Función cuadrática

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Función polinómica del grado dos

En matemáticas, un polinomio cuadrático es un polinomio de grado dos en una o más variables. Una función cuadrática es la función polinómica definida por un polinomio cuadrático. Antes del siglo XX, la distinción no estaba clara entre un polinomio y su función polinomial asociada; entonces "polinomio cuadrático" y "función cuadrática" eran casi sinónimos. Este sigue siendo el caso en muchos cursos elementales, donde ambos términos a menudo se abrevian como "cuadrático".

Un polinomio cuadrático con dos raíces reales (crudos de las x axis) y por lo tanto ninguna raíz compleja. Otros polinomios cuadráticos tienen su mínimo por encima del x axis, en cuyo caso no hay raíces reales y dos raíces complejas.

Por ejemplo, una función cuadrática univariada (de una sola variable) tiene la forma

{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,quad aneq 0,}

donde $x$ es su variable. La gráfica de una función cuadrática univariante es una parábola, una curva que tiene un eje de simetría paralelo al eje $y$ .

Si una función cuadrática se equipara con cero, entonces el resultado es una ecuación cuadrática. Las soluciones de una ecuación cuadrática son los ceros de la función cuadrática correspondiente.

El caso bivariado en términos de variables $x$ y $y$ tiene la forma

{displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f,}

con al menos uno de $a, b, c$ distinto de cero. Los ceros de esta función cuadrática es, en general (es decir, si una determinada expresión de los coeficientes no es igual a cero), una sección cónica (un círculo u otra elipse, una parábola o una hipérbola).

Una función cuadrática en tres variables $x$ , $y$ y $z$ contiene exclusivamente los términos $x 2$ , $y 2$ , $z 2$ , $xy, xz, yz, x, y, z$ y una constante:

f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,

donde al menos uno de los coeficientes $a, b, c, d, e, f$ de los términos de segundo grado no es cero.

Una función cuadrática puede tener un número arbitrariamente grande de variables. El conjunto de su cero forma una cuádrica, que es una superficie en el caso de tres variables y una hipersuperficie en el caso general.

Etimología

El adjetivo cuadrático proviene de la palabra latina quadrātum ("cuadrado"). Un término elevado a la segunda potencia como $x 2$ se llama cuadrado en álgebra porque es el área de un cuadrado con lado $x$ .

Terminología

Coeficientes

Los coeficientes de una función cuádrica a menudo se toman como números reales o complejos, pero se pueden tomar en cualquier anillo, en cuyo caso el dominio y el codominio son este anillo (ver evaluación de polinomios).

Grado

Cuando se usa el término "polinomio cuadrático", los autores a veces quieren decir "que tiene un grado exactamente 2" y, a veces, "que tiene un grado máximo de 2". Si el grado es inferior a 2, esto puede llamarse un "caso degenerado". Por lo general, el contexto establecerá a cuál de los dos se refiere.

A veces, la palabra "pedir" se usa con el significado de "grado", p. un polinomio de segundo orden. Sin embargo, donde el "grado de un polinomio" se refiere al grado mayor de un término distinto de cero del polinomio, más típicamente de "orden" se refiere al grado más bajo de un término distinto de cero de una serie de potencias.

Variables

Un polinomio cuadrático puede involucrar una sola variable x (el caso univariado) o múltiples variables como x, y y z (el caso multivariado).

El caso de una variable

Cualquier polinomio cuadrático de una sola variable se puede escribir como

{displaystyle ax^{2}+bx+c,}

Donde x es la variable, y a, b, y c representan los coeficientes. Tales polinomios a menudo surgen en una ecuación cuadrática ${displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$ Las soluciones a esta ecuación se llaman las raíces y se pueden expresar en términos de coeficientes como la fórmula cuadrática. Cada polinomio cuadrático tiene una función cuadrática asociada, cuyo gráfico es una parabola.

Casos bivariados y multivariados

Cualquier polinomio cuadrático con dos variables se puede escribir como

{displaystyle ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,}

donde $x$ y $y$ son las variables y a, b, c, d, e, f son los coeficientes, y uno de $a$ , $b$ y $c$ es distinto de cero. Dichos polinomios son fundamentales para el estudio de las secciones cónicas, ya que la ecuación implícita de una sección cónica se obtiene igualando a cero un polinomio cuadrático, y los ceros de una función cuadrática forman una sección cónica (posiblemente degenerada).

Del mismo modo, los polinomios cuadráticos con tres o más variables corresponden a superficies cuadráticas o hipersuperficies.

Los polinomios cuadráticos que tienen solo términos de grado dos se llaman formas cuadráticas.

Formas de una función cuadrática univariada

Una función cuadrática univariante se puede expresar en tres formatos:

${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ se llama formulario estándar,
${displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})}$ se llama forma factorial, donde $r 1$ y $r 2$ son las raíces de la función cuadrática y las soluciones de la ecuación cuadrática correspondiente.
${displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}$ se llama forma de vertex, donde $h$ y $k$ son $x$ y $Sí.$ coordenadas del vértice, respectivamente.

