Función aritmética

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Función cuyo dominio es los enteros positivos

En teoría de números, una función aritmética, aritmética o teórica de números es para la mayoría de los autores cualquier función f(n) cuyo dominio son los enteros positivos y cuyo rango es un subconjunto de los números complejos. Hardy &amperio; Wright incluye en su definición el requisito de que una función aritmética "exprese alguna propiedad aritmética de n".

Un ejemplo de función aritmética es la función divisor cuyo valor en un entero positivo n es igual al número de divisores de n.

Existe una clase más amplia de funciones de teoría de números que no se ajustan a la definición anterior, por ejemplo, las funciones de conteo de números primos. Este artículo proporciona enlaces a funciones de ambas clases.

Las funciones aritméticas suelen ser extremadamente irregulares (ver tabla), pero algunas de ellas tienen expansiones en serie en términos de la suma de Ramanujan.

Funciones multiplicativas y aditivas

Una función aritmética a es

  • completamente aditivo si a()mn) a()m) + a()n) para todos los números naturales m y n;
  • multiplicación total si a()mn) a()m)a()n) para todos los números naturales m y n;

Dos números enteros m y n se denominan coprimos si su máximo común divisor es 1, es decir, si no existe ningún número primo que los divida a ambos.

Entonces una función aritmética a es

  • aditivo si a()mn) a()m) + a()n) para todos los números naturales coprime m y n;
  • multiplicador si a()mn) a()m)a()n) para todos los números naturales coprime m y n.

Notación

En este artículo, .. pf()p){textstyle sum _{p}f(p)} y ∏ ∏ pf()p){textstyle prod _{p}f(p)} significa que la suma o producto está sobre todos los números principales:

.. pf()p)=f()2)+f()3)+f()5)+⋯ ⋯ {displaystyle sum _{p}f(p)=f(2)+f(3)+f(5)+cdots }
∏ ∏ pf()p)=f()2)f()3)f()5)⋯ ⋯ .{displaystyle prod _{p}f(p)=f(2)f(3)f(5)cdots.}
.. pkf()pk){textstyle sum _{p^{k}f(p^{k}}∏ ∏ pkf()pk){textstyle prod _{p^{k}f(p^{k}}k = 0
0}f(p^{k})=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+cdots.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">.. pkf()pk)=.. p.. k■0f()pk)=f()2)+f()3)+f()4)+f()5)+f()7)+f()8)+f()9)+⋯ ⋯ .{displaystyle sum _{p^{k}}f(p^{k})=sum _{p}sum _{k Conf0}f(p^{k})=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+cdots.}
0}f(p^{k})=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+cdots.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82fc04f836894daa1405721b69e7bb955d46556" style="vertical-align: -3.838ex; width:81.508ex; height:6.343ex;"/>

Las notaciones .. d▪ ▪ nf()d){textstyle sum _{dmid n}f(d)} y ∏ ∏ d▪ ▪ nf()d){textstyle prod _{dmid n}f(d)} significa que la suma o producto está sobre todos los divisores positivos n, incluidos 1 y n. Por ejemplo, si n = 12, entonces

∏ ∏ d▪ ▪ 12f()d)=f()1)f()2)f()3)f()4)f()6)f()12).{displaystyle prod _{dmid 12}f(d)=f(1)f(2)f(3)f(4)f(6)f(12). }

Las notaciones se pueden combinar: .. p▪ ▪ nf()p){textstyle sum _{pmid n}f(p)} y ∏ ∏ p▪ ▪ nf()p){textstyle prod _{pmid n}f(p)} significa que la suma o producto está sobre todos los divisores principales de n. Por ejemplo, si n = 18, entonces

.. p▪ ▪ 18f()p)=f()2)+f()3),{displaystyle sum _{pmid 18}f(p)=f(2)+f(3),}
.. pk▪ ▪ nf()pk){textstyle sum _{p^{k}mid n}f(p^{k}}∏ ∏ pk▪ ▪ nf()pk){textstyle prod _{p^{k}mid n}f(p^{k}nn
∏ ∏ pk▪ ▪ 24f()pk)=f()2)f()3)f()4)f()8).{displaystyle prod _{p^{k}mid 24}f(p^{k})=f(2)f(3)f(4)f(8). }

Ω(n), ω(n), νp(n) – descomposición de la potencia principal

El teorema fundamental de la aritmética declara que cualquier entero positivo n puede ser representado únicamente como un producto de los poderes de los primos: n=p1a1⋯ ⋯ pkak{displaystyle ## N=p_{1}cdots ¿Qué? Donde p1. p2 - No. pk son los primeros y los aj son números enteros positivos. (1 es dado por el producto vacío.)

A menudo es conveniente escribir esto como un producto infinito sobre todos los números primos, donde todos menos un número finito tienen un exponente cero. Defina la valoración p-ádica νp(n) como el exponente de la potencia más alta del número primo p que divide a n. Es decir, si p es uno de los pi entonces νp(n) = ai, de lo contrario es cero Después

n=∏ ∏ pp.. p()n).{displaystyle n=prod _{nu _{p}(n)}

En términos de lo anterior, las funciones omega primas ω y Ω están definidas por

⋅()n) k,
Ω(n) a1 + a2 +... + ak.

Para evitar repeticiones, siempre que sea posible, las fórmulas para las funciones enumeradas en este artículo se dan en términos de n y la correspondiente pi, ai, ω y Ω.

Funciones multiplicativas

Σk(n), τ(n), d(n) – sumas de divisores

σk(n) es la suma de las késimas potencias de los divisores positivos de n, incluidos 1 y n , donde k es un número complejo.

σ1(n), la suma de los divisores (positivos) de n, suele ser denotado por σ(n).

Dado que un número positivo elevado a cero es uno, σ0(n) es por lo tanto el número de divisores (positivos) de n; generalmente se denota por d(n) o τ(n) (para el alemán Teiler = divisores).

σ σ k()n)=∏ ∏ i=1⋅ ⋅ ()n)pi()ai+1)k− − 1pik− − 1=∏ ∏ i=1⋅ ⋅ ()n)()1+pik+pi2k+⋯ ⋯ +piaik).{displaystyle sigma _{k}(n)=prod {cHFF} {cHFF} {cHFF} {cHFF} {cHFF} {cHFF}}} {c}}}=p}=c} ##{i=1}{omega (n)}left(1+p_{i}{k}+p_{i}^{2k}+cdots - Sí.

