Función continua

En matemáticas, una función continua es una función tal que una variación continua (es decir, un cambio sin salto) del argumento induce una variación continua del valor de la función. Esto significa que no hay cambios bruscos de valor, conocidos como discontinuidades. Más precisamente, una función es continua si se pueden asegurar cambios arbitrariamente pequeños en su valor restringiendo a cambios suficientemente pequeños de su argumento. Una función discontinua es una función que no es continua. Hasta el siglo XIX, los matemáticos se basaban en gran medida en nociones intuitivas de continuidad y consideraban solo funciones continuas. La definición épsilon-delta de un límite se introdujo para formalizar la definición de continuidad.

La continuidad es uno de los conceptos centrales del cálculo y el análisis matemático, donde los argumentos y los valores de las funciones son números reales y complejos. El concepto se ha generalizado a funciones entre espacios métricos y entre espacios topológicos. Estas últimas son las funciones continuas más generales, y su definición es la base de la topología.

Una forma más fuerte de continuidad es la continuidad uniforme. En la teoría del orden, especialmente en la teoría del dominio, un concepto relacionado de continuidad es la continuidad de Scott.

Como ejemplo, la función H(t) que indica la altura de una flor en crecimiento en el momento t se consideraría continua. Por el contrario, la función M(t) que denota la cantidad de dinero en una cuenta bancaria en el momento t se consideraría discontinua, ya que "salta" en cada momento en que se deposita o retira el dinero.

Historia

Una forma de la definición epsilon-delta de continuidad fue dada por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Augustin-Louis Cauchy definió la continuidad de ${displaystyle y=f(x)}$ como sigue: un aumento infinitamente pequeño ${displaystyle alpha }$ de la variable independiente x siempre produce un cambio infinitamente pequeño ${displaystyle f(x+alpha)-f(x)}$ de la variable dependiente Sí. (véase, por ejemplo. Cours d'Analyse, pág. 34). Cauchy definió cantidades infinitamente pequeñas en términos de cantidades variables, y su definición de continuidad paralela estrechamente a la definición infinitesimal utilizada hoy (ver microcontinuidad). La definición formal y la distinción entre continuidad puntual y continuidad uniforme fueron dadas por primera vez por Bolzano en la década de 1830, pero la obra no fue publicada hasta la década de 1930. Como Bolzano, Karl Weierstrass negó la continuidad de una función en un momento c a menos que se defina en ambos lados c, pero Édouard Goursat permitió que la función se definiera sólo en y en un lado c, y Camille Jordania lo permitió incluso si la función se definió solamente en c. Las tres definiciones inequívocas de continuidad apuntan todavía en uso. Eduard Heine proporcionó la primera definición publicada de continuidad uniforme en 1872, pero basó estas ideas en conferencias dadas por Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1854.

Funciones reales

Definición

La función ${displaystyle f(x)={tfrac {1}{x}}$ es continuo en su dominio (${displaystyle mathbb {R} setminus {0}$), pero discontinuo (no continuo o singularidad) ${displaystyle x=0}$. Sin embargo, se puede definir el valor principal de Cauchy. Por otro lado, en análisis complejos (${displaystyle mathbb {C}$, especialmente ${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMinMinMinMinMin {C}}$.), este punto (x=0) no se considera como "indefinido" y se llama una singularidad, porque cuando se piensa en ${displaystyle x}$ como una variable compleja, este punto es un polo de orden uno, y luego la serie Laurent con la parte principal más finita se puede definir alrededor de los puntos singulares. Además, la esfera Riemann se utiliza a menudo como modelo para estudiar funciones como el ejemplo.

Una función real, es decir, una función de números reales a números reales, se puede representar mediante un gráfico en el plano cartesiano; tal función es continua si, en términos generales, el gráfico es una sola curva continua cuyo dominio es toda la línea real. A continuación se da una definición matemáticamente más rigurosa.

