Fuerza centrípeta

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Una fuerza centrípeta (del latín centrum, "centro" y petere, "buscar") es una fuerza que hace que un cuerpo siga una trayectoria curva. Su dirección es siempre ortogonal al movimiento del cuerpo y hacia el punto fijo del centro instantáneo de curvatura de la trayectoria. Isaac Newton lo describió como "una fuerza por la cual los cuerpos son atraídos o impulsados, o de alguna manera tienden, hacia un punto como un centro". En la mecánica newtoniana, la gravedad proporciona la fuerza centrípeta que provoca las órbitas astronómicas.

Un ejemplo común que involucra la fuerza centrípeta es el caso en el que un cuerpo se mueve con velocidad uniforme a lo largo de una trayectoria circular. La fuerza centrípeta se dirige en ángulo recto con el movimiento y también a lo largo del radio hacia el centro de la trayectoria circular. La descripción matemática se derivó en 1659 por el físico holandés Christiaan Huygens.

Fórmula

La magnitud de la fuerza centrípeta sobre un objeto de masa m que se mueve a una velocidad tangencial v a lo largo de una trayectoria con radio de curvatura r es:

{displaystyle F_{c}=ma_{c}={frac{mv^{2}}{r}}}

{displaystyle a_{c}=lim _{Delta tto 0}{frac {|Delta {textbf {v}}|}{Delta t}}}

donde $C.A$ es la aceleración centrípeta y ${displaystyle Delta {textbf {v}}}$ es la diferencia entre los vectores de velocidad. Dado que los vectores de velocidad en el diagrama anterior tienen una magnitud constante y dado que cada uno es perpendicular a su respectivo vector de posición, la simple resta de vectores implica dos triángulos isósceles similares con ángulos congruentes, uno que comprende una base de ${displaystyle Delta {textbf {v}}}$ y un lado de longitud de $v$ , y el otro un base de ${ estilo de visualización Delta { textbf {r}}}$ (diferencia de vector de posición) y una longitud de pierna de $r$ :

{displaystyle {frac {|Delta {textbf {v}}|}{v}}={frac {|Delta {textbf {r}}|}{r}}}

{displaystyle |Delta {textbf {v}}|={frac {v}{r}}|Delta {textbf {r}}|}

Por lo tanto, ${ estilo de visualización | Delta { textbf {v}} |}$ se puede sustituir por ${displaystyle {frac {v}{r}}|Delta {textbf {r}}|}$ :

{displaystyle a_{c}=lim _{Delta tto 0}{frac {|Delta {textbf {v}}|}{Delta t}}={frac {v}{r }}lim _{Delta tto 0}{frac {|Delta {textbf {r}}|}{Delta t}}=omega lim_{Delta tto 0}{ frac {|Delta {textbf {r}}|}{Delta t}}=vomega ={frac {v^{2}}{r}}}

La dirección de la fuerza es hacia el centro del círculo en el que se mueve el objeto, o el círculo osculador (el círculo que mejor se ajusta a la trayectoria local del objeto, si la trayectoria no es circular). La velocidad en la fórmula está al cuadrado, por lo que el doble de la velocidad necesita cuatro veces la fuerza. La relación inversa con el radio de curvatura muestra que la mitad de la distancia radial requiere el doble de fuerza. Esta fuerza también se escribe a veces en términos de la velocidad angular ω del objeto con respecto al centro del círculo, relacionada con la velocidad tangencial por la fórmula

de modo que

Expresado usando el período orbital T para una revolución del círculo,

la ecuación se convierte

{displaystyle F_{c}=mrleft({frac {2pi }{T}}right)^{2}.}

En los aceleradores de partículas, la velocidad puede ser muy alta (cerca de la velocidad de la luz en el vacío), por lo que la misma masa en reposo ahora ejerce una mayor inercia (masa relativista), lo que requiere una mayor fuerza para la misma aceleración centrípeta, por lo que la ecuación se convierte en:

{displaystyle F_{c}={frac {gamma mv^{2}}{r}}}

dónde

{displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

es el factor de Lorentz.

Por tanto, la fuerza centrípeta está dada por:

que es la tasa de cambio del momento relativista ${ estilo de visualización gamma mv}$ .

Fuentes

En el caso de un objeto que se balancea en el extremo de una cuerda en un plano horizontal, la fuerza centrípeta sobre el objeto es suministrada por la tensión de la cuerda. El ejemplo de la cuerda es un ejemplo que involucra una fuerza de 'tracción'. La fuerza centrípeta también se puede suministrar como una fuerza de "empuje", como en el caso en que la reacción normal de una pared proporciona la fuerza centrípeta para una pared de la muerte o un jinete Rotor.