Configurar k = 0 en el segundo producto da

τ τ ()n)=d()n)=()1+a1)()1+a2)⋯ ⋯ ()1+a⋅ ⋅ ()n)).{displaystyle tau (n)=d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})cdots (1+a_{omega (n)}).}

Φ(n) – función del tociente de Euler

φ(n), la función tociente de Euler, es el número de enteros positivos no mayor que n que son coprimos con n.

φ φ ()n)=n∏ ∏ p▪ ▪ n()1− − 1p)=n()p1− − 1p1)()p2− − 1p2)⋯ ⋯ ()p⋅ ⋅ ()n)− − 1p⋅ ⋅ ()n)).{displaystyle varphi (n)=nprod _{pmid n}left(1-{frac {1}{p}}right)=nleft({frac {p_{1}-1}{p_{1}}right)left({frac) {p_{2}-1}{p_{2}}}right)cdots left({frac {p_{omega (n)}-1}{omega (n)}}right). }

Jk(n) – función de tociente de Jordan

Jk(n), la función de tociente de Jordan, es el número de k-tuplas de enteros positivos, todos menores o iguales a n que forman una tupla coprima (k + 1) junto con n. Es una generalización del tociente de Euler, φ(n) = J1(n).

Jk()n)=nk∏ ∏ p▪ ▪ n()1− − 1pk)=nk()p1k− − 1p1k)()p2k− − 1p2k)⋯ ⋯ ()p⋅ ⋅ ()n)k− − 1p⋅ ⋅ ()n)k).{displaystyle ¿Por qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {p_{2} {k}-1}{p_{2}}}derecha)cdots left({frac {f_{omega (n)}{k}-1}{p_{omega (n)}}}}}derecho).

Μ(n) – Función de Möbius

μ(n), la función de Möbius, es importante debido a la fórmula de inversión de Möbius. Consulte la convolución de Dirichlet, a continuación.

μ μ ()n)={}()− − 1)⋅ ⋅ ()n)=()− − 1)Ω Ω ()n)si⋅ ⋅ ()n)=Ω Ω ()n)0si⋅ ⋅ ()n)ل ل Ω Ω ()n).{displaystyle mu (n)={begin{cases}(-1)^{omega (n)}=(-1)^{Omega (n)} {text{if };omega (n)=Omega (n) lider{if };omega (n)neqOmega (n). {fnMicrosoft Sans Serif}}

Esto implica que μ(1) = 1. (Porque Ω(1) = ω(1) = 0.)

Τ(n) – Función tau de Ramanujan

τ(n), la función tau de Ramanujan, se define por la identidad de su función generadora:

.. n≥ ≥ 1τ τ ()n)qn=q∏ ∏ n≥ ≥ 1()1− − qn)24.{displaystyle sum _{ngeq 1}tau (n)q^{n}=qprod _{ngeq 1}(1-q^{n})} {24}

Aunque es difícil decir exactamente qué "propiedad aritmética de n" "expresa", (τ(n) es (2π)−12 veces el nésimo coeficiente de Fourier en la expansión q de la función discriminante modular) se incluye entre las funciones aritméticas porque es multiplicativa y ocurre en identidades que involucran ciertas σk (n) y funciones rk(n) (porque también son coeficientes en la expansión de formas modulares).

Cq(n) – suma de Ramanujan

cq(n), la suma de Ramanujan, es la suma de las nésimas potencias de las primitivas qésimas raíces de unidad:

cq()n)=.. gcd()a,q)=11≤ ≤ a≤ ≤ qe2π π iaqn.{displaystyle c_{q}(n)=sum _{stackrel {1leq aleq q}{gcd(a,q)=1}e^{2pi i{tfrac {a} {q}n}.}

Aunque se define como una suma de números complejos (irracionales para la mayoría de los valores de q), es un número entero. Para un valor fijo de n es multiplicativo en q:

Si q y r son coprime, entonces cq()n)cr()n)=cqr()n).{displaystyle c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n). }

Ψ(n) - Función psi de Dedekind

La función psi de Dedekind, utilizada en la teoría de funciones modulares, se define mediante la fórmula

↑ ↑ ()n)=n∏ ∏ pSilencion()1+1p).{displaystyle psi (n)=nprod _{p sometidan}left(1+{frac {1}{p}right).}

Funciones completamente multiplicativas

Λ(n) – Función de Liouville

λ(n), la función de Liouville, está definida por

λ λ ()n)=()− − 1)Ω Ω ()n).{displaystyle lambda (n)=(-1)^{Omega (n)}

Χ(n) – caracteres

Todos los caracteres de Dirichlet χ(n) son completamente multiplicativos. Dos caracteres tienen notaciones especiales:

El carácter principal (mod n) se denota por χ0(a) (o χ1(a)). se define como

χ χ 0()a)={}1sigcd()a,n)=1,0sigcd()a,n)ل ل 1.{displaystyle chi _{0}(a)={begin{cases}1 limit{text{if }gcd(a,n)=1, recur{text{if }gcd(a,n)neq 1.end{cases}}}}}}

El carácter cuadrático (mod n) se denota con el símbolo de Jacobi para n impar (no está definido para par n):

()an)=()ap1)a1()ap2)a2⋯ ⋯ ()ap⋅ ⋅ ()n))a⋅ ⋅ ()n).{displaystyle left({frac {n}right)=left({frac} {} {fnK}}}derecho)}left({frac} {fnMicroc} {a}{p_{2}}right)} {a_{2}cdots left({frac {a}{p_{omega (n)}}}}right)}{a_{omega (n)}}}}}}}}}}}}} {a_}{a_}{a_} {m}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}} {m}}}}} {m}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}} {p_}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

En esta fórmula ()ap){displaystyle ({tfrac {}{p}}} es el símbolo Legendre, definido para todos los enteros a y todos los principios impares p por

()ap)={}0sia↑ ↑ 0()modp),+1sia≢0()modp)y para algunos enterosx,a↑ ↑ x2()modp)− − 1si no hay talx.{displaystyle left({frac {a}{p}right)={begin{cases};;,0 pulsa{text{if{if} }aequiv 0{pmod {p}},+1 {text{if}anot equiv 0{pmod {p}{text{ and for some integer }x,;aequiv x^{2}{pmod {p}\1 âif{if there is no such }x.end{cases}}}}}}\\\\\\\\\\\cH00cH00cH00cH00cH0}cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00}cH00cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH

Siguiendo la convención normal para el producto vacío, ()a1)=1.{displaystyle left({frac {a}{1}right)=1.}

Funciones aditivas

Ω(n) – divisores primos distintos

ω(n), definido anteriormente como el número de números primos distintos que dividen a n, es aditivo (consulte la función Prime omega).

