Función cuártica

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Función polinomio del grado cuatro

Gráfico de un polinomio de grado 4, con 3 puntos críticos y cuatro raíces reales (crudos de los x axis) (y por lo tanto ninguna raíz compleja). Si uno o el otro de la minima local estaban por encima de x axis, o si el máximo local estuviera debajo de él, o si no hubiera un máximo local y un mínimo debajo del x axis, sólo habría dos raíces reales (y dos raíces complejas). Si los tres extremos locales estaban por encima de x axis, o si no hubiera un máximo local y un mínimo por encima del x axis, no habría raíz real (y cuatro raíces complejas). El mismo razonamiento se aplica en reversa al polinomio con un coeficiente cuántico negativo.

En álgebra, una función cuártica es una función de la forma

f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e,

donde a es distinto de cero, que está definido por un polinomio de grado cuatro, llamado polinomio cuartico.

Una ecuación de cuarto grado, o ecuación de cuarto grado, es una ecuación que iguala a cero un polinomio de cuarto grado, de la forma

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,

donde a ≠ 0. La derivada de una función de cuarto grado es una función cúbica.

A veces se usa el término bicuadrático en lugar de cuartico, pero, por lo general, función bicuadrática se refiere a una función cuadrática de un cuadrado (o, de manera equivalente, a la función definida por un polinomio de cuarto grado sin términos de grado impar), que tiene la forma

f(x)=ax^{4}+cx^{2}+e.

Dado que una función cuartica está definida por un polinomio de grado par, tiene el mismo límite infinito cuando el argumento va a infinito positivo o negativo. Si a es positivo, entonces la función aumenta a infinito positivo en ambos extremos; y por lo tanto la función tiene un mínimo global. Asimismo, si a es negativo, decrece a infinito negativo y tiene un máximo global. En ambos casos puede tener o no otro máximo local y otro mínimo local.

El grado cuatro (caso cuartico) es el grado más alto tal que toda ecuación polinomial puede ser resuelta por radicales, según el teorema de Abel-Ruffini.

Historia

A Ludovico Ferrari se le atribuye el descubrimiento de la solución de la cuartica en 1540, pero dado que esta solución, como todas las soluciones algebraicas de la cuartica, requiere encontrar la solución de una cúbica, no se pudo publicar de inmediato. La solución de la cuártica fue publicada junto con la de la cúbica por el mentor de Ferrari, Gerolamo Cardano, en el libro Ars Magna.

El historiador soviético I. Y. Depman (ru) afirmó que incluso antes, en 1486, el matemático español Valmes fue quemado en la hoguera por afirmar haber resuelto la ecuación de cuarto grado. El inquisidor general Tomás de Torquemada supuestamente le dijo a Valmes que era la voluntad de Dios que tal solución fuera inaccesible al entendimiento humano. Sin embargo, Petr Beckmann, quien popularizó esta historia de Depman en Occidente, dijo que no era confiable e insinuó que podría haber sido inventada como propaganda antirreligiosa soviética. La versión de Beckmann de esta historia ha sido ampliamente copiada en varios libros y sitios de Internet, por lo general sin sus reservas y, a veces, con adornos fantasiosos. Varios intentos de encontrar pruebas que corroboren esta historia, o incluso la existencia de Valmes, han fracasado.

La prueba de que cuatro es el grado más alto de un polinomio general para el que se pueden encontrar tales soluciones se dio por primera vez en el teorema de Abel-Ruffini en 1824, lo que demuestra que todos los intentos de resolver los polinomios de orden superior serían inútiles. Las notas dejadas por Évariste Galois antes de morir en un duelo en 1832 llevaron más tarde a una elegante teoría completa de las raíces de los polinomios, de la cual este teorema fue uno de los resultados.

Aplicaciones

Cada coordenada de los puntos de intersección de dos secciones cónicas es una solución de una ecuación cuártica. Lo mismo es cierto para la intersección de una línea y un toro. De ello se deduce que las ecuaciones de cuarto grado a menudo surgen en geometría computacional y todos los campos relacionados, como gráficos por computadora, diseño asistido por computadora, fabricación asistida por computadora y óptica. Aquí hay ejemplos de otros problemas geométricos cuya solución implica resolver una ecuación cuártica.

En la fabricación asistida por computadora, el toroide es una forma que se asocia comúnmente con el cortador de fresado. Para calcular su ubicación relativa a una superficie triangulada, se debe encontrar la posición de un toroide horizontal en el eje $z$ donde es tangente a una superficie fija. línea, y esto requiere la solución de una ecuación cuártica general para ser calculado.

También surge una ecuación cuártica en el proceso de resolver el problema de las escaleras cruzadas, en el que se dan las longitudes de dos escaleras cruzadas, cada una apoyada contra una pared y apoyada contra otra, junto con la altura a la que se cruzan y la se debe encontrar la distancia entre las paredes.

