Función cuasiconvex

En matemáticas, a función quasiconvex es una función de valor real definida en un intervalo o en un subconjunto convexo de un espacio vectorial real tal que la imagen inversa de cualquier conjunto de la forma ${\displaystyle (-\inftya)}$ es un set de convex. Para una función de una sola variable, a lo largo de cualquier tramo de la curva el punto más alto es uno de los puntos finales. Se dice que el negativo de una función quasiconvex es quasiconcave.

Quasiconvexity es una propiedad más general que la convexidad, ya que todas las funciones convexas también son cuasiconvexas, pero no todas las funciones cuasiconvexas son convexas. Las funciones univariadas unimodales son cuasiconvex o cuasiconcaves, sin embargo, este no es necesariamente el caso de las funciones con múltiples argumentos. Por ejemplo, la función de Rosenbrock bidimensional es unimodal pero no cuasiconvexa y las funciones con conjuntos de subconvejecimiento estrella-convexo pueden ser unimodales sin ser cuasiconvexo.

Una función ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R}$ definido en un subconjunto convexo ${\displaystyle S.$ de un espacio vectorial real es quasiconvex si para todos ${\displaystyle x,y\in S}$ y ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$ tenemos

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \max {\big \{}f(x),f(y){\big\}}.}$

En palabras, si ${\displaystyle f}$ es tal que siempre es cierto que un punto directamente entre otros dos puntos no da un valor más alto de la función que ambos puntos hacen, entonces ${\displaystyle f}$ es quasiconvex. Tenga en cuenta que los puntos ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$, y el punto directamente entre ellos, puede ser puntos en una línea o puntos más generalmente en n- espacio dimensional.

Una forma alternativa (ver introducción) de definir una función cuasi-convex ${\displaystyle f(x)}$ es necesario que cada subgrupo de nivel ${\displaystyle S_{\alpha }(f)=\{x\mid f(x)\leq \alpha \}}$es un conjunto convexo.

Si además

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda)y)se realizó\max {\big \{}f(x),f(y){\big\}}}$

para todos ${\displaystyle x\neq y}$ y ${\displaystyle \lambda \in (0,1)}$Entonces ${\displaystyle f}$ es estrictamente cuasiconvex. Es decir, la estricta cuasiconvexidad requiere que un punto directamente entre otros dos puntos debe dar un valor inferior de la función que uno de los otros puntos.

A función quasiconcave es una función cuyo negativo es quasiconvex, y un Función estrictamente quasiconcave es una función cuyo negativo es estrictamente cuasiconvex. Equivalentemente una función ${\displaystyle f}$ es quasiconcave si

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda)y)\geq \min {\big \{}f(x),f(y){\big\}}.}$

y estrictamente cuasicóncava si

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda)y)}\min {\big\{}f(x),f(y){\big\}}}$

Una función (estrictamente) cuasiconvexa tiene conjuntos de contornos inferiores (estrictamente) convexos, mientras que una función (estrictamente) cuasiconcava tiene conjuntos de contornos superiores (estrictamente) convexos.

Una función que es a la vez cuasiconvexa y cuasiconcava es cuasililineal.

Un caso particular de cuasi-concavidad, si ${\displaystyle S\subset \mathbb {R}$, es unimodalidad, en la que hay un valor localmente maximal.

Las funciones cuasiconvexas tienen aplicaciones en el análisis matemático, en la optimización matemática y en la teoría de juegos y la economía.

En la optimización no lineal, la programación cuasiconvexa estudia métodos iterativos que convergen a un mínimo (si existe uno) para funciones cuasiconvexas. La programación cuasiconvexa es una generalización de la programación convexa. La programación cuasiconvexa se utiliza en la solución de problemas duales "sustitutos", cuyos biduales proporcionan cierres cuasiconvexos del problema primario, que por lo tanto proporcionan límites más estrictos que los cierres convexos proporcionados por problemas duales lagrangianos. En teoría, los problemas de programación cuasiconvexa y programación convexa se pueden resolver en un tiempo razonable, donde el número de iteraciones crece como un polinomio en la dimensión del problema (y en el recíproco del error de aproximación tolerado); sin embargo, estos métodos teóricamente "eficientes" utilizan reglas de tamaño de paso de "series divergentes", que se desarrollaron por primera vez para métodos de subgradiente clásicos. Los métodos de subgradiente clásicos que utilizan reglas de series divergentes son mucho más lentos que los métodos modernos de minimización convexa, como los métodos de proyección de subgradiente, los métodos de descenso de haces y los métodos de filtro no suave.