Funciones completamente aditivas

Ω(n) – divisores primos

Ω(n), definido anteriormente como el número de factores primos de n contados con multiplicidades, es completamente aditivo (ver Función omega primo).

Νp(n) – valoración p-ádica de un entero n

Para un primo fijo p, νp(n), definido anteriormente como el exponente de la mayor potencia de p que divide a n, es completamente aditivo.

Derivada logarítmica

(feminine)

ld⁡ ⁡ ()n)=D()n)n=.. pprimop▪ ▪ nvp()n)p{displaystyle operatorname {ld} (n)={frac {D(n)}{n}=sum {fnK} {fnK} {fnK}} {fnK}} {fnh}}}} {fn}}}}, donde D()n){displaystyle D(n)} es el derivado aritmético.

Ni multiplicativa ni aditiva

(feminine)

Π(x), Π(x), θ(x), ψ(x) – funciones de conteo de números primos

Estas funciones importantes (que no son funciones aritméticas) se definen para argumentos reales no negativos y se utilizan en las diversas declaraciones y demostraciones del teorema de los números primos. Son funciones de suma (ver la sección principal justo debajo) de funciones aritméticas que no son ni multiplicativas ni aditivas.

π(x), la función de conteo de números primos, es el número de números primos que no exceden x. Es la función sumatoria de la función característica de los números primos.

π π ()x)=.. p≤ ≤ x1{displaystyle pi (x)=sum _{pleq x}1}

Una función relacionada cuenta potencias primas con peso 1 para números primos, 1/2 para sus cuadrados, 1/3 para cubos,... Es la función sumatoria de la función aritmética que toma el valor 1/k en números enteros que son la k-ésima potencia de algún número primo, y el valor 0 en otros números enteros.

▪ ▪ ()x)=.. pk≤ ≤ x1k.{displaystyle Pi (x)=sum ¿Por qué? {1}{k}.}

θ(x) y ψ(x), las funciones de Chebyshev, se definen como sumas de los logaritmos naturales de los números primos que no superen x.

Silencio Silencio ()x)=.. p≤ ≤ xlog⁡ ⁡ p,{displaystyle vartheta (x)=sum _{pleq x}log p,}
↑ ↑ ()x)=.. pk≤ ≤ xlog⁡ ⁡ p.{displaystyle psi (x)=sum _{p^{k}leq x}log p.}

La función de Chebyshev ψ(x) es la función de suma de la función de von Mangoldt justo debajo.

Λ(n) – función de von Mangoldt

Λ(n), la función de von Mangoldt, es 0 a menos que el argumento n sea una potencia prima pk, en cuyo caso es el logaritmo natural del primo p:

▪ ▪ ()n)={}log⁡ ⁡ psin=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,...... =pkes un poder primo0sin=1,6,10,12,14,15,18,20,21,...... no es un poder primario.{displaystyle Lambda (n)={begin{cases}log p reducida{text{if }n=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,ldots =p^{k}{text{ is a prime power} limit{if} }n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,dots ;;;;{text{ is not a prime power}}.end{cases}}

P(n) – función de partición

p(n), la función de partición, es el número de formas de representar n como una suma de números enteros positivos, donde dos representaciones con los mismos sumandos en un orden diferente no se cuentan como diferentes:

<math alttext="{displaystyle p(n)=left|left{(a_{1},a_{2},dots a_{k}):0p()n)=Silencio{}()a1,a2,...... ak):0.a1≤ ≤ a2≤ ≤ ⋯ ⋯ ≤ ≤ ak∧ ∧ n=a1+a2+⋯ ⋯ +ak}Silencio.{displaystyle p(n)=left foreverleft{(a_{1},a_{2},dots a_{k}):0 wona_{1}leq a_{2}leq cdots leq a_{k};land ;n=a_{1}+a_{2}+cdots Buenas tardes.
<img alt="{displaystyle p(n)=left|left{(a_{1},a_{2},dots a_{k}):0

Λ(n) – Función de Carmichael

λ(n), la función Carmichael, es el menor número positivo tal que aλ λ ()n)↑ ↑ 1()modn){displaystyle a^{lambda (n)}equiv 1{pmod {n}} para todos a coprime n. Equivalentemente, es el múltiplo menos común de las órdenes de los elementos del grupo multiplicativo de enteros modulo n.

Para potencias de primos impares y para 2 y 4, λ(n) es igual a la función tociente de Euler de n; para potencias de 2 mayores que 4 es igual a la mitad de la función totient de Euler de n:

λ λ ()n)={}φ φ ()n)sin=2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,...... 12φ φ ()n)sin=8,16,32,64,...... {displaystyle lambda (n)={begin{cases};;phi (n) }n=2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,dots \{tfrac {1}{2}phi (n) presentarse {text{if}n=8,16,32,64,dots end{cases}}}
nn
λ λ ()p1a1p2a2...... p⋅ ⋅ ()n)a⋅ ⋅ ()n))=lcm⁡ ⁡ [λ λ ()p1a1),λ λ ()p2a2),...... ,λ λ ()p⋅ ⋅ ()n)a⋅ ⋅ ()n))].{displaystyle lambda (p_{1}{a_{1}p_{2}{a_{2}}dots p_{omega (n)}{a_{omega (n)})=operatorname {lcm} [lambda (p_{1}^{a_{1}}}),;lambda (p_{2}} {a_{2}}}),dotslambda (p_{omega (n)}{a_}{om} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {dotsdotsdotsdotsdotsdots)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

H(n) – Número de clase

h(n), la función de número de clase, es el orden del grupo de clase ideal de una extensión algebraica de los racionales con discriminante n. La notación es ambigua, ya que en general hay muchas extensiones con el mismo discriminante. Ver campo cuadrático y campo ciclotómico para ejemplos clásicos.

Rk(n) – Suma de k cuadrados

rk(n) es el número de formas en que n se puede representar como la suma de k cuadrados, donde las representaciones que difieren solo en el orden de los sumandos o en los signos de las raíces cuadradas se cuentan como diferente.

rk()n)=Silencio{}()a1,a2,...... ,ak):n=a12+a22+⋯ ⋯ +ak2}Silencio{displaystyle r_{k}(n)=left uponleft{(a_{1},a_{2},dotsa_{k}):n=a_{1}{2}+a_{2}{2}+cdots - ¿Qué?