La idea de Newton de una fuerza centrípeta corresponde a lo que hoy en día se denomina fuerza central. Cuando un satélite se encuentra en órbita alrededor de un planeta, se considera que la gravedad es una fuerza centrípeta, aunque en el caso de órbitas excéntricas, la fuerza gravitacional se dirige hacia el foco y no hacia el centro de curvatura instantáneo.

Otro ejemplo de fuerza centrípeta surge en la hélice que se traza cuando una partícula cargada se mueve en un campo magnético uniforme en ausencia de otras fuerzas externas. En este caso, la fuerza magnética es la fuerza centrípeta que actúa hacia el eje de la hélice.

Análisis de varios casos

A continuación se muestran tres ejemplos de complejidad creciente, con derivaciones de las fórmulas que gobiernan la velocidad y la aceleración.

Movimiento circular uniforme

El movimiento circular uniforme se refiere al caso de velocidad de rotación constante. Aquí hay dos enfoques para describir este caso.

Derivación de cálculo

En dos dimensiones, el vector de posición $textbf{r}$ , que tiene magnitud (longitud) $r$ y está dirigido en un ángulo $theta$ por encima del eje x, se puede expresar en coordenadas cartesianas utilizando los vectores unitarios ${displaystyle {sombrero {mathbf {i} }}}$ y ${displaystyle {sombrero {mathbf {j} }}}$ :

{displaystyle {textbf{r}}=rcos(theta){hat{mathbf{i}}}+rsin(theta){hat{mathbf{j}}}.}

La suposición de movimiento circular uniforme requiere tres cosas:

El objeto se mueve sólo en un círculo.
El radio del círculo $r$ no cambia en el tiempo.
El objeto se mueve con velocidad angular constante $omega$ alrededor del círculo. Por lo tanto, ¿ $theta = omega t$ dónde $t$ está el tiempo.

La velocidad $textbf{v}$ y la aceleración $textbf{a}$ del movimiento son las derivadas primera y segunda de la posición con respecto al tiempo:

{displaystyle {textbf{r}}=rcos(omega t){hat{mathbf{i}}}+rsin(omegat){hat{mathbf{j}}}, }

{displaystyle {textbf{v}}={dot {textbf{r}}}=-romegasin(omega t){hat{mathbf{i}}}+romega cos(omega t){sombrero{mathbf{j}}},}

{displaystyle{textbf{a}}={ddot{textbf{r}}}=-omega^{2}(rcos(omegat){hat{mathbf{i}}} + rsin(omega t){hat{mathbf{j}}}).}

El término entre paréntesis es la expresión original de $textbf{r}$ en coordenadas cartesianas. Como consecuencia,

{displaystyle {textbf {a}}=-omega^{2}{textbf {r}}.}

negativo muestra que la aceleración apunta hacia el centro del círculo (opuesto al radio), por lo que se llama "centrípeta" (es decir, "buscando el centro"). Mientras que los objetos naturalmente siguen un camino recto (debido a la inercia), esta aceleración centrípeta describe el camino del movimiento circular causado por una fuerza centrípeta.

Derivación usando vectores

La imagen de la derecha muestra las relaciones vectoriales para el movimiento circular uniforme. La rotación en sí está representada por el vector de velocidad angular Ω, que es normal al plano de la órbita (usando la regla de la mano derecha) y tiene una magnitud dada por: $|mathbf{Omega}| = frac{math{d}theta}{math{d}t} = omega,$

con θ la posición angular en el tiempo t. En esta subsección, d θ /d t se supone constante, independiente del tiempo. La distancia recorrida dℓ de la partícula en el tiempo d t a lo largo de la trayectoria circular es $mathrm{d}símbolo de bola{ell} = mathbf{Omega}times mathbf{r}(t)mathrm{d}t,$

que, por propiedades del vector producto vectorial, tiene magnitud r d θ y está en la dirección tangente a la trayectoria circular.

Como consecuencia, $frac {mathrm{d} mathbf{r}}{mathrm{d}t} = lim_{{Delta}t to 0} frac {mathbf{r}(t + {Delta} t)-mathbf{r}(t)}{{Delta}t} = frac{mathrm{d} boldsymbol{ell}}{mathrm{d}t} .$

En otras palabras, $mathbf{v}\stackrel{mathrm{def}}{=}\frac{mathrm{d}mathbf{r}}{mathrm{d}t} = frac{mathrm{d} mathbf{ballsymbol{ell}}}{mathrm{d}t} = mathbf{omega}timesmathbf{r}(t)$

Diferenciando con respecto al tiempo,

{displaystylemathbf{a}{stackrel{mathrm{def}}{=}}{frac{mathrm{d}mathbf{v}}{dmathrm{t}}}= mathbf{omega}times{frac{mathrm{d}mathbf{r}(t)}{mathrm{d}t}}=mathbf{omega}timesleft[mathbf{ Omega}timesmathbf{r}(t)right].}

La fórmula de Lagrange establece:

{displaystylemathbf{a}timesleft(mathbf{b}timesmathbf{c}right)=mathbf{b}left(mathbf{a}cdotmathbf{c} derecha)-mathbf{c}left(mathbf{a}cdotmathbf{b}derecha).}

Aplicando la fórmula de Lagrange con la observación de que Ω • r (t) = 0 en todo momento,

{displaystylemathbf{a}=-{|mathbf{Omega|}}^{2}mathbf{r}(t).}

En palabras, la aceleración está apuntando directamente opuesta al desplazamiento radial r en todo momento, y tiene una magnitud:

{displaystyle |mathbf{a} |=|mathbf{r}(t)|left({frac{mathrm{d}theta}{mathrm{d}t}}right)^{ 2}=r{omega}^{2}}

donde barras verticales |...| denote la magnitud del vector, que en el caso de r (t) es simplemente el radio r de la trayectoria. Este resultado concuerda con la sección anterior, aunque la notación es ligeramente diferente.

Cuando la velocidad de rotación se hace constante en el análisis del movimiento circular no uniforme, ese análisis concuerda con este.

Un mérito del enfoque vectorial es que es manifiestamente independiente de cualquier sistema de coordenadas.

Ejemplo: El turn banqueado

El panel superior de la imagen de la derecha muestra una pelota en movimiento circular en una curva peraltada. La curva está peraltada en un ángulo θ con respecto a la horizontal y se considera que la superficie de la carretera es resbaladiza. El objetivo es encontrar qué ángulo debe tener el banco para que la pelota no se salga del camino. La intuición nos dice que, en una curva plana sin peralte, la pelota simplemente se deslizará fuera de la carretera; mientras que con un peralte muy pronunciado, la pelota se deslizará hacia el centro a menos que recorra la curva rápidamente.

Aparte de cualquier aceleración que pueda ocurrir en la dirección de la trayectoria, el panel inferior de la imagen de arriba indica las fuerzas sobre la pelota. Hay dos fuerzas; uno es la fuerza de gravedad verticalmente hacia abajo a través del centro de masa de la pelota m g, donde m es la masa de la pelota yg es la aceleración gravitatoria; la segunda es la fuerza normal hacia arriba ejercida por el camino en ángulo recto con la superficie del camino m a _n. La fuerza centrípeta demandada por el movimiento curvo también se muestra arriba. Esta fuerza centrípeta no es una tercera fuerza aplicada a la pelota, sino que debe ser proporcionada por la fuerza neta sobre la pelota resultante de la suma vectorial de la fuerza normal y la fuerza de gravedad. La fuerza resultante o neta sobre la pelota que se encuentra mediante la suma vectorial de la fuerza normal ejercida por el camino y la fuerza vertical debida a la gravedad debe ser igual a la fuerza centrípeta dictada por la necesidad de recorrer una trayectoria circular. El movimiento curvo se mantiene mientras esta fuerza neta proporcione la fuerza centrípeta necesaria para el movimiento.

{displaystyle|mathbf{F}_{mathrm{h}}|=m|mathbf{g} |{frac {sin theta}{costheta}}=m|mathbf{g } } |tan theta,.}

Por otro lado, a velocidad | v | en una trayectoria circular de radio r, la cinemática dice que la fuerza necesaria para hacer girar la pelota continuamente en el giro es la fuerza centrípeta radialmente hacia adentro F _c de magnitud:

{displaystyle|mathbf{F}_{mathrm{c}}|=m|mathbf{a}_{mathrm{c}}|={frac{m|mathbf{v} |^{ 2}}{r}},.}

En consecuencia, la pelota se encuentra en una trayectoria estable cuando el ángulo de la carretera se establece para satisfacer la condición:

{displaystyle m|mathbf{g}|tan theta={frac{m|mathbf{v} |^{2}}{r}},,}

{displaystyle tan theta ={frac {|mathbf{v} |^{2}}{|mathbf{g} |r}},.}

A medida que el ángulo del banco θ se acerca a 90°, la función tangente se acerca al infinito, lo que permite valores mayores para | v | / r. En palabras, esta ecuación establece que para velocidades mayores (mayor | v |) el camino debe tener un peralte más pronunciado (un valor mayor para θ), y para giros más cerrados (menor r) el camino también debe tener un peralte más empinado, lo que otorga con intuición Cuando el ángulo θno satisface la condición anterior, la componente horizontal de la fuerza ejercida por el camino no proporciona la fuerza centrípeta correcta, y se requiere una fuerza de fricción adicional tangencial a la superficie del camino para proporcionar la diferencia. Si la fricción no puede hacer esto (es decir, se excede el coeficiente de fricción), la bola se desliza a un radio diferente donde se puede lograr el equilibrio.

Estas ideas también se aplican a los vuelos aéreos. Consulte el manual del piloto de la FAA.