En microeconomía, las funciones de utilidad cuasiconvexas implican que los consumidores tienen preferencias convexas. Las funciones cuasiconvexas son importantes también en la teoría de juegos, la organización industrial y la teoría del equilibrio general, en particular para las aplicaciones del teorema minimax de Sion. El teorema de Sion, que generaliza un teorema minimax de John von Neumann, también se utiliza en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales.

• máximo de funciones quasiconvex (es decir, ${\displaystyle f=\max \left\lbrace f_{1},\ldotsf_{n}\right\rbrace }$Es quasiconvex. Del mismo modo, el máximo de funciones estrictas de quasiconvex es estricto cuasiconvex. Del mismo modo, el mínimo de quasiconcave funciones es quasiconcave, y el mínimo de funciones estrictamente-quasiconcave es estrictamente-quasiconcave.
• composición con función que no disminuye: ${\displaystyle g:\mathbb {R} {R} {R} {R} {R} {R}} {R}} {R} {R}} {R}}}$ quasiconvex, ${\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ no disminuyendo, entonces ${\displaystyle f=h\circ g}$ es quasiconvex. Del mismo modo, si ${\displaystyle g:\mathbb {R} {R} {R} {R} {R} {R}} {R}} {R} {R}} {R}}}$ quasiconcave, ${\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ no disminuyendo, entonces ${\displaystyle f=h\circ g}$ es quasiconcave.
• minimización (es decir, ${\displaystyle f(x,y)}$ quasiconvex, ${\displaystyle C}$ convex set, entonces ${\displaystyle h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)}$ es quasiconvex)

• La suma de las funciones de quasiconvex definidas en el mismo dominio no necesita ser quasiconvex: En otras palabras, si ${\displaystyle f(x),g(x)}$ son quasiconvex, entonces ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ no hay que ser quasiconvex.
• La suma de las funciones de quasiconvex definidas en diferentes dominios (es decir, si ${\displaystyle f(x),g(y)}$ son quasiconvex, ${\displaystyle h(x,y)=f(x)+g(y)}$No hay que ser quasiconvex. Tales funciones se llaman "aditivamente descompuestas" en la economía y "separables" en la optimización matemática.

• Cada función convexa es quasiconvex.
• Una función concave puede ser quasiconvex. Por ejemplo, ${\displaystyle x\mapsto \log(x)}$ es concave y quasiconvex.
• Cualquier función monotónica es tanto quasiconvex como quasiconcave. Más generalmente, una función que disminuye hasta un punto y aumenta desde ese punto es quasiconvex (compare unimodality).
• La función del suelo ${\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor }$ es un ejemplo de una función cuasiconvexa que no es convexa ni continua.

• Función de convex
• Función de conversión
• Función de concave logarítmica
• Pseudoconvexidad en el sentido de varias variables complejas (no convexidad generalizada)
• Función Pseudoconvex
• Función Invex
• Concavification

• Avriel, M., Diewert, W.E., Schaible, S. and Zang, I., Concavidad generalizada, Plenum Press, 1988.
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• Singer, Ivan Análisis de convex abstracto. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts. Una publicación Wiley-Interscience. John Wiley ' Sons, Inc., Nueva York, 1997. xxii+491 pp. ISBN 0-471-16015-6

• SION, M., "On general minimax theorems", Pacific J. Math. 8 (1958), 171-176.
• Glosario de programación matemática
• Funciones de Concave y Quasi-Concave - por Charles Wilson, Departamento de Economía de la NYU
• Quasiconcavity and quasiconvexity - by Martin J. Osborne, University of Toronto Department of Economics