Función acotada

En matemáticas, una función f definida sobre algún conjunto X con valores reales o complejos se llama acotada si el conjunto de sus valores es encerrado. En otras palabras, existe un número real M tal que

Silenciof()x)Silencio≤ ≤ M{displaystyle Silenciof(x)

para todo x en X. Una función que no está acotada se dice que es ilimitada.

Si f tiene un valor real y f(x) ≤ A para todo x en X, entonces se dice que la función está acotada (desde) arriba por A. Si f(x) ≥ B para todo x en X, entonces el Se dice que la función está limitada (desde) por debajo por B. Una función de valor real está acotada si y solo si está acotada por arriba y por abajo.

Un caso especial importante es una secuencia acotada, donde X se toma como el conjunto N de números naturales. Así una secuencia f = (a₀, a₁, a₂,...) está acotado si existe un número real M tal que

SilencioanSilencio≤ ≤ M{displaystyle Silencio.

para cada número natural n. El conjunto de todas las secuencias atadas forma el espacio de secuencia lJUEGO JUEGO {displaystyle l^{infty}.

La definición de acotación se puede generalizar a funciones f: X → Y tomando valores en un espacio más general Y requiriendo que la imagen f(X) es un conjunto acotado en Y.

Nociones relacionadas

Más débil que la acotación es la acotación local. Una familia de funciones acotadas puede estar uniformemente acotada.

Un operador acotado T: X → Y no es una función acotada en el sentido de la definición de esta página (a menos que T = 0), pero tiene la propiedad más débil de preservar la acotación: los conjuntos acotados M ⊆ X se asignan a conjuntos acotados T(M) ⊆ Y. Esta definición se puede extender a cualquier función f: X → Y si X y Y permiten la concepto de conjunto acotado. La acotación también se puede determinar mirando un gráfico.

Ejemplos

• La función sine pecado: R → R está obligado desde Silenciopecado⁡ ⁡ ()x)Silencio≤ ≤ 1{displaystyle Silenciosin(x) 1} para todos x▪ ▪ R{displaystyle xin mathbf {R}.
• La función f()x)=()x2− − 1)− − 1{displaystyle f(x)=(x^{2}-1)}{-1}, definido para todo real x excepto para −1 y 1, está sin límites. As x enfoques −1 o 1, los valores de esta función se hacen más grandes en magnitud. Esta función se puede obligar si se restringe su dominio a ser, por ejemplo, [2, ∞) o (—∞, −2].
• La función f()x)=()x2+1)− − 1{textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}, definido para todo real x, es atado, desde Silenciof()x)Silencio≤ ≤ 1{textstyle Silenciof(x) para todos x.
• La función trigonométrica inversa arctangente definida como: Sí. = arctan(x) o x = tan(Sí.) está aumentando para todos los números reales x y atado conπ/2. Sí.. π/2 radiantes
• Por el teorema de unión, cada función continua en un intervalo cerrado, como f[0, 1] → R, está atado. Más generalmente, cualquier función continua de un espacio compacto en un espacio métrico está atado.
• Todas las funciones de valor complejo f: C → C que son enteras no están abundadas o constantes como consecuencia del teorema de Liouville. En particular, el pecado complejo: C → C debe ser sin límites ya que está completo.
• La función f que toma el valor 0 para x número racional y 1 x número irracional (cf. Función Dirichlet) es Atado. Así, una función no necesita ser "nice" para ser atada. El conjunto de todas las funciones vinculadas definidas en [0, 1] es mucho mayor que el conjunto de funciones continuas en ese intervalo. Además, no es necesario vincular funciones continuas; por ejemplo, las funciones g:R2→ → R{displaystyle g:mathbb {R} {2}to mathbb {R} y h:()0,1)2→ → R{displaystyle h:(0,1)^{2}to mathbb {R} definidas por g()x,Sí.):=x+Sí.{displaystyle g(x,y):=x+y} y h()x,Sí.):=1x+Sí.{displaystyle h(x,y):={frac {1}{x+y}} son ambos continuos, pero tampoco está ligado. (Sin embargo, una función continua debe estar vinculada si su dominio está cerrado y atado).