La continuidad de las funciones reales se define generalmente en términos de límites. Una función f con variable x es continuo el número real c, si el límite ${displaystyle f(x),}$ como x tiende a c, es igual a ${displaystyle f(c).}$

Hay varias definiciones diferentes de continuidad (global) de una función, que dependen de la naturaleza de su dominio.

Una función es continua en un intervalo abierto si el intervalo está contenido en el dominio de la función, y la función es continua en cada punto del intervalo. Una función continua en el intervalo ${displaystyle (-infty+infty)}$ (toda la línea real) se llama a menudo simplemente una función continua; uno dice también que tal función es continuo. Por ejemplo, todas las funciones polinómicas son continuas en todas partes.

Una función es continua en un intervalo semiabierto o cerrado, si el intervalo está contenido en el dominio de la función, la función es continua en cada punto interior del intervalo, y el valor de la función en cada punto final que pertenece al intervalo es el límite de los valores de la función cuando la variable tiende al punto final desde el interior del intervalo. Por ejemplo, la función ${displaystyle f(x)={sqrt {x}}$ es continuo en todo su dominio, que es el intervalo cerrado ${displaystyle [0,+infty]$

Muchas funciones comúnmente encontradas son funciones parciales que tienen un dominio formado por todos los números reales, excepto algunos puntos aislados. Ejemplos son las funciones ${textstyle xmapsto {fnMicroc {1}{x}}$ y ${displaystyle xmapsto tan x.}$ Cuando son continuos en su dominio, uno dice, en algunos contextos, que son continuos, aunque no son continuos en todas partes. En otros contextos, principalmente cuando uno está interesado en su comportamiento cerca de los puntos excepcionales, uno dice que son discontinuos.

Una función parcial es discontinua en un punto, si el punto pertenece al cierre topológico de su dominio, y o bien el punto no pertenece al dominio de la función, o la función no es continua en el punto. Por ejemplo, las funciones ${textstyle xmapsto {fnMicroc {1}{x}}$ y ${textstyle xmapsto sin({frac {1}{x}}}$ son discontinuos a 0, y permanecer discontínua cualquier valor es elegido para definirlos en 0. Un punto en el que una función es discontinua se llama discontinuidad.

Usando la notación matemática, hay varias formas de definir funciones continuas en cada uno de los tres sentidos mencionados anteriormente.

Dejar

$${displaystyle f:Dto mathbb {R}$$

${displaystyle D}$

${displaystyle mathbb {R}$

Este subconjunto ${displaystyle D}$ es el dominio de f. Algunas opciones posibles incluyen

• ${displaystyle D=Mathbb {R}$: i.e., ${displaystyle D}$ es todo el conjunto de números reales), o, a y b números reales,
• ${displaystyle D=[a,b]={xin mathbb {R} mid aleq xleq b}}$: ${displaystyle D}$ es un intervalo cerrado, o
• ${displaystyle D=(a,b)={xin mathbb {R} {R} {cHFF}$: ${displaystyle D}$ es un intervalo abierto.

En caso de dominio ${displaystyle D}$ siendo definido como un intervalo abierto, ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ no pertenecen a ${displaystyle D}$, y los valores de ${displaystyle f(a)}$ y ${displaystyle f(b)}$ no importa para la continuidad ${displaystyle D}$.

Definición en términos de límites de funciones

La función f es continuo en algún momento c de su dominio si el límite ${displaystyle f(x),}$ como x enfoques c a través del dominio f, existe y es igual a ${displaystyle f(c).}$ En la notación matemática, esto está escrito como

$${displaystyle lim _{xto c}{f(x)}=f(c). }$$

${displaystyle f(c).}$

(Aquí, hemos asumido que el dominio de f no tiene ningún punto aislado).

