Fractales

El conjunto Mandelbrot: su límite es una curva fractal con la dimensión Hausdorff 2

Zoom en el límite del conjunto Mandelbrot

En matemáticas, un fractal es una forma geométrica que contiene una estructura detallada en escalas arbitrariamente pequeñas, generalmente con una dimensión fractal que excede estrictamente la dimensión topológica. Muchos fractales parecen similares a varias escalas, como se ilustra en ampliaciones sucesivas del conjunto de Mandelbrot. Esta exhibición de patrones similares a escalas cada vez más pequeñas se denomina autosimilitud, también conocida como simetría en expansión o simetría en desarrollo; si esta replicación es exactamente la misma en todas las escalas, como en la esponja de Menger, la forma se denomina autosimilar afín. La geometría fractal se encuentra dentro de la rama matemática de la teoría de la medida.

Una forma en que los fractales son diferentes de las figuras geométricas finitas es cómo se escalan. Al duplicar las longitudes de los bordes de un polígono relleno, se multiplica su área por cuatro, que es dos (la relación entre la longitud del lado nuevo y el antiguo) elevado a la potencia de dos (la dimensión convencional del polígono relleno). Del mismo modo, si se duplica el radio de una esfera llena, su volumen aumenta en ocho, que es dos (la relación entre el radio nuevo y el antiguo) elevado a tres (la dimensión convencional de la esfera llena). Sin embargo, si todas las longitudes unidimensionales de un fractal se duplican, el contenido espacial del fractal escala en una potencia que no es necesariamente un número entero y, en general, es mayor que su dimensión convencional. Esta potencia se denomina dimensión fractal del objeto geométrico, para distinguirla de la dimensión convencional (que formalmente se denomina dimensión topológica).

Analíticamente, muchos fractales no son diferenciables en ninguna parte. Se puede concebir una curva fractal infinita como si serpenteara a través del espacio de manera diferente a una línea ordinaria; aunque sigue siendo topológicamente unidimensional, su dimensión fractal indica que localmente llena el espacio de manera más eficiente que una línea ordinaria.

alfombra Sierpinski (a nivel 6), un fractal con una dimensión topológica de 1 y una dimensión Hausdorff de 1.893

Un segmento de línea es similar a una parte adecuada de sí mismo, pero apenas un fractal.

A partir del siglo XVII con nociones de recursividad, los fractales han pasado por un tratamiento matemático cada vez más riguroso al estudio de funciones continuas pero no diferenciables en el siglo XIX gracias al trabajo seminal de Bernard Bolzano, Bernhard Riemann y Karl Weierstrass, y a la acuñación de la palabra fractal en el siglo XX con un posterior florecimiento del interés en los fractales y el modelado basado en computadora en el siglo XX.

Existe cierto desacuerdo entre los matemáticos acerca de cómo debe definirse formalmente el concepto de fractal. El mismo Mandelbrot lo resumió como "hermoso, malditamente duro, cada vez más útil. Eso es fractales." Más formalmente, en 1982 Mandelbrot definió fractal de la siguiente manera: "Un fractal es, por definición, un conjunto para el cual la dimensión de Hausdorff-Besicovitch excede estrictamente la dimensión topológica." Más tarde, viendo esto como demasiado restrictivo, simplificó y amplió la definición a esto: 'Un fractal es una forma geométrica tosca o fragmentada que se puede dividir en partes, cada una de las cuales es (al menos aproximadamente) un tamaño reducido. copia del todo." Aún más tarde, Mandelbrot propuso "usar fractal sin una definición pedante, usar dimensión fractal como un término genérico aplicable a todas las variantes".

El consenso entre los matemáticos es que los fractales teóricos son construcciones matemáticas iteradas y detalladas infinitamente similares a sí mismas, de las cuales se han formulado y estudiado muchos ejemplos. Los fractales no se limitan a patrones geométricos, sino que también pueden describir procesos en el tiempo. Los patrones fractales con diversos grados de autosimilitud se han representado o estudiado en medios visuales, físicos y auditivos y se encuentran en la naturaleza, la tecnología, el arte, la arquitectura y la ley. Los fractales son de particular relevancia en el campo de la teoría del caos porque aparecen en las representaciones geométricas de la mayoría de los procesos caóticos (típicamente como atractores o como límites entre cuencas de atracción).

Etimología

El término "fractal" fue acuñado por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. Mandelbrot lo basó en el latín frāctus, que significa " roto" o "fracturado", y lo usó para extender el concepto de dimensiones fraccionarias teóricas a patrones geométricos en la naturaleza.

Introducción

Un simple árbol fractal

Un “árbol” fractal a once iteraciones

La palabra "fractal" a menudo tiene connotaciones diferentes para el público lego en comparación con los matemáticos, donde es más probable que el público esté más familiarizado con el arte fractal que con el concepto matemático. El concepto matemático es difícil de definir formalmente, incluso para los matemáticos, pero las características clave se pueden entender con un poco de base matemática.

La característica de "autosimilitud", por ejemplo, se entiende fácilmente por analogía con el acercamiento con una lente u otro dispositivo que acerca las imágenes digitales para descubrir una nueva estructