Función analítica

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Tipo de función en matemáticas

En matemáticas, una función analítica es una función dada localmente por una serie de potencias convergentes. Existen tanto funciones analíticas reales como funciones analíticas complejas. Las funciones de cada tipo son infinitamente diferenciables, pero las funciones analíticas complejas exhiben propiedades que generalmente no se cumplen para las funciones analíticas reales. Una función es analítica si y solo si su serie de Taylor sobre x₀ converge a la función en alguna vecindad para cada x₀ en su dominio.

Definiciones

Formalmente, una función $f$ es analista real en un set abierto $D$ en la línea real si para cualquier $x_0in D$ uno puede escribir

f(x)=sum _{n=0}^{infty }a_{n}left(x-x_{0}right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+cdots

en que los coeficientes ${displaystyle a_{0},a_{1},dots }$ son números reales y la serie converge $f(x)$ para $x$ en un barrio $x_{0}$ .

Alternativamente, una función analítica real es una función infinitamente diferenciable tal que la serie Taylor en cualquier punto $x_{0}$ en su dominio

T(x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}

convergencias a $f(x)$ para $x$ en un barrio $x_{0}$ En sentido de punto. El conjunto de todas las funciones analíticas reales en un conjunto dado $D$ a menudo se denota ${displaystyle {mathcal {C}}^{,omega }(D)}$ .

Una función $f$ definido en algún subconjunto de la línea real se dice que es analista real en un punto $x$ si hay un vecindario $D$ de $x$ on which $f$ es realmente analítico.

La definición de una función analítica compleja se obtiene reemplazando, en las definiciones anteriores, "real" con "complejo" y "línea real" con "plano complejo". Una función es analítica compleja si y solo si es holomorfa, es decir, es diferenciable compleja. Por esta razón, los términos "holomórficos" y "analítico" a menudo se usan indistintamente para tales funciones.

Ejemplos

Ejemplos típicos de funciones analíticas son

Todas las funciones primarias:
- Todos los polinomios: si un polinomio tiene grado n, cualquier términos de grado mayor que n en su expansión de la serie Taylor debe desaparecer inmediatamente a 0, y así esta serie será trivialmente convergente. Además, cada polinomio es su propia serie Maclaurin.
- La función exponencial es analítica. Cualquier serie Taylor para esta función converge no sólo para x lo suficientemente cerca x₀ (como en la definición) pero para todos los valores x (real o complejo).
- Las funciones trigonométricas, logaritmo y las funciones de poder son analíticas en cualquier conjunto abierto de su dominio.
La mayoría de las funciones especiales (al menos en alguna gama del plano complejo):
- funciones hipergeométricas
- Funciones de Bessel
- Funciones gamma

Ejemplos típicos de funciones que no son analíticas son

La función de valor absoluto cuando se define en el conjunto de números reales o números complejos no está en todas partes analytic porque no es diferente a 0. Las funciones definidas por piezas (funciones dadas por diferentes fórmulas en diferentes regiones) normalmente no son analíticas donde las piezas se reúnen.
La compleja función conyugal z→ z* no es un análisis complejo, aunque su restricción a la línea real es la función de identidad y, por lo tanto, analytic real, y es real analytic como una función de ${mathbb {R}}^{{2}}$ a ${mathbb {R}}^{{2}}$ .
Otras funciones suaves no analíticas, y en particular cualquier función lisa $f$ con soporte compacto, es decir. ${displaystyle fin {mathcal {C}}_{0}^{infty }(mathbb {R} ^{n})}$ , no puede ser analítico en $mathbb {R} ^{n}$ .

Caracterizaciones alternativas

Las siguientes condiciones son equivalentes:

$f$ es realmente analytic en un conjunto abierto $D$ .
Hay una extensión analítica compleja $f$ a un conjunto abierto ${displaystyle Gsubset mathbb {C} }$ que contiene $D$ .
$f$ es suave y para cada conjunto compacto ${displaystyle Ksubset D}$ existe una constante $C$ por cada uno $xin K$ y todo entero no negativo $k$ los siguientes límites ${displaystyle left|{frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)right|leq C^{k+1}k!}$

Las funciones analíticas complejas son exactamente equivalentes a las funciones holomorfas y, por lo tanto, se caracterizan mucho más fácilmente.

Para el caso de una función analítica con varias variables (ver más abajo), la analiticidad real se puede caracterizar utilizando la transformada de Fourier-Bros-Iagolnitzer.

En el caso multivariable, las funciones analíticas reales satisfacen una generalización directa de la tercera caracterización. Vamos ${displaystyle Usubset mathbb {R} ^{n}}$ ser un juego abierto, y dejar ${displaystyle f:Uto mathbb {R} }$ .

Entonces... $f$ es realmente analista en $U$ si ${displaystyle fin C^{infty }(U)}$ y para cada compacto ${displaystyle Ksubseteq U}$ existe una constante $C$ tal que por cada multi-índice ${displaystyle alpha in mathbb {Z} _{geq 0}^{n}}$ los siguientes límites

{displaystyle sup _{xin K}left|{frac {partial ^{alpha }f}{partial x^{alpha }}}(x)right|leq C^{|alpha |+1}alpha !}

Propiedades de las funciones analíticas

Las sumas, productos y composiciones de funciones analíticas son analíticas.
El recíproco de una función analítica que no es nada cero es analítico, como es el inverso de una función analítica invertible cuyo derivado no es nada cero. (Ver también el teorema de la inversión Lagrange.)
Cualquier función analítica es suave, es decir, infinitamente diferente. El contrario no es verdadero para las funciones reales; de hecho, en cierto sentido, las verdaderas funciones analíticas son escasas en comparación con todas las funciones infinitamente diferentes. Para los números complejos, el converso sostiene, y de hecho cualquier función diferente una vez en un conjunto abierto es analítico en ese conjunto (ver "analyticity and differentiability" abajo).
Para cualquier conjunto abierto ${displaystyle Omega subseteq mathbb {C} }$ , el conjunto A(Ω) de todas las funciones analíticas ${displaystyle u: Omega to mathbb {C} }$ es un espacio Fréchet con respecto a la convergencia uniforme en conjuntos compactos. El hecho de que los límites uniformes en conjuntos compactos de funciones analíticas son analíticos es una consecuencia fácil del teorema de Morera. El set $scriptstyle A_{infty }(Omega)$ de todas las funciones analíticas ligadas con la norma supremum es un espacio de Banach.

Un polinomio no puede ser cero en demasiados puntos a menos que sea el polinomio cero (más precisamente, el número de ceros es como máximo el grado del polinomio). Una afirmación similar pero más débil es válida para las funciones analíticas. Si el conjunto de ceros de una función analítica ƒ tiene un punto de acumulación dentro de su dominio, entonces ƒ es cero en todas partes del componente conexo que contiene el punto de acumulación. En otras palabras, si (r_n) es una secuencia de números distintos tal que ƒ(r_n) = 0 para todo n y esta secuencia converge en un punto r en el dominio de D, entonces ƒ es idénticamente cero en el componente conexo de D que contiene r. Esto se conoce como el teorema de identidad.

Además, si todas las derivadas de una función analítica en un punto son cero, la función es constante en la componente conexa correspondiente.

Estas afirmaciones implican que, si bien las funciones analíticas tienen más grados de libertad que los polinomios, siguen siendo bastante rígidas.

Analyticidad y diferenciabilidad

Como se ha señalado anteriormente, cualquier función analítica (real o compleja) es infinitamente diferente (también conocida como lisa, o ${displaystyle {mathcal {C}}^{infty }}$ ). (Nota que esta diferenciabilidad está en el sentido de variables reales; compare derivados complejos a continuación.) Existen funciones reales lisas que no son analíticas: ver la función lisa no analítica. De hecho, hay muchas de esas funciones.

La situación es bastante diferente cuando se consideran funciones analíticas complejas y derivadas complejas. Se puede demostrar que toda función compleja diferenciable (en el sentido complejo) en un conjunto abierto es analítica. En consecuencia, en análisis complejo, el término función analítica es sinónimo de función holomorfa.

Funciones analíticas reales versus complejas

Las funciones analíticas reales y complejas tienen diferencias importantes (eso se podría notar incluso por su diferente relación con la diferenciabilidad). La analiticidad de funciones complejas es una propiedad más restrictiva, ya que tiene condiciones necesarias más restrictivas y las funciones analíticas complejas tienen más estructura que sus contrapartes de línea real.

Según el teorema de Liouville, cualquier función analítica compleja acotada definida en todo el plano complejo es constante. El enunciado correspondiente a las funciones analíticas reales, con el plano complejo reemplazado por la línea real, es claramente falso; esto es ilustrado por

f(x)={frac {1}{x^{2}+1}}.

Además, si una función analítica compleja se define en una bola abierta alrededor de un punto x₀, su desarrollo en serie de potencias en x₀ es convergente en toda la bola abierta (las funciones holomorfas son analíticas). Esta afirmación para las funciones analíticas reales (donde bola abierta significa un intervalo abierto de la línea real en lugar de un disco abierto del plano complejo) no es cierta en general; la función del ejemplo anterior da un ejemplo para x₀ = 0 y una bola de radio superior a 1, ya que la serie de potencias 1 − x² + x⁴ − x⁶... diverge para |x| ≥ 1.

Cualquier función analítica real en algún conjunto abierto en la línea real puede extenderse a una función analítica compleja en algún conjunto abierto del plano complejo. Sin embargo, no todas las funciones analíticas reales definidas en toda la línea real pueden extenderse a una función compleja definida en todo el plano complejo. La función ƒ(x) definida en el párrafo anterior es un contraejemplo, ya que no está definida para x = ±i. Esto explica por qué la serie de Taylor de ƒ(x) diverge para |x| > 1, es decir, el radio de convergencia es 1 porque la función compleja tiene un polo a la distancia 1 del punto de evaluación 0 y no hay más polos dentro del disco abierto de radio 1 alrededor del punto de evaluación.

Funciones analíticas de varias variables

Se pueden definir funciones analíticas en varias variables por medio de series de potencias en esas variables (ver series de potencias). Las funciones analíticas de varias variables tienen algunas de las mismas propiedades que las funciones analíticas de una variable. Sin embargo, especialmente para funciones analíticas complejas, aparecen fenómenos nuevos e interesantes en 2 o más dimensiones complejas:

Cero conjuntos de funciones analíticas complejas en más de una variable nunca son discretas. Esto puede ser probado por el teorema de extensión de Hartogs.
Los dominios de la holomorfia para funciones de valor único consisten en conjuntos abiertos arbitrarios (conectados). En varias variables complejas, sin embargo, sólo algunos conjuntos abiertos conectados son dominios de holomorfia. La caracterización de dominios de la holomorfia conduce a la noción de pseudoconvexidad.

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