En óptica, el problema de Alhazen es "Dada una fuente de luz y un espejo esférico, encuentre el punto en el espejo donde la luz se reflejará en el ojo de un observador." Esto conduce a una ecuación de cuarto grado.

Encontrar la distancia de máxima aproximación de dos elipses implica resolver una ecuación cuártica.

Los valores propios de una matriz de 4×4 son las raíces de un polinomio cuártico que es el polinomio característico de la matriz.

La ecuación característica de una ecuación diferencial lineal de cuarto orden o ecuación diferencial es una ecuación cuártica. Un ejemplo surge en la teoría de flexión de vigas de Timoshenko-Rayleigh.

Las intersecciones entre esferas, cilindros u otras cuádricas se pueden encontrar usando ecuaciones de cuarta.

Puntos de inflexión y proporción áurea

Seamos $F$ y $G$ sean los distintos puntos de inflexión de la gráfica de una función cuartica, y siendo $H$ la intersección de la recta secante de inflexión $FG$ y la cuartica, más cerca de $G$ que a $F$ , luego $G$ divide $FH$ en la sección dorada:

{displaystyle {frac {FG}{GH}}={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}=varphi ;({text{the golden ratio}}).}

Además, el área de la región entre la secante y la cuarta debajo de la secante es igual al área de la región entre la secante y la cuarta encima de la secante. Una de esas regiones está dividida en subregiones de igual área.

Solución

Naturaleza de las raíces

Dada la ecuación cuártica general

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0

Did you mean:

with real coefficients and a ≠ 0 the nature of its roots is mainly determined by the sign of its discriminant

{displaystyle {begin{aligned}Delta ={}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}end{aligned}}}

Esto se puede refinar considerando los signos de otros cuatro polinomios:

P=8ac-3b^{2}

tal que $P / 8 a 2$ es el coeficiente de segundo grado del quártico deprimido asociado (ver más abajo);

{displaystyle R=b^{3}+8da^{2}-4abc,}

tal que $R / 8 a 3$ es el coeficiente de primer grado de la cuártica deprimida asociada;

Delta _{0}=c^{2}-3bd+12ae,

que es 0 si la cuártica tiene raíz triple; y

D=64a^{3}e-16a^{2}c^{2}+16ab^{2}c-16a^{2}bd-3b^{4}

que es 0 si la cuártica tiene dos raíces dobles.

Los posibles casos de la naturaleza de las raíces son los siguientes:

Si $▪ 0$ entonces la ecuación tiene dos raíces reales distintas y dos complejas raíces no reales conjugadas.
Si ▪ 0 entonces las cuatro raíces de la ecuación son reales o ninguna.
- Si $P$ 0 y $D$ 0 entonces las cuatro raíces son reales y distintas.
- Si $P$ Ø 0 o $D$ > 0 entonces hay dos pares de raíces conjugadas no reales complejas.
Si /23 = 0 entonces (y sólo entonces) el polinomio tiene una raíz múltiple. Aquí están los diferentes casos que pueden ocurrir:
- Si $P$ 0 y $D$ 0 y $▪ 0 ل 0$ , hay una verdadera raíz doble y dos verdaderas raíces simples.
- Si $D$ Ø 0 o $P$ Ø 0 y $D$ ه 0 or $R$ √ 0)), hay una verdadera raíz doble y dos complejas raíces conjugadas.
- Si $▪ 0 = 0$ y $D$ √ 0, hay una raíz triple y una raíz simple, todo real.
- Si D = 0, entonces:
  - Si $P$ Hay dos raíces dobles reales.
  - Si $P$ " 0 " $R$ = 0, hay dos complejas raíces dobles conjugadas.
  - Si $▪ 0 = 0$ , las cuatro raíces son iguales $- b / 4 a$

Hay algunos casos que no parecen estar cubiertos, pero de hecho no pueden ocurrir. Por ejemplo, $▪ 0 ■ 0$ , $P$ = 0 y $D$ ≤ 0 no es uno de los casos. De hecho, si $▪ 0 ■ 0$ y $P$ = 0 entonces $D$ Desde entonces ${displaystyle 16a^{2}Delta _{0}=3D+P^{2};}$ así que esta combinación no es posible.

Fórmula general para raíces

Solución de

{displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}

escrito en su totalidad. Esta fórmula es demasiado poco inteligente para el uso general; por lo tanto, se utilizan generalmente otros métodos, o fórmulas más simples para casos especiales.

Las cuatro raíces $x 1$ , $x 2$ , $x 3$ y $x 4$ para la ecuación cuártica general

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,

con $a$ ≠ 0 se dan en la siguiente fórmula, que se deduce de la de la sección sobre Ferrari's método volviendo a cambiar las variables (ver § Convertir a un cuartico deprimido) y usando las fórmulas para las ecuaciones cuadráticas y cúbicas.

