Función con valores vectoriales

Una función con valores vectoriales, también conocida como función vectorial, es una función matemática de una o más variables cuyo rango es un conjunto de vectores multidimensionales o vectores de dimensiones infinitas. . La entrada de una función con valores vectoriales podría ser un escalar o un vector (es decir, la dimensión del dominio podría ser 1 o mayor que 1); la dimensión del dominio de la función no tiene relación con la dimensión de su rango.

Ejemplo: hélice

Un ejemplo común de una función con valores vectoriales es aquella que depende de un único parámetro real t, que a menudo representa el tiempo, produciendo un vector v(t) como resultado. En términos de los vectores unitarios estándar i, j, < abarcan class="texhtml">k del espacio tridimensional cartesiano, estos tipos específicos de funciones con valores vectoriales vienen dados por expresiones como

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k}$$

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle }$$

El vector mostrado en el gráfico a la derecha es la evaluación de la función ${\displaystyle \langle 2\cos t,\,4\sin t,\,t\rangle }$ cerca t = 19,5 (between 6π y 6.5π; es decir, algo más de 3 rotaciones). El helix es el camino trazado por la punta del vector como t aumentos de cero a 8π.

En 2D, podemos hablar de manera análoga sobre funciones con valores vectoriales como

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j}$$

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t)\rangle }$$

Caso lineal

En el caso lineal la función se puede expresar en términos de matrices:

$${\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x}$$

$${\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} +\mathbf {b}$$

El caso lineal surge a menudo, por ejemplo en la regresión múltiple, donde por ejemplo el n × 1 vector ${\displaystyle {\hat {y}}}$ de valores predichos de una variable dependiente se expresa linealmente en términos de k × 1 vector ${\displaystyle {\hat {\beta {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\f}\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\f}\f}\f}\f}\f}\fn\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\f}\f}\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fn\f}\f}\fn\f}\fn\fnMicrosoft {\fn\fn\fnMicrosoft {\fn\fn\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fn\\\fn\\\\fnMicrosoft {\f}\\fn }$ ()k c) n) de valores estimados de parámetros modelo:

$${\displaystyle {\hat {\mathbf} }= ¿Qué?$$

Representación paramétrica de una superficie

Una superficie es un conjunto bidimensional de puntos incrustados en (más comúnmente) un espacio tridimensional. Una forma de representar una superficie es con ecuaciones paramétricas, en las que dos parámetros s y t determina las tres coordenadas cartesianas de cualquier punto de la superficie:

$${\displaystyle (x,y,z)=(f(s,t),g(s,t),h(s,t)))\equiv \mathbf {F} (s,t). }$$

$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dotsx_{n}=(f_{1}(s,t),f_{2}(s,t),\dotsf_{n}(s,t)\equiv \mathbf {F} (s,t). }$$

Derivada de una función vectorial tridimensional

Muchas funciones con valores vectoriales, como las funciones con valores escalares, se pueden diferenciar simplemente diferenciando los componentes en el sistema de coordenadas cartesiano. Así, si

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k}$$

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} {dt}=f'(t)\mathbf {i} +g'(t)\mathbf {j} +h'(t)\mathbf {k}$$

$${\displaystyle \mathbf {v} (t)={\frac {d\mathbf {r} } {dt}.$$

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf} - Sí.$$

Derivada parcial

La derivada parcial de una función vectorial a con respecto a una variable escalar q se define como

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}=\sum - ¿Qué? {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\f}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnMicrosoft}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}} {\b}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\ Mathbf {e}$$

Derivado ordinario

Si a se considera una función vectorial de una única variable escalar, como el tiempo t, entonces la ecuación anterior se reduce a la primera derivada en tiempo ordinario de a con respecto a t,

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf} } {dt}=\sum - ¿Qué? Mathbf.$$

Total derivative

Si el vector a es función de un número n de variables escalares q_r (r = 1,..., n), y cada q_{r< /sub>} es sólo una función del tiempo t, entonces la derivada ordinaria de a con respecto a t se puede expresar, en una forma conocida como derivada total, como

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf} } {dt}=\sum ¿Por qué? }{\partial ¿Por qué? {\fnK} {\fnK}} {\fnMicroc {\partial \mathbf {a} }{\partial }$$

Algunos autores prefieren usar capital D para indicar el operador derivado total, como D/Dt. El derivado total difiere del derivado del tiempo parcial en que las cuentas derivadas totales para los cambios en a debido a la diferencia horaria de las variables q_r.

Marcos de referencia

Mientras que para las funciones de valor escalar sólo hay un marco de referencia único posible, tomar el derivado de una función valorada por vectores requiere la elección de un marco de referencia (al menos cuando un sistema de coordenadas cartesiano fijo no está implícito como tal). Una vez que se ha elegido un marco de referencia, el derivado de una función valorada por vectores se puede calcular utilizando técnicas similares a las para derivaciones de cálculo de funciones valoradas por escalar. Una elección diferente del marco de referencia producirá, en general, una función derivada diferente. Las funciones derivadas en diferentes marcos de referencia tienen una relación cinemática específica.

Derivada de una función vectorial con bases no fijas

Las fórmulas anteriores para la derivada de una función vectorial se basan en el supuesto de que los vectores base e₁, e₂ , e₃ son constantes, es decir, fijos en el sistema de referencia en el que se toma la derivada de a, y por lo tanto el e₁, e₂, e_{3 cada uno tiene una derivada idénticamente cero. Esto suele ser cierto para problemas que tratan con campos vectoriales en un sistema de coordenadas fijo, o para problemas simples de física. Sin embargo, muchos problemas complejos implican la derivada de una función vectorial en múltiples sistemas de referencia en movimiento, lo que significa que los vectores base no serán necesariamente constantes. En el caso de que los vectores base e1, e2, e 3 están fijos en el sistema de referencia E, pero no en el sistema de referencia N, la fórmula más general para la derivada temporal ordinaria de un vector en el sistema de referencia N es}

$${\displaystyle {\frac {\fn} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\f}} {\m}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}} {\f}}}\f}}}}}\m\m}m\m}m}m} {N}d\mathbf {a} } {dt}=\sum - ¿Qué? {\fn} {\fn}\fnK}\fnh}\fnh} {\fnh}\fnh}\fn} {\fn}\fn} {\fn}}\fn}\fn}\fn} {\fn}\fn}\fn}}\fn}\fn}}}\m} {\f}}}\s}}}}}\m} {\s}}}}}}\m}\m}\m} {\s}}\s}}\s}\s}\s}}\m}\m}}}}}\m}\s}\s}}}\s}\s}}}\s}\m}}\m}\m}}\m}}\m}\m}\m}\m}\m}\s}\s}\s}\s}\s}}\m}}\m}\m}\m}\m}\m}\m}\m}}\m}}} ¿Por qué? {} {\fn} {\fn}d\mathbf} ¿Qué?$$

$${\displaystyle {\frac {\fn} {\fn}d\mathbf} {} {\fn} {\fnK} {\fnK} {\fnMicrosoft} {\f}} {\f}} {\f}} {\fn}} {\fn}}}} {\fn}}} {\fn}}} {\f}}} {\f}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}\\\\\\\\\\\f}\\\\\\\\\\\\\\\\f}\fn}\\\\fn\\\\fn}\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\fn}\fn\\\\\fn\\\\\\\\\\\\fn}\\\\fn}\\\\fn}\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn} } {dt}{} {\m} {\m} {N}\mathbf {\omega} {\mathrm}\times \mathbf {a}$$

Un ejemplo común en el que se utiliza esta fórmula es encontrar la velocidad de un objeto espacial, como un cohete, en el marco de referencia inercial utilizando mediciones de la velocidad del cohete en relación con el suelo. La velocidad ^Nv^R en el sistema de referencia inercial N de un cohete R ubicado en la posición r^R se puede encontrar usando la fórmula

$${\displaystyle {\frac {\f} {\fn}dt} {\fn} {\fnh} {\fn} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}}} {\m} {\fn}}}}} {\fn}}}}} {\m}}}}} {\m}}}}}}} {\f}}}}} {\s}}} {\s}}}}}}} {\m} {\f} {\m} {\f} {\m} {\s}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\m} {\m} {\m} {\m} {\m} {\m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\m}}} {\m} {\s}}}}}}}}}}} {} {\fn} {\fnK} {\f}}} {\f}} {\f}} {\f}} {\f}} {\f}}}} {\f}}}}}} {\f}} {\f}}}} {\\\f}}}}} {\\\\\\fnH0}}}}} {\\\f}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\fn\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}\\\fn}\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn ^{\mathrm {R})+{}{\mathrm {N}\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E}\times \mathbf {r} {r}{\mathrm} .$$

$${\displaystyle {\fn}\mathbf} ^{\mathrm {R}={} {\m}m} Mathbf ^{\mathrm {R}+{} {\m} {N}\mathbf {\omega } {\mathrm}\times \mathbf {r} {R}$$

Multiplicación de derivadas y vectores

La derivada de un producto de funciones vectoriales se comporta de manera similar a la derivada de un producto de funciones escalares. Específicamente, en el caso de la multiplicación escalar de un vector, si p es una función variable escalar de q,

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}(p\mathbf {a}={\frac {\partial p}{\partial q}\mathbf {a} +p{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}$$

En el caso de la multiplicación de puntos, para dos vectores a y b que son funciones de q,

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q} {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b})={\frac {\partial \mathbf {a} {\cdot\cdot \mathbf {b}} {b}} {\cdot\cdot {b}} {\c} {\c} {\cdot\c}}}} {\cdot\cdot\c} {\c} {\c} {\c} {\c} {\c} {\c} {\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}}\c}\c}\cdot\c}\c}\cdot\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\cdot\cdot\c} # Mathbf {a} \cdot {\frac {\partial \mathbf {b} }{\partial q}$$

