Función constante

En matemáticas, una función constante es una función cuyo valor (de salida) es el mismo para cada valor de entrada. Por ejemplo, la función y(x) = 4 es una función constante porque el valor de y(x) es 4 independientemente del valor de entrada x (ver imagen).

Propiedades básicas

Como función de valor real de un argumento de valor real, una función constante tiene la forma general y(x) = c o simplemente y = c.

Ejemplo: La función Sí.()x) = 2 o simplemente Sí. = 2 es la función constante específica donde el valor de salida es c = 2. El dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales R. El codominio de esta función es sólo {2}. La variable independiente x no aparece en el lado derecho de la expresión de la función y por lo tanto su valor es "vacuously replaced". Nombre Sí.(0) = 2, Sí.(-2,7) = 2, Sí.(π) = 2, y así sucesivamente. No importa qué valor x es entrada, la salida es "2".

Ejemplo del mundo real: Una tienda donde cada artículo se vende por el precio de 1 dólar.

La gráfica de la función constante y = c es una línea horizontal en el plano que pasa por el punto (0, c).

En el contexto de un polinomio en una variable x, la función constante distinta de cero es un polinomio de grado 0 y su forma general es f(x) = c donde c es distinto de cero. Esta función no tiene punto de intersección con el eje x, es decir, no tiene raíz (cero). Por otro lado, el polinomio f(x) = 0 es la función idénticamente cero. Es la función constante (trivial) y cada x es una raíz. Su gráfico es el eje x en el plano.

Una función constante es una función par, es decir, la gráfica de una función constante es simétrica con respecto al eje y.

En el contexto en que se define, el derivado de una función es una medida de la tasa de cambio de valores de función con respecto al cambio de valores de entrada. Debido a que una función constante no cambia, su derivado es 0. Esto se escribe a menudo: ()x↦ ↦ c).=0{displaystyle (xmapsto c)'=0}. El contrario también es cierto. Es decir, si Sí..x) = 0 para todos los números reales x, entonces Sí. es una función constante.

Ejemplo: Dada la función constante Sí.()x)=− − 2{displaystyle y(x)=-{sqrt {2}}. El derivado de Sí. es la función idéntica cero Sí..()x)=()x↦ ↦ − − 2).=0{displaystyle y'(x)=left(xmapsto -{sqrt {2}right)'=0}.

Otras propiedades

Para las funciones entre conjuntos preordenados, las funciones constantes conservan el orden y lo invierten; por el contrario, si f conserva el orden y lo invierte, y si el dominio de f es una red, entonces f debe ser constante.

• Cada función constante cuyo dominio y codominio son el mismo conjunto X es un cero izquierdo del monoide de transformación completa en X, lo que implica que también es idempotente.
• Tiene cero pendiente/gradiente.
• Cada función constante entre los espacios topológicos es continua.
• Factores de función constantes a través del conjunto de un punto, el objeto terminal en la categoría de conjuntos. Esta observación es instrumental para la axiomatización de la teoría de conjuntos de F. William Lawvere, la teoría elemental de la categoría de conjuntos (ETCS).
• Para cualquier no trabajador Y, cada conjunto X es isomorfo al conjunto de funciones constantes en Y→ → X{displaystyle Yto X}. Para cualquier Y y cada elemento x dentro X, hay una función única x~ ~ :Y→ → X{displaystyle {tilde {x}:Yto X} tales que x~ ~ ()Sí.)=x{displaystyle {tilde {x}(y)=x} para todos Sí.▪ ▪ Y{displaystyle yin Y}. Por el contrario, si una función f:Y→ → X{displaystyle f:Yto X} satisfizo f()Sí.)=f()Sí..){displaystyle f(y)=fleft(y'right)} para todos Sí.,Sí..▪ ▪ Y{displaystyle y,y'in Y}, f{displaystyle f} es por definición una función constante.
  • Como corolario, el conjunto de un punto es un generador en la categoría de conjuntos.
  • Cada conjunto X{displaystyle X} es canónicamente isomorfo al conjunto de funciones X1{displaystyle X^{1}, o conjunto de hom hom⁡ ⁡ ()1,X){displaystyle operatorname {hom} (1,X)} en la categoría de conjuntos, donde 1 es el conjunto de un punto. Debido a esto, y la adjunción entre los productos cartesianos y el hom en la categoría de conjuntos (por lo que hay un isomorfismo canónico entre las funciones de dos variables y funciones de una variable valorada en las funciones de otra variable (single), hom⁡ ⁡ ()X× × Y,Z).. hom⁡ ⁡ ()X()hom⁡ ⁡ ()Y,Z)){displaystyle operatorname {hom} (Xtimes Y,Z)cong operatorname {hom} (X(operatorname {hom} (Y,Z)}) la categoría de conjuntos es una categoría monoidal cerrada con el producto cartesiano de conjuntos como producto tensor y el conjunto de un punto como unidad tensor. En los isomorfismos λ λ :1× × X.. X.. X× × 1:*** *** {displaystyle lambda:1times Xcong Xcong Xtimes 1:rho } natural en X, los unidad izquierda y derecha son las proyecciones p1{displaystyle P_{1} y p2{displaystyle p_{2} los pares ordenados ()Alternativa Alternativa ,x){displaystyle (*,x)} y ()x,Alternativa Alternativa ){displaystyle (x,*)} respectivamente al elemento x{displaystyle x}, donde Alternativa Alternativa {displaystyle *} es el punto único en el conjunto de un punto.

Una función en un conjunto conexo es localmente constante si y solo si es constante.