Movimiento circular no uniforme

Como generalización del caso de movimiento circular uniforme, suponga que la velocidad angular de rotación no es constante. La aceleración ahora tiene un componente tangencial, como se muestra en la imagen de la derecha. Este caso se utiliza para demostrar una estrategia de derivación basada en un sistema de coordenadas polares.

Sea r (t) un vector que describe la posición de una masa puntual en función del tiempo. Dado que suponemos un movimiento circular, sea r (t) = R · u _r, donde R es una constante (el radio del círculo) y u _r es el vector unitario que apunta desde el origen hasta la masa puntual. La dirección de u _r se describe mediante θ, el ángulo entre el eje x y el vector unitario, medido en sentido antihorario desde el eje x. El otro vector unitario para coordenadas polares, u _θ es perpendicular a u _ry apunta en la dirección de θ creciente. Estos vectores unitarios polares se pueden expresar en términos de vectores unitarios cartesianos en las direcciones x e y, denotados ${displaystyle {sombrero {mathbf {i} }}}$ y ${displaystyle {sombrero {mathbf {j} }}}$ respectivamente:

{displaystylemathbf{u}_{r}=costheta{hat{mathbf{i}}}+sintheta{hat{mathbf{j}}}}

{displaystylemathbf{u}_{theta}=-sintheta{mathbf{i}}}+costheta{mathbf{j}}}.}

Se puede diferenciar para encontrar la velocidad:

{displaystyle {begin{alineado}mathbf {v} &=r{frac {dmathbf {u} _{r}}{dt}}\&=r{frac {d}{dt} }left(cos theta{hat{mathbf{i}}}+sintheta{hat{math{j}}}right)\&=r{frac {d theta {dt}}{frac {d}{dtheta }}left(cos theta{hat{mathbf{i} }}+sin theta{hat{mathbf {j}}}right)\&=r{frac {dtheta}{dt}}left(-sin theta{hat {mathbf{i}}}+cos theta {hat{mathbf{j}}}right)\&=r{frac{dtheta}{dt}}mathbf{u}_{theta}\&=omega r matemáticasbf {u}_{theta}end{alineado}}}

donde ω es la velocidad angular dθ / dt.

Este resultado para la velocidad coincide con las expectativas de que la velocidad debe dirigirse tangencialmente al círculo y que la magnitud de la velocidad debe ser rω. Diferenciando de nuevo, y notando que

{displaystyle {frac{dmathbf{u}_{theta}}{dt}}=-{frac{dtheta}{dt}}mathbf{u}_{r}=-omega mathbf{u}_{r},}

encontramos que la aceleración, a es:

{displaystylemathbf{a} =rleft({frac{domega}{dt}}mathbf{u}_{theta}-omega^{2}mathbf{u} _{r }Correcto).}

Así, las componentes radial y tangencial de la aceleración son:

{displaystylemathbf{a}_{r}=-omega^{2}rmathbf{u}_{r}=-{frac{|mathbf{v} |^{2}}{ r }}\mathbf{u}_{r}}

{displaystylemathbf{a}_{theta}=r{frac{domega}{dt}}\mathbf{u}_{theta}={frac{d|mathbf{v } |}{dt}}mathbf{u}_{theta},}

donde | v | = r ω es la magnitud de la velocidad (la rapidez).

Estas ecuaciones expresan matemáticamente que, en el caso de un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria circular con una velocidad variable, la aceleración del cuerpo se puede descomponer en una componente perpendicular que cambia la dirección del movimiento (la aceleración centrípeta), y una paralela., o componente tangencial, que cambia la velocidad.

Movimiento plano general

Coordenadas polares

Los resultados anteriores pueden derivarse quizás de manera más simple en coordenadas polares y, al mismo tiempo, extenderse al movimiento general dentro de un plano, como se muestra a continuación. Las coordenadas polares en el plano emplean un vector unitario radial u _ρ y un vector unitario angular u _θ, como se muestra arriba. Una partícula en la posición r se describe mediante:

{displaystylemathbf{r}=rhomathbf{u}_{rho},}

donde se usa la notación ρ para describir la distancia del camino desde el origen en lugar de R para enfatizar que esta distancia no es fija, sino que varía con el tiempo. El vector unitario u _ρ viaja con la partícula y siempre apunta en la misma dirección que r (t). El vector unitario u _θ también viaja con la partícula y permanece ortogonal a u _ρ. Por lo tanto, u _ρ y u _θ forman un sistema de coordenadas cartesiano local asociado a la partícula y vinculado a la trayectoria recorrida por la partícula.Al mover los vectores unitarios para que sus colas coincidan, como se ve en el círculo a la izquierda de la imagen de arriba, se ve que u _ρ y u _θ forman un par en ángulo recto con puntas en el círculo unitario que trazan hacia adelante y hacia atrás en el perímetro de este círculo con el mismo ángulo θ (t) que r (t).

