Función aritmética
En teoría de números, una función aritmética, aritmética o teórica de números es para la mayoría de los autores cualquier función f(n) cuyo dominio son los enteros positivos y cuyo rango es un subconjunto de los números complejos. Hardy &erio; Wright incluye en su definición el requisito de que una función aritmética "exprese alguna propiedad aritmética de n".
Un ejemplo de función aritmética es la función divisor cuyo valor en un entero positivo n es igual al número de divisores de n.
Existe una clase más amplia de funciones de teoría de números que no se ajustan a la definición anterior, por ejemplo, las funciones de conteo de números primos. Este artículo proporciona enlaces a funciones de ambas clases.
Las funciones aritméticas suelen ser extremadamente irregulares (ver tabla), pero algunas de ellas tienen expansiones en serie en términos de la suma de Ramanujan.
Funciones multiplicativas y aditivas
Una función aritmética a es
- completamente aditivo si a()mn) a()m) + a()n) para todos los números naturales m y n;
- multiplicación total si a()mn) a()m)a()n) para todos los números naturales m y n;
Dos números enteros m y n se denominan coprimos si su máximo común divisor es 1, es decir, si no existe ningún número primo que los divida a ambos.
Entonces una función aritmética a es
- aditivo si a()mn) a()m) + a()n) para todos los números naturales coprime m y n;
- multiplicador si a()mn) a()m)a()n) para todos los números naturales coprime m y n.
Notación
En este artículo, .. pf()p){textstyle sum _{p}f(p)} y ∏ ∏ pf()p){textstyle prod _{p}f(p)} significa que la suma o producto está sobre todos los números principales:
Las notaciones .. d▪ ▪ nf()d){textstyle sum _{dmid n}f(d)} y ∏ ∏ d▪ ▪ nf()d){textstyle prod _{dmid n}f(d)} significa que la suma o producto está sobre todos los divisores positivos n, incluidos 1 y n. Por ejemplo, si n = 12, entonces
Las notaciones se pueden combinar: .. p▪ ▪ nf()p){textstyle sum _{pmid n}f(p)} y ∏ ∏ p▪ ▪ nf()p){textstyle prod _{pmid n}f(p)} significa que la suma o producto está sobre todos los divisores principales de n. Por ejemplo, si n = 18, entonces
Ω(n), ω(n), νp(n) – descomposición de la potencia principal
El teorema fundamental de la aritmética declara que cualquier entero positivo n puede ser representado únicamente como un producto de los poderes de los primos: n=p1a1⋯ ⋯ pkak{displaystyle ## N=p_{1}cdots ¿Qué? Donde p1. p2 - No. pk son los primeros y los aj son números enteros positivos. (1 es dado por el producto vacío.)
A menudo es conveniente escribir esto como un producto infinito sobre todos los números primos, donde todos menos un número finito tienen un exponente cero. Defina la valoración p-ádica νp(n) como el exponente de la potencia más alta del número primo p que divide a n. Es decir, si p es uno de los pi entonces νp(n) = ai, de lo contrario es cero Después
En términos de lo anterior, las funciones omega primas ω y Ω están definidas por
Para evitar repeticiones, siempre que sea posible, las fórmulas para las funciones enumeradas en este artículo se dan en términos de n y la correspondiente pi, ai, ω y Ω.
Funciones multiplicativas
Σk(n), τ(n), d(n) – sumas de divisores
σk(n) es la suma de las késimas potencias de los divisores positivos de n, incluidos 1 y n , donde k es un número complejo.
σ1(n), la suma de los divisores (positivos) de n, suele ser denotado por σ(n).
Dado que un número positivo elevado a cero es uno, σ0(n) es por lo tanto el número de divisores (positivos) de n; generalmente se denota por d(n) o τ(n) (para el alemán Teiler = divisores).
Configurar k = 0 en el segundo producto da
Φ(n) – función del tociente de Euler
φ(n), la función tociente de Euler, es el número de enteros positivos no mayor que n que son coprimos con n.
Jk(n) – función de tociente de Jordan
Jk(n), la función de tociente de Jordan, es el número de k-tuplas de enteros positivos, todos menores o iguales a n que forman una tupla coprima (k + 1) junto con n. Es una generalización del tociente de Euler, φ(n) = J1(n).
Μ(n) – Función de Möbius
μ(n), la función de Möbius, es importante debido a la fórmula de inversión de Möbius. Consulte la convolución de Dirichlet, a continuación.
Esto implica que μ(1) = 1. (Porque Ω(1) = ω(1) = 0.)
Τ(n) – Función tau de Ramanujan
τ(n), la función tau de Ramanujan, se define por la identidad de su función generadora:
Aunque es difícil decir exactamente qué "propiedad aritmética de n" "expresa", (τ(n) es (2π)−12 veces el nésimo coeficiente de Fourier en la expansión q de la función discriminante modular) se incluye entre las funciones aritméticas porque es multiplicativa y ocurre en identidades que involucran ciertas σk (n) y funciones rk(n) (porque también son coeficientes en la expansión de formas modulares).
Cq(n) – suma de Ramanujan
cq(n), la suma de Ramanujan, es la suma de las nésimas potencias de las primitivas qésimas raíces de unidad:
Aunque se define como una suma de números complejos (irracionales para la mayoría de los valores de q), es un número entero. Para un valor fijo de n es multiplicativo en q:
- Si q y r son coprime, entonces cq()n)cr()n)=cqr()n).{displaystyle c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n). }
Ψ(n) - Función psi de Dedekind
La función psi de Dedekind, utilizada en la teoría de funciones modulares, se define mediante la fórmula
Funciones completamente multiplicativas
Λ(n) – Función de Liouville
λ(n), la función de Liouville, está definida por
Χ(n) – caracteres
Todos los caracteres de Dirichlet χ(n) son completamente multiplicativos. Dos caracteres tienen notaciones especiales:
El carácter principal (mod n) se denota por χ0(a) (o χ1(a)). se define como
El carácter cuadrático (mod n) se denota con el símbolo de Jacobi para n impar (no está definido para par n):
En esta fórmula ()ap){displaystyle ({tfrac {}{p}}} es el símbolo Legendre, definido para todos los enteros a y todos los principios impares p por
Siguiendo la convención normal para el producto vacío, ()a1)=1.{displaystyle left({frac {a}{1}right)=1.}
Funciones aditivas
Ω(n) – divisores primos distintos
ω(n), definido anteriormente como el número de números primos distintos que dividen a n, es aditivo (consulte la función Prime omega).
