra, dando lugar a:

$${\displaystyle C(r)=\langle \mathbf {s_{1} (0)\cdot \mathbf {s_{2} (r)\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1} (0)\rangle \langle \mathbf {s_{2} (r)\rangle }$$

Funciones de correlación (temporal) de igual posición de equilibrio

También podría interesarse en el temporal evolución de variables microscópicas. En otras palabras, cómo el valor de una variable microscópica en una posición y tiempo dados, ${\displaystyle R.$ y ${\displaystyle t}$, influye en el valor de la misma variable microscópica en un momento posterior, ${\displaystyle t+\tau }$ (y generalmente en la misma posición). Tales correlaciones temporales se cuantifican a través de funciones de correlación de la misma posición, ${\displaystyle C(0,\tau)}$. Se definen analógicamente a funciones de correlación de tiempo igual, pero ahora descuidamos las dependencias espaciales estableciendo ${\displaystyle r=0}$, cediendo:

$${\displaystyle C(0,\tau)=\langle \mathbf {} (R,t)\cdot \mathbf {s_{2} (R,t+\tau)\rangle \ -\langle \mathbf {} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2} (R,t+\tau)\rangle \,}$$

Asumiendo equilibrio (y por lo tanto invariancia temporal del conjunto) y promediando todos los sitios en la muestra se obtiene una expresión más simple para la función de correlación de igual posición que para la función de correlación de igual tiempo:

$${\displaystyle C(\tau)=\langle \mathbf {s_{1} (0)\cdot \mathbf {s_{2} {\tau)\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1}} (0)\rangle \langle \mathbf {s_{2} {\tau)\rangle \,}$$

La suposición anterior puede parecer no intuitiva al principio: ¿cómo puede un conjunto que es invariante de tiempo tener una función de correlación temporal no uniforme? Las correlaciones temporales siguen siendo relevantes para hablar de sistemas de equilibrio porque un tiempo invariable, macroscópica ensemble todavía puede tener dinámica temporal no-trivial microscópicamente. Un ejemplo está en la difusión. Un sistema monofásico en equilibrio tiene una composición homogénea macroscópicamente. Sin embargo, si uno observa el movimiento microscópico de cada átomo, las fluctuaciones de la composición se están produciendo constantemente debido a los paseos de cuasi-arentena tomados por los átomos individuales. La mecánica estadística permite hacer declaraciones perspicaces sobre el comportamiento temporal de tales fluctuaciones de sistemas de equilibrio. Esto se discute a continuación en la sección sobre la evolución temporal de las funciones de correlación y la hipótesis de regresión de Onsager.

Generalización más allá de las funciones de correlación de equilibrio

Todas las funciones de correlación mencionadas se han definido en el contexto de la mecánica estadística de equilibrio. Sin embargo, es posible definir funciones de correlación para sistemas alejados del equilibrio. Examen de la definición general ${\displaystyle C(r,\tau)}$, está claro que uno puede definir las variables aleatorias utilizadas en estas funciones de correlación, como posiciones atómicas y giros, lejos del equilibrio. Como tal, su producto escalar está bien definido lejos del equilibrio. La operación que ya no está bien definida lejos del equilibrio es la media sobre el conjunto de equilibrio. Este proceso de promediación para el sistema de no equilibrio es reemplazado típicamente por la promediación del producto de escalar en toda la muestra. Esto es típico en experimentos de dispersión y simulaciones de computadora, y a menudo se utiliza para medir las funciones de distribución radial de los vasos.

También se pueden definir promedios sobre estados para sistemas ligeramente perturbados desde el equilibrio. Véase, por ejemplo, http://xbeams.chem.yale.edu/~batista/vaa/node56.html Archivado el 25 de diciembre de 2018 en Wayback Machine.

Medición de funciones de correlación

Las funciones de correlación se miden normalmente con experimentos de dispersión. Por ejemplo, los experimentos de dispersión de rayos X miden directamente las correlaciones de tiempo igual a electrones. Del conocimiento de los factores de estructura elemental, también se pueden medir las funciones de correlación de par elemental. Ver función de distribución radial para más información. Las funciones de correlación entre espinas y espinas se miden con dispersión de neutrones en lugar de dispersión de rayos X. La dispersión de neutrones también puede producir información sobre correlaciones de pares también. Para sistemas compuestos de partículas mayores que alrededor de un micrometro, la microscopia óptica se puede utilizar para medir funciones de correlación de tiempo igual e igual. La microscopía óptica es así común para las suspensiones coloides, especialmente en dos dimensiones.

Evolución temporal de las funciones de correlación

En 1931, Lars Onsager propuso que la regresión de las fluctuaciones térmicas microscópicas en equilibrio sigue la ley macroscópica de relajación de pequeñas perturbaciones no equilibrios. Esto es conocido como Hipótesis de regresión del agresor. Como valores de variables microscópicas separadas por grandes escalas de tiempo, ${\displaystyle \tau }$, debe ser incorrelacionado más allá de lo que esperaríamos del equilibrio termodinámico, la evolución en el tiempo de una función de correlación se puede ver desde un punto de vista físico como el sistema gradualmente 'olvidar' las condiciones iniciales colocadas sobre él a través de la especificación de alguna variable microscópica. En realidad existe una conexión intuitiva entre la evolución del tiempo de las funciones de correlación y la evolución del tiempo de los sistemas macroscópicos: en promedio, la función de correlación evoluciona en el tiempo de la misma manera que si un sistema fue preparado en las condiciones especificadas por el valor inicial de la función de correlación y permite evolucionar.