El coeficiente $a$ tiene el mismo valor en las tres formas. Para convertir la forma estándar a forma factorizada, solo se necesita la fórmula cuadrática para determinar las dos raíces $r 1$ y $r 2$ . Para convertir la forma estándar a forma de vértice, se necesita un proceso llamado completar el cuadrado. Para convertir la forma factorizada (o forma de vértice) a la forma estándar, es necesario multiplicar, expandir y/o distribuir los factores.

Gráfica de la función univariante

{displaystyle f(x)=ax^{2}|_{a={0.1,0.3,1,3}}}

{displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b={1,2,3,4}}}

{displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b={-1,-2,-3,-4}}}

Independientemente del formato, el gráfico de una función cuadrática univariada $f(x)=ax^{2}+bx+c$ es una parabola (como se muestra a la derecha). Equivalentemente, este es el gráfico de la ecuación cuadrática bivariada ${displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ .

Si $a ■ 0$ La parabola se abre hacia arriba.
Si $a 0$ La parabola se abre hacia abajo.

El coeficiente $a$ controla el grado de curvatura del gráfico; una magnitud mayor de $a$ le da al gráfico una apariencia más cerrada (curva pronunciada).

Los coeficientes $b$ y $a$ juntos controlan la ubicación del eje de simetría de la parábola (también la coordenada $x$ del vértice y el parámetro h en el vértice formulario) que se encuentra en

x=-{frac {b}{2a}}.

El coeficiente $c$ controla la altura de la parábola; más específicamente, es la altura de la parábola donde intercepta el eje $y$ .

Vértice

El vértice de una parábola es el lugar donde gira; por lo tanto, también se le llama el punto de inflexión. Si la función cuadrática está en forma de vértice, el vértice es $(h, k)$ . Usando el método de completar el cuadrado, uno puede convertir la forma estándar

{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}

{displaystyle {begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\&=a(x-h)^{2}+k\&=aleft(x-{frac {-b}{2a}}right)^{2}+left(c-{frac {b^{2}}{4a}}right),\end{aligned}}}

entonces el vértice, $(h, k)$ , de la parábola en forma estándar es

{displaystyle left(-{frac {b}{2a}},c-{frac {b^{2}}{4a}}right).}

Si la función cuadrática está en forma factorizada

{displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})}

el promedio de las dos raíces, es decir,

{displaystyle {frac {r_{1}+r_{2}}{2}}}

es la coordenada $x$ del vértice y, por lo tanto, el vértice $(h, k)$ es

{displaystyle left({frac {r_{1}+r_{2}}{2}},fleft({frac {r_{1}+r_{2}}{2}}right)right).}

El vértice también es el punto máximo si $a < 0$ , o el punto mínimo si $a > 0$ .

La línea vertical

x=h=-{frac {b}{2a}}

que pasa por el vértice es también el eje de simetría de la parábola.

Puntos máximos y mínimos

Usando el cálculo, el punto de vértice, siendo un máximo o un mínimo de la función, se puede obtener encontrando las raíces de la derivada:

{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+cquad Rightarrow quad f'(x)=2ax+b}

$x$ es una raíz de $f'(x)$ si $f'(x) = 0$ Resultando en

x=-{frac {b}{2a}}

con el valor de función correspondiente

{displaystyle f(x)=aleft(-{frac {b}{2a}}right)^{2}+bleft(-{frac {b}{2a}}right)+c=c-{frac {b^{2}}{4a}},}

así que de nuevo las coordenadas del punto de vértice, $(h, k)$ , se pueden expresar como

{displaystyle left(-{frac {b}{2a}},c-{frac {b^{2}}{4a}}right).}

Raíces de la función univariada

Gráfico de

Sí. = ax 2 + bx + c

, donde

a

y la discriminación

b 2 - 4 ac

son positivos, con

Roots and $Sí.$ -intercepto rojo
Vertex y eje de simetría en azul
Focus and directrix in rosa

Visualización de las complejas raíces

Sí. = ax 2 + bx + c

: la parabola se gira 180° sobre su vértice (naranja). Es...

x

-Los interceptos giran 90° alrededor de su punto medio, y el plano cartesiano se interpreta como el plano complejo (verde).

Raíces exactas

Las raíces (o ceros), $r 1$ y $r 2$ , de la función cuadrática univariada

{displaystyle {begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\end{aligned}}}

son los valores de $x$ para los cuales $f (x) = 0$ .

Cuando los coeficientes $a$ , $b$ y $c$ , son reales o complejas, las raíces son

{displaystyle r_{1}={frac {-b-{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}

{displaystyle r_{2}={frac {-b+{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}

Límite superior de la magnitud de las raíces

El módulo de las raíces de un cuadrático $ax^{2}+bx+c$ no puede ser mayor que ${displaystyle {frac {max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}times phi}$ Donde $phi$ es la relación de oro ${frac {1+{sqrt {5}}}{2}}.$

La raíz cuadrada de una función cuadrática univariante

La raíz cuadrada de una función cuadrática univariante da lugar a una de las cuatro secciones cónicas, casi siempre a una elipse o una hipérbola.