Funciones completamente aditivas
Ω(n) – divisores primos
Ω(n), definido anteriormente como el número de factores primos de n contados con multiplicidades, es completamente aditivo (ver Función omega primo).
Νp(n) – valoración p-ádica de un entero n
Para un primo fijo p, νp(n), definido anteriormente como el exponente de la mayor potencia de p que divide a n, es completamente aditivo.
Derivada logarítmica
(feminine)ld ()n)=D()n)n=.. pprimop▪ ▪ nvp()n)p{displaystyle operatorname {ld} (n)={frac {D(n)}{n}=sum {fnK} {fnK} {fnK}} {fnK}} {fnh}}}} {fn}}}}, donde D()n){displaystyle D(n)} es el derivado aritmético.
Ni multiplicativa ni aditiva
(feminine)Π(x), Π(x), θ(x), ψ(x) – funciones de conteo de números primos
Estas funciones importantes (que no son funciones aritméticas) se definen para argumentos reales no negativos y se utilizan en las diversas declaraciones y demostraciones del teorema de los números primos. Son funciones de suma (ver la sección principal justo debajo) de funciones aritméticas que no son ni multiplicativas ni aditivas.
π(x), la función de conteo de números primos, es el número de números primos que no exceden x. Es la función sumatoria de la función característica de los números primos.
Una función relacionada cuenta potencias primas con peso 1 para números primos, 1/2 para sus cuadrados, 1/3 para cubos,... Es la función sumatoria de la función aritmética que toma el valor 1/k en números enteros que son la k-ésima potencia de algún número primo, y el valor 0 en otros números enteros.
θ(x) y ψ(x), las funciones de Chebyshev, se definen como sumas de los logaritmos naturales de los números primos que no superen x.
La función de Chebyshev ψ(x) es la función de suma de la función de von Mangoldt justo debajo.
Λ(n) – función de von Mangoldt
Λ(n), la función de von Mangoldt, es 0 a menos que el argumento n sea una potencia prima pk, en cuyo caso es el logaritmo natural del primo p:
P(n) – función de partición
p(n), la función de partición, es el número de formas de representar n como una suma de números enteros positivos, donde dos representaciones con los mismos sumandos en un orden diferente no se cuentan como diferentes:
Λ(n) – Función de Carmichael
λ(n), la función Carmichael, es el menor número positivo tal que aλ λ ()n)↑ ↑ 1()modn){displaystyle a^{lambda (n)}equiv 1{pmod {n}} para todos a coprime n. Equivalentemente, es el múltiplo menos común de las órdenes de los elementos del grupo multiplicativo de enteros modulo n.
Para potencias de primos impares y para 2 y 4, λ(n) es igual a la función tociente de Euler de n; para potencias de 2 mayores que 4 es igual a la mitad de la función totient de Euler de n:
H(n) – Número de clase
h(n), la función de número de clase, es el orden del grupo de clase ideal de una extensión algebraica de los racionales con discriminante n. La notación es ambigua, ya que en general hay muchas extensiones con el mismo discriminante. Ver campo cuadrático y campo ciclotómico para ejemplos clásicos.
Rk(n) – Suma de k cuadrados
rk(n) es el número de formas en que n se puede representar como la suma de k cuadrados, donde las representaciones que difieren solo en el orden de los sumandos o en los signos de las raíces cuadradas se cuentan como diferente.
D(n) – Derivada aritmética
Usando la notación de Heaviside para la derivada, la derivada aritmética D(n) es una función tal que
- D()n)=1{displaystyle D(n)=1} si n primo, y
- D()mn)=mD()n)+D()m)n{displaystyle D(mn)=mD(n)+D(m)n} (la regla del producto)
Funciones de suma
Dada una función aritmética a(n), su función sumatoria A(x) está definido por
Dado que tales funciones a menudo se representan mediante series e integrales, para lograr la convergencia puntual es habitual definir el valor en las discontinuidades como el promedio de los valores a la izquierda y a la derecha:
Los valores individuales de las funciones aritméticas pueden fluctuar enormemente, como en la mayoría de los ejemplos anteriores. Funciones de suma "suavizar" estas fluctuaciones. En algunos casos, puede ser posible encontrar un comportamiento asintótico para la función de suma para grandes x.
Un ejemplo clásico de este fenómeno lo da la función sumatoria del divisor, la función sumatoria de d(n), el número de divisores de n:
Un orden promedio de una función aritmética es una función más simple o mejor entendida que tiene la misma función de suma asintóticamente y, por lo tanto, toma los mismos valores "en promedio". Decimos que g es un orden medio de f si
ya que x tiende a infinito. El ejemplo anterior muestra que d(n) tiene el registro de pedidos promedio (n).
Convolución de Dirichlet
Dada una función aritmética a(n), sea Fa (s), para s complejos, sea la función definida por la correspondiente serie de Dirichlet (donde converge):
La función generadora de la función de Möbius es la inversa de la función zeta:
Considere dos funciones aritméticas a y b y sus respectivas funciones generadoras Fa(s) y Fb(s). El producto Fa(s)Fb (s) se puede calcular de la siguiente manera:
Es un ejercicio sencillo mostrar que si c(n) está definido por
Esta función c se llama la convolución Dirichlet a y b, y es denotado por aAlternativa Alternativa b{displaystyle a*b}.
Un caso particularmente importante es la convolución con la función constante a(n) = 1 para todo n, correspondiente a multiplicar la función generadora por la función zeta:
Al multiplicar por el inverso de la función zeta se obtiene la fórmula de inversión de Möbius:
Si f es multiplicativo, entonces también lo es g. Si f es completamente multiplicativo, entonces g es multiplicativo, pero puede o no ser completamente multiplicativo.