De manera similar, la derivada del producto cruzado de dos funciones vectoriales es

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q} {\mathbf {a} \times \mathbf {b})={\frac {\partial \mathbf {a}{\partial q}\times \mathbf {b}} # Mathbf {a} \times {\frac {\partial \mathbf {b} }{\partial q}$$

Derivativo de una función vectorial n-dimensional

Una función f de un número real t con valores en el espacio ${\displaystyle \mathbb {R} {} {}} {\fn}}$ puede ser escrito como ${\displaystyle \mathbf {f} (t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),\ldotsf_{n}(t)}}$. Sus equivalentes derivados

$${\displaystyle \mathbf {f} '(t)=(f_{1}'(t),f_{2}'(t),\ldotsf_{n}'(t)}$$

${\displaystyle t\in \mathbb {R} {m}$,

${\displaystyle n\times m}$

Funciones vectoriales de dimensión infinita

Si los valores de una función f miente en un espacio vectorial infinita X, como un espacio Hilbert, entonces f puede ser llamado función vectorial infinita.

Funciones con valores en un espacio Hilbert

Si el argumento de f es un número real y X es un espacio Hilbert, entonces el derivado de f en un momento t se puede definir como en el caso finito-dimensional:

$${\displaystyle \mathbf {f} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {f} (t+h)-\mathbf {f} {h}}}} {h}}} {\f}$$

${\displaystyle t\in \mathbb {R} {\fn}$

${\displaystyle t\in Y}$

Nota: Si X es un espacio de Hilbert, entonces se puede demostrar fácilmente que cualquier derivada (y cualquier otro límite) se puede calcular por componentes: si

$${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{1},f_{2},f_{3},\ldots)}$$

${\displaystyle \mathbf {f} =f_{1}\mathbf {e} ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué?$,

${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3},\ldots }$

${\displaystyle f'(t)}$

$${\displaystyle \mathbf {f} '(t)=(f_{1}'(t),f_{2}'(t),f_{3}'(t),\ldots. }$$

Otros espacios vectoriales de dimensión infinita

La mayor parte de lo anterior también es válido para otros espacios vectoriales topológicos X. Sin embargo, no se cumplen tantos resultados clásicos en el entorno del espacio de Banach, por ejemplo, una función absolutamente continua con valores en un espacio de Banach adecuado no necesita tener una derivada en ninguna parte. Además, en la mayoría de los espacios de Banach no existen bases ortonormales.

Campo vectorial

En el cálculo vectorial y la física, un campo vectorial es una asignación de un vector a cada punto en un espacio, más comúnmente Euclideano ${\displaystyle \mathbb {R} {} {}} {\fn}}$. Un campo vectorial en un plano se puede visualizar como una colección de flechas con magnitudes y direcciones dadas, cada una conectada a un punto en el plano. Los campos vectores se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y dirección de un fluido en movimiento a lo largo de tres dimensiones, como el viento, o la fuerza y dirección de alguna fuerza, como la fuerza magnética o gravitacional, ya que cambia de un punto a otro.

Los elementos del cálculo diferencial e integral se extienden naturalmente a los campos vectoriales. Cuando un campo vectorial representa la fuerza, la línea integral de un campo vectorial representa el trabajo realizado por una fuerza moviéndose a lo largo de un camino, y bajo esta interpretación la conservación de la energía se exhibe como un caso especial del teorema fundamental del cálculo. Los campos vectores se pueden considerar útiles como representando la velocidad de un flujo en movimiento en el espacio, y esta intuición física conduce a nociones tales como la divergencia (que representa la tasa de cambio de volumen de un flujo) y rizo (que representa la rotación de un flujo).

Un campo vectorial es un caso especial de un función de valor vectorial, cuya dimensión de dominio no tiene relación con la dimensión de su rango; por ejemplo, el vector de posición de una curva espacial se define sólo para el subconjunto menor del espacio ambiente. Asimismo, n coordenadas, un campo vectorial en un dominio en n-dimensional Espacio euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} {} {}} {\fn}}$ puede ser representado como una función de valor vectorial que asocia una n-tuple de números reales a cada punto del dominio. Esta representación de un campo vectorial depende del sistema de coordenadas, y hay una ley de transformación bien definida (covariancia y contravariancia de vectores) pasando de un sistema de coordenadas al otro.

Los campos vectores se discuten a menudo en subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, pero también tienen sentido en otros subconjuntos como superficies, donde asocian una flecha tangente a la superficie en cada punto (un vector tangente).

En términos más generales, los campos vectoriales se definen en diferentes ejes, que son espacios que parecen espacio euclidiano en pequeñas escalas, pero pueden tener una estructura más complicada en grandes escalas. En este entorno, un campo vectorial da un vector tangente en cada punto del colector (es decir, una sección del paquete tangente al colector). Los campos vectoriales son una especie de campo tensor.