{begin{aligned}x_{1,2} &=-{frac {b}{4a}}-Spm {frac {1}{2}}{sqrt {-4S^{2}-2p+{frac {q}{S}}}}\x_{3,4} &=-{frac {b}{4a}}+Spm {frac {1}{2}}{sqrt {-4S^{2}-2p-{frac {q}{S}}}}end{aligned}}

donde $p$ y $q$ son los coeficientes de segundo y primer grado respectivamente en el cuartico deprimido asociado

{begin{aligned}p&={frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}\q&={frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}end{aligned}}

y donde

{displaystyle {begin{aligned}S&={frac {1}{2}}{sqrt {-{frac {2}{3}} p+{frac {1}{3a}}left(Q+{frac {Delta _{0}}{Q}}right)}}\Q&={sqrt[{3}]{frac {Delta _{1}+{sqrt {Delta _{1}^{2}-4Delta _{0}^{3}}}}{2}}}end{aligned}}}

Did you mean:

(if <iS</i0 or Q = 0, see § Special cases of the formula, below)

con

{begin{aligned}Delta _{0}&=c^{2}-3bd+12ae\Delta _{1}&=2c^{3}-9bcd+27b^{2}e+27ad^{2}-72aceend{aligned}}

Delta _{1}^{2}-4Delta _{0}^{3}=-27Delta

Donde

Delta

es el mencionado discriminante. Para la expresión raíz del cubo Q, cualquiera de las tres raíces cubo en el plano complejo se puede utilizar, aunque si uno de ellos es real que es el natural y más simple para elegir. Las expresiones matemáticas de estos últimos cuatro términos son muy similares a las de sus contrapartes cúbicas.

Casos especiales de la fórmula

Si $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Δ Δ ■0,{displaystyle Delta >0,}0," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82c2f0482abb077ecda096056a4f555a68e5751" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.844ex; height:2.509ex;"/>$ el valor de $Q$ es un número no real complejo. En este caso, o todas las raíces no son reales o son reales. En este último caso, el valor $S$ es también real, a pesar de ser expresado en términos de ${displaystyle Q;}$ este es el casus irreducibilis de la función cúbica extendida al contexto actual de la cuartic. Uno puede preferir expresarlo de una manera puramente real, utilizando funciones trigonométricas, como sigue:

{displaystyle S={frac {1}{2}}{sqrt {-{frac {2}{3}} p+{frac {2}{3a}}{sqrt {Delta _{0}}}cos {frac {varphi }{3}}}}}

Donde

{displaystyle varphi =arccos left({frac {Delta _{1}}{2{sqrt {Delta _{0}^{3}}}}}right).}

Si $Delta neq 0$ y $Delta _{0}=0,$ el signo de ${sqrt {Delta _{1}^{2}-4Delta _{0}^{3}}}={sqrt {Delta _{1}^{2}}}$ tiene que ser elegido $Qneq 0,$ que es uno debe definir ${sqrt {Delta _{1}^{2}}}$ como $Delta _{1},$ mantener el signo de $Delta _{1}.$
Si $S=0,$ entonces uno debe cambiar la elección de la raíz del cubo en $Q$ para tener $Sneq 0.$ Esto siempre es posible excepto si la cuarta puede ser factorizada $left(x+{tfrac {b}{4a}}right)^{4}.$ El resultado es entonces correcto, pero engañoso porque esconde el hecho de que no se necesita raíz de cubo en este caso. De hecho este caso sólo puede ocurrir si el numerador $q$ es cero, en cuyo caso el cuartic deprimido asociado es biquadratic; por lo tanto puede ser resuelto por el método descrito a continuación.
Si $Delta =0$ y $Delta _{0}=0,$ y así también $Delta _{1}=0,$ al menos tres raíces son iguales entre sí, y las raíces son funciones racionales de los coeficientes. La raíz triple $x_{0}$ es una raíz común de la cuarta y su segundo derivado ${displaystyle 2(6ax^{2}+3bx+c);}$ es, por tanto, la raíz única del resto de la división euroclidiana de la cuarta por su segundo derivado, que es un polinomio lineal. La raíz simple $x_{1}$ se puede deducir de ${displaystyle x_{1}+3x_{0}=-b/a.}$
Si $Delta =0$ y $Delta _{0}neq 0,$ la expresión anterior para las raíces es correcta pero engañosa, ocultando el hecho de que el polinomio es reducible y no se necesita raíz cubo para representar las raíces.

Casos más simples

Cuárticas reducibles

Considere la cuártica general

Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.

