Fuerza ficticia

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Una fuerza ficticia es una fuerza que parece actuar sobre una masa cuyo movimiento se describe utilizando un marco de referencia no inercial, como un marco de referencia de aceleración o rotación. Está relacionado con la segunda ley del movimiento de Newton, que trata las fuerzas de un solo objeto.

Los pasajeros de un vehículo que acelera hacia adelante pueden percibir que una fuerza actúa sobre ellos moviéndolos en la dirección del respaldo de sus asientos, por ejemplo. Un ejemplo en un marco de referencia giratorio puede ser la impresión de que es una fuerza que parece mover objetos hacia el borde de una centrífuga o carrusel.

La fuerza ficticia llamada pseudofuerza también podría denominarse fuerza corporal. Se debe a la inercia de un objeto cuando el marco de referencia ya no se mueve inercialmente sino que comienza a acelerar en relación con el objeto libre. En términos del ejemplo del vehículo de pasajeros, una pseudo fuerza parece estar activa justo antes de que el cuerpo toque el respaldo del asiento del automóvil. Una persona en el automóvil inclinada hacia adelante primero se mueve un poco hacia atrás en relación con el automóvil que ya está acelerando, antes de tocar el respaldo. El movimiento en este corto período parece ser el resultado de una fuerza sobre la persona, es una pseudo fuerza. Una pseudo fuerza no surge de ninguna interacción física entre dos objetos, como el electromagnetismo o las fuerzas de contacto. Es sólo una consecuencia de la aceleración adel objeto físico al que está conectado el marco de referencia no inercial, es decir, el vehículo en este caso. Desde el punto de vista del marco de aceleración respectivo, parece estar presente una aceleración del objeto inerte, aparentemente requiriendo una "fuerza" para que esto haya sucedido.

Como dice Iro:

Tal fuerza adicional debida al movimiento relativo no uniforme de dos marcos de referencia se denomina pseudofuerza.— Harald Iro en Un enfoque moderno de la mecánica clásica p. 180

La pseudo fuerza sobre un objeto surge como una influencia imaginaria cuando el marco de referencia utilizado para describir el movimiento del objeto se acelera en comparación con un marco que no acelera. La pseudo fuerza "explica", utilizando la mecánica de la segunda ley de Newton, por qué un objeto no sigue la segunda ley de Newton y "flota libremente" como si no tuviera peso. Así como un marco puede acelerarse de cualquier manera arbitraria, las pseudo fuerzas también pueden ser arbitrarias (pero solo en respuesta directa a la aceleración del marco). Un ejemplo de una pseudo fuerza tal como la define Iro es la fuerza de Coriolis, quizás mejor llamarla: el efecto de Coriolis; La fuerza gravitatoria también sería una fuerza ficticia (pseudofuerza), basada en un modelo de campo en el que las partículas distorsionan el espacio-tiempo debido a su masa, como en la teoría de la relatividad general.

Asumiendo la segunda ley de Newton en la forma F = m a, las fuerzas ficticias son siempre proporcionales a la masa m.

La fuerza ficticia que se ha denominado fuerza de inercia también se denomina fuerza de d' Alembert o, a veces, también pseudofuerza. El principio de D'Alembert es solo otra forma de formular la segunda ley del movimiento de Newton. Define una fuerza de inercia como el negativo del producto de la masa por la aceleración, solo para facilitar los cálculos.

(Una fuerza de d'Alembert no debe confundirse con una fuerza de contacto que surge de la interacción física entre dos objetos, que es el tema de la tercera ley de Newton: 'acción es reacción'. En términos del ejemplo del vehículo de pasajeros anterior, surge una fuerza de contacto cuando el cuerpo del pasajero toca el respaldo del asiento del automóvil. Está presente mientras se acelera el automóvil.)

Se han definido cuatro fuerzas ficticias para marcos acelerados de formas comunes:

una causada por cualquier aceleración relativa al origen en línea recta (aceleración rectilínea);
dos relacionados con la rotación: la fuerza centrífuga y el efecto de Coriolis
y una cuarta, llamada fuerza de Euler, causada por una velocidad variable de rotación, en caso de que ocurra.

Fondo

Tonnelat describe el papel de las fuerzas ficticias en la mecánica newtoniana:

Para Newton, la aparición de la aceleración siempre indica la existencia de un movimiento absoluto: movimiento absoluto de la materia en lo que respecta a las fuerzas reales; movimiento absoluto del sistema de referencia, en lo que respecta a las llamadas fuerzas ficticias, como las fuerzas de inercia o las de Coriolis.— Marie-Antoinette Tonnelat en Los principios de la teoría electromagnética y la relatividad, p.113

Las fuerzas ficticias surgen en la mecánica clásica y la relatividad especial en todos los marcos no inerciales. Los marcos inerciales tienen privilegio sobre los marcos no inerciales porque no tienen una física cuyas causas estén fuera del sistema, mientras que los marcos no inerciales sí. Las fuerzas ficticias, o físicas cuya causa está fuera del sistema, ya no son necesarias en la relatividad general, ya que estas físicas se explican con las geodésicas del espacio-tiempo: "El campo de todas las posibles geodésicas nulas del espacio-tiempo o caminos de fotones unifica el absoluto local". estándar de no rotación en todo el espacio-tiempo".

En la tierra

La superficie de la Tierra es un marco de referencia giratorio. Para resolver problemas de mecánica clásica exactamente en un marco de referencia terrestre, se deben introducir tres fuerzas ficticias: la fuerza de Coriolis, la fuerza centrífuga (descrita a continuación) y la fuerza de Euler. La fuerza de Euler normalmente se ignora porque las variaciones en la velocidad angular de la superficie giratoria de la Tierra suelen ser insignificantes. Las otras dos fuerzas ficticias son débiles en comparación con la mayoría de las fuerzas típicas de la vida cotidiana, pero pueden detectarse bajo condiciones cuidadosas. Por ejemplo, Léon Foucault usó su péndulo de Foucault para mostrar que la fuerza de Coriolis resulta de la rotación de la Tierra. Si la Tierra rotara veinte veces más rápido (haciendo que cada día dure solo ~ 72 minutos), las personas podrían fácilmente tener la impresión de que fuerzas ficticias están tirando de ellos, como en un carrusel giratorio; las personas en latitudes templadas y tropicales, de hecho, tendrían que aguantar para evitar ser puestas en órbita por la fuerza centrífuga.

Detección de marco de referencia no inercial

Los observadores dentro de una caja cerrada que se mueve con velocidad constante no pueden detectar su propio movimiento; sin embargo, los observadores dentro de un marco de referencia acelerado pueden detectar que están en un marco de referencia no inercial debido a las fuerzas ficticias que surgen. Por ejemplo, para la aceleración en línea recta, Vladimir Arnold presenta el siguiente teorema:

En un sistema de coordenadas K que se mueve por traslación con respecto a un sistema inercial k, el movimiento de un sistema mecánico tiene lugar como si el sistema de coordenadas fuera inercial, pero en cada punto de masa m actúa una "fuerza de inercia" adicional: F = − m a, donde a es la aceleración del sistema K.

Otras aceleraciones también dan lugar a fuerzas ficticias, como se describe matemáticamente a continuación. La explicación física de los movimientos en un marco de inercia es la más simple posible y no requiere fuerzas ficticias: las fuerzas ficticias son cero, lo que proporciona un medio para distinguir los marcos de inercia de otros.

Un ejemplo de la detección de un marco de referencia giratorio no inercial es la precesión de un péndulo de Foucault. En el marco no inercial de la Tierra, la fuerza de Coriolis ficticia es necesaria para explicar las observaciones. En un marco inercial fuera de la Tierra, no es necesaria tal fuerza ficticia.

Ejemplo relativo al movimiento circular

Un efecto similar ocurre en el movimiento circular de un automóvil en una curva en la carretera, circular desde el punto de vista de un marco de referencia inercial unido a la carretera. Cuando se ve desde un marco de referencia no inercial unido a un automóvil, aparece la fuerza ficticia llamada fuerza centrífuga. Si el automóvil se mueve a velocidad constante en una sección circular de la carretera, los ocupantes se sentirán empujados hacia afuera por esta fuerza centrífuga, lejos del centro de la curva. La situación se puede ver tanto desde marcos inerciales como no inerciales.

Desde el punto de vista de un marco de referencia inercial estacionario con respecto a la carretera, el automóvil acelera hacia el centro del círculo. Está acelerando porque la dirección de la velocidad está cambiando, a pesar de que el automóvil tiene una velocidad constante. Esta aceleración hacia adentro se llama aceleración centrípeta, requiere una fuerza centrípeta para mantener el movimiento circular. Esta fuerza la ejerce el suelo sobre las ruedas, en este caso, por el rozamiento entre las ruedas y la calzada. El automóvil está acelerando debido a la fuerza desequilibrada, lo que hace que se mueva en un círculo. (Véase también giro inclinado).
Desde el punto de vista de un marco giratorio, moviéndose con el automóvil, parece estar presente una fuerza centrífuga ficticia que empuja al automóvil hacia el exterior de la carretera (y empuja a los ocupantes hacia el exterior del automóvil). La fuerza centrífuga equilibra la fricción entre las ruedas y la carretera, haciendo que el automóvil se detenga en este marco no inercial.

Un ejemplo clásico de una fuerza ficticia en movimiento circular es el experimento de girar esferas atadas por una cuerda y girando alrededor de su centro de masa. En este caso, la identificación de un marco de referencia giratorio no inercial puede basarse en la desaparición de fuerzas ficticias. En un marco inercial, no son necesarias fuerzas ficticias para explicar la tensión en la cuerda que une las esferas. En un marco giratorio, se deben introducir las fuerzas de Coriolis y centrífugas para predecir la tensión observada.

En el marco de referencia giratorio que se percibe en la superficie de la Tierra, una fuerza centrífuga reduce la fuerza aparente de la gravedad en aproximadamente una parte en mil, dependiendo de la latitud. Esta reducción es cero en los polos, máxima en el ecuador.

La fuerza de Coriolis ficticia, que se observa en marcos de rotación, normalmente es visible solo en movimiento a muy gran escala, como el movimiento de proyectiles de armas de largo alcance o la circulación de la atmósfera terrestre (ver el número de Rossby). Despreciando la resistencia del aire, un objeto lanzado desde una torre de 50 metros de altura en el ecuador caerá 7,7 milímetros hacia el este del punto debajo de donde cae debido a la fuerza de Coriolis.

Fuerzas y trabajo ficticios

Se puede considerar que las fuerzas ficticias realizan trabajo, siempre que muevan un objeto en una trayectoria que cambie su energía de potencial a cinética. Por ejemplo, considere a una persona en una silla giratoria que sostiene un peso en su mano extendida. Si tiran de su mano hacia su cuerpo, desde la perspectiva del marco de referencia giratorio, han realizado un trabajo contra la fuerza centrífuga. Cuando el peso se suelta, espontáneamente vuela hacia afuera en relación con el marco de referencia giratorio, porque la fuerza centrífuga realiza trabajo sobre el objeto, convirtiendo su energía potencial en cinética. Desde un punto de vista inercial, por supuesto, el objeto se aleja volando de ellos porque de repente se le permite moverse en línea recta. Esto ilustra que el trabajo realizado, como la energía potencial y cinética total de un objeto,

La gravedad como fuerza ficticia

La noción de "fuerza ficticia" surge en la teoría general de la relatividad de Einstein. Todas las fuerzas ficticias son proporcionales a la masa del objeto sobre el que actúan, lo que también es cierto para la gravedad. Esto llevó a Albert Einstein a preguntarse si la gravedad también era una fuerza ficticia. Señaló que un observador en caída libre en una caja cerrada no podría detectar la fuerza de la gravedad; por lo tanto, los marcos de referencia de caída libre son equivalentes a un marco de referencia inercial (el principio de equivalencia). Siguiendo esta idea, Einstein pudo formular una teoría con la gravedad como una fuerza ficticia y atribuir la aparente aceleración de la gravedad a la curvatura del espacio-tiempo. Esta idea subyace a la teoría de la relatividad general de Einstein. Ver experimento de Eötvös.

Derivación matemática de fuerzas ficticias

Derivación general

Muchos problemas requieren el uso de marcos de referencia no inerciales, por ejemplo, los que involucran satélites y aceleradores de partículas. La figura 2 muestra una partícula con masa m y vector de posición x _A (t) en un marco inercial A particular. Considere un marco no inercial B cuyo origen relativo al inercial está dado por X _AB (t). Sea la posición de la partícula en el marco B x _B (t). ¿Cuál es la fuerza sobre la partícula expresada en el sistema de coordenadas del marco B?

Para responder a esta pregunta, represente el eje de coordenadas en B mediante vectores unitarios u _j con j cualquiera de { 1, 2, 3 } para los tres ejes de coordenadas. Después ${displaystylemathbf{x}_{mathrm{B}}=sum_{j=1}^{3}x_{j}mathbf{u}_{j},.}$

La interpretación de esta ecuación es que x _B es el vector de desplazamiento de la partícula expresado en términos de las coordenadas en el marco B en el momento t. Desde el marco A la partícula se encuentra en: ${displaystylemathbf{x}_{mathrm{A}}=mathbf{X}_{mathrm{AB}}+sum_{j=1}^{3}x_{j}mathbf{ u } _{j},.}$

Aparte, los vectores unitarios { u _j } no pueden cambiar de magnitud, por lo que las derivadas de estos vectores expresan solo la rotación del sistema de coordenadas B. Por otro lado, el vector X _AB simplemente ubica el origen del marco B en relación con el marco A, y por lo que no puede incluir la rotación del marco B.

Tomando una derivada del tiempo, la velocidad de la partícula es: ${displaystyle {frac {dmathbf {x}_{mathrm {A}}}{dt}}={frac {dmathbf {X}_{mathrm {AB}}}{dt}} +sum_{j=1}^{3}{frac {dx_{j}}{dt}}mathbf {u}_{j}+sum_{j=1}^{3}x_{ j}{frac {dmathbf {u} _{j}}{dt}},.}$

La suma del segundo término es la velocidad de la partícula, digamos v _B medida en el marco B. Es decir: ${frac {d{mathbf {x}}_{{mathrm {A}}}}{dt}}={mathbf {v}}_{{mathrm {AB}}}+{mathbf { v}}_{{mathrm {B}}}+sum_{{j=1}}^{3}x_{j}{frac {d{mathbf {u}}_{j}}{ dt}}.$

La interpretación de esta ecuación es que la velocidad de la partícula vista por los observadores en el marco A consiste en lo que los observadores en el marco B llaman la velocidad, a saber, v _B, más dos términos adicionales relacionados con la tasa de cambio de los ejes de coordenadas del marco B. Uno de estos es simplemente la velocidad del origen en movimiento v _AB. La otra es una contribución a la velocidad debido al hecho de que diferentes ubicaciones en el marco no inercial tienen diferentes velocidades aparentes debido a la rotación del marco; un punto visto desde un marco giratorio tiene una componente rotacional de velocidad que es mayor cuanto más lejos está el punto del origen.