Si $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■0,{displaystyle a confiar0,}0," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dc4d9d3d37d7552c7c3b21d641a6559810f25f" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.138ex; height:2.509ex;"/>$ entonces la ecuación $y=pm {sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ describe una hiperbola, como se puede ver al cubrir ambos lados. Las direcciones de los ejes de la hiperbola se determinan por la ordenada del punto mínimo del parabola correspondiente ${displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c.}$ Si el ordenado es negativo, entonces el eje principal del hiperbola (a través de sus vértices) es horizontal, mientras que si el ordenado es positivo entonces el eje principal del hiperbola es vertical.

Si $<math alttext="{displaystyle aa.0,{displaystyle a won0,} <img alt="{displaystyle a$ entonces la ecuación $y=pm {sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ describe un círculo u otro elipse o nada en absoluto. Si el ordeno del punto máximo del parabola correspondiente ${displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c}$ es positivo, entonces su raíz cuadrada describe un elipse, pero si el orden es negativo entonces describe un locus vacío de puntos.

Iteración

Para iterar una función $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , uno aplica la función repetidamente, utilizando la salida de una iteración como la entrada a la siguiente.

Uno no puede siempre deducir la forma analítica de $f^{(n)}(x)$ , que significa el n^T iteración de $f(x)$ . (El superscripto se puede extender a números negativos, refiriéndose a la iteración del inverso de $f(x)$ si el inverso existe.) Pero hay algunos casos de alcance analítico.

Por ejemplo, para la ecuación iterativa

f(x)=a(x-c)^{2}+c

uno tiene

{displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),}

dónde

{displaystyle g(x)=ax^{2}}

{displaystyle h(x)=x-c.}

Así que por inducción,

{displaystyle f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))}

se puede obtener, donde $g^{{(n)}}(x)$ se puede calcular fácilmente

{displaystyle g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.}

Finalmente, tenemos

{displaystyle f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c}

como la solución.

Consulte Conjugación topológica para obtener más detalles sobre la relación entre f y g. Y vea Polinomio cuadrático complejo para el comportamiento caótico en la iteración general.

El mapa logístico

<math alttext="{displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),quad 0leq x_{0}xn+1=rxn()1− − xn),0≤ ≤ x0.1{displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),quad 0leq x_{0}Hecho1}<img alt="x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),quad 0leq x_{0}

con el parámetro 2<r<4 se puede solucionar en determinados casos, uno caótico y otro no. En el caótico caso r=4 la solución es

x_{n}=sin ^{2}(2^{n}theta pi)

donde el parámetro de condición inicial $theta$ es dado por $theta ={tfrac {1}{pi }}sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})$ . Para racionalizar $theta$ , después de un número finito de iteraciones $x_{n}$ mapas en una secuencia periódica. Pero casi todo $theta$ son irracionales, y, para irracional $theta$ , $x_{n}$ nunca se repite – es no experimental y exhibe dependencia sensible de las condiciones iniciales, por lo que se dice que es caótica.

La solución del mapa logístico cuando r=2 es

$x_{n}={frac {1}{2}}-{frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}$

para $x_{0}in [0,1)$ . Desde $(1-2x_{0})in (-1,1)$ para cualquier valor $x_{0}$ fuera del punto fijo inestable 0, el término $(1-2x_{0})^{2^{n}}$ va a 0 como n va al infinito, así que $x_{n}$ va al punto fijo estable ${tfrac {1}{2}}.$

Función cuadrática bivariada (dos variables)

Una función cuadrática bivariada es un polinomio de segundo grado de la forma

{displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F,}

Donde A, B, C, D, y E son coeficientes fijos y F es el término constante. Tal función describe una superficie cuadrática. Ajuste $f(x,y)$ igual a cero describe la intersección de la superficie con el plano ${displaystyle z=0,}$ que es un locus de puntos equivalentes a una sección cónica.

Mínimo/máximo

Si $<math alttext="{displaystyle 4AB-E^{2}4AB− − E2.0,{displaystyle 4AB-E^{2}traducido0,}<img alt="{displaystyle 4AB-E^{2}$ la función no tiene un máximo o mínimo; su gráfico forma un paraboloide hiperbólico.

Si $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">4AB− − E2■0,{displaystyle 4AB-E^{2} {0}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af11980d048f01896f8549c99328c47664acc27" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.266ex; height:3.009ex;"/>$ la función tiene un mínimo si ambos A ■ 0 y B ■ 0, y un máximo si ambos A 0 y B 0; su gráfico forma un paraboloide elíptico. En este caso el mínimo o máximo ocurre en ${displaystyle (x_{m},y_{m}),}$ Donde:

x_{m}=-{frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}},

y_{m}=-{frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}.

Si ${displaystyle 4AB-E^{2}=0}$ y ${displaystyle DE-2CB=2AD-CEneq 0,}$ la función no tiene un máximo o mínimo; su gráfico forma un cilindro parabólico.

Si ${displaystyle 4AB-E^{2}=0}$ y ${displaystyle DE-2CB=2AD-CE=0,}$ la función alcanza el máximo/mínimo en una línea—un mínimo si Ay un máximo si A■0; su gráfico forma un cilindro parabólico.

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