Es reducible si $Q (x) = R (x)\times S (x)$ , donde $R (x)$ y $S (x)$ son polinomios no constantes con coeficientes racionales (o más generalmente con coeficientes en el mismo campo que los coeficientes de $Q (x)$ ). Tal factorización tomará una de dos formas:

Q(x)=(x-x_{1})(b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0})

Q(x)=(c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0})(d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0}).

En cualquier caso, las raíces de $Q (x)$ son las raíces de los factores, que pueden ser calculado usando las fórmulas para las raíces de una función cuadrática o función cúbica.

La detección de la existencia de dichas factorizaciones se puede realizar mediante el cálculo cúbico de resolución de Q(x). Resulta que:

si estamos trabajando $R$ (es decir, si los coeficientes se limitan a ser números reales) (o, más generalmente, sobre algún campo cerrado real) entonces siempre hay tal factorización;
si estamos trabajando $Q$ (es decir, si los coeficientes están restringidos a ser números racionales) entonces hay un algoritmo para determinar si $Q () x)$ es reducible y, si lo es, cómo expresarlo como un producto de polinomios de menor grado.

Did you mean:

In fact, several methods of solving quartic equations (Ferrari's method, Descartes ' method, and, to a lesser extent, Euler 's method) are based upon finding such factorizations.

Ecuación bicuadrática

Did you mean:

If an₃ = a₁ = 0 then the quadratic function

Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0},!

define una ecuación bicuadrática, que es fácil de resolver.

Sea la variable auxiliar $z = x 2$ . Entonces $Q (x)$ se convierte en un $q cuadrático$ en $z$ : $q (z) = a 4 z 2 + a 2 z + a 0$ . Sean $z +$ y $z -$ sean las raíces de $q (z)$ . Entonces las raíces de nuestro cuartico $Q (x)$ son

{begin{aligned}x_{1}&=+{sqrt {z_{+}}},\x_{2}&=-{sqrt {z_{+}}},\x_{3}&=+{sqrt {z_{-}}},\x_{4}&=-{sqrt {z_{-}}}.end{aligned}}

Did you mean:

Quasi-palindrome equation

El polinomio

P(x)=a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}

es casi palindrómico, como $P (mx) = x 4 / m 2 P (m / x)$ (es palindrómico si $m = 1$ ). El cambio de variables $z = x + m / x$ en $P (x) / x 2 = 0$ produce la ecuación cuadrática $a 0 z 2 + a 1 z + a 2 - 2 ma 0 = 0$ . Dado que $x 2 - xz + m = 0$ , la ecuación cuartica $P (x) = 0$ se puede resolver aplicando la fórmula cuadrática dos veces.

Métodos de solución

Conversión a un cuártico deprimido

Para fines de resolución, generalmente es mejor convertir el cuartico en un cuartico deprimido mediante el siguiente cambio simple de variable. Todas las fórmulas son más simples y algunos métodos funcionan solo en este caso. Las raíces de la cuártica original se recuperan fácilmente de las de la cuártica deprimida mediante el cambio inverso de variable.

Dejar

a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0

sea la ecuación cuártica general que queremos resolver.

Dividiendo por $a 4$ , se obtiene la ecuación equivalente $x 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0$ , con $b = a 3 / a 4$ , $c = a 2 / a 4$ , $d = a 1 / a 4$ , y $e = a 0 / a 4$ . Sustituyendo $y - b / 4$ para $x$ da, después de reagrupar los términos, la ecuación $y 4 + py 2 + qy + r = 0$ , dónde

{displaystyle {begin{aligned}p&={frac {8c-3b^{2}}{8}}={frac {8a_{2}a_{4}-3{a_{3}}^{2}}{8{a_{4}}^{2}}}\q&={frac {b^{3}-4bc+8d}{8}}={frac {{a_{3}}^{3}-4a_{2}a_{3}a_{4}+8a_{1}{a_{4}}^{2}}{8{a_{4}}^{3}}}\r&={frac {-3b^{4}+256e-64bd+16b^{2}c}{256}}={frac {-3{a_{3}}^{4}+256a_{0}{a_{4}}^{3}-64a_{1}a_{3}{a_{4}}^{2}+16a_{2}{a_{3}}^{2}a_{4}}{256{a_{4}}^{4}}}.end{aligned}}}

Si $y 0$ es una raíz de esta cuartica deprimida, entonces $y 0 - b / 4$ (es decir, $y 0 - a 3 / 4 a 4)$ es una raíz de la cuartica original y todas las raíces de la cuartica original se pueden obtener mediante este proceso.