Para encontrar la aceleración, otra diferenciación de tiempo proporciona: ${frac{d^{2}{mathbf {x}}_{{mathrm {A}}}}{dt^{2}}}={mathbf {a}}_{{mathrm {AB }}}+{frac {d{mathbf {v}}_{{mathrm {B}}}}{dt}}+sum_{{j=1}}^{3}{frac { dx_{j}}{dt}}{frac {d{mathbf {u}}_{j}}{dt}}+sum_{{j=1}}^{3}x_{j}{ frac {d^{2}{mathbf {u}}_{j}}{dt^{2}}}.$

Usando la misma fórmula que ya se usó para la derivada del tiempo de x _B, la derivada de la velocidad a la derecha es: ${frac {d{mathbf {v}}_{{mathrm {B}}}}{dt}}=sum_{{j=1}}^{3}{frac {dv_{j} {dt}}{mathbf {u}}_{j}+sum_{{j=1}}^{3}v_{j}{frac {d{mathbf {u}}_{j }}{dt}}={mathbf {a}}_{{mathrm {B}}}+sum_{{j=1}}^{3}v_{j}{frac {d{ matemáticasbf {u}}_{j}}{dt}}.$

Como consecuencia,

{displaystyle {frac {d^{2}mathbf {x}_{mathrm {A}}}{dt^{2}}}=mathbf {a}_{mathrm {AB}}+ mathbf {a} _{mathrm {B} }+2 sum _{j=1}^{3}v_{j}{frac {dmathbf {u} _{j}}{dt}} +sum_{j=1}^{3}x_{j}{frac {d^{2}mathbf {u}_{j}}{dt^{2}}}.}

La interpretación de esta ecuación es la siguiente: la aceleración de la partícula en el marco A consiste en lo que los observadores en el marco B llaman la aceleración de la partícula a _B, pero además, hay tres términos de aceleración relacionados con el movimiento de la coordenada del marco B ejes: un término relacionado con la aceleración del origen del marco B, a saber, a _AB, y dos términos relacionados con la rotación del marco B. En consecuencia, los observadores en B verán que el movimiento de la partícula posee una aceleración "extra", que considerarán atribuir a "fuerzas" que actúan sobre la partícula, pero que los observadores en A dicen que son fuerzas "ficticias" que surgen simplemente porque los observadores en B no reconocen la naturaleza no inercial del marco B.

El factor de dos en la fuerza de Coriolis surge de dos contribuciones iguales: (i) el cambio aparente de una velocidad inercialmente constante con el tiempo porque la rotación hace que la dirección de la velocidad parezca cambiar (un término d v _B /d t) y (ii) un cambio aparente en la velocidad de un objeto cuando cambia su posición, acercándolo o alejándolo del eje de rotación (el cambio ${estilo de texto sum x_{j},dmathbf {u} _{j}/dt}$ debido al cambio en x _j).

Para poner las cosas en términos de fuerzas, las aceleraciones se multiplican por la masa de la partícula: ${mathbf {F}}_{{mathrm {A}}}={mathbf {F}}_{{mathrm {B}}}+m{mathbf {a}}_{{mathrm { AB}}}+2msum_{{j=1}}^{3}v_{j}{frac {d{mathbf {u}}_{j}}{dt}}+msum_ {{j=1}}^{3}x_{j}{frac {d^{2}{mathbf {u}}_{j}}{dt^{2}}}.$

La fuerza observada en el marco B, F _B = m a _B está relacionada con la fuerza real sobre la partícula, F _A, por ${mathbf{F}}_{{mathrm{B}}}={mathbf{F}}_{{mathrm{A}}}+{mathbf{F}}_{{mathrm{ficticio }}},$

dónde: ${displaystyle mathbf {F}_{mathrm {ficticio} }=-mmathbf {a}_{mathrm {AB} }-2msum_{j=1}^{3}v_{j} {frac {dmathbf {u} _{j}}{dt}}-msum _{j=1}^{3}x_{j}{frac {d^{2}mathbf {u } _{j}}{dt^{2}}},.}$

Por lo tanto, podemos resolver problemas en el marco B suponiendo que se cumple la segunda ley de Newton (con respecto a las cantidades en ese marco) y tratando a F _ficticia como una fuerza adicional.

A continuación hay una serie de ejemplos que aplican este resultado para fuerzas ficticias. Se pueden encontrar más ejemplos en el artículo sobre la fuerza centrífuga.

Sistemas de coordenadas giratorias

Una situación común en la que los marcos de referencia no inerciales son útiles es cuando el marco de referencia está girando. Debido a que dicho movimiento de rotación no es inercial, debido a la aceleración presente en cualquier movimiento de rotación, siempre se puede invocar una fuerza ficticia mediante el uso de un marco de referencia de rotación. A pesar de esta complicación, el uso de fuerzas ficticias a menudo simplifica los cálculos involucrados.

Para derivar expresiones para las fuerzas ficticias, se necesitan derivadas para la tasa de cambio de tiempo aparente de los vectores que tienen en cuenta la variación en el tiempo de los ejes de coordenadas. Si la rotación del marco 'B' está representada por un vector Ω apuntado a lo largo del eje de rotación con la orientación dada por la regla de la mano derecha y con la magnitud dada por $|{boldsymbol {Omega }}|={frac {dtheta }{dt}}=omega (t),$

entonces la derivada temporal de cualquiera de los tres vectores unitarios que describen el marco B es ${frac {d{mathbf {u}}_{j}(t)}{dt}}={boldsymbol {Omega }}times {mathbf {u}}_{j}(t),$

y ${frac {d^{2}{mathbf {u}}_{j}(t)}{dt^{2}}}={frac {d{boldsymbol {Omega }}}{dt} }times {mathbf {u}}_{j}+{boldsymbol {Omega }}times {frac {d{mathbf {u}}_{j}(t)}{dt}}= {frac {d{boldsymbol {Omega }}}{dt}}times {mathbf {u}}_{j}+{boldsymbol {Omega }}times left[{boldsymbol { Omega }}times {mathbf {u}}_{j}(t)right],$

como se verifica usando las propiedades del vector producto cruz. Estas fórmulas derivadas ahora se aplican a la relación entre la aceleración en un marco de inercia y la de un marco de coordenadas que gira con una velocidad angular variable en el tiempo ω(t). De la sección anterior, donde el subíndice A se refiere al marco inercial y B al marco giratorio, estableciendo un _AB = 0 para eliminar cualquier aceleración de traslación y centrándose solo en las propiedades rotacionales (ver Ec. 1): ${frac {d^{2}{mathbf {x}}_{{mathrm {A}}}}{dt^{2}}}={mathbf {a}}_{{mathrm {B }}}+2sum_{{j=1}}^{3}v_{j} {frac {d{mathbf {u}}_{j}}{dt}}+sum_ {j=1}}^{3}x_{j}{frac {d^{2}{mathbf {u}}_{j}}{dt^{2}}},$ ${displaystyle {begin{alineado}mathbf{a}_{mathrm{A}}&=mathbf{a}_{mathrm{B}}+2sum_{j=1}^{ 3 }v_{j}{símbolo de bola {Omega}}times mathbf {u}_{j}(t)+sum _{j=1}^{3}x_{j}{frac {d {símbolo de bola {Omega}}}{dt}}times mathbf {u}_{j} +sum _{j=1}^{3}x_{j}{símbolo de bola {Omega }} times left[{símbolo de bola {Omega}}times mathbf{u}_{j}(t)right]\&=mathbf{a}_{mathrm{B}} +2{ símbolo de bola {Omega}}times sum _{j=1}^{3}v_{j}mathbf {u}_{j}(t)+{frac {d{bola símbolo {Omega} }}{dt}}times sum _{j=1}^{3}x_{j}mathbf {u} _{j}+{símbolo de bola {Omega }}times left[{símbolo de bola {Omega}}times sum_{j=1}^{3}x_{j}mathbf {u}_{j}(t)right].end{alineado} }}$

Recolectando términos, el resultado es la llamada fórmula de transformación de aceleración: ${displaystylemathbf{a}_{mathrm{A}}=mathbf{a}_{mathrm{B}}+2{ballsymbol {omega}}timesmathbf{v}_{ mathrm {B}}+{frac {d{símbolo de bola {Omega}}}{dt}}times mathbf {x}_{mathrm{B}}+{símbolo de bola {Omega}} times left({símbolo de bola {Omega}}timesmathbf{x}_{mathrm{B}}right),.}$

La aceleración física a _A debida a lo que los observadores en el marco inercial A llaman fuerzas externas reales sobre el objeto es, por lo tanto, no simplemente la aceleración a _B vista por los observadores en el marco rotacional B, sino que tiene varios términos de aceleración geométrica adicionales asociados con el rotación de B. Como se ve en el marco rotacional, la aceleración a _B de la partícula viene dada por el reordenamiento de la ecuación anterior como: ${mathbf {a}}_{{mathrm {B}}}={mathbf {a}}_{{mathrm {A}}}-2{símbolo de bola {Omega}}times { mathbf {v}}_{{mathrm {B}}}-{símbolo de bola {Omega}}times ({símbolo de bola Omega}times {mathbf {x}}_{{mathrm { B}} })-{frac {d{símbolo de bola Omega}}{dt}}times {mathbf{x}}_{{mathrm{B}}}.$

La fuerza neta sobre el objeto según los observadores en el marco giratorio es F _B = m a _B. Si sus observaciones van a dar como resultado la fuerza correcta sobre el objeto al usar las leyes de Newton, deben considerar que la fuerza adicional F _fict está presente, por lo que el resultado final es F _B = F _A + F _fict. Por lo tanto, la fuerza ficticia utilizada por los observadores en B para obtener el comportamiento correcto del objeto a partir de las leyes de Newton es igual a: ${mathbf{F}}_{{{mathrm{ficción}}}}=-2m{símbolo de bola Omega}times {mathbf{v}}_{{mathrm{B}}}-m { símbolo de bola Omega }times ({símbolo de bola Omega }times {mathbf {x}}_{{mathrm {B}}})-m{frac {d{símbolo de bola Omega }}{dt }}times {mathbf{x}}_{{mathrm{B}}}.$

Aquí, el primer término es la fuerza de Coriolis, el segundo término es la fuerza centrífuga y el tercer término es la fuerza de Euler.