Relaciones entre las funciones
Hay una gran cantidad de fórmulas que conectan funciones aritméticas entre sí y con las funciones de análisis, especialmente potencias, raíces y funciones exponenciales y logarítmicas. Las identidades de suma de divisor de página contienen muchos ejemplos más generalizados y relacionados de identidades que involucran funciones aritméticas.
Aquí hay algunos ejemplos:
Circunvoluciones de Dirichlet
- .. δ δ ▪ ▪ nμ μ ()δ δ )=.. δ δ ▪ ▪ nλ λ ()nδ δ )Silencioμ μ ()δ δ )Silencio={}1sin=10sinل ل 1{displaystyle sum _{delta mid n}mu (delta)=sum _{delta mid n}lambda left({frac {n}{delta }right) eternamu (delta) eterna={begin{cases}1 limit{if{if} - No. Donde λ es la función Liouville.
- .. δ δ ▪ ▪ nφ φ ()δ δ )=n.{displaystyle sum _{delta mid n}varphi (delta)=n.}
- φ φ ()n)=.. δ δ ▪ ▪ nμ μ ()nδ δ )δ δ =n.. δ δ ▪ ▪ nμ μ ()δ δ )δ δ .{displaystyle varphi (n)=sum _{delta mid n}mu left({frac {n}{delta }right)delta =nsum _{delta mid n}{frac {demu (delta)}{delta }} Inversión de Möbius
- .. d▪ ▪ nJk()d)=nk.{displaystyle sum _{dmid n}J_{k}(d)=n^{k}
- Jk()n)=.. δ δ ▪ ▪ nμ μ ()nδ δ )δ δ k=nk.. δ δ ▪ ▪ nμ μ ()δ δ )δ δ k.{displaystyle J_{k}(n)=sum _{delta mid n}mu left({frac {n}{delta }right)delta ^{k}=n^{k}sum ¿Por qué? Inversión de Möbius
- .. δ δ ▪ ▪ nδ δ sJr()δ δ )Js()nδ δ )=Jr+s()n){displaystyle sum _{delta mid n}delta ¿Qué?
- .. δ δ ▪ ▪ nφ φ ()δ δ )d()nδ δ )=σ σ ()n).{displaystyle sum _{delta mid n}varphi (delta)dleft({frac {n}derecha)=sigma (n).}
- .. δ δ ▪ ▪ nSilencioμ μ ()δ δ )Silencio=2⋅ ⋅ ()n).{displaystyle sum _{delta mid n}Sobrevivirmu (delta)
- Silencioμ μ ()n)Silencio=.. δ δ ▪ ▪ nμ μ ()nδ δ )2⋅ ⋅ ()δ δ ).{displaystyle Нmu (n) habit=sum _{delta mid n}mu left({frac {n}{delta }}right)2^{omega (delta)}.} Inversión de Möbius
- .. δ δ ▪ ▪ n2⋅ ⋅ ()δ δ )=d()n2).{displaystyle sum _{delta mid n}2^{omega (delta)}=d(n^{2}). }
- 2⋅ ⋅ ()n)=.. δ δ ▪ ▪ nμ μ ()nδ δ )d()δ δ 2).{displaystyle 2^{omega (n)}=sum _{delta mid n}muleft({frac {delta }right)d(delta ^{2}). } Inversión de Möbius
- .. δ δ ▪ ▪ nd()δ δ 2)=d2()n).{displaystyle sum _{delta mid n}d(delta ^{2})=d^{2}(n). }
- d()n2)=.. δ δ ▪ ▪ nμ μ ()nδ δ )d2()δ δ ).{displaystyle d(n^{2})=sum _{delta mid n}mu left({frac {n}{delta }}right)d^{2}(delta).} Inversión de Möbius
- .. δ δ ▪ ▪ nd()nδ δ )2⋅ ⋅ ()δ δ )=d2()n).{displaystyle sum _{delta mid n}dleft({frac {n}{delta }}right)2^{omega (delta)}=d^{2}(n). }
- .. δ δ ▪ ▪ nλ λ ()δ δ )={}1sines un cuadrado0sinno es cuadrado.{displaystyle sum _{delta mid n}lambda (delta)={begin{cases} limit1{text{ if }n{ is a square }\cl0{ if }n{text{ is not square.}}end{cases}}}}}}}}}}}}} donde λ es la función Liouville.
- .. δ δ ▪ ▪ n▪ ▪ ()δ δ )=log n.{displaystyle sum _{delta mid n}Lambda (delta)=log n.}
- ▪ ▪ ()n)=.. δ δ ▪ ▪ nμ μ ()nδ δ )log ()δ δ ).{displaystyle Lambda (n)=sum _{delta mid n}mu left({frac {n}{delta }}right)log(delta). } Inversión de Möbius
Sumas de cuadrados
Para todos 0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">k≥ ≥ 4,rk()n)■0.{displaystyle kgeq 4,;;;;r_{k}(n)}0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269ac99fb630e3d8788c4b686e91a191945264fa" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.691ex; height:2.843ex;"/> (Teorema de cuatro cuadras de Lagrange).
- r2()n)=4.. d▪ ▪ n()− − 4d),{displaystyle r_{2}(n)=4sum _{dmid n}left({frac {-4}{d}}right),}
donde el símbolo de Kronecker tiene los valores
- ()− − 4n)={}+1sin↑ ↑ 1()mod4)− − 1sin↑ ↑ 3()mod4)0sinIncluso.{displaystyle left({frac {-4}{n}right)={begin{cases}+1 golpe{if} }nequiv 1{pmod {4}\1}nequiv 3{pmod {4}\\\;;;}n{text{ is even}\\end{cases}}
Hay una fórmula para r3 en la sección de números de clase a continuación.
Definir la función σk*(n ) como
Es decir, si n es impar, σk*(n) es la suma de las késimas potencias de los divisores de n, que es, σk(n), y si n es par es la suma de las késimas potencias de los divisores pares de n menos la suma de las késimas potencias de los divisores impares de n.