Did you mean:

Ferrari 's solution

Como se explicó en la sección anterior, podemos comenzar con la ecuación cuartica deprimida

{displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0.}

Esta cuartica deprimida se puede resolver mediante un método descubierto por Lodovico Ferrari. La ecuación deprimida se puede reescribir (esto se verifica fácilmente expandiendo el cuadrado y reagrupando todos los términos en el lado izquierdo) como

{displaystyle left(y^{2}+{frac {p}{2}}right)^{2}=-qy-r+{frac {p^{2}}{4}}.}

Luego, introducimos una variable $m$ en el factor del lado izquierdo agregando $2 y 2 m + pm + m 2$ a ambos lados. Después de reagrupar los coeficientes de la potencia de $y$ en el lado derecho, se obtiene la ecuación

{displaystyle left(y^{2}+{frac {p}{2}}+mright)^{2}=2my^{2}-qy+m^{2}+mp+{frac {p^{2}}{4}}-r,}

()1)

Did you mean:

which is equivalent to the original equation, whichever value is given to m.

Como el valor de $m$ puede elegirse arbitrariamente, lo elegiremos para completar el cuadrado de la derecha- lado. Esto implica que el discriminante en $y$ de esta ecuación cuadrática es cero, es decir $m$ es una raíz de la ecuación

{displaystyle (-q)^{2}-4(2m)left(m^{2}+pm+{frac {p^{2}}{4}}-rright)=0,,}

que se puede reescribir como

{displaystyle 8m^{3}+8pm^{2}+(2p^{2}-8r)m-q^{2}=0.}

()1a)

Esta es la cúbica resolvente de la ecuación cuártica. El valor de $m$ puede obtenerse de la fórmula de Cardano. Cuando $m$ es una raíz de esta ecuación, el lado derecho de la ecuación (1) es el cuadrado

{displaystyle left({sqrt {2m}}y-{frac {q}{2{sqrt {2m}}}}right)^{2}.}

Sin embargo, esto induce una división por cero si $m = 0$ . Esto implica $q = 0$ y, por lo tanto, que la ecuación deprimida es bicuadrática y puede resolverse mediante un método más sencillo (ver arriba). Esto no era un problema en la época de Ferrari, cuando solo se resolvían ecuaciones explícitamente dadas con coeficientes numéricos. Para una fórmula general que siempre sea verdadera, uno necesita elegir una raíz de la ecuación cúbica tal que $m \neq 0$ . Esto siempre es posible excepto por la ecuación deprimida $y 4 = 0$ .

Ahora, si $m$ es una raíz de la ecuación cúbica tal que $m \neq 0$ , la ecuación (1) se convierte en

{displaystyle left(y^{2}+{frac {p}{2}}+mright)^{2}=left(y{sqrt {2m}}-{frac {q}{2{sqrt {2m}}}}right)^{2}.}

Esta ecuación tiene la forma $M 2 = N 2$ , que se puede reorganizar como $M 2 - N 2 = 0$ o $(M + N)(M - N) = 0$ . Por lo tanto, la ecuación (1) se puede reescribir como

{displaystyle left(y^{2}+{frac {p}{2}}+m+{sqrt {2m}}y-{frac {q}{2{sqrt {2m}}}}right)left(y^{2}+{frac {p}{2}}+m-{sqrt {2m}}y+{frac {q}{2{sqrt {2m}}}}right)=0.}

Esta ecuación se resuelve fácilmente aplicando a cada factor la fórmula cuadrática. Resolviéndolas podemos escribir las cuatro raíces como

{displaystyle y={pm _{1}{sqrt {2m}}pm _{2}{sqrt {-left(2p+2mpm _{1}{{sqrt {2}}q over {sqrt {m}}}right)}} over 2},}

donde $\pm 1$ y $\pm 2$ indican + o $-$ . Como las dos ocurrencias de $\pm 1$ deben denotar el mismo signo, esto deja cuatro posibilidades, una para cada raíz.

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuártica original son

{displaystyle x=-{a_{3} over 4a_{4}}+{pm _{1}{sqrt {2m}}pm _{2}{sqrt {-left(2p+2mpm _{1}{{sqrt {2}}q over {sqrt {m}}}right)}} over 2}.}

Una comparación con la fórmula general anterior muestra que $\sqrt 2 m = 2 S$ .