Sistemas de coordenadas orbitales

Como ejemplo relacionado, suponga que el sistema de coordenadas en movimiento B gira con una velocidad angular constante ω en un círculo de radio R alrededor del origen fijo del marco inercial A, pero mantiene sus ejes de coordenadas fijos en la orientación, como en la Figura 3. La aceleración de un cuerpo observado es ahora (ver Ec. 1): ${displaystyle {begin{alineado}{frac {d^{2}mathbf {x}_{A}}{dt^{2}}}&=mathbf {a}_{AB}+mathbf {a} _{B}+2 sum _{j=1}^{3}v_{j} {frac {dmathbf {u} _{j}}{dt}}+sum_ {j=1}^{3}x_{j}{frac {d^{2}mathbf{u}_{j}}{dt^{2}}}\&=mathbf{a} _{AB} +mathbf {a}_{B},end{alineado}}}$

donde las sumatorias son cero ya que los vectores unitarios no tienen dependencia temporal. El origen del sistema B se ubica según el marco A en: ${mathbf {X}}_{{AB}}=Rleft(cos(omega t), sin(omega t)right),$

lo que lleva a una velocidad del origen del marco B como: ${mathbf {v}}_{{AB}}={frac {d}{dt}}{mathbf {X}}_{{AB}}={mathbf {Omega times X}}_ {{AB}},$

lo que lleva a una aceleración del origen de B dada por: ${displaystylemathbf{a}_{AB}={frac{d^{2}}{dt^{2}}}mathbf{X}_{AB}=mathbf{omega\times} left(mathbf{OmegatimesX}_{AB}right)=-omega^{2}mathbf{X}_{AB},.}$

Porque el primer término, que es

{displaystyle mathbf {Omega times } left(mathbf {Omega times X} _{AB}right),,}

tiene la misma forma que la expresión de la fuerza centrífuga normal:

{displaystyle {boldsymbol {Omega }}times left({boldsymbol {Omega }}times mathbf {x}_{B}right),,}

es una extensión natural de la terminología estándar (aunque no existe una terminología estándar para este caso) llamar a este término "fuerza centrífuga". Cualquiera que sea la terminología que se adopte, los observadores en el marco B deben introducir una fuerza ficticia, esta vez debido a la aceleración del movimiento orbital de todo su marco de coordenadas, que se aleja radialmente del centro de rotación del origen de su sistema de coordenadas: ${displaystylemathbf{F}_{mathrm{ficción}}=momega^{2}mathbf{X}_{AB},,}$

y de magnitud: ${displaystyle|mathbf{F}_{mathrm{ficción}}|=momega^{2}R,.}$

Tenga en cuenta que esta "fuerza centrífuga" tiene diferencias con el caso de un marco giratorio. En el marco giratorio, la fuerza centrífuga está relacionada con la distancia del objeto desde el origen del marco B, mientras que en el caso de un marco en órbita, la fuerza centrífuga es independiente de la distancia del objeto desde el origen del marco B, pero en cambio, depende de la distancia del origen del marco B desde su centro de rotación, lo que da como resultado la misma fuerza centrífuga ficticia para todos los objetos observados en el marco B.

Orbitando y rotando

Como ejemplo de combinación, la Figura 4 muestra un sistema de coordenadas B que orbita el marco inercial A como en la Figura 3, pero los ejes de coordenadas en el marco B giran de modo que el vector unitario u ₁ siempre apunta hacia el centro de rotación. Este ejemplo podría aplicarse a un tubo de ensayo en una centrífuga, donde el vector u ₁ apunta a lo largo del eje del tubo hacia su abertura en la parte superior. También se parece al sistema Tierra-Luna, donde la Luna siempre presenta la misma cara a la Tierra. En este ejemplo, el vector unitario u ₃ conserva una orientación fija, mientras que los vectores u ₁, u ₂girar a la misma velocidad que el origen de coordenadas. Eso es, ${mathbf {u}}_{1}=(-cos omega t, -sin omega t);$ ${displaystylemathbf{u}_{2}=(sinomega t,-cosomega t),.}$ ${frac{d}{dt}}{mathbf{u}}_{1}={mathbf{omegatimes u_{1}}}=omega{mathbf{u}}_{2} ;$ ${frac{d}{dt}}{mathbf{u}}_{2}={mathbf{omegatimes u_{2}}}=-mega{mathbf{u}}_{ 1}$

Por lo tanto, la aceleración de un objeto en movimiento se expresa como (ver Ec. 1): ${displaystyle {begin{alineado}{frac {d^{2}mathbf {x}_{A}}{dt^{2}}}&=mathbf {a}_{AB}+mathbf {a} _{B}+2 sum _{j=1}^{3}v_{j} {frac {dmathbf {u} _{j}}{dt}}+ sum _{j=1}^{3}x_{j}{frac{d^{2}mathbf{u}_{j}}{dt^{2}}}\&=mathbf{ Omega\times}left(mathbf{OmegatimesX}_{AB}right)+mathbf{a}_{B}+2\sum_{j=1}^{3}v_ {j }\mathbf {Omegatimes u_{j}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{símbolo de bola {Omega}}times left({ símbolo en negrita {Omega}}timesmathbf{u}_{j}right)\&=mathbf{Omega\times}left(mathbf{OmegatimesX}_{AB} derecha)+mathbf{a}_{B}+2{símbolo en negrita {Omega}}times mathbf{v}_{B}\+{símbolo en negrita {Omega}}times izquierda({símbolo en negrita {Omega}}timesmathbf{x}_{B}derecha)\&=mathbf {Omega\times} left(mathbf {Omegatimes} (mathbf{X}_{AB}+mathbf{x}_{B})right)+mathbf{a } _{B}+2{símbolo de bola {Omega}}times mathbf{v}_{B}\,,end{alineado}}}$

donde el término de aceleración angular es cero para la velocidad de rotación constante. Porque el primer término, que es

