Función de barrera

En optimización restringida, un campo de las matemáticas, una función de barrera es una función continua cuyo valor aumenta hasta el infinito a medida que su argumento se acerca al límite de la región factible de un problema de optimización. Estas funciones se utilizan para reemplazar las restricciones de desigualdad por un término penalizador en la función objetivo que sea más fácil de manejar. Una función de barrera también se denomina función de penalización interior, ya que es una función de penalización que obliga a la solución a permanecer dentro del interior de la región factible.

Los dos tipos más comunes de funciones de barrera son las funciones de barrera inversas y las funciones de barrera logarítmicas. La reanudación del interés por las funciones de barrera logarítmicas estuvo motivada por su conexión con los métodos de puntos interiores duales primarios.

Motivación

Considere el siguiente problema de optimización restringida:

minimizar f()x)

sujeto a x ≤ b

donde b es una constante. Si se desea eliminar la restricción de desigualdad, el problema se puede reformular como

minimizar f()x) + c()x),

Donde c()x) = si x ■ b, y cero de lo contrario.

Este problema es equivalente al primero. Elimina la desigualdad, pero introduce el problema de que la función de penalización c y, por tanto, la función objetivo f(x) + c(x), es discontinuo, impidiendo la uso del cálculo para resolverlo.

Una función de barrera, ahora, es una aproximación continua g a c que tiende al infinito cuando x se acerca a b desde arriba. Utilizando dicha función, se formula un nuevo problema de optimización, a saber.

minimizar f()x) + μg()x)

donde μ > 0 es un parámetro gratuito. Este problema no es equivalente al original, pero a medida que μ se acerca a cero, se convierte en una aproximación cada vez mejor.

Función de barrera logarítmica

Para las funciones de barrera logarítmica, ${\displaystyle g(x,b)}$ se define como ${\displaystyle -\log(b-x)}$ cuando ${\displaystyle x realizadasb}$ y ${\displaystyle \infty }$ de lo contrario (en una dimensión; véase abajo para una definición en dimensiones superiores). Esto depende esencialmente del hecho de que ${\displaystyle \log t}$ tiende a la infinidad negativa como ${\displaystyle t}$ tiende a 0.

Esto introduce un gradiente a la función optimizada que favorece valores menos extremos ${\displaystyle x}$ (en este caso los valores inferiores a los ${\displaystyle b}$), mientras que tiene un impacto relativamente bajo en la función lejos de estos extremos.

Las funciones de barrera logarítmicas pueden preferirse a las funciones de barrera inversas, menos costosas desde el punto de vista computacional, dependiendo de la función que se optimice.

Dimensiones superiores

Extender a dimensiones superiores es simple, siempre que cada dimensión sea independiente. Para cada variable ${\displaystyle x_{i}}$ que debe limitarse a ser estrictamente inferior a ${\displaystyle B_{i}$, añadir ${\displaystyle -\log(b_{i}-x_{i}$.

Definición formal

Minimize ${\displaystyle \mathbf {c}$ sujeto a ${\displaystyle \mathbf {a} ¿Qué? B_{i},i=1,\ldotsm}$

Suma estrictamente factible: ${\displaystyle \{\mathbf {x} Silencioso$

Define barrera logarítmica ${\displaystyle g(x)={\begin{cases}\sum ¿Por qué?$