Did you mean:

Descartes ' solution

Descartes introdujo en 1637 el método de encontrar las raíces de un polinomio cuártico factorizándolo en dos cuadráticos. Dejar

{displaystyle {begin{aligned}x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e&=(x^{2}+sx+t)(x^{2}+ux+v)\&=x^{4}+(s+u)x^{3}+(t+v+su)x^{2}+(sv+tu)x+tvend{aligned}}}

Al igualar los coeficientes, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

{displaystyle left{{begin{array}{l}b=s+u\c=t+v+su\d=sv+tu\e=tvend{array}}right.}

Esto se puede simplificar comenzando de nuevo con el cuartico deprimido $y 4 + py 2 + qy + r$ , que se puede obtener sustituyendo $y - b /4$ para $x$ . Dado que el coeficiente de $y 3$ es $0$ , obtenemos s = −u, y:

{displaystyle left{{begin{array}{l}p+u^{2}=t+v\q=u(t-v)\r=tvend{array}}right.}

Ahora se pueden eliminar tanto $t$ como $v$ haciendo lo siguiente:

{displaystyle {begin{aligned}u^{2}(p+u^{2})^{2}-q^{2}&=u^{2}(t+v)^{2}-u^{2}(t-v)^{2}\&=u^{2}[(t+v+(t-v))(t+v-(t-v))]\&=u^{2}(2t)(2v)\&=4u^{2}tv\&=4u^{2}rend{aligned}}}

Si establecemos $U = u 2$ , entonces resolver esta ecuación se convierte en encontrar las raíces de la cúbica resolvente

{displaystyle U^{3}+2pU^{2}+(p^{2}-4r)U-q^{2},}

()2)

que se hace en otros lugares. Esta cúbica resolvente es equivalente a la cúbica resolvente dada arriba (ecuación (1a)), como se puede ver al sustituir U = 2m.

Si $u$ es una raíz cuadrada de una raíz distinta de cero de este solvente (tal raíz distinta de cero existe excepto para el cuártico $x 4$ , que se factoriza de manera trivial),

{displaystyle left{{begin{array}{l}s=-u\2t=p+u^{2}+q/u\2v=p+u^{2}-q/uend{array}}right.}

Las simetrías en esta solución son las siguientes. Hay tres raíces de la cúbica, correspondientes a las tres formas en que una cuarta puede factorizarse en dos cuadráticas, y elegir valores positivos o negativos de $u$ para la raíz cuadrada de $U$ simplemente intercambia las dos cuadráticas entre sí.

La solución anterior muestra que un polinomio cuártico con coeficientes racionales y un coeficiente cero en el término cúbico se puede factorizar en cuadráticas con coeficientes racionales si y solo si la resolución cúbica (2) tiene una raíz distinta de cero que es el cuadrado de un racional, o $p 2 - 4 r$ es el cuadrado de racional y $q = 0$ ; esto se puede verificar fácilmente usando la prueba de la raíz racional.

Did you mean:

Euler 's solution

Una variante del método anterior se debe a Euler. A diferencia de los métodos anteriores, los cuales usan alguna raíz de la cúbica resolvente, el método de Euler los usa todos. Considere un cuartico deprimido $x 4 + px 2 + qx + r$ . Obsérvese que, si

$x 4 + px 2 + qx + r = x 2 + Sx + t) x 2 - Sx + v)$ ,
$r 1$ y $r 2$ son las raíces de $x 2 + Sx + t$ ,
$r 3$ y $r 4$ son las raíces de $x 2 - Sx + v$ ,

entonces

las raíces de $x 4 + px 2 + qx + r$ son $r 1$ , $r 2$ , $r 3$ , y $r 4$ ,
$r 1 + r 2 = s$ ,
$r 3 + r 4 = s$ .

Por lo tanto, $(r 1 + r 2)(r 3 + r 4) = - s 2 . En otras palabras, -(r 1 + r 2)(r 3 + r 4) es una de las raíces de la cúbica resolvente (2) y esto sugiere que las raíces de ese cúbico son iguales a -(r 1 + r 2)(r 3 + r 4), -(r 1 + r 3)(r 2 + r 4), y -(r 1 + r 4)(r 2 + r 3) . Esto es cierto y se deduce de las fórmulas de Vieta. También se deduce de las fórmulas de Vieta, junto con el hecho de que estamos trabajando con una cuartica deprimida, que r 1 + r 2 + r 3 + r 4 = 0 . (Por supuesto, esto también se deriva del hecho de que r 1 + r 2 + r 3 + r 4 = - s + s .) Por lo tanto, si α, β, y γ son las raíces de la cúbica resolvente, entonces los números r 1, r 2, r 3 y r 4 son tales que$

{displaystyle left{{begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\(r_{1}+r_{2})(r_{3}+r_{4})=-alpha \(r_{1}+r_{3})(r_{2}+r_{4})=-beta \(r_{1}+r_{4})(r_{2}+r_{3})=-gamma {text{.}}end{array}}right.}

Es una consecuencia de las dos primeras ecuaciones que $r 1 + r 2$ es una raíz cuadrada de $α$ y que $r 3 + r 4$ es la otra raíz cuadrada de $α$ . Por la misma razón,

$r 1 + r 3$ es una raíz cuadrada $β$ ,
$r 2 + r 4$ es la otra raíz cuadrada $β$ ,
$r 1 + r 4$ es una raíz cuadrada $γ$ ,
$r 2 + r 3$ es la otra raíz cuadrada $γ$ .