Definición en términos de barrios

Un barrio de un punto c es un conjunto que contiene, al menos, todos los puntos dentro de alguna distancia fija c. Intuitivamente, una función es continua en un punto c si el rango de f sobre el barrio c se reduce a un solo punto ${displaystyle f(c)}$ como el ancho del vecindario alrededor c se reduce a cero. Más precisamente, una función f es continuo en un punto c de su dominio si, para cualquier vecindario ${displaystyle N_{1}(f(c)}$ hay un barrio ${displaystyle N_{2}(c)}$ en su dominio tal que ${displaystyle f(x)in N_{1}(f(c)}$ siempre ${displaystyle xin N_{2}(c). }$

Esta definición solo requiere que el dominio y el codominio sean espacios topológicos y, por lo tanto, es la definición más general. De esta definición se sigue que una función f es automáticamente continua en cada punto aislado de su dominio. Como ejemplo específico, cada función de valor real en el conjunto de números enteros es continua.

Definición en términos de límites de secuencias

La secuencia exp(1/n) convergencias a exp(0) = 1

En cambio, uno puede requerir eso para cualquier secuencia ${displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N}$ de puntos en el dominio que converge c, la secuencia correspondiente ${displaystyle left(f(x_{n})right)_{nin mathbb {N}$ convergencias a ${displaystyle f(c).}$ En la notación matemática,

$${displaystyle forall (x_{n})_{nin mathbb Subset D:lim _{nto infty }x_{n}=cRightarrow lim _{nto infty }f(x_{n})=f(c),.}$$

Definiciones de Weierstrass y Jordan (épsilon-delta) de funciones continuas

Ilustración de la ε-δ-Definición: x = 2, cualquier valor δ ≤ 0.5 satisface la condición de la definición para ε = 0,5.

Incluir explícitamente la definición del límite de una función, obtenemos una definición autocontenida: Dada la función ${displaystyle f:Dto mathbb {R}$ como arriba y un elemento ${displaystyle x_{0}$ del dominio ${displaystyle D}$, ${displaystyle f}$ se dice que es continuo en el punto ${displaystyle x_{0}$ cuando se sostiene lo siguiente: Para cualquier número real positivo ${displaystyle varepsilon >0,}$ sin embargo pequeño, existe algún número real positivo ${displaystyle delta >0}$ tal que para todos ${displaystyle x}$ en el dominio de ${displaystyle f}$ con ${displaystyle x_{0}-delta - No.$ el valor de ${displaystyle f(x)}$ satisfizo

$${displaystyle fleft(x_{0}derecho)-varepsilon [x] seleccionadof(x_{0}+varepsilon.}$$

Por escrito, continuidad de ${displaystyle f:Dto mathbb {R}$ a ${displaystyle x_{0}in D}$ significa que para todos ${displaystyle varepsilon >0,}$ existe ${displaystyle delta >0}$ tal que para todos ${displaystyle xin D}$:

$${displaystyle left habitx-x_{0}right obedeciódelta ###{texto {fncipa} }~~Principal.$$

Más intuitivamente, podemos decir que si queremos conseguir todo el ${displaystyle f(x)}$ valores para permanecer en un pequeño vecindario alrededor ${displaystyle fleft(x_{0}right),}$ simplemente tenemos que elegir un pequeño vecindario suficiente para el ${displaystyle x}$ valores alrededor ${displaystyle x_{0}$ Si podemos hacerlo sin importar lo pequeño que sea ${displaystyle f(x_{0}}$ El vecindario lo es, entonces ${displaystyle f}$ es continuo ${displaystyle x_{0}$

En términos modernos, esto se generaliza mediante la definición de continuidad de una función con respecto a una base para la topología, aquí la topología métrica.

Weierstrass había requerido que el intervalo ${displaystyle x_{0}-delta - No. }$ estar completamente dentro del dominio ${displaystyle D}$, pero Jordania retiró esa restricción.