Cuando la partícula se mueve, su velocidad es ${displaystylemathbf{v}={frac{mathrm{d}rho}{mathrm{d}t}}mathbf{u}_{rho}+rho{frac{mathrm{ d}mathbf{u}_{rho}}{mathrm{d}t}},.}$

Para evaluar la velocidad se necesita la derivada del vector unitario u _ρ.Como u _ρ es un vector unitario, su magnitud es fija y solo puede cambiar de dirección, es decir, su cambio d u _ρ tiene una componente solo perpendicular a u _ρ. Cuando la trayectoria r (t) gira una cantidad d θ, u _ρ, que apunta en la misma dirección que r (t), también gira d θ. Ver imagen arriba. Por lo tanto, el cambio en u _ρ es ${displaystylemathrm{d}mathbf{u}_{rho}=mathbf{u}_{theta}mathrm{d}theta,,}$

o ${displaystyle {frac{mathrm{d}mathbf{u}_{rho}}{mathrm{d}t}}=mathbf{u}_{theta}{frac{mathrm{ d}theta}{mathrm{d}t}},.}$

De manera similar, se encuentra la tasa de cambio de u _θ. Al igual que u _ρ, u _θ es un vector unitario y solo puede rotar sin cambiar de tamaño. Para permanecer ortogonal a u _ρ mientras la trayectoria r (t) gira una cantidad d θ, u _θ, que es ortogonal a r (t), también gira en d θ. Ver imagen arriba. Por lo tanto, el cambio d u _θ es ortogonal a u _θ y proporcional a d θ (ver imagen arriba): ${displaystyle {frac{mathrm{d}mathbf{u}_{theta}}{mathrm{d}t}}=-{frac{mathrm{d}theta}{mathrm{ d}t}}mathbf{u}_{rho},.}$

La imagen de arriba muestra que el signo es negativo: para mantener la ortogonalidad, si d u _ρ es positivo con d θ, entonces d u _θ debe disminuir.

Sustituyendo la derivada de u _ρ en la expresión de la velocidad: ${displaystylemathbf{v}={frac{mathbf{d}rho}{mathrm{d}t}}mathbf{u}_{rho}+rhomathbf{u}_{ theta }{frac {mathrm {d} theta }{mathrm {d} t}}=v_{rho }mathbf {u} _{rho }+v_{theta }mathbf {u } _{theta}=mathbf{v}_{rho}+mathbf{v}_{theta},.}$

Para obtener la aceleración se hace otra diferenciación temporal: ${displaystylemathbf{a} ={frac{mathrm{d}^{2}rho}{mathrm{d}t^{2}}}mathbf{u}_{rho}+{ frac{mathrm{d}rho}{mathrm{d}t}}{frac{mathrm{d}mathbf{u}_{rho}}{mathrm{d}t}}+ {frac{mathrm{d}rho}{mathrm{d}t}}mathbf{u}_{theta}{frac{mathrm{d}theta}{mathrm{d}t }}+rho{frac{mathrm{d}mathbf{u}_{theta}}{mathrm{d}t}}{frac{mathrm{d}theta}{mathrm{ d} t}}+rho mathbf{u}_{theta}{frac{mathrm{d}^{2}theta}{mathrm{d}t^{2}}},. } }$

Sustituyendo las derivadas de u _ρ y u _θ, la aceleración de la partícula es: ${displaystyle {begin{alineado}mathbf {a} &={frac {mathrm{d}^{2}rho}{mathrm{d}t^{2}}}mathbf{u} _{rho}+2{frac{mathrm{d}rho}{mathrm{d}t}}mathbf{u}_{theta}{frac{mathrm{d}theta} {mathrm{d}t}}-rhomathbf{u}_{rho}left({frac{mathrm{d}theta}{mathrm{d}t}}right)^ {2}+rho mathbf {u} _{theta }{frac {mathrm {d} ^{2}theta }{mathrm {d} t^{2}}},\& =mathbf{u}_{rho}left[{frac {mathrm{d}^{2}rho}{mathrm{d}t^{2}}}-rholeft({ frac {mathrm{d}theta}{mathrm{d}t}}right)^{2}right]+mathbf{u}_{theta}left[2{frac{ mathrm{d}rho}{mathrm{d}t}}{frac{mathrm{d}theta}{mathrm{d}t}}+rho{frac{mathrm{d}^ {2}theta}{mathrm{d}t^{2}}}right]\&=mathbf{u}_{rho}left[{frac{mathrm{d}v_{rho}}{mathrm{d}t}}-{frac{v_{theta}^{ 2}}{rho }}right]+mathbf {u} _{theta }left[{frac {2}{rho }}v_{rho }v_{theta }+rho { frac {mathrm{d}}{mathrm{d}t}}{frac{v_{theta}}{rho}}right],.end{alineado}}}$