D(n) – Derivada aritmética

Usando la notación de Heaviside para la derivada, la derivada aritmética D(n) es una función tal que

  • D()n)=1{displaystyle D(n)=1} si n primo, y
  • D()mn)=mD()n)+D()m)n{displaystyle D(mn)=mD(n)+D(m)n} (la regla del producto)

Funciones de suma

Dada una función aritmética a(n), su función sumatoria A(x) está definido por

A()x):=.. n≤ ≤ xa()n).{displaystyle A(x):=sum _{nleq x}a(n). }
AmAmxmam

Dado que tales funciones a menudo se representan mediante series e integrales, para lograr la convergencia puntual es habitual definir el valor en las discontinuidades como el promedio de los valores a la izquierda y a la derecha:

<math alttext="{displaystyle A_{0}(m):={frac {1}{2}}left(sum _{nA0()m):=12().. n.ma()n)+.. n≤ ≤ ma()n))=A()m)− − 12a()m).{displaystyle A_{0}(m):={frac {1}{2}left(sum _{nsem}a(n)+sum _{nleq m}a(n)right)=A(m)-{frac {1} {2}a(m).}}}
<img alt="{displaystyle A_{0}(m):={frac {1}{2}}left(sum _{n

Los valores individuales de las funciones aritméticas pueden fluctuar enormemente, como en la mayoría de los ejemplos anteriores. Funciones de suma "suavizar" estas fluctuaciones. En algunos casos, puede ser posible encontrar un comportamiento asintótico para la función de suma para grandes x.

Un ejemplo clásico de este fenómeno lo da la función sumatoria del divisor, la función sumatoria de d(n), el número de divisores de n:

lim infn→ → JUEGO JUEGO d()n)=2{displaystyle liminf _{nto infty }d(n)=2}
lim supn→ → JUEGO JUEGO log⁡ ⁡ d()n)log⁡ ⁡ log⁡ ⁡ nlog⁡ ⁡ n=log⁡ ⁡ 2{displaystyle limsup _{nto infty }{frac {log d(n)log log n}{log n}=log 2}
limn→ → JUEGO JUEGO d()1)+d()2)+⋯ ⋯ +d()n)log⁡ ⁡ ()1)+log⁡ ⁡ ()2)+⋯ ⋯ +log⁡ ⁡ ()n)=1.{displaystyle lim _{nto infty }{frac {d(1)+d(2)+cdots +d(n)}{log(1)+log(2)+cdots +log(n)}=1.}

Un orden promedio de una función aritmética es una función más simple o mejor entendida que tiene la misma función de suma asintóticamente y, por lo tanto, toma los mismos valores "en promedio". Decimos que g es un orden medio de f si

.. n≤ ≤ xf()n)♪ ♪ .. n≤ ≤ xg()n){displaystyle sum _{nleq x}f(n)sim sum _{nleq x}g(n)}

ya que x tiende a infinito. El ejemplo anterior muestra que d(n) tiene el registro de pedidos promedio (n).

Convolución de Dirichlet

Dada una función aritmética a(n), sea Fa (s), para s complejos, sea la función definida por la correspondiente serie de Dirichlet (donde converge):

Fa()s):=.. n=1JUEGO JUEGO a()n)ns.{displaystyle F_{a}(s):=sum _{n=1}{infty }{frac {a(n)}{n^{s}}}}
Fasanannςs

La función generadora de la función de Möbius es la inversa de la función zeta:

0.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Especificaciones Especificaciones ()s).. n=1JUEGO JUEGO μ μ ()n)ns=1,R R s■0.{displaystyle zeta (s),sum _{n=1}{infty }{frac {mu (n)}{n^{s}}}}=1,;; Re s título.
0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f46d19465876319bbf74d801e15ae54545c99b1" style="vertical-align: -3.005ex; width:28.461ex; height:6.843ex;"/>

Considere dos funciones aritméticas a y b y sus respectivas funciones generadoras Fa(s) y Fb(s). El producto Fa(s)Fb (s) se puede calcular de la siguiente manera:

Fa()s)Fb()s)=().. m=1JUEGO JUEGO a()m)ms)().. n=1JUEGO JUEGO b()n)ns).{displaystyle F_{a}(s)F_{b}(s)=left(sum _{m=1}{infty }{frac {a(m)}{m^{s}}right)left(sum) ¿Por qué?

Es un ejercicio sencillo mostrar que si c(n) está definido por

c()n):=.. ij=na()i)b()j)=.. i▪ ▪ na()i)b()ni),{displaystyle c(n):=sum _{ij=n}a(i)b(j)=sum _{imid n}a(i)bleft({frac {n}right),}
Fc()s)=Fa()s)Fb()s).{displaystyle F_{c}(s)=F_{a}(s)F_{b}(s). }

Esta función c se llama la convolución Dirichlet a y b, y es denotado por aAlternativa Alternativa b{displaystyle a*b}.

Un caso particularmente importante es la convolución con la función constante a(n) = 1 para todo n, correspondiente a multiplicar la función generadora por la función zeta:

g()n)=.. d▪ ▪ nf()d).{displaystyle g(n)=sum _{dmid n}f(d).}

Al multiplicar por el inverso de la función zeta se obtiene la fórmula de inversión de Möbius:

f()n)=.. d▪ ▪ nμ μ ()nd)g()d).{displaystyle f(n)=sum _{dmid n}mu left({frac {n}right)g(d).}

Si f es multiplicativo, entonces también lo es g. Si f es completamente multiplicativo, entonces g es multiplicativo, pero puede o no ser completamente multiplicativo.

Relaciones entre las funciones

Hay una gran cantidad de fórmulas que conectan funciones aritméticas entre sí y con las funciones de análisis, especialmente potencias, raíces y funciones exponenciales y logarítmicas. Las identidades de suma de divisor de página contienen muchos ejemplos más generalizados y relacionados de identidades que involucran funciones aritméticas.