- r8()n)=16σ σ 3Alternativa Alternativa ()n).{displaystyle r_{8}(n)=16sigma _{3}{*}(n).}
Adopte la convención de que τ(x) = 0 de Ramanujan si x no es un número entero.
- r24()n)=16691σ σ 11Alternativa Alternativa ()n)+128691{}()− − 1)n− − 1259τ τ ()n)− − 512τ τ ()n2)}{displaystyle r_{24}(n)={frac {16}{691}sigma ¿Por qué?
Convoluciones de la suma del divisor
Aquí "convolución" no significa "circunvolución de Dirichlet" sino que se refiere a la fórmula de los coeficientes del producto de dos series de potencias:
- ().. n=0JUEGO JUEGO anxn)().. n=0JUEGO JUEGO bnxn)=.. i=0JUEGO JUEGO .. j=0JUEGO JUEGO aibjxi+j=.. n=0JUEGO JUEGO ().. i=0naibn− − i)xn=.. n=0JUEGO JUEGO cnxn.{displaystyle left(sum ¿Qué? }a_{n}x^{n}right)left(sum) ¿Qué? }b_{n}x^{n}right)=sum ¿Por qué? }a_{i}b_{j}x^{i+j}=sum ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? }c_{n}x^{n}
La secuencia cn=.. i=0naibn− − i{displaystyle C_{n}=sum ¿Qué? se llama la convolución o el producto Cauchy de las secuencias an y bn.
Estas fórmulas pueden ser probadas analíticamente (ver serie Eisenstein) o por métodos elementales.
- <math alttext="{displaystyle sigma _{3}(n)={frac {1}{5}}left{6nsigma _{1}(n)-sigma _{1}(n)+12sum _{0<kσ σ 3()n)=15{}6nσ σ 1()n)− − σ σ 1()n)+12.. 0.k.nσ σ 1()k)σ σ 1()n− − k)}.{displaystyle sigma _{3}(n)={frac {1}{5}left{6nsigma _{1}(n)-sigma _{1}(n)+12sum _{0cantan}sigma _{1}(k)sigma _{1} {1}(n-k)right}}right}}sigma.<img alt="{displaystyle sigma _{3}(n)={frac {1}{5}}left{6nsigma _{1}(n)-sigma _{1}(n)+12sum _{0<k
- <math alttext="{displaystyle sigma _{5}(n)={frac {1}{21}}left{10(3n-1)sigma _{3}(n)+sigma _{1}(n)+240sum _{0<kσ σ 5()n)=121{}10()3n− − 1)σ σ 3()n)+σ σ 1()n)+240.. 0.k.nσ σ 1()k)σ σ 3()n− − k)}.{displaystyle sigma _{5}(n)={frac {1}{21}left{10(3n-1)sigma _{3}(n)+sigma _{1}(n)+240sum _{0 madek maden}sigma _{1}(k)sigma _{3} {s} {s} {} {s}}} {s}}} {sigma} {s}}}}} {sigually}}}}} {sigually} {c]}} {c]}}}sigually} {sigually}}}} {sigually} {c} {c}}c}c}c}c}ccc}cc}c}c}c}c}ccc}}cH0} {cc}c}c]}c<img alt="{displaystyle sigma _{5}(n)={frac {1}{21}}left{10(3n-1)sigma _{3}(n)+sigma _{1}(n)+240sum _{0<k
- <math alttext="{displaystyle {begin{aligned}sigma _{7}(n)&={frac {1}{20}}left{21(2n-1)sigma _{5}(n)-sigma _{1}(n)+504sum _{0<k<n}sigma _{1}(k)sigma _{5}(n-k)right}\&=sigma _{3}(n)+120sum _{0<kσ σ 7()n)=120{}21()2n− − 1)σ σ 5()n)− − σ σ 1()n)+504.. 0.k.nσ σ 1()k)σ σ 5()n− − k)}=σ σ 3()n)+120.. 0.k.nσ σ 3()k)σ σ 3()n− − k).{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans}}fnMicrosoft Sans)}fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans)fnMicrosoft Sans}fnMinMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans)}s}s}cnMinMicrosoft Sansigues}fnMicrosoft Sans, ¿Por qué?<img alt=" begin{align} sigma_7(n) &=frac{1}{20}left{21(2n-1)sigma_5(n)-sigma_1(n) + 504sum_{0<k<n}sigma_1(k)sigma_5(n-k)right}\ &=sigma_3(n) + 120sum_{0<k
- <math alttext="{displaystyle {begin{aligned}sigma _{9}(n)&={frac {1}{11}}left{10(3n-2)sigma _{7}(n)+sigma _{1}(n)+480sum _{0<k<n}sigma _{1}(k)sigma _{7}(n-k)right}\&={frac {1}{11}}left{21sigma _{5}(n)-10sigma _{3}(n)+5040sum _{0<kσ σ 9()n)=111{}10()3n− − 2)σ σ 7()n)+σ σ 1()n)+480.. 0.k.nσ σ 1()k)σ σ 7()n− − k)}=111{}21σ σ 5()n)− − 10σ σ 3()n)+5040.. 0.k.nσ σ 3()k)σ σ 5()n− − k)}.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fnMicrosoft Sans Serif}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}sigma _{9}(n)&={frac {1}{11}}left{10(3n-2)sigma _{7}(n)+sigma _{1}(n)+480sum _{0<k<n}sigma _{1}(k)sigma _{7}(n-k)right}\&={frac {1}{11}}left{21sigma _{5}(n)-10sigma _{3}(n)+5040sum _{0<k
- <math alttext="{displaystyle tau (n)={frac {65}{756}}sigma _{11}(n)+{frac {691}{756}}sigma _{5}(n)-{frac {691}{3}}sum _{0<kτ τ ()n)=65756σ σ 11()n)+691756σ σ 5()n)− − 6913.. 0.k.nσ σ 5()k)σ σ 5()n− − k),{displaystyle tau (n)={65}{756}sigma _{11}(n)+{frac {691}{756}sigma _{5}-n)-frac {691}{3}}sum _{0 maden}sigma _{5} {5} {5} {sigma} {5}sigma<img alt="{displaystyle tau (n)={frac {65}{756}}sigma _{11}(n)+{frac {691}{756}}sigma _{5}(n)-{frac {691}{3}}sum _{0<k Donde τ()n) es la función de Ramanujan.