Definición en términos de control del resto

En pruebas y análisis numéricos a menudo necesitamos saber cómo los límites rápidos son convergentes, o en otras palabras, el control del resto. Podemos formalizar esto a una definición de continuidad. Una función ${displaystyle C:[0,infty]to [0,infty]$ se llama función de control si

• C no disminuye
• ${displaystyle inf _{delta √0}C(delta)=0}$

Una función ${displaystyle f:Dto R}$ es C- continuo a ${displaystyle x_{0}$ si existe tal barrio ${textstyle N(x_{0}}$ que

$${displaystyle Silenciof(x)-f(x_{0})$$

Una función es continua en ${displaystyle x_{0}$ si es C- continuo para alguna función de control C.

Este enfoque conduce naturalmente a refinar la noción de continuidad restringiendo el conjunto de funciones de control admisible. Para un determinado conjunto de funciones de control ${displaystyle {fnMithcal}}$ una función ${displaystyle {fnMithcal}}$-continua si es ${displaystyle C}$-continua para algunos ${displaystyle Cin {Mathcal {C}}$ Por ejemplo, las funciones continuas de Lipschitz y Hölder de exponente α a continuación se definen por el conjunto de funciones de control

$${displaystyle {Mathcal {}_{mathrm} {Lipschitz} }={C:C(delta)=K sometidadelta tención,K0}$$

$${displaystyle {mathcal {}_{text{Hölder}-alpha }={C:C(delta)=K sometidadelta K].$$

Definición usando oscilación

El fracaso de una función para ser continua en un punto es cuantificado por su oscilación.

La continuidad también se puede definir en términos de oscilación: una función f es continuo en un punto ${displaystyle x_{0}$ si y sólo si su oscilación en ese punto es cero; en símbolos, ${displaystyle omega _{f}(x_{0}=0.}$ Un beneficio de esta definición es que cuantifica discontinuidad: la oscilación da cómo mucho la función es discontinua en un punto.

Esta definición es útil en la teoría de conjuntos descriptivos para estudiar el conjunto de discontinuidades y puntos continuos – los puntos continuos son la intersección de los conjuntos donde la oscilación es menor que ${displaystyle varepsilon }$ (hence a ${displaystyle G_{delta }$ set) – y da una prueba muy rápida de una dirección de la condición de integración de Lebesgue.

La oscilación es equivalente a la ${displaystyle varepsilon -delta }$ definición por un simple re-arrangement, y mediante el uso de un límite (sup delgado, lim inf) para definir la oscilación: si (en un punto dado) ${displaystyle varepsilon ¿Qué?$ No hay ${displaystyle delta }$ que satisface a los ${displaystyle varepsilon -delta }$ definición, entonces la oscilación es al menos ${displaystyle varepsilon _{0},}$ y a la inversa si por cada ${displaystyle varepsilon }$ hay un deseo ${displaystyle delta}$ la oscilación es 0. La definición de oscilación se puede generalizar naturalmente a mapas desde un espacio topológico a un espacio métrico.

Definición usando los hiperreales

Cauchy definió la continuidad de una función en los siguientes términos intuitivos: un cambio infinitesimal en la variable independiente corresponde a un cambio infinitesimal en la variable dependiente (ver Cours d'analyse, página 34). El análisis no estándar es una forma de hacer esto matemáticamente riguroso. La línea real se aumenta con la suma de números infinitos e infinitesimales para formar los números hiperreales. En el análisis no estándar, la continuidad se puede definir de la siguiente manera.

Una función de valor real f es continuo x si su extensión natural a los hiperreal tiene la propiedad que para todos los infinitesimal dx, ${displaystyle f(x+dx)-f(x)}$ es infinitesimal

(ver microcontinuidad). En otras palabras, un incremento infinitesimal de la variable independiente siempre produce un cambio infinitesimal de la variable dependiente, dando una expresión moderna a la definición de continuidad de Augustin-Louis Cauchy.

Construcción de funciones continuas

El gráfico de una función cúbica no tiene saltos ni agujeros. La función es continua.