Por lo tanto, los números $r 1$ , $r 2$ , $r 3$ y $r 4$ son tales que

{displaystyle left{{begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\r_{1}+r_{2}={sqrt {alpha }}\r_{1}+r_{3}={sqrt {beta }}\r_{1}+r_{4}={sqrt {gamma }}{text{;}}end{array}}right.}

El signo de las raíces cuadradas se tratará a continuación. La única solución de este sistema es:

{displaystyle left{{begin{array}{l}r_{1}={frac {{sqrt {alpha }}+{sqrt {beta }}+{sqrt {gamma }}}{2}}\[2mm]r_{2}={frac {{sqrt {alpha }}-{sqrt {beta }}-{sqrt {gamma }}}{2}}\[2mm]r_{3}={frac {-{sqrt {alpha }}+{sqrt {beta }}-{sqrt {gamma }}}{2}}\[2mm]r_{4}={frac {-{sqrt {alpha }}-{sqrt {beta }}+{sqrt {gamma }}}{2}}{text{.}}end{array}}right.}

Dado que, en general, hay dos opciones para cada raíz cuadrada, podría parecer que esto proporciona $8 (= 2 3)$ opciones para el conjunto ${r 1, r 2, r 3, r 4$ }, pero, de hecho, no proporciona más que $2$ tales elecciones, porque la consecuencia de reemplazar una de las raíces cuadradas por la simétrica es que el conjunto ${r 1, r 2, r 3, r 4$ } se convierte en el conjunto ${- r 1, - r 2, - r 3, - r 4$ }.

Para determinar el signo correcto de las raíces cuadradas, uno simplemente elige alguna raíz cuadrada para cada uno de los números $α$ , $β$ y $γ$ y los usa para calcular los números $r 1$ , $r 2$ , $r 3$ y $r 4$ de las igualdades anteriores. Luego, se calcula el número $\sqrt α \sqrt β \sqrt γ . Dado que α, β y γ son las raíces de (2), es consecuencia de las fórmulas de Vieta que su producto es igual a q 2 y por lo tanto que \sqrt α \sqrt β \sqrt γ = \pm q . Pero un cálculo directo muestra que$

\sqrt α \sqrt β \sqrt γ = r 1 r 2 r 3 + r 1 r 2 r 4 + r 1 r 3 r 4 + r 2 r 3 r 4 .

Si este número es $- q$ , entonces la elección de las raíces cuadradas fue buena (nuevamente, según las fórmulas de Vieta); de lo contrario, las raíces del polinomio serán $- r 1$ , $- r 2$ , $- r 3$ , y $- r 4$ , que son los números que se obtienen si se reemplaza una de las raíces cuadradas por la simétrica (o, lo que equivale a lo mismo, si se sustituye cada una de las tres raíces cuadradas por la simétrica).

Este argumento sugiere otra forma de elegir las raíces cuadradas:

Elige. cualquiera raíz cuadrada $\sqrt α$ de $α$ y cualquiera raíz cuadrada $\sqrt β$ de $β$ ;
definir $\sqrt γ$ como ${displaystyle -{frac {q}{{sqrt {alpha }}{sqrt {beta }}}}}$ .

Por supuesto, esto no tendrá sentido si $α$ o $β$ es igual a $0$ , pero $0$ es una raíz de (2 ) solo cuando $q = 0$ , es decir, solo cuando estamos tratando con una ecuación bicuadrada, en cuyo caso hay mucho enfoque más simple.

Resolviendo por el solvente de Lagrange

El grupo simétrico $S 4$ en cuatro elementos tiene el grupo de cuatro de Klein como un subgrupo normal. Esto sugiere usar un cúbico de resolución cuyas raíces pueden describirse de diversas formas como una transformada discreta de Fourier o una transformada matricial de Hadamard de las raíces; consulte los disolventes de Lagrange para conocer el método general. Indicado por $x i$ , para $i$ de $0$ a $3$ , las cuatro raíces de $x 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e$ . si establecemos

{displaystyle {begin{aligned}s_{0}&={tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}),\[4pt]s_{1}&={tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}+x_{2}-x_{3}),\[4pt]s_{2}&={tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}-x_{2}-x_{3}),\[4pt]s_{3}&={tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}-x_{2}+x_{3}),end{aligned}}}

entonces, dado que la transformación es una involución, podemos expresar las raíces en términos de las cuatro $s i$ exactamente de la misma manera Como conocemos el valor $s 0 = - b / 2$ , solo necesitamos los valores para $s 1$ , $s 2$ y $s 3$ . Estas son las raíces del polinomio.