Aquí hay algunos ejemplos:

Circunvoluciones de Dirichlet

.. δ δ ▪ ▪ nμ μ ()δ δ )=.. δ δ ▪ ▪ nλ λ ()nδ δ )Silencioμ μ ()δ δ )Silencio={}1sin=10sinل ل 1{displaystyle sum _{delta mid n}mu (delta)=sum _{delta mid n}lambda left({frac {n}{delta }right) eternamu (delta) eterna={begin{cases}1 limit{if{if} - No. Donde λ es la función Liouville.
.. δ δ ▪ ▪ nφ φ ()δ δ )=n.{displaystyle sum _{delta mid n}varphi (delta)=n.}
φ φ ()n)=.. δ δ ▪ ▪ nμ μ ()nδ δ )δ δ =n.. δ δ ▪ ▪ nμ μ ()δ δ )δ δ .{displaystyle varphi (n)=sum _{delta mid n}mu left({frac {n}{delta }right)delta =nsum _{delta mid n}{frac {demu (delta)}{delta }} Inversión de Möbius
.. d▪ ▪ nJk()d)=nk.{displaystyle sum _{dmid n}J_{k}(d)=n^{k}
Jk()n)=.. δ δ ▪ ▪ nμ μ ()nδ δ )δ δ k=nk.. δ δ ▪ ▪ nμ μ ()δ δ )δ δ k.{displaystyle J_{k}(n)=sum _{delta mid n}mu left({frac {n}{delta }right)delta ^{k}=n^{k}sum ¿Por qué? Inversión de Möbius
.. δ δ ▪ ▪ nδ δ sJr()δ δ )Js()nδ δ )=Jr+s()n){displaystyle sum _{delta mid n}delta ¿Qué?
.. δ δ ▪ ▪ nφ φ ()δ δ )d()nδ δ )=σ σ ()n).{displaystyle sum _{delta mid n}varphi (delta)dleft({frac {n}derecha)=sigma (n).}
.. δ δ ▪ ▪ nSilencioμ μ ()δ δ )Silencio=2⋅ ⋅ ()n).{displaystyle sum _{delta mid n}Sobrevivirmu (delta)
Silencioμ μ ()n)Silencio=.. δ δ ▪ ▪ nμ μ ()nδ δ )2⋅ ⋅ ()δ δ ).{displaystyle Нmu (n) habit=sum _{delta mid n}mu left({frac {n}{delta }}right)2^{omega (delta)}.} Inversión de Möbius
.. δ δ ▪ ▪ n2⋅ ⋅ ()δ δ )=d()n2).{displaystyle sum _{delta mid n}2^{omega (delta)}=d(n^{2}). }
2⋅ ⋅ ()n)=.. δ δ ▪ ▪ nμ μ ()nδ δ )d()δ δ 2).{displaystyle 2^{omega (n)}=sum _{delta mid n}muleft({frac {delta }right)d(delta ^{2}). } Inversión de Möbius
.. δ δ ▪ ▪ nd()δ δ 2)=d2()n).{displaystyle sum _{delta mid n}d(delta ^{2})=d^{2}(n). }
d()n2)=.. δ δ ▪ ▪ nμ μ ()nδ δ )d2()δ δ ).{displaystyle d(n^{2})=sum _{delta mid n}mu left({frac {n}{delta }}right)d^{2}(delta).} Inversión de Möbius
.. δ δ ▪ ▪ nd()nδ δ )2⋅ ⋅ ()δ δ )=d2()n).{displaystyle sum _{delta mid n}dleft({frac {n}{delta }}right)2^{omega (delta)}=d^{2}(n). }
.. δ δ ▪ ▪ nλ λ ()δ δ )={}1sines un cuadrado0sinno es cuadrado.{displaystyle sum _{delta mid n}lambda (delta)={begin{cases} limit1{text{ if }n{ is a square }\cl0{ if }n{text{ is not square.}}end{cases}}}}}}}}}}}}} donde λ es la función Liouville.
.. δ δ ▪ ▪ n▪ ▪ ()δ δ )=log⁡ ⁡ n.{displaystyle sum _{delta mid n}Lambda (delta)=log n.}
▪ ▪ ()n)=.. δ δ ▪ ▪ nμ μ ()nδ δ )log⁡ ⁡ ()δ δ ).{displaystyle Lambda (n)=sum _{delta mid n}mu left({frac {n}{delta }}right)log(delta). } Inversión de Möbius

Sumas de cuadrados

Para todos 0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">k≥ ≥ 4,rk()n)■0.{displaystyle kgeq 4,;;;;r_{k}(n)}0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269ac99fb630e3d8788c4b686e91a191945264fa" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.691ex; height:2.843ex;"/> (Teorema de cuatro cuadras de Lagrange).

r2()n)=4.. d▪ ▪ n()− − 4d),{displaystyle r_{2}(n)=4sum _{dmid n}left({frac {-4}{d}}right),}

donde el símbolo de Kronecker tiene los valores

()− − 4n)={}+1sin↑ ↑ 1()mod4)− − 1sin↑ ↑ 3()mod4)0sinIncluso.{displaystyle left({frac {-4}{n}right)={begin{cases}+1 golpe{if} }nequiv 1{pmod {4}\1}nequiv 3{pmod {4}\\\;;;}n{text{ is even}\\end{cases}}

Hay una fórmula para r3 en la sección de números de clase a continuación.

r4()n)=8.. 4∤ ∤ dd▪ ▪ nd=8()2+()− − 1)n).. 2∤ ∤ dd▪ ▪ nd={}8σ σ ()n)sinEs extraño.24σ σ ()n2.. )sinIncluso,{displaystyle r_{4}(n)=8sum _{stackrel {dmid n}{4,nmid {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fnMicrosoft Sans Serif}
. = .2()n)

r6()n)=16.. d▪ ▪ nχ χ ()nd)d2− − 4.. d▪ ▪ nχ χ ()d)d2,{displaystyle r_{6}(n)=16sum _{dmid n}chi left({frac {n}{d}right)d^{2}-4sum _{dmid n}chi (d)d^{2}}}
χ χ ()n)=()− − 4n).{displaystyle chi (n)=left({frac {-4}right).}

Definir la función σk*(n ) como

σ σ kAlternativa Alternativa ()n)=()− − 1)n.. d▪ ▪ n()− − 1)ddk={}.. d▪ ▪ ndk=σ σ k()n)sinEs extraño... 2▪ ▪ dd▪ ▪ ndk− − .. 2∤ ∤ dd▪ ▪ ndksinIncluso.{displaystyle sigma _{*}(n)=(-1)^{n}sum _{dmid n}(-1)^{d}d^{k}={begin{cases}sum {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f}fn}fn}fnfnfnMicrosoft} {fnf}fntexto {fnfnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f}fnMicrosoft}fnMicrosoft}f}f}fnMicrosoft}fnMicrosoft}fnMicrosoft}f}f}f}fnKfnMicrosoftfnMicrosoft}fnf}fnfnKf}fnf}f}f}f}fnf}fnfnKfnfnfnfnfnKfnfnMicrosoft}fnMicrosoft}fnMicrosoft}fnMin {fnMicrosoft Sans Serif}}

Es decir, si n es impar, σk*(n) es la suma de las késimas potencias de los divisores de n, que es, σk(n), y si n es par es la suma de las késimas potencias de los divisores pares de n menos la suma de las késimas potencias de los divisores impares de n.

r8()n)=16σ σ 3Alternativa Alternativa ()n).{displaystyle r_{8}(n)=16sigma _{3}{*}(n).}

Adopte la convención de que τ(x) = 0 de Ramanujan si x no es un número entero.

r24()n)=16691σ σ 11Alternativa Alternativa ()n)+128691{}()− − 1)n− − 1259τ τ ()n)− − 512τ τ ()n2)}{displaystyle r_{24}(n)={frac {16}{691}sigma ¿Por qué?