{displaystylemathbf{Omega\times}left(mathbf{Omegatimes}(mathbf{X}_{AB}+mathbf{x}_{B})right),, } }

tiene la misma forma que la expresión de la fuerza centrífuga normal:

es una extensión natural de la terminología estándar (aunque no existe una terminología estándar para este caso) llamar a este término "fuerza centrífuga". Aplicando esta terminología al ejemplo de un tubo en una centrífuga, si el tubo está lo suficientemente lejos del centro de rotación, | X _AB | = R ≫ | x _B |, toda la materia en el tubo de ensayo ve la misma aceleración (la misma fuerza centrífuga). Así, en este caso, la fuerza ficticia es principalmente una fuerza centrífuga uniforme a lo largo del eje del tubo, alejándose del centro de rotación, con un valor | F _ficción | = ω R, donde Res la distancia de la materia en el tubo desde el centro de la centrífuga. Es la especificación estándar de una centrífuga usar el radio "efectivo" de la centrífuga para estimar su capacidad para proporcionar fuerza centrífuga. Por lo tanto, la primera estimación de la fuerza centrífuga en una centrífuga se puede basar en la distancia de los tubos desde el centro de rotación y se pueden aplicar correcciones si es necesario.

Además, el tubo de ensayo limita el movimiento a la dirección a lo largo del tubo, por lo que v _B es opuesta a u ₁ y la fuerza de Coriolis es opuesta a u ₂, es decir, contra la pared del tubo. Si se hace girar el tubo durante un tiempo suficientemente largo, la velocidad v _B cae a cero cuando la materia llega a una distribución de equilibrio. Para más detalles, consulte los artículos sobre sedimentación y la ecuación de Lamm.

Un problema relacionado es el de las fuerzas centrífugas para el sistema Tierra-Luna-Sol, donde aparecen tres rotaciones: la rotación diaria de la Tierra alrededor de su eje, la rotación del mes lunar del sistema Tierra-Luna alrededor de su centro de masa, y la revolución anual del sistema Tierra-Luna alrededor del Sol. Estos tres movimientos influyen en las mareas.

Cruzando un carrusel

La figura 5 muestra otro ejemplo que compara las observaciones de un observador inercial con las de un observador en un carrusel giratorio. El carrusel gira a una velocidad angular constante representada por el vector Ω con magnitud ω, apuntando hacia arriba de acuerdo con la regla de la mano derecha. Un pasajero en el carrusel camina radialmente a través de él a una velocidad constante, en lo que para el caminante parece ser la trayectoria en línea recta inclinada a 45° en la Figura 5. Sin embargo, para el observador estacionario, el caminante recorre una trayectoria en espiral. Los puntos identificados en ambos caminos en la Figura 5 corresponden a los mismos tiempos espaciados en intervalos de tiempo iguales. Preguntamos cómo dos observadores, uno en el carrusel y otro en un marco inercial, formulan lo que ven usando las leyes de Newton.

Observador inercial

El observador en reposo describe el camino seguido por el caminante como una espiral. Adoptando el sistema de coordenadas mostrado en la Figura 5, la trayectoria es descrita por r (t): ${mathbf {r}}(t)=R(t){mathbf {u}}_{R}={begin{bmatrix}x(t)\y(t)end{bmatrix}}= {begin{bmatrix}R(t)cos(omega t+pi /4)\R(t)sin(omega t+pi /4)end{bmatrix}},$

donde el π/4 agregado establece el ángulo de trayectoria en 45° para comenzar (solo una elección arbitraria de dirección), u _R es un vector unitario en la dirección radial que apunta desde el centro del carrusel al caminante en el tiempo t. La distancia radial R (t) aumenta constantemente con el tiempo según: $R(t)=st,$

con s la velocidad de caminar. De acuerdo con la cinemática simple, la velocidad es entonces la primera derivada de la trayectoria: ${displaystyle {begin{alineado}mathbf {v}(t)&={frac {dR}{dt}}{begin{bmatrix}cos(omega t+pi /4)\sin (omega t+pi /4)end{bmatrix}}+omega R(t){begin{bmatrix}-sin(omega t+pi /4)\cos(omega t+pi /4)end{bmatriz}}\&={frac {dR}{dt}}mathbf{u}_{R}+omega R(t)mathbf{u}_{theta}, end{alineado}}}$

con u _θ un vector unitario perpendicular a u _R en el tiempo t (como se puede verificar observando que el producto escalar del vector con el vector radial es cero) y apuntando en la dirección del viaje. La aceleración es la primera derivada de la velocidad: ${displaystyle {begin{alineado}mathbf {a}(t)&={frac {d^{2}R}{dt^{2}}}{begin{bmatrix}cos(omega t+ pi /4)\sin(omega t+pi /4)end{bmatrix}}+2{frac {dR}{dt}}omega {begin{bmatrix}-sin(omega t+pi /4)\cos(omega t+pi /4)end{bmatrix}}-omega ^{2}R(t){begin{bmatrix}cos(omega t+pi /4)\sin(omega t+pi /4)end{bmatriz}}\&=2somega {begin{bmatrix}-sin(omega t+pi /4)\ cos(omega t+pi /4)end{bmatrix}}-omega ^{2}R(t){begin{bmatrix}cos(omega t+pi /4)\sin( omega t+pi/4)end{bmatriz}}\&=2s\omega\mathbf{u}_{theta}-omega^{2}R(t)\mathbf{u}_ {R},.end{alineado}}}$