La verificación de la continuidad de una función dada se puede simplificar al verificar una de las propiedades definitorias anteriores para los componentes básicos de la función dada. Es sencillo mostrar que la suma de dos funciones, continuas en algún dominio, también es continua en este dominio. Dado

$${displaystyle f,gcolon Dto mathbb {R}$$

$${displaystyle s=f+g}$$

${displaystyle s(x)=f(x)+g(x)}$

${displaystyle xin D}$

${displaystyle D.}$

Lo mismo vale para el producto de funciones continuas,

$${displaystyle p=fcdot g}$$

${displaystyle p(x)=f(x)cdot g(x)}$

${displaystyle xin D}$

${displaystyle D.}$

Combinando las preservación de la continuidad y la continuidad de las funciones constantes y de la función de identidad ${displaystyle I(x)=x}$ on ${displaystyle mathbb {R}$, uno llega a la continuidad de todas las funciones polinómicas on ${displaystyle mathbb {R}$, tales como

$${displaystyle f(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3}$$

El gráfico de una función racional continua. La función no se define para ${displaystyle x=-2.}$ Las líneas verticales y horizontales son asintotos.

De la misma manera se puede demostrar que el recíproco de una función continua

$${displaystyle r=1/f}$$

${displaystyle r(x)=1/f(x)}$

${displaystyle xin D}$

${displaystyle f(x)neq 0}$

${displaystyle Dsetminus {x:f(x)=0}$

Esto implica que, excluyendo las raíces ${displaystyle g,}$ el cociente de funciones continuas

$${displaystyle q=f/g}$$

${displaystyle q(x)=f(x)/g(x)}$

${displaystyle xin D}$

${displaystyle g(x)neq 0}$

${displaystyle Dsetminus {x:g(x)=0}$

Por ejemplo, la función (en la imagen)

$${displaystyle y(x)={frac {2x-1}{x+2}}$$

${displaystyle xneq -2}$

${displaystyle x=-2}$

${displaystyle x=-2}$

${displaystyle y.}$

${displaystyle F:mathbb {R} to mathbb {R}$

${displaystyle y(x)}$

${displaystyle xneq -2.}$

El sinc y las funciones del cos

Puesto que la función sine es continua en todos los reinos, la función sinc ${displaystyle G(x)=sin(x)/x,}$ se define y continua para todo real ${displaystyle xneq 0}$ Sin embargo, a diferencia del ejemplo anterior, G puede se extendió a una función continua en Todos números reales, por Definición el valor ${displaystyle G(0)}$ a ser 1, que es el límite ${displaystyle G(x),}$ cuando x enfoques 0, es decir,

$${displaystyle G(0)=lim _{xto 0}{frac {fnMicroc} - Sí.$$

Por lo tanto, al establecer

${displaystyle G(x)={begin{cases}{frac {sin(x)}{text{ if }}xneq 01 plural{ if }x=0,end{cases}}$

la función sinc se convierte en una función continua en todos los números reales. El término singularidad removible se usa en tales casos, cuando (re)definir los valores de una función para que coincidan con los límites apropiados hacen que una función sea continua en puntos específicos.

Una construcción más compleja de funciones continuas es la composición de funciones. Dadas dos funciones continuas

$${displaystyle g:D_{g}subseteq mathbb {R} to R_{g}subseteq mathbb {R} quad {text{ and }}quad f:D_{f}subseteq mathbb {R} to R_{f}subseteq D_{g},}$$

${displaystyle c=gcirc f:D_{f}to mathbb {R}$

${displaystyle c(x)=g(f(x)),}$

Esta construcción permite afirmar, por ejemplo, que

$${displaystyle e^{sin(ln x)}$$

${displaystyle x confianza0.}$

Ejemplos de funciones discontinuas

Parcela de la función Signum. Muestra que ${displaystyle lim _{nto infty }operatorname {sgn} left({tfrac {1}{n}}right)neq operatorname {sgn} left(lim _{nto infty }{n} {1}{n}}right)}}}} {derech]$. Así, la función signum es discontinua a 0 (véase la sección 2.1.3).

Un ejemplo de una función discontinua es la función paso Heaviside ${displaystyle H.$, definida por