Convoluciones de la suma del divisor

Aquí "convolución" no significa "circunvolución de Dirichlet" sino que se refiere a la fórmula de los coeficientes del producto de dos series de potencias:

().. n=0JUEGO JUEGO anxn)().. n=0JUEGO JUEGO bnxn)=.. i=0JUEGO JUEGO .. j=0JUEGO JUEGO aibjxi+j=.. n=0JUEGO JUEGO ().. i=0naibn− − i)xn=.. n=0JUEGO JUEGO cnxn.{displaystyle left(sum ¿Qué? }a_{n}x^{n}right)left(sum) ¿Qué? }b_{n}x^{n}right)=sum ¿Por qué? }a_{i}b_{j}x^{i+j}=sum ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? }c_{n}x^{n}

La secuencia cn=.. i=0naibn− − i{displaystyle C_{n}=sum ¿Qué? se llama la convolución o el producto Cauchy de las secuencias an y bn.
Estas fórmulas pueden ser probadas analíticamente (ver serie Eisenstein) o por métodos elementales.

<math alttext="{displaystyle sigma _{3}(n)={frac {1}{5}}left{6nsigma _{1}(n)-sigma _{1}(n)+12sum _{0<kσ σ 3()n)=15{}6nσ σ 1()n)− − σ σ 1()n)+12.. 0.k.nσ σ 1()k)σ σ 1()n− − k)}.{displaystyle sigma _{3}(n)={frac {1}{5}left{6nsigma _{1}(n)-sigma _{1}(n)+12sum _{0cantan}sigma _{1}(k)sigma _{1} {1}(n-k)right}}right}}sigma.<img alt="{displaystyle sigma _{3}(n)={frac {1}{5}}left{6nsigma _{1}(n)-sigma _{1}(n)+12sum _{0<k
<math alttext="{displaystyle sigma _{5}(n)={frac {1}{21}}left{10(3n-1)sigma _{3}(n)+sigma _{1}(n)+240sum _{0<kσ σ 5()n)=121{}10()3n− − 1)σ σ 3()n)+σ σ 1()n)+240.. 0.k.nσ σ 1()k)σ σ 3()n− − k)}.{displaystyle sigma _{5}(n)={frac {1}{21}left{10(3n-1)sigma _{3}(n)+sigma _{1}(n)+240sum _{0 madek maden}sigma _{1}(k)sigma _{3} {s} {s} {} {s}}} {s}}} {sigma} {s}}}}} {sigually}}}}} {sigually} {c]}} {c]}}}sigually} {sigually}}}} {sigually} {c} {c}}c}c}c}c}ccc}cc}c}c}c}c}ccc}}cH0} {cc}c}c]}c<img alt="{displaystyle sigma _{5}(n)={frac {1}{21}}left{10(3n-1)sigma _{3}(n)+sigma _{1}(n)+240sum _{0<k
<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}sigma _{7}(n)&={frac {1}{20}}left{21(2n-1)sigma _{5}(n)-sigma _{1}(n)+504sum _{0<k<n}sigma _{1}(k)sigma _{5}(n-k)right}\&=sigma _{3}(n)+120sum _{0<kσ σ 7()n)=120{}21()2n− − 1)σ σ 5()n)− − σ σ 1()n)+504.. 0.k.nσ σ 1()k)σ σ 5()n− − k)}=σ σ 3()n)+120.. 0.k.nσ σ 3()k)σ σ 3()n− − k).{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans}}fnMicrosoft Sans)}fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans)fnMicrosoft Sans}fnMinMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans)}s}s}cnMinMicrosoft Sansigues}fnMicrosoft Sans, ¿Por qué?<img alt=" begin{align} sigma_7(n) &=frac{1}{20}left{21(2n-1)sigma_5(n)-sigma_1(n) + 504sum_{0<k<n}sigma_1(k)sigma_5(n-k)right}\ &=sigma_3(n) + 120sum_{0<k
<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}sigma _{9}(n)&={frac {1}{11}}left{10(3n-2)sigma _{7}(n)+sigma _{1}(n)+480sum _{0<k<n}sigma _{1}(k)sigma _{7}(n-k)right}\&={frac {1}{11}}left{21sigma _{5}(n)-10sigma _{3}(n)+5040sum _{0<kσ σ 9()n)=111{}10()3n− − 2)σ σ 7()n)+σ σ 1()n)+480.. 0.k.nσ σ 1()k)σ σ 7()n− − k)}=111{}21σ σ 5()n)− − 10σ σ 3()n)+5040.. 0.k.nσ σ 3()k)σ σ 5()n− − k)}.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fnMicrosoft Sans Serif}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}sigma _{9}(n)&={frac {1}{11}}left{10(3n-2)sigma _{7}(n)+sigma _{1}(n)+480sum _{0<k<n}sigma _{1}(k)sigma _{7}(n-k)right}\&={frac {1}{11}}left{21sigma _{5}(n)-10sigma _{3}(n)+5040sum _{0<k
<math alttext="{displaystyle tau (n)={frac {65}{756}}sigma _{11}(n)+{frac {691}{756}}sigma _{5}(n)-{frac {691}{3}}sum _{0<kτ τ ()n)=65756σ σ 11()n)+691756σ σ 5()n)− − 6913.. 0.k.nσ σ 5()k)σ σ 5()n− − k),{displaystyle tau (n)={65}{756}sigma _{11}(n)+{frac {691}{756}sigma _{5}-n)-frac {691}{3}}sum _{0 maden}sigma _{5} {5} {5} {sigma} {5}sigma<img alt="{displaystyle tau (n)={frac {65}{756}}sigma _{11}(n)+{frac {691}{756}}sigma _{5}(n)-{frac {691}{3}}sum _{0<k Donde τ()n) es la función de Ramanujan.

Desde σk(n) (para número natural k) y τ(n) son números enteros, las fórmulas anteriores se pueden usar para probar congruencias para las funciones. Consulte la función tau de Ramanujan para ver algunos ejemplos.

Extienda el dominio de la función de partición configurando p(0) = 1.

p()n)=1n.. 1≤ ≤ k≤ ≤ nσ σ ()k)p()n− − k).{displaystyle p(n)={n}sum _{1leq kleq n}sigma (k)p(n-k). } Esta recurrencia se puede utilizar para calcular p()n).