Como ejemplo particular, si la partícula se mueve en un círculo de radio constante R, entonces d ρ /d t = 0, v = v _θ, y:

{displaystylemathbf{a}=mathbf{u}_{rho}left[-rholeft({frac{mathrm{d}theta}{mathrm{d}t}} derecha)^{2}right]+mathbf{u}_{theta}left[rho{frac{mathrm{d}^{2}theta}{mathrm{d}t^{ 2}}}right]=mathbf{u}_{rho}left[-{frac{v^{2}}{r}}right]+mathbf{u}_{theta} left[{frac{mathrm{d}v}{mathrm{d}t}}right]}

dónde $v = v_{theta}.$

Estos resultados concuerdan con los anteriores para el movimiento circular no uniforme. Véase también el artículo sobre movimiento circular no uniforme. Si esta aceleración se multiplica por la masa de la partícula, el término principal es la fuerza centrípeta y el negativo del segundo término relacionado con la aceleración angular a veces se denomina fuerza de Euler.

Para trayectorias distintas al movimiento circular, por ejemplo, la trayectoria más general prevista en la imagen de arriba, el centro instantáneo de rotación y el radio de curvatura de la trayectoria están relacionados solo indirectamente con el sistema de coordenadas definido por u _ρ y u _θ y con el longitud | r (t)| = ρ. En consecuencia, en el caso general, no es fácil separar los términos centrípeto y de Euler de la ecuación de aceleración general anterior. Para tratar directamente con este problema, son preferibles las coordenadas locales, como se explica a continuación.

Coordenadas locales

Las coordenadas locales significan un conjunto de coordenadas que viajan con la partícula y tienen una orientación determinada por la trayectoria de la partícula. Los vectores unitarios se forman como se muestra en la imagen de la derecha, tanto tangenciales como normales a la trayectoria. Este sistema de coordenadas a veces se denomina coordenadas intrínsecas o de ruta o coordenadas nt, para tangencial normal, que se refiere a estos vectores unitarios. Estas coordenadas son un ejemplo muy especial de un concepto más general de coordenadas locales de la teoría de formas diferenciales.

La distancia a lo largo de la trayectoria de la partícula es la longitud del arco s, considerada como una función conocida del tiempo. $s = s(t) .$

Se define un centro de curvatura en cada posición s ubicada a una distancia ρ (el radio de curvatura) de la curva en una línea a lo largo de la normal u _n (s). La distancia requerida ρ (s) en la longitud del arco s se define en términos de la velocidad de rotación de la tangente a la curva, que a su vez está determinada por la trayectoria misma. Si la orientación de la tangente relativa a alguna posición inicial es θ (s), entonces ρ (s) se define por la derivada d θ /d s: $frac{1} {rho (s)} = kappa (s) = frac {mathrm{d}theta}{mathrm{d}s}.$

El radio de curvatura generalmente se toma como positivo (es decir, como un valor absoluto), mientras que la curvatura κ es una cantidad con signo.

Un enfoque geométrico para encontrar el centro de curvatura y el radio de curvatura utiliza un proceso de limitación que conduce al círculo osculador. Ver imagen arriba.

Usando estas coordenadas, el movimiento a lo largo de la trayectoria se ve como una sucesión de trayectorias circulares de centro siempre cambiante, y en cada posición s constituye un movimiento circular no uniforme en esa posición con radio ρ. Entonces, el valor local de la velocidad angular de rotación viene dado por: $omega(s) = frac{mathrm{d}theta}{mathrm{d}t} = frac{mathrm{d}theta}{mathrm{d}s} frac{mathrm {d}s}{mathrm{d}t} = frac{1}{rho(s)}\frac {mathrm{d}s}{mathrm{d}t} = frac{v (s)}{rho(s)},$

con la velocidad local v dada por: $v(s) = frac {mathrm{d}s}{mathrm{d}t}.$

En cuanto a los otros ejemplos anteriores, debido a que los vectores unitarios no pueden cambiar de magnitud, su tasa de cambio siempre es perpendicular a su dirección (vea el inserto de la izquierda en la imagen de arriba): $frac{dmathbf{u}_mathrm{n}(s)}{ds} = mathbf{u}_mathrm{t}(s)frac{dtheta}{ds} = mathbf {u}_mathrm{t}(s)frac{1}{rho};$ $frac{dmathbf{u}_mathrm{t}(s)}{mathrm{d}s} = -mathbf{u}_mathrm{n}(s)frac{mathrm{d }theta}{mathrm{d}s} = - mathbf{u}_mathrm{n}(s)frac{1}{rho}$

En consecuencia, la velocidad y la aceleración son: $mathbf{v}(t) = v mathbf{u}_mathrm{t}(s);$

y usando la regla de la cadena de diferenciación: $mathbf{a}(t) = frac{mathrm{d}v}{mathrm{d}t} mathbf{u}_mathrm{t}(s) - frac{v^2}{ rho}mathbf{u}_mathrm{n}(s) ;$ con la aceleración tangencial $frac{mathrm{mathrm{d}}v}{mathrm{mathrm{d}}t} = frac{mathrm{d}v}{mathrm{d}s} frac{ mathrm{d}s}{mathrm{d}t} = frac{mathrm{d}v}{mathrm{d}s} v .$

En este sistema de coordenadas local, la aceleración se parece a la expresión del movimiento circular no uniforme con el radio local ρ (s), y la aceleración centrípeta se identifica como el segundo término.