Desde σk(n) (para número natural k) y τ(n) son números enteros, las fórmulas anteriores se pueden usar para probar congruencias para las funciones. Consulte la función tau de Ramanujan para ver algunos ejemplos.
Extienda el dominio de la función de partición configurando p(0) = 1.
- p()n)=1n.. 1≤ ≤ k≤ ≤ nσ σ ()k)p()n− − k).{displaystyle p(n)={n}sum _{1leq kleq n}sigma (k)p(n-k). } Esta recurrencia se puede utilizar para calcular p()n).
Relacionado con el número de clase
Peter Gustav Lejeune Dirichlet descubrió fórmulas que relacionan el número de clase h de campos numéricos cuadráticos con el símbolo de Jacobi.
Un entero D se denomina discriminante fundamental si es el discriminante de un cuerpo numérico cuadrático. Esto es equivalente a D ≠ 1 y a) D no tiene cuadrados y D ≡ 1 (mod 4) o b) D ≡ 0 (mod 4), D/4 no tiene cuadrados y D/4 ≡ 2 o 3 (mod 4).
Ampliar el símbolo de Jacobi para aceptar números pares en el "denominador" definiendo el símbolo de Kronecker:
Entonces, si D < −4 es un discriminante fundamental
También hay una fórmula que relaciona r3 y h. Nuevamente, sea D un discriminante fundamental, D < −4. Después
Relacionado con el conteo de primos
Vamos Hn=1+12+13+⋯ ⋯ +1n{displaystyle H_{n}=1+{frac {1}{2}+{frac} {1}{3}+cdots +{frac {1}{n}} ser el nT número armónico. Entonces...
- σ σ ()n)≤ ≤ Hn+eHnlog Hn{displaystyle sigma (n)leq H_{n}+e^{H_{n}log H_{n} es verdad para cada número natural n si y sólo si la hipótesis Riemann es verdad.
La hipótesis de Riemann también es equivalente a la afirmación de que, para todo n > 5040,
- .. p.. p()n)=Ω Ω ()n).{displaystyle sum _{p}nu _{p}(n)=Omega (n). }
- ↑ ↑ ()x)=.. n≤ ≤ x▪ ▪ ()n).{displaystyle psi (x)=sum _{nleq x}Lambda (n).}
- ▪ ▪ ()x)=.. n≤ ≤ x▪ ▪ ()n)log n.{displaystyle Pi (x)=sum _{nleq x}{frac {Lambda (n)}{log n}}}}
- eSilencio Silencio ()x)=∏ ∏ p≤ ≤ xp.{displaystyle e^{theta (x)}=prod _{pleq x}p.}
- e↑ ↑ ()x)=lcm [1,2,...... ,⌊ ⌊ x⌋ ⌋ ].{displaystyle e^{psi (x)}=operatorname {lcm} [1,2,dotslfloor xrfloor ].}
Identidad de Menon
En 1965 P Kesava Menon demostró
Esto ha sido generalizado por varios matemáticos. Por ejemplo,
- B. Sury .. gcd()k1,n)=11≤ ≤ k1,k2,...... ,ks≤ ≤ ngcd()k1− − 1,k2,...... ,ks,n)=φ φ ()n)σ σ s− − 1()n).{displaystyle sum _{stackrel {1leq k_{1},k_{2},dotsk_{s}leq No. }
- N. Rao Donde a1, a2,... as son enteros, gcd(a1, a2,... as, n) = 1... gcd()k1,k2,...... ,ks,n)=11≤ ≤ k1,k2,...... ,ks≤ ≤ ngcd()k1− − a1,k2− − a2,...... ,ks− − as,n)s=Js()n)d()n),{displaystyle sum _{stackrel {1leq k_{1},k_{2},dotsk_{s}leq ## {gcd(k_{1},k_{2},dotsk_{s},n)=1}gcd(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},dotsk_{s}-a_{s},n)}{s}=J_{s}(n)d(n)}
- László Fejes Tóth Donde m1 y m2 son extraños. m = lcm(m1, m2)... gcd()k,m)=11≤ ≤ k≤ ≤ mgcd()k2− − 1,m1)gcd()k2− − 1,m2)=φ φ ()n).. d2▪ ▪ m2d1▪ ▪ m1φ φ ()gcd()d1,d2))2⋅ ⋅ ()lcm ()d1,d2)),{displaystyle sum _{stackrel {1leq kleq m}{gcd(k,m)=1}gcd(k^{2}-1,m_{1})gcd(k^{2}-1,m_{2})=varphi (n)sum _{stackrelrel {d_{1}mid m_{1}{d_{2}mid m_{2}}varphi (gcd(d_{1},d_{2})2^{omega (operatorname {lcm} (d_{1},d_{2})}}}}
De hecho, si f es cualquier función aritmética
Varios
Sean m y n distintos, impares y positivos. Entonces el símbolo de Jacobi satisface la ley de reciprocidad cuadrática:
Sea D(n) la derivada aritmética. Entonces la derivada logarítmica
Sea λ(n) la función de Liouville. Después
- Silencioλ λ ()n)Silencioμ μ ()n)=λ λ ()n)Silencioμ μ ()n)Silencio=μ μ ()n),{displaystyle TENEDlambda (n) y
- λ λ ()n)μ μ ()n)=Silencioμ μ ()n)Silencio=μ μ 2()n).{displaystyle lambda (n)mu (n)= soportemu (n) tolera=mu ^{2}(n). }
Sea λ(n) la función de Carmichael. Después
- λ λ ()n)▪ ▪ φ φ ()n).{displaystyle lambda (n)mid phi (n). } Además,
- λ λ ()n)=φ φ ()n)sin={}1,2,4;3,5,7,9,11,...... (es decir,pk, dondepes una prima extraña);6,10,14,18,...... (es decir,2pk, dondepes una prima extraña).{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}
Ver Grupo multiplicativo de enteros módulo n y Raíz primitiva módulo n.