Relacionado con el número de clase

Peter Gustav Lejeune Dirichlet descubrió fórmulas que relacionan el número de clase h de campos numéricos cuadráticos con el símbolo de Jacobi.

Un entero D se denomina discriminante fundamental si es el discriminante de un cuerpo numérico cuadrático. Esto es equivalente a D ≠ 1 y a) D no tiene cuadrados y D ≡ 1 (mod 4) o b) D ≡ 0 (mod 4), D/4 no tiene cuadrados y D/4 ≡ 2 o 3 (mod 4).

Ampliar el símbolo de Jacobi para aceptar números pares en el "denominador" definiendo el símbolo de Kronecker:

()a2)={}0siaIncluso()− − 1)a2− − 18siaEs extraño.{displaystyle left({frac {2}right)={begin{cases};;,0 limit{text{ if }a{text{ is even}(-1)^{frac Es extraño. }end{cases}}

Entonces, si D < −4 es un discriminante fundamental

h()D)=1D.. r=1SilencioDSilencior()Dr)=12− − ()D2).. r=1SilencioDSilencio/2()Dr).{displaystyle {begin{aligned}h(D) {1}{}}sum _{r=1} {fnfnfnh}fnh}derecho)\\\fn}{2-left({tfrac {d}}sum _{r=1}} {} {} {}}}}}}} {}} {f}} {f}}}}} {f}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {f}}} {f} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

También hay una fórmula que relaciona r3 y h. Nuevamente, sea D un discriminante fundamental, D < −4. Después

r3()SilencioDSilencio)=12()1− − ()D2))h()D).{displaystyle r_{3}(Sobrevivir)=12left(1-left({frac {}right)h(D). }

Relacionado con el conteo de primos

Vamos Hn=1+12+13+⋯ ⋯ +1n{displaystyle H_{n}=1+{frac {1}{2}+{frac} {1}{3}+cdots +{frac {1}{n}} ser el nT número armónico. Entonces...

σ σ ()n)≤ ≤ Hn+eHnlog⁡ ⁡ Hn{displaystyle sigma (n)leq H_{n}+e^{H_{n}log H_{n} es verdad para cada número natural n si y sólo si la hipótesis Riemann es verdad.

La hipótesis de Riemann también es equivalente a la afirmación de que, para todo n > 5040,

<math alttext="{displaystyle sigma (n)σ σ ()n).eγ γ nlog⁡ ⁡ log⁡ ⁡ n{displaystyle sigma (n) }nlog log n}
<img alt="{displaystyle sigma (n)

.. p.. p()n)=Ω Ω ()n).{displaystyle sum _{p}nu _{p}(n)=Omega (n). }
↑ ↑ ()x)=.. n≤ ≤ x▪ ▪ ()n).{displaystyle psi (x)=sum _{nleq x}Lambda (n).}
▪ ▪ ()x)=.. n≤ ≤ x▪ ▪ ()n)log⁡ ⁡ n.{displaystyle Pi (x)=sum _{nleq x}{frac {Lambda (n)}{log n}}}}
eSilencio Silencio ()x)=∏ ∏ p≤ ≤ xp.{displaystyle e^{theta (x)}=prod _{pleq x}p.}
e↑ ↑ ()x)=lcm⁡ ⁡ [1,2,...... ,⌊ ⌊ x⌋ ⌋ ].{displaystyle e^{psi (x)}=operatorname {lcm} [1,2,dotslfloor xrfloor ].}

Identidad de Menon

En 1965 P Kesava Menon demostró

.. gcd()k,n)=11≤ ≤ k≤ ≤ ngcd()k− − 1,n)=φ φ ()n)d()n).{displaystyle sum _{stackrel {1leq kleq n}{gcd(k,n)=1}gcd(k-1,n)=varphi (n)d(n). }

Esto ha sido generalizado por varios matemáticos. Por ejemplo,

  • B. Sury
    .. gcd()k1,n)=11≤ ≤ k1,k2,...... ,ks≤ ≤ ngcd()k1− − 1,k2,...... ,ks,n)=φ φ ()n)σ σ s− − 1()n).{displaystyle sum _{stackrel {1leq k_{1},k_{2},dotsk_{s}leq No. }
  • N. Rao
    .. gcd()k1,k2,...... ,ks,n)=11≤ ≤ k1,k2,...... ,ks≤ ≤ ngcd()k1− − a1,k2− − a2,...... ,ks− − as,n)s=Js()n)d()n),{displaystyle sum _{stackrel {1leq k_{1},k_{2},dotsk_{s}leq ## {gcd(k_{1},k_{2},dotsk_{s},n)=1}gcd(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},dotsk_{s}-a_{s},n)}{s}=J_{s}(n)d(n)}
    Donde a1, a2,... as son enteros, gcd(a1, a2,... as, n) = 1.
  • László Fejes Tóth
    .. gcd()k,m)=11≤ ≤ k≤ ≤ mgcd()k2− − 1,m1)gcd()k2− − 1,m2)=φ φ ()n).. d2▪ ▪ m2d1▪ ▪ m1φ φ ()gcd()d1,d2))2⋅ ⋅ ()lcm⁡ ⁡ ()d1,d2)),{displaystyle sum _{stackrel {1leq kleq m}{gcd(k,m)=1}gcd(k^{2}-1,m_{1})gcd(k^{2}-1,m_{2})=varphi (n)sum _{stackrelrel {d_{1}mid m_{1}{d_{2}mid m_{2}}varphi (gcd(d_{1},d_{2})2^{omega (operatorname {lcm} (d_{1},d_{2})}}}}
    Donde m1 y m2 son extraños. m = lcm(m1, m2).

De hecho, si f es cualquier función aritmética

.. gcd()k,n)=11≤ ≤ k≤ ≤ nf()gcd()k− − 1,n))=φ φ ()n).. d▪ ▪ n()μ μ Alternativa Alternativa f)()d)φ φ ()d),{displaystyle sum _{stackrel {1gq kleq n}{gcd(k,n)=1}f(gcd(k-1,n)=varphi (n)sum _{dmid n}{frac {(mu *f)}{varphi (d)}}}}}}
Alternativa Alternativa {displaystyle *}

Varios

Sean m y n distintos, impares y positivos. Entonces el símbolo de Jacobi satisface la ley de reciprocidad cuadrática:

()mn)()nm)=()− − 1)()m− − 1)()n− − 1)/4.{displaystyle left({frac {n}right)left({frac} {n}{m}right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}

Sea D(n) la derivada aritmética. Entonces la derivada logarítmica

D()n)n=.. pprimop▪ ▪ nvp()n)p.{displaystyle {frac {fnh} {fn}}=sum ¿Por qué?