{displaystyle (s^{2}-{s_{1}}^{2})(s^{2}-{s_{2}}^{2})(s^{2}-{s_{3}}^{2}).}

Sustituyendo las $s i$ por sus valores en términos de las $x i$ , este polinomio puede expandirse en un polinomio en $s$ cuyos coeficientes son polinomios simétricos en $x i$ . Por el teorema fundamental de los polinomios simétricos, estos coeficientes pueden expresarse como polinomios en los coeficientes de la cuártica mónica. Si, por simplificación, suponemos que la cuarta está deprimida, es decir $b = 0$ , esto da como resultado el polinomio

{displaystyle s^{6}+2cs^{4}+(c^{2}-4e)s^{2}-d^{2}}

()3)

Este polinomio es de grado seis, pero solo de grado tres en $s 2$ , por lo que la ecuación correspondiente es solucionable por el método descrito en el artículo sobre la función cúbica. Sustituyendo las raíces en la expresión de $x i$ en términos de $s i$ , obtenemos expresión para las raíces. De hecho obtenemos, al parecer, varias expresiones, dependiendo de la numeración de las raíces del polinomio cúbico y de los signos dados a sus raíces cuadradas. Todas estas diferentes expresiones se pueden deducir de una de ellas simplemente cambiando la numeración de $x i$ .

Estas expresiones son innecesariamente complicadas e involucran las raíces cúbicas de la unidad, que se pueden evitar de la siguiente manera. Si $s$ es cualquier raíz distinta de cero de (3), y si establecemos

{displaystyle {begin{aligned}F_{1}(x)&=x^{2}+sx+{frac {c}{2}}+{frac {s^{2}}{2}}-{frac {d}{2s}}\F_{2}(x)&=x^{2}-sx+{frac {c}{2}}+{frac {s^{2}}{2}}+{frac {d}{2s}}end{aligned}}}

entonces

{displaystyle F_{1}(x)times F_{2}(x)=x^{4}+cx^{2}+dx+e.}

Did you mean:

We therefore can solve the quartic by solving for <is and then solving for the roots of the two factors using the quadratic formula.

Did you mean:

This gives exactly the same formula for the roots as the one provided by Descartes ' method.

Resolver con geometría algebraica

Hay una solución alternativa usando geometría algebraica En resumen, uno interpreta las raíces como la intersección de dos curvas cuadráticas, luego encuentra las tres curvas cuadráticas reducibles (pares de líneas) que pasan por estos puntos (esto corresponde a la resolución cúbica, los pares de líneas son los resolventes de Lagrange), y luego use estas ecuaciones lineales para resolver la cuadrática.

Las cuatro raíces del cuartico deprimido $x 4 + px 2 + qx + r = 0$ también puede expresarse como $x$ coordenadas de las intersecciones de las dos ecuaciones cuadráticas $y 2 + py + qx + r = 0$ y $y - x 2 = 0$ es decir, usando la sustitución $y = x 2$ que dos cuadráticas se cortan en cuatro puntos es un ejemplo del teorema de Bézout. Explícitamente, los cuatro puntos son $P i ≔ (x i, x i 2)$ para las cuatro raíces $x i$ de la cuarta.

Estos cuatro puntos no son colineales porque se encuentran en la cuadrática irreducible $y = x 2$ y, por lo tanto, hay una familia de cuadráticas de 1 parámetro (un lápiz de curvas) que pasa por estos puntos. Escribiendo la proyectivización de las dos cuadráticas como formas cuadráticas en tres variables:

{begin{aligned}F_{1}(X,Y,Z)&:=Y^{2}+pYZ+qXZ+rZ^{2},\F_{2}(X,Y,Z)&:=YZ-X^{2}end{aligned}}

el lápiz viene dado por las formas $λF 1 + μF 2$ para cualquier punto $[λ, μ]$ en la línea proyectiva; en otras palabras, donde $λ$ y $μ$ no son cero, y multiplicar una forma cuadrática por una constante no cambia su curva cuadrática de ceros.

Este lápiz contiene tres cuadráticos reducibles, cada uno correspondiente a un par de líneas, cada uno pasando por dos de los cuatro puntos, que se puede hacer $textstyle {{binom {4}{2}}}$ = $6$ diferentes maneras. Denote estos $Q 1 = L 12 + L 34$ , $Q 2 = L 13 + L 24$ , y $Q 3 = L 14 + L 23$ . Dados estos dos, su intersección tiene exactamente los cuatro puntos.

Las cuadráticas reducibles, a su vez, pueden determinarse expresando la forma cuadrática $λF 1 + μF 2$ como una matriz $3\times3$ : las cuadráticas reducibles corresponden a que esta matriz sea singular, lo que equivale a que su determinante sea cero, y el determinante es un polinomio homogéneo de grado tres en $λ$ y $μ$ y corresponde a la cúbica resolvente.