- 2⋅ ⋅ ()n)≤ ≤ d()n)≤ ≤ 2Ω Ω ()n).{displaystyle 2^{omega (n)}leq d(n)leq 2^{Omega (n)}
- <math alttext="{displaystyle {frac {6}{pi ^{2}}}<{frac {phi (n)sigma (n)}{n^{2}}}6π π 2.φ φ ()n)σ σ ()n)n2.1.{displaystyle {frac {6}{2}} {frac {fn]fnsigma (n)}{n^{2}}}} {c}}}} {fn}}}}}} {fn}}}}}} {f}}}}}}}}<img alt="{displaystyle {frac {6}{pi ^{2}}}<{frac {phi (n)sigma (n)}{n^{2}}}
- cq()n)=μ μ ()qgcd()q,n))φ φ ()qgcd()q,n))φ φ ()q)=.. δ δ ▪ ▪ gcd()q,n)μ μ ()qδ δ )δ δ .{fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn]} {fn} {fn}} {fn}} {fn}fn}}} {fn}fnK} {fnK} {cccH00}}ccH00FF}cH00}ccH00}ccH00}cccH00}ccccH00}cccccH00}cH00}ccccccH00}ccH00}cH00}cccccH00}ccH00}cH00}ccH00}ccH00cccccH00}ccH00}ccH00}ccH00}ccH00}cccH Bien. Note queφ φ ()q)=.. δ δ ▪ ▪ qμ μ ()qδ δ )δ δ .{displaystyle phi (q)=sum _{delta mid q}mu left({frac {q}{delta }right)delta.}
- cq()1)=μ μ ()q).{displaystyle c_{q}(1)=mu (q).}
- cq()q)=φ φ ()q).{displaystyle c_{q}(q)=phi (q).}
- .. δ δ ▪ ▪ nd3()δ δ )=().. δ δ ▪ ▪ nd()δ δ ))2.{displaystyle sum _{delta mid n}d^{3}(delta)=left(sum _{delta mid n}d(delta)right)^{2} Compare esto con 13 + 23 + 33 +... + n3 = (1 + 2 + 3 +... + n)2
- d()uv)=.. δ δ ▪ ▪ gcd()u,v)μ μ ()δ δ )d()uδ δ )d()vδ δ ).{displaystyle d(uv)=sum _{delta mid gcd(u,v)}mu (delta)dleft({frac {u}{delta }right)dleft({frac {v}{delta }}right). }
- σ σ k()u)σ σ k()v)=.. δ δ ▪ ▪ gcd()u,v)δ δ kσ σ k()uvδ δ 2).{displaystyle sigma _{k}(u)sigma _{k}(v)=sum _{delta mid gcd(u,v)}delta ¿Qué?
- τ τ ()u)τ τ ()v)=.. δ δ ▪ ▪ gcd()u,v)δ δ 11τ τ ()uvδ δ 2),{displaystyle tau (u)tau (v)=sum _{delta mid gcd(u,v)}delta ^{11}tau left({frac {uv}{delta ^{2}}right),}} Donde τ()n) es la función de Ramanujan.
Primeros 100 valores de algunas funciones aritméticas
n | factorización | φ(n) | ⋅()n) | Ω(n) | λ(n) | μ(n) | λ(n) | π()n) | σ0()n) | σ1()n) | σ2()n) | r2()n) | r3()n) | r4()n) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 4 | 6 | 8 |
2 | 2 | 1 | 1 | 1 | −1 | −1 | 0.69 | 1 | 2 | 3 | 5 | 4 | 12 | 24 |
3 | 3 | 2 | 1 | 1 | −1 | −1 | 1.10 | 2 | 2 | 4 | 10 | 0 | 8 | 32 |
4 | 22 | 2 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0.69 | 2 | 3 | 7 | 21 | 4 | 6 | 24 |
5 | 5 | 4 | 1 | 1 | −1 | −1 | 1.61 | 3 | 2 | 6 | 26 | 8 | 24 | 48 |
6 | 2 a 3 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 3 | 4 | 12 | 50 | 0 | 24 | 96 |
7 | 7 | 6 | 1 | 1 | −1 | −1 | 1.95 | 4 | 2 | 8 | 50 | 0 | 0 | 64 |
8 | 23 | 4 | 1 | 3 | −1 | 0 | 0.69 | 4 | 4 | 15 | 85 | 4 | 12 | 24 |
9 | 32 | 6 | 1 | 2 | 1 | 0 | 1.10 | 4 | 3 | 13 | 91 | 4 | 30 | 104 |
10 | 2 · 5 | 4 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 4 | 4 | 18 | 130 | 8 | 24 | 144 |
11 | 11 | 10 | 1 | 1 | −1 | −1 | 2.40 | 5 | 2 | 12 | 122 | 0 | 24 | 96 |
12 | 22 · 3 | 4 | 2 | 3 | −1 | 0 | 0 | 5 | 6 | 28 | 210 | 0 | 8 | 96 |
13 | 13 | 12 | 1 | 1 | −1 | −1 | 2.56 | 6 | 2 | 14 | 170 | 8 | 24 | 112 |
14 | 2 a 7 | 6 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 6 | 4 | 24 | 250 | 0 | 48 | 192 |
15 | 3 · 5 | 8 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 6 | 4 | 24 | 260 | 0 | 0 | 192 |
16 | 24 | 8 | 1 | 4 | 1 | 0 | 0.69 | 6 | 5 | 31 | 341 | 4 | 6 | 24 |
17 | 17 | 16 | 1 | 1 | −1 | −1 | 2.83 | 7 | 2 | 18 | 290 | 8 | 48 | 144 |
18 | 2 a 32 | 6 | 2 | 3 | −1 | 0 | 0 | 7 | 6 | 39 | 455 | 4 | 36 | 312 |
19 | 19 | 18 | 1 | 1 | −1 | −1 | 2.94 | 8 | 2 | 20 | 362 | 0 | 24 | 160 |
20 | 22 · 5 | 8 | 2 | 3 | −1 | 0 | 0 | 8 | 6 | 42 | 546 | 8 | 24 | 144 |
21 | 3 · 7 | 12 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 8 | 4 | 32 | 500 | 0 | 48 | 256 |