Sea λ(n) la función de Liouville. Después

Silencioλ λ ()n)Silencioμ μ ()n)=λ λ ()n)Silencioμ μ ()n)Silencio=μ μ ()n),{displaystyle TENEDlambda (n) y
λ λ ()n)μ μ ()n)=Silencioμ μ ()n)Silencio=μ μ 2()n).{displaystyle lambda (n)mu (n)= soportemu (n) tolera=mu ^{2}(n). }

Sea λ(n) la función de Carmichael. Después

λ λ ()n)▪ ▪ φ φ ()n).{displaystyle lambda (n)mid phi (n). } Además,
λ λ ()n)=φ φ ()n)sin={}1,2,4;3,5,7,9,11,...... (es decir,pk, dondepes una prima extraña);6,10,14,18,...... (es decir,2pk, dondepes una prima extraña).{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}

Ver Grupo multiplicativo de enteros módulo n y Raíz primitiva módulo n.

2⋅ ⋅ ()n)≤ ≤ d()n)≤ ≤ 2Ω Ω ()n).{displaystyle 2^{omega (n)}leq d(n)leq 2^{Omega (n)}
<math alttext="{displaystyle {frac {6}{pi ^{2}}}<{frac {phi (n)sigma (n)}{n^{2}}}6π π 2.φ φ ()n)σ σ ()n)n2.1.{displaystyle {frac {6}{2}} {frac {fn]fnsigma (n)}{n^{2}}}} {c}}}} {fn}}}}}} {fn}}}}}} {f}}}}}}}}<img alt="{displaystyle {frac {6}{pi ^{2}}}<{frac {phi (n)sigma (n)}{n^{2}}}
cq()n)=μ μ ()qgcd()q,n))φ φ ()qgcd()q,n))φ φ ()q)=.. δ δ ▪ ▪ gcd()q,n)μ μ ()qδ δ )δ δ .{fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn]} {fn} {fn}} {fn}} {fn}fn}}} {fn}fnK} {fnK} {cccH00}}ccH00FF}cH00}ccH00}ccH00}cccH00}ccccH00}cccccH00}cH00}ccccccH00}ccH00}cH00}cccccH00}ccH00}cH00}ccH00}ccH00cccccH00}ccH00}ccH00}ccH00}ccH00}cccH Bien. Note queφ φ ()q)=.. δ δ ▪ ▪ qμ μ ()qδ δ )δ δ .{displaystyle phi (q)=sum _{delta mid q}mu left({frac {q}{delta }right)delta.}
cq()1)=μ μ ()q).{displaystyle c_{q}(1)=mu (q).}
cq()q)=φ φ ()q).{displaystyle c_{q}(q)=phi (q).}
.. δ δ ▪ ▪ nd3()δ δ )=().. δ δ ▪ ▪ nd()δ δ ))2.{displaystyle sum _{delta mid n}d^{3}(delta)=left(sum _{delta mid n}d(delta)right)^{2} Compare esto con 13 + 23 + 33 +... + n3 = (1 + 2 + 3 +... + n)2
d()uv)=.. δ δ ▪ ▪ gcd()u,v)μ μ ()δ δ )d()uδ δ )d()vδ δ ).{displaystyle d(uv)=sum _{delta mid gcd(u,v)}mu (delta)dleft({frac {u}{delta }right)dleft({frac {v}{delta }}right). }
σ σ k()u)σ σ k()v)=.. δ δ ▪ ▪ gcd()u,v)δ δ kσ σ k()uvδ δ 2).{displaystyle sigma _{k}(u)sigma _{k}(v)=sum _{delta mid gcd(u,v)}delta ¿Qué?
τ τ ()u)τ τ ()v)=.. δ δ ▪ ▪ gcd()u,v)δ δ 11τ τ ()uvδ δ 2),{displaystyle tau (u)tau (v)=sum _{delta mid gcd(u,v)}delta ^{11}tau left({frac {uv}{delta ^{2}}right),}} Donde τ()n) es la función de Ramanujan.

Primeros 100 valores de algunas funciones aritméticas

nfactorizaciónφ(n)⋅()n)Ω(n)λ(n)μ(n)λ(n)π()n)σ0()n)σ1()n)σ2()n)r2()n)r3()n)r4()n)
111001100111468
22111−1−10.69123541224
33211−1−11.10224100832
422212100.69237214624
55411−1−11.613262682448
62 a 322211034125002496
77611−1−11.95428500064
823413−100.6944158541224
932612101.10431391430104
102 · 54221104418130824144
11111011−1−12.40521212202496
1222 · 3423−10056282100896
13131211−1−12.566214170824112
142 a 76221106424250048192
153 · 5822110642426000192
1624814100.6965313414624
17171611−1−12.837218290848144
182 a 32623−1007639455436312
19191811−1−12.948220362024160
2022 · 5823−1008642546824144
213 · 712221108432500048256
222 a 1110221108436610024288
23232211−1−13.14922453000192
2423 · 3824100986085002496
25522012101.6193316511230248
262 a 1312221109442850872336
27331813−101.109440820032320
2822 · 71223−1009656105000192
29292811−1−13.3710230842872240
302 · 3 · 5833−1−10108721300048576
31313011−1−13.431123296200256
32251615−100.6911663136541224
333 · 112022110114481220048384
342 · 171622110114541450848432
355 · 72422110114481300048384
3622 · 321224100119911911430312
37373611−1−13.61122381370824304
382 a 191822110124601810072480
393 · 13242211012456170000448
4023 · 51624100128902210824144
41414011−1−13.71132421682896336
422 · 3 · 71233−1−10138962500048768
43434211−1−13.76142441850024352
4422 · 112023−100146842562024288
4532 · 52423−100146782366872624
462 · 232222110144722650048576
47474611−1−13.8515248221000384
4824 · 31625−100151012434100896
49724212101.95153572451454456
502 · 522023−1001569332551284744
513 · 173222110154722900048576
5222 · 132423−100156983570824336
53535211−1−13.97162542810872432
542 a 3318241001681204100096960
555 · 11402211016472317200576
5623 · 724241001681204250048192
573 · 193622110164803620048640
582 · 292822110164904210824720
59595811−1−14.08172603482072480
6022 · 3 · 516341001712168546000576
61616011−1−14.11182623722872496
622 · 313022110184964810096768
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