Las fluctuaciones de equilibrio del sistema se pueden relacionar con su respuesta a perturbaciones externas mediante el teorema de fluctuación-disipación.

La conexión entre las transiciones de fase y las funciones de correlación

Las continuas transiciones de fase, como las transiciones de orden en aleaciones metálicas y transiciones ferromagnéticas paramagnéticas, implican una transición de un estado ordenado a un estado desordenado. En términos de funciones de correlación, la función de correlación de tiempo igual no es cero para todos los puntos de celo por debajo de la temperatura crítica, y no es insignificante por sólo un radio bastante pequeño por encima de la temperatura crítica. Como la transición de fase es continua, la longitud sobre la cual se correlacionan las variables microscópicas, ${\displaystyle \xi }$, debe pasar continuamente de ser infinito a finito cuando el material se calienta a través de su temperatura crítica. Esto da lugar a una dependencia del poder de la función de correlación como función de distancia en el punto crítico. Esto se muestra en la figura de la izquierda para el caso de un material ferromagnético, con los detalles cuantitativos enumerados en la sección sobre magnetismo.

Aplicaciones

Magnetismo

En un sistema de giro, la función de correlación de tiempo igual es especialmente bien estudiada. Describe el conjunto canónico (termal) promedio del producto escalar de las espinas en dos puntos de celo sobre todos los pedidos posibles: ${\displaystyle C(r)=\langle \mathbf {s} (R)\cdot \mathbf {s} (R+r)\rangle \ -\langle \mathbf {s} (R)\rangle \mathbf {s} (R+r)\rangle \,.}$Aquí los soportes significan el promedio térmico mencionado anteriormente. Las parcelas esquemáticas de esta función se muestran para un material ferromagnético debajo, a, y por encima de su temperatura Curie a la izquierda.

Incluso en una fase con trastornos magnéticos, los giros en diferentes posiciones están correlacionados, es decir, si la distancia r es muy pequeña (en comparación con alguna escala de longitud ${\displaystyle \xi }$), la interacción entre los giros hará que sean correlacionados. La alineación que surgiría naturalmente como resultado de la interacción entre los giros es destruida por los efectos térmicos. A altas temperaturas se observan correlaciones exponencialmente cambiantes con mayor distancia, con la función de correlación que se da asintoticamente por

${\displaystyle C(r)\approx {\frac {1}{\vartheta {\fnMicrosoft Sans Serif}$

donde r es la distancia entre los giros, y d es la dimensión del sistema, y ${\displaystyle \vartheta }$ es un exponente, cuyo valor depende de si el sistema está en la fase desordenada (es decir, por encima del punto crítico), o en la fase ordenada (es decir, por debajo del punto crítico). A altas temperaturas, la correlación decae a cero exponencialmente con la distancia entre los giros. La misma desintegración exponencial como función de la distancia radial también se observa a continuación ${\displaystyle T_{c}$, pero con el límite a grandes distancias siendo la magnetización media ${\displaystyle \langle M^{2}\rangle }$. Precisamente en el punto crítico, se ve un comportamiento algebraico

${\displaystyle C(r)\approx {\frac {1}{(d-2+\eta)}}\,}$

Donde ${\displaystyle \eta }$ es un exponente crítico, que no tiene ninguna relación simple con el exponente no crítico ${\displaystyle \vartheta }$ presentado anteriormente. Por ejemplo, la solución exacta del modelo de Ising bidimensional (con interacciones ferromagnéticas cortas) da precisamente en la crítica ${\displaystyle \eta ={\frac {1}{4}}$, pero por encima de la crítica ${\displaystyle \vartheta ={\frac {1}{2}}}$ y por debajo de la crítica ${\displaystyle \vartheta =2}$.

A medida que se reduce la temperatura, se reduce el desorden térmico y, en una transición de fase continua, la longitud de correlación diverge, ya que la longitud de correlación debe pasar continuamente de un valor finito por encima de la transición de fase a un valor infinito por debajo de la transición de fase:

${\displaystyle \xi \propto SilencioT-T_{c} }\,}$

con otro exponente crítico ${\displaystyle \nu }$.

Esta correlación de la ley de poder es responsable de la escalada, vista en estas transiciones. Todos los exponentes mencionados son independientes de la temperatura. De hecho son universales, es decir, se encuentran iguales en una amplia variedad de sistemas.

Funciones de distribución radial

Una función de correlación común es la función de distribución radial que se ve a menudo en mecánica estadística y mecánica de fluidos. La función de correlación se puede calcular en modelos exactamente solucionables (gas Bose unidimensional, cadenas de espín, modelo Hubbard) mediante el método de dispersión inversa cuántica y Bethe ansatz. En un modelo XY isotrópico, Its, Korepin, Izergin & Slavnov.

Funciones de correlación de orden superior

Las funciones de correlación de orden superior implican múltiples puntos de referencia y se definen mediante una generalización de la función de correlación anterior tomando el valor esperado del producto de más de dos variables aleatorias:

${\displaystyle C_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}(s_{1},s_{2},\cdots_{n})=\langle X.$

Sin embargo, estas funciones de correlación de orden superior son relativamente difíciles de interpretar y medir. Por ejemplo, para medir los análogos de orden superior de las funciones de distribución de pares, se necesitan fuentes de rayos X coherentes. Tanto la teoría de dicho análisis como la medición experimental de las funciones de correlación cruzada de rayos X necesarias son áreas de investigación activa.