El último término de la aceleración es radialmente hacia adentro de magnitud ω R, que es, por lo tanto, la aceleración centrípeta instantánea del movimiento circular. El primer término es perpendicular a la dirección radial y apunta en la dirección de viaje. Su magnitud es 2 sω, y representa la aceleración del caminante a medida que se acerca al borde del carrusel, y el arco del círculo recorrido en un tiempo fijo aumenta, como puede verse por el aumento del espacio entre puntos para pasos de tiempo iguales en la espiral de la Figura 5 a medida que se acerca al borde exterior del carrusel.

Aplicando las leyes de Newton, multiplicando la aceleración por la masa del andador, el observador inercial concluye que el andador está sujeto a dos fuerzas: la fuerza centrípeta dirigida radialmente hacia adentro y otra fuerza perpendicular a la dirección radial que es proporcional a la velocidad del andador..

Observador giratorio

El observador giratorio ve al caminante viajar en línea recta desde el centro del carrusel hacia la periferia, como se muestra en la Figura 5. Además, el observador giratorio ve que el caminante se mueve a una velocidad constante en la misma dirección, por lo que aplicando la ley de Newton de inercia, no hay fuerza sobre el andador . Estas conclusiones no concuerdan con el observador inercial. Para obtener acuerdo, el observador en rotación tiene que introducir fuerzas ficticias que parecen existir en el mundo en rotación, aunque no haya una razón aparente para ellas, ninguna masa gravitacional aparente, carga eléctrica o lo que sea, que pueda explicar estas fuerzas ficticias..

Para estar de acuerdo con el observador inercial, las fuerzas aplicadas al andador deben ser exactamente las que se encuentran arriba. Se pueden relacionar con las fórmulas generales ya derivadas, a saber: ${mathbf{F}}_{{{mathrm{ficción}}}}=-2m{símbolo de bola Omega}times {mathbf{v}}_{{mathrm{B}}}-m { símbolo de bola Omega }times ({símbolo de bola Omega }times {mathbf {x}}_{{mathrm {B}}})-m{frac {d{símbolo de bola Omega }}{dt }}times {mathbf{x}}_{{mathrm{B}}}.$

En este ejemplo, la velocidad vista en el marco giratorio es: ${mathbf{v}}_{{mathrm{B}}}=s{mathbf{u}}_{R},$

con u _R un vector unitario en la dirección radial. La posición del andador como se ve en el carrusel es: ${mathbf{x}}_{{mathrm{B}}}=R(t){mathbf{u}}_{R},$

y la derivada temporal de Ω es cero para una rotación angular uniforme. notando que ${displaystyle {símbolo de bola {omega}}timesmathbf{u}_{R}=omegamathbf{u}_{theta}}$

y ${displaystyle {símbolo en negrita {Omega}}timesmathbf{u}_{theta}=-omegamathbf{u}_{R},,}$

encontramos: ${displaystylemath{F}_{mathrm{fict}}=-2momega smath{u}_{theta}+momega^{2}R(t)math{u}_ {R}.}$

Para obtener un movimiento en línea recta en el mundo giratorio, se debe aplicar una fuerza de signo exactamente opuesto a la fuerza ficticia para reducir a cero la fuerza neta sobre el andador, por lo que la ley de inercia de Newton predirá un movimiento en línea recta, de acuerdo con lo que ve el observador giratorio. Las fuerzas ficticias que hay que combatir son la fuerza de Coriolis (primer término) y la fuerza centrífuga (segundo término). (Estos términos son aproximados.) Al aplicar fuerzas para contrarrestar estas dos fuerzas ficticias, el observador giratorio termina aplicando exactamente las mismas fuerzas sobre el andador que el observador inercial predijo que eran necesarias.

Debido a que difieren solo por la velocidad constante de la marcha, el caminante y el observador rotacional ven las mismas aceleraciones. Desde la perspectiva del caminante, la fuerza ficticia se experimenta como real, y es necesario combatir esta fuerza para mantenerse en una trayectoria radial en línea recta manteniendo una velocidad constante. Es como luchar contra un viento cruzado mientras te lanzan al borde del carrusel.

Observación

Observe que esta discusión cinemática no profundiza en el mecanismo por el cual se generan las fuerzas requeridas. Ese es el tema de la cinética. En el caso del carrusel, la discusión cinética involucraría quizás un estudio de los zapatos del caminante y la fricción que necesitan generar contra el piso del carrusel, o quizás la dinámica del andar en patineta si el caminante cambiara a viajar en patineta. Cualquiera que sea el medio de desplazamiento a través del carrusel, se deben realizar las fuerzas calculadas anteriormente. Una analogía muy aproximada es calentar su casa: debe tener cierta temperatura para estar cómodo, pero si calienta quemando gas o quemando carbón es otro problema. La cinemática establece el termostato, la cinética enciende el horno.

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