Función de autocorrelación parcial

En el análisis de series temporales, la función de autocorrelación parcial (PACF) proporciona la correlación parcial de una serie temporal estacionaria con sus propios valores rezagados, mediante la regresión de los valores de la serie temporal en todos los rezagos más cortos. A diferencia de la función de autocorrelación, que no controla otros rezagos.Esta función desempeña un papel importante en el análisis de datos destinado a identificar la magnitud del rezago en un modelo autorregresivo (AR). Su uso se introdujo como parte del enfoque Box-Jenkins para el modelado de series temporales, mediante el cual, al graficar las funciones autocorrelativas parciales, se podían determinar los rezagos apropiados p en un modelo AR (p) o en un modelo ARIMA extendido (p,d,q).

Dada una serie de tiempo ${\displaystyle z_{t}$, la autocorrelación parcial de lag ${\displaystyle k}$, denotado ${\displaystyle \phi _{k,k}$, es la autocorrelación entre ${\displaystyle z_{t}$ y ${\displaystyle z_{t+k}$ con la dependencia lineal ${\displaystyle z_{t}$ on ${\displaystyle z_{t+1}$ a través de ${\displaystyle z_{t+k-1}$ Retirada. Equivalentemente, es la autocorrelación entre ${\displaystyle z_{t}$ y ${\displaystyle z_{t+k}$ que no se contabilizan por los lagos ${\displaystyle 1}$ a través de ${\displaystyle k-1}$, inclusivo.$${\displaystyle \phi ¿Por qué?$$$${\displaystyle \phi ##{k,k}=\operatorname {Corr} (z_{t+k}-{\hat {Z}_{t+k},\f} {t} {\f}}} {\f}} {\f} {\f} {\f} {\f}\fn}}\f}}$$Donde ${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}$ y ${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}$ son combinaciones lineales de ${\displaystyle {z_{t+1},z_{t+2},$ que minimiza el error medio cuadrado de ${\displaystyle z_{t+k}$ y ${\displaystyle z_{t}$ respectivamente. Para los procesos estacionarios, los coeficientes en ${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}$ y ${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}$ son los mismos, pero revertidos: $${\fnK}=\beta _{1}z_{t+k-1}+\cdots +\beta ¿Por qué? {\fnK} {\f}=\beta} # {1}z_{t+1}+\cdots +\beta _{k-1}z_{t+k-1}$$

La función de autocorrelación parcial teórica de una serie de tiempo estacionario se puede calcular utilizando el Algoritmo Durbin-Levinson:$${\displaystyle \phi _{n,n}={\frac {\rho (n)-\sum _{k=1}{n-1}\phi {n-1,k}\rho (n-k)}{1-\sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$$Donde ${\displaystyle \phi _{n,k}=\phi ################################################################################################################################################################################################################################################################ # {n,n}\phi - ¿Qué?$ para ${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$ y ${\displaystyle \rho (n)}$ es la función de autocorrelación.

La fórmula anterior se puede utilizar con autocorrelaciones de muestra para encontrar la función de autocorrelación parcial de muestra de cualquier serie temporal dada.La siguiente tabla resume la función de autocorrelación parcial de diferentes modelos:

Modelo	PACF
Ruido blanco	La autocorrelación parcial es 0 para todos los lagos.
Modelo autoregresivo	La autocorrelación parcial para un AR(p) modelo es no cero para los lagos menos o igual a p y 0 para los lagos mayores que p.
Modelo de inversión	Si ${\displaystyle \phi _{1,1} {0}$, la autocorrelación parcial oscila a 0.
	Si ${\displaystyle \phi _{1,1}traducido0}$, la autocorrelación parcial geométricamente decae a 0.
Modelo autoregresivo – movimiento-promedio	Un ARMA(p, q) modelo de autocorrelación parcial decae geométricamente a 0 pero sólo después de lazos más grande que p.

El comportamiento de la función de autocorrelación parcial refleja el de la función de autocorrelación para modelos autorregresivos y de media móvil. Por ejemplo, la función de autocorrelación parcial de una serie AR(p) se reduce después del retardo p, de forma similar a la función de autocorrelación de una serie MA(q) con retardo q. Además, la función de autocorrelación de un proceso AR(p) se reduce al igual que la función de autocorrelación parcial de un proceso MA(q).

La autocorrelación parcial es una herramienta común para identificar el orden de un modelo autorregresivo. Como se mencionó anteriormente, la autocorrelación parcial de un proceso AR(p) es cero con retardos mayores que p. Si se determina que un modelo AR es apropiado, se examina el gráfico de autocorrelación parcial de muestra para identificar el orden.

La autocorrelación parcial de lazos mayores que p para un AR(p) series temporales son aproximadamente independientes y normales con una media de 0. Por lo tanto, un intervalo de confianza se puede construir dividiendo un determinado z-score por ${\displaystyle {\sqrt {n}}$. Lags con autocorrelations parciales fuera del intervalo de confianza indican que el orden del modelo AR es probablemente mayor o igual al lag. Colocar la función de autocorrelación parcial y dibujar las líneas del intervalo de confianza es una forma común de analizar el orden de un modelo AR. Para evaluar el orden, se examina la trama para encontrar el cordón después de lo cual las autocorrecciones parciales están dentro del intervalo de confianza. Este retraso está determinado a ser probablemente la orden del modelo AR.