22 | 2 a 11 | 10 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 8 | 4 | 36 | 610 | 0 | 24 | 288 |
23 | 23 | 22 | 1 | 1 | −1 | −1 | 3.14 | 9 | 2 | 24 | 530 | 0 | 0 | 192 |
24 | 23 · 3 | 8 | 2 | 4 | 1 | 0 | 0 | 9 | 8 | 60 | 850 | 0 | 24 | 96 |
25 | 52 | 20 | 1 | 2 | 1 | 0 | 1.61 | 9 | 3 | 31 | 651 | 12 | 30 | 248 |
26 | 2 a 13 | 12 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 9 | 4 | 42 | 850 | 8 | 72 | 336 |
27 | 33 | 18 | 1 | 3 | −1 | 0 | 1.10 | 9 | 4 | 40 | 820 | 0 | 32 | 320 |
28 | 22 · 7 | 12 | 2 | 3 | −1 | 0 | 0 | 9 | 6 | 56 | 1050 | 0 | 0 | 192 |
29 | 29 | 28 | 1 | 1 | −1 | −1 | 3.37 | 10 | 2 | 30 | 842 | 8 | 72 | 240 |
30 | 2 · 3 · 5 | 8 | 3 | 3 | −1 | −1 | 0 | 10 | 8 | 72 | 1300 | 0 | 48 | 576 |
31 | 31 | 30 | 1 | 1 | −1 | −1 | 3.43 | 11 | 2 | 32 | 962 | 0 | 0 | 256 |
32 | 25 | 16 | 1 | 5 | −1 | 0 | 0.69 | 11 | 6 | 63 | 1365 | 4 | 12 | 24 |
33 | 3 · 11 | 20 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 11 | 4 | 48 | 1220 | 0 | 48 | 384 |
34 | 2 · 17 | 16 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 11 | 4 | 54 | 1450 | 8 | 48 | 432 |
35 | 5 · 7 | 24 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 11 | 4 | 48 | 1300 | 0 | 48 | 384 |
36 | 22 · 32 | 12 | 2 | 4 | 1 | 0 | 0 | 11 | 9 | 91 | 1911 | 4 | 30 | 312 |
37 | 37 | 36 | 1 | 1 | −1 | −1 | 3.61 | 12 | 2 | 38 | 1370 | 8 | 24 | 304 |
38 | 2 a 19 | 18 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 12 | 4 | 60 | 1810 | 0 | 72 | 480 |
39 | 3 · 13 | 24 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 12 | 4 | 56 | 1700 | 0 | 0 | 448 |
40 | 23 · 5 | 16 | 2 | 4 | 1 | 0 | 0 | 12 | 8 | 90 | 2210 | 8 | 24 | 144 |
41 | 41 | 40 | 1 | 1 | −1 | −1 | 3.71 | 13 | 2 | 42 | 1682 | 8 | 96 | 336 |
42 | 2 · 3 · 7 | 12 | 3 | 3 | −1 | −1 | 0 | 13 | 8 | 96 | 2500 | 0 | 48 | 768 |
43 | 43 | 42 | 1 | 1 | −1 | −1 | 3.76 | 14 | 2 | 44 | 1850 | 0 | 24 | 352 |
44 | 22 · 11 | 20 | 2 | 3 | −1 | 0 | 0 | 14 | 6 | 84 | 2562 | 0 | 24 | 288 |
45 | 32 · 5 | 24 | 2 | 3 | −1 | 0 | 0 | 14 | 6 | 78 | 2366 | 8 | 72 | 624 |
46 | 2 · 23 | 22 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 14 | 4 | 72 | 2650 | 0 | 48 | 576 |
47 | 47 | 46 | 1 | 1 | −1 | −1 | 3.85 | 15 | 2 | 48 | 2210 | 0 | 0 | 384 |
48 | 24 · 3 | 16 | 2 | 5 | −1 | 0 | 0 | 15 | 10 | 124 | 3410 | 0 | 8 | 96 |
49 | 72 | 42 | 1 | 2 | 1 | 0 | 1.95 | 15 | 3 | 57 | 2451 | 4 | 54 | 456 |
50 | 2 · 52 | 20 | 2 | 3 | −1 | 0 | 0 | 15 | 6 | 93 | 3255 | 12 | 84 | 744 |
51 | 3 · 17 | 32 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 15 | 4 | 72 | 2900 | 0 | 48 | 576 |
52 | 22 · 13 | 24 | 2 | 3 | −1 | 0 | 0 | 15 | 6 | 98 | 3570 | 8 | 24 | 336 |
53 | 53 | 52 | 1 | 1 | −1 | −1 | 3.97 | 16 | 2 | 54 | 2810 | 8 | 72 | 432 |
54 | 2 a 33 | 18 | 2 | 4 | 1 | 0 | 0 | 16 | 8 | 120 | 4100 | 0 | 96 | 960 |
55 | 5 · 11 | 40 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 16 | 4 | 72 | 3172 | 0 | 0 | 576 |
56 | 23 · 7 | 24 | 2 | 4 | 1 | 0 | 0 | 16 | 8 | 120 | 4250 | 0 | 48 | 192 |
57 | 3 · 19 | 36 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 16 | 4 | 80 | 3620 | 0 | 48 | 640 |
58 | 2 · 29 | 28 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 16 | 4 | 90 | 4210 | 8 | 24 | 720 |
59 | 59 | 58 | 1 | 1 | −1 | −1 | 4.08 | 17 | 2 | 60 | 3482 | 0 | 72 | 480 |
60 | 22 · 3 · 5 | 16 | 3 | 4 | 1 | 0 | 0 | 17 | 12 | 168 | 5460 | 0 | 0 | 576 |
61 | 61 | 60 | 1 | 1 | −1 | −1 | 4.11 | 18 | 2 | 62 | 3722 | 8 | 72 | 496 |
62 | 2 · 31 | 30 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 18 | 4 | 96 | 4810 | 0 | 96 | 768 |
