Frente de Pareto

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Conjunto de todas las situaciones eficientes de Pareto

En la optimización multiobjetivo, el frente de Pareto (también llamado frontera de Pareto o curva de Pareto) es el conjunto de todas las soluciones eficientes de Pareto. . El concepto es ampliamente utilizado en ingeniería. Permite al diseñador restringir la atención al conjunto de elecciones eficientes y hacer concesiones dentro de este conjunto, en lugar de considerar la gama completa de cada parámetro.

Definición

La frontera de Pareto, P()Y), puede ser más formalmente descrito como sigue. Considerar un sistema con función ${displaystyle f:Xrightarrow mathbb {R} ^{m}}$ , donde X es un conjunto compacto de decisiones factibles en el espacio métrico ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ , y Y es el conjunto factible de vectores de criterio en ${displaystyle mathbb {R} ^{m}}$ , tal que ${displaystyle Y={yin mathbb {R} ^{m}:;y=f(x),xin X;}}$ .

Suponemos que se conocen las direcciones preferidas de los valores de criterios. Un punto ${displaystyle y^{prime prime }in mathbb {R} ^{m}}$ es preferido (principalmente domina) otro punto ${displaystyle y^{prime }in mathbb {R} ^{m}}$ , escrito como ${displaystyle y^{prime prime }succ y^{prime }}$ . La frontera de Pareto está escrita como:

{displaystyle P(Y)={y^{prime }in Y:;{y^{prime prime }in Y:;y^{prime prime }succ y^{prime },y^{prime }neq y^{prime prime };}=emptyset }.}

Relación marginal de sustitución

Un aspecto importante de la frontera de Pareto en economía es que, a una asignación eficiente de Pareto, la tasa marginal de sustitución es la misma para todos los consumidores. Una declaración formal puede derivarse considerando un sistema con m consumidores y n bienes y una función de utilidad de cada consumidor como ${displaystyle z_{i}=f^{i}(x^{i})}$ Donde ${displaystyle x^{i}=(x_{1}^{i},x_{2}^{i},ldotsx_{n}^{i})}$ es el vector de los bienes, tanto para todos i. La limitación de viabilidad es ${displaystyle sum _{i=1}^{m}x_{j}^{i}=b_{j}}$ para ${displaystyle j=1,ldotsn}$ . Para encontrar la asignación óptima de Pareto, maximizamos al Lagrangian:

{displaystyle L_{i}((x_{j}^{k})_{k,j},(lambda _{k})_{k},(mu _{j})_{j})=f^{i}(x^{i})+sum _{k=2}^{m}lambda _{k}(z_{k}-f^{k}(x^{k}))+sum _{j=1}^{n}mu _{j}left(b_{j}-sum _{k=1}^{m}x_{j}^{k}right)}

Donde ${displaystyle (lambda _{k})_{k}}$ y ${displaystyle (mu _{j})_{j}}$ son los vectores de los multiplicadores. Tomando el derivado parcial del lagrangiano con respecto a cada bien ${displaystyle x_{j}^{k}}$ para ${displaystyle j=1,ldotsn}$ y ${displaystyle k=1,ldotsm}$ da el siguiente sistema de condiciones de primer orden:

{displaystyle {frac {partial L_{i}}{partial x_{j}^{i}}}=f_{x_{j}^{i}}^{1}-mu _{j}=0{text{ for }}j=1,ldotsn,}

{displaystyle {frac {partial L_{i}}{partial x_{j}^{k}}}=-lambda _{k}f_{x_{j}^{k}}^{i}-mu _{j}=0{text{ for }}k=2,ldotsm{text{ and }}j=1,ldotsn,}

Donde ${displaystyle f_{x_{j}^{i}}}$ denota el derivado parcial de ${displaystyle f}$ con respecto a ${displaystyle x_{j}^{i}}$ . Ahora, arregla cualquiera ${displaystyle kneq i}$ y ${displaystyle j,sin {1,ldotsn}}$ . La condición anterior de primer orden implica que

{displaystyle {frac {f_{x_{j}^{i}}^{i}}{f_{x_{s}^{i}}^{i}}}={frac {mu _{j}}{mu _{s}}}={frac {f_{x_{j}^{k}}^{k}}{f_{x_{s}^{k}}^{k}}}.}

Por lo tanto, en una asignación óptima de Pareto, la tasa marginal de sustitución debe ser la misma para todos los consumidores.

Cálculo

Los algoritmos para calcular la frontera de Pareto de un conjunto finito de alternativas se han estudiado en informática e ingeniería energética. Incluyen:

"La máxima de un conjunto de puntos"
"El problema máximo del vector" o la consulta de skyline
"El algoritmo de escalarización" o el método de las sumas ponderadas
"El ${displaystyle epsilon }$ -Método de restricciones"
Multiobjetivo Algoritmos evolutivos

Aproximaciones

Dado que generar todo el frente de Pareto suele ser difícil desde el punto de vista computacional, existen algoritmos para calcular un frente de Pareto aproximado. Por ejemplo, Legriel et al. Llame a un conjunto S una ε-aproximación del frente de Pareto P, si la distancia de Hausdorff dirigida entre S y P es como máximo ε. Observan que se puede encontrar una aproximación ε de cualquier frente de Pareto P en dimensiones d usando (1/ε)^d consultas.

Zitzler, Knowles y Thiele comparan varios algoritmos para aproximaciones de conjuntos de Pareto según diversos criterios, como la invariancia de escala, la monotonicidad y la complejidad computacional.

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