La extensión de este enfoque a las curvas espaciales tridimensionales conduce a las fórmulas de Frenet-Serret.

Enfoque alternativo

Mirando la imagen de arriba, uno podría preguntarse si se ha tenido en cuenta adecuadamente la diferencia de curvatura entre ρ (s) y ρ (s + d s) al calcular la longitud del arco como d s = ρ (s)d θ. Se puede encontrar tranquilidad en este punto utilizando un enfoque más formal que se describe a continuación. Este enfoque también hace conexión con el artículo sobre la curvatura.

Para introducir los vectores unitarios del sistema de coordenadas local, un enfoque es comenzar en coordenadas cartesianas y describir las coordenadas locales en términos de estas coordenadas cartesianas. En términos de longitud de arco s, describa el camino como:

{displaystyle mathbf {r} (s)=left[x(s), y(s)right].}

Entonces, un desplazamiento incremental a lo largo de la trayectoria d s se describe mediante:

{displaystylemathrm{d}mathbf{r}(s)=left[mathrm{d}x(s),\mathrm{d}y(s)right]=left[x'(s),y'(s)right]mathrm{d}s,}

donde se introducen números primos para denotar derivadas con respecto a s. La magnitud de este desplazamiento es d s, mostrando que: $left[ x'(s)^2 + y'(s)^2 right] = 1 .$ (Ec. 1)

Este desplazamiento es necesariamente una tangente a la curva en s, mostrando que el vector unitario tangente a la curva es:

{displaystyle mathbf {u} _{mathrm {t} }(s)=left[x'(s), y'(s)right],}

mientras que el vector unitario exterior normal a la curva es

{displaystyle mathbf {u} _{mathrm {n} }(s)=left[y'(s), -x'(s)right],}

La ortogonalidad se puede verificar mostrando que el producto escalar del vector es cero. La magnitud unitaria de estos vectores es una consecuencia de la ecuación. 1. Utilizando el vector tangente, el ángulo θ de la tangente a la curva está dado por:

{displaystyle sin theta ={frac {y'(s)}{sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=y'(s);}

y $cos theta = frac{x'(s)}{sqrt{x'(s)^2 + y'(s)^2}} = x'(s) .$

El radio de curvatura se introduce de forma completamente formal (sin necesidad de interpretación geométrica) como:

{displaystyle {frac {1}{rho }}={frac {mathrm {d} theta }{mathrm {d} s}}.}

La derivada de θ se puede encontrar a partir de la de sen θ:

{displaystyle {frac{mathrm{d}sintheta}{mathrm{d}s}}=costheta{frac{mathrm{d}theta}{mathrm{d}s }}={frac{1}{rho}}cos theta={frac{1}{rho}}x'(s).}

Ahora:

{displaystyle {frac {mathrm {d} sin theta }{mathrm {d} s}}={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} s}}{frac { y'(s)}{sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}={frac {y''(s)x'(s)^{ 2}-y'(s)x'(s)x''(s)}{left(x'(s)^{2}+y'(s)^{2}right)^{3/ 2}}},}

donde el denominador es la unidad. Con esta fórmula para la derivada del seno, el radio de curvatura se convierte en:

{displaystyle {frac {mathrm {d} theta }{mathrm {d} s}}={frac {1}{rho }}=y''(s)x'(s)-y '(s)x''(s)={frac {y''(s)}{x'(s)}}=-{frac {x''(s)}{y'(s)} },}

donde la equivalencia de las formas se deriva de la diferenciación de Eq. 1:

{displaystyle x'(s)x''(s)+y'(s)y''(s)=0.}

Con estos resultados, la aceleración se puede encontrar:

{displaystyle {begin{alineado}mathbf{a}(s)&={frac {mathrm{d}}{mathrm{d}t}}mathbf{v}(s)={frac {math {d}}{math {d} t}}left[{frac {math {d} s}{math {d} t}}left(x'(s),y '(s)right)right]\&=left({frac{mathrm{d}^{2}s}{mathrm{d}t^{2}}}right)mathbf {u}_{mathrm{t}}(s)+left({frac {mathrm{d}s}{mathrm{d}t}}right)^{2}left(x' '(s),y''(s)right)\&=left({frac{mathrm{d}^{2}s}{mathrm{d}t^{2}}} right)mathbf{u}_{mathrm{t}}(s)-left({frac{mathrm{d}s}{mathrm{d}t}}right)^{2} {frac{1}{rho}}mathbf{u}_{mathrm{n}}(s)end{alineado}}}

como se puede verificar tomando el producto escalar con los vectores unitarios u _t (s) y u _n (s). Este resultado para la aceleración es el mismo que para el movimiento circular basado en el radio ρ. Usando este sistema de coordenadas en el marco inercial, es fácil identificar la fuerza normal a la trayectoria como la fuerza centrípeta y la paralela a la trayectoria como la fuerza tangencial. Desde un punto de vista cualitativo, la trayectoria se puede aproximar mediante un arco de círculo durante un tiempo limitado, y durante el tiempo limitado que se aplica un radio de curvatura particular, las fuerzas centrífugas y de Euler se pueden analizar sobre la base del movimiento circular con ese radio..

Este resultado para la aceleración concuerda con el encontrado anteriormente. Sin embargo, en este enfoque, la cuestión del cambio en el radio de curvatura con s se maneja de manera completamente formal, consistente con una interpretación geométrica, pero sin depender de ella, evitando así cualquier pregunta que la imagen de arriba pueda sugerir acerca de despreciar la variación en ρ.

Ejemplo: movimiento circular

Para ilustrar las fórmulas anteriores, deje que x, y se dé como: $x = alpha cos frac{s}{alpha} ; y = alpha sinfrac{s}{alpha} .$

Después: $x^2 + y^2 = alpha^2 ,$

que se puede reconocer como una trayectoria circular alrededor del origen con radio α. La posición s = 0 corresponde a [ α, 0], o las 3 en punto. Para usar el formalismo anterior, se necesitan las derivadas: $y^{prime}(s) = cos frac{s}{alpha} ; x^{prime}(s) = -sin frac{s}{alpha} ,$ $y^{primeprime}(s) = -frac{1}{alpha}sinfrac{s}{alpha} ; x^{primeprime}(s) = -frac{1}{alpha}cos frac{s}{alpha} .$

Con estos resultados se puede verificar que: $x^{prime}(s)^2 + y^{prime}(s)^2 = 1 ; frac{1}{rho} = y^{primeprime}(s)x^{prime}(s)-y^{prime}(s)x^{primeprime}(s) = frac{1}{alpha} .$

Los vectores unitarios también se pueden encontrar: $mathbf{u}_mathrm{t}(s) = left[-sinfrac{s}{alpha}, \cosfrac{s}{alpha}right] ; \mathbf{u}_mathrm{n}(s) = left[cosfrac{s}{alpha}, \sinfrac{s}{alpha}right],$

que sirven para mostrar que s = 0 está ubicado en la posición [ ρ, 0] y s = ρ π/2 en [0, ρ ], lo que concuerda con las expresiones originales para x e y. En otras palabras, s se mide en sentido antihorario alrededor del círculo desde las 3 en punto. Además, las derivadas de estos vectores se pueden encontrar: $frac{mathrm{d}}{mathrm{d}s}mathbf{u}_mathrm{t}(s) = -frac{1}{alpha}left[cosfrac{ s}{alpha} , sinfrac{s}{alpha} right] = -frac{1}{alpha}mathbf{u}_mathrm{n}(s) ;$ $\frac{mathrm{d}}{mathrm{d}s}mathbf{u}_mathrm{n}(s) = frac{1}{alpha}left[-sinfrac {s}{alpha} , cosfrac{s}{alpha} right] = frac{1}{alpha}mathbf{u}_mathrm{t}(s)$

Para obtener la velocidad y la aceleración, es necesaria una dependencia del tiempo para s. Para movimiento en sentido antihorario a velocidad variable v (t): $s(t) = int_0^t dt^{prime} v(t^{prime}) ,$

donde v (t) es la velocidad y t es el tiempo, y s (t = 0) = 0. Entonces: $mathbf{v} = v(t)mathbf{u}_mathrm{t}(s),$ $mathbf{a} = frac{mathrm{d}v}{mathrm{d}t}mathbf{u}_mathrm{t}(s) + vfrac{mathrm{d}}{ mathrm{d}t}mathbf{u}_mathrm{t}(s) = frac{mathrm{d}v}{mathrm{d}t}mathbf{u}_mathrm{t }(s)-vfrac{1}{alpha}mathbf{u}_mathrm{n}(s)frac{mathrm{d}s}{mathrm{d}t}$ $mathbf{a} = frac{mathrm{d}v}{mathrm{d}t}mathbf{u}_mathrm{t}(s)-frac{v^2}{alpha} mathbf{u}_mathrm{n}(s) ,$

donde ya se establece que α = ρ. Esta aceleración es el resultado estándar para el movimiento circular no uniforme.

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