63 | 32 · 7 | 36 | 2 | 3 | −1 | 0 | 0 | 18 | 6 | 104 | 4550 | 0 | 0 | 832 |
64 | 26 | 32 | 1 | 6 | 1 | 0 | 0.69 | 18 | 7 | 127 | 5461 | 4 | 6 | 24 |
65 | 5 · 13 | 48 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 18 | 4 | 84 | 4420 | 16 | 96 | 672 |
66 | 2 · 3 · 11 | 20 | 3 | 3 | −1 | −1 | 0 | 18 | 8 | 144 | 6100 | 0 | 96 | 1152 |
67 | 67 | 66 | 1 | 1 | −1 | −1 | 4.20 | 19 | 2 | 68 | 4490 | 0 | 24 | 544 |
68 | 22 · 17 | 32 | 2 | 3 | −1 | 0 | 0 | 19 | 6 | 126 | 6090 | 8 | 48 | 432 |
69 | 3 · 23 | 44 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 19 | 4 | 96 | 5300 | 0 | 96 | 768 |
70 | 2 · 5 · 7 | 24 | 3 | 3 | −1 | −1 | 0 | 19 | 8 | 144 | 6500 | 0 | 48 | 1152 |
71 | 71 | 70 | 1 | 1 | −1 | −1 | 4.26 | 20 | 2 | 72 | 5042 | 0 | 0 | 576 |
72 | 23 · 32 | 24 | 2 | 5 | −1 | 0 | 0 | 20 | 12 | 195 | 7735 | 4 | 36 | 312 |
73 | 73 | 72 | 1 | 1 | −1 | −1 | 4.29 | 21 | 2 | 74 | 5330 | 8 | 48 | 592 |
74 | 2 a 37 | 36 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 21 | 4 | 114 | 6850 | 8 | 120 | 912 |
75 | 3 · 52 | 40 | 2 | 3 | −1 | 0 | 0 | 21 | 6 | 124 | 6510 | 0 | 56 | 992 |
76 | 22 · 19 | 36 | 2 | 3 | −1 | 0 | 0 | 21 | 6 | 140 | 7602 | 0 | 24 | 480 |
77 | 7 · 11 | 60 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 21 | 4 | 96 | 6100 | 0 | 96 | 768 |
78 | 2 · 3 · 13 | 24 | 3 | 3 | −1 | −1 | 0 | 21 | 8 | 168 | 8500 | 0 | 48 | 1344 |
79 | 79 | 78 | 1 | 1 | −1 | −1 | 4.37 | 22 | 2 | 80 | 6242 | 0 | 0 | 640 |
80 | 24 · 5 | 32 | 2 | 5 | −1 | 0 | 0 | 22 | 10 | 186 | 8866 | 8 | 24 | 144 |
81 | 34 | 54 | 1 | 4 | 1 | 0 | 1.10 | 22 | 5 | 121 | 7381 | 4 | 102 | 968 |
82 | 2 a 41 | 40 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 22 | 4 | 126 | 8410 | 8 | 48 | 1008 |
83 | 83 | 82 | 1 | 1 | −1 | −1 | 4.42 | 23 | 2 | 84 | 6890 | 0 | 72 | 672 |
84 | 22 · 3 · 7 | 24 | 3 | 4 | 1 | 0 | 0 | 23 | 12 | 224 | 10500 | 0 | 48 | 768 |
85 | 5 · 17 | 64 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 23 | 4 | 108 | 7540 | 16 | 48 | 864 |
86 | 2 a 43 | 42 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 23 | 4 | 132 | 9250 | 0 | 120 | 1056 |
87 | 3 · 29 | 56 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 23 | 4 | 120 | 8420 | 0 | 0 | 960 |
88 | 23 · 11 | 40 | 2 | 4 | 1 | 0 | 0 | 23 | 8 | 180 | 10370 | 0 | 24 | 288 |
89 | 89 | 88 | 1 | 1 | −1 | −1 | 4.49 | 24 | 2 | 90 | 7922 | 8 | 144 | 720 |
90 | 2 a 32 · 5 | 24 | 3 | 4 | 1 | 0 | 0 | 24 | 12 | 234 | 11830 | 8 | 120 | 1872 |
91 | 7 · 13 | 72 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 24 | 4 | 112 | 8500 | 0 | 48 | 896 |
92 | 22 · 23 | 44 | 2 | 3 | −1 | 0 | 0 | 24 | 6 | 168 | 11130 | 0 | 0 | 576 |
93 | 3 · 31 | 60 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 24 | 4 | 128 | 9620 | 0 | 48 | 1024 |
94 | 2 a 47 | 46 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 24 | 4 | 144 | 11050 | 0 | 96 | 1152 |
95 | 5 · 19 | 72 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 24 | 4 | 120 | 9412 | 0 | 0 | 960 |
96 | 25 · 3 | 32 | 2 | 6 | 1 | 0 | 0 | 24 | 12 | 252 | 13650 | 0 | 24 | 96 |
97 | 97 | 96 | 1 | 1 | −1 | −1 | 4.57 | 25 | 2 | 98 | 9410 | 8 | 48 | 784 |
98 | 2 a 72 | 42 | 2 | 3 | −1 | 0 | 0 | 25 | 6 | 171 | 12255 | 4 | 108 | 1368 |
99 | 32 · 11 | 60 | 2 | 3 | −1 | 0 | 0 | 25 | 6 | 156 | 11102 | 0 | 72 | 1248 |
100 | 22 · 52 | 40 | 2 | 4 | 1 | 0 | 0 | 25 | 9 | 217 | 13671 | 12 | 30 | 744 |
n | factorización | φ(n) | ⋅()n) | Ω(n) | λ(n) | μ(n) | λ(n) | π()n) | σ0()n) | σ1()n) | σ2()n) | r2()n) | r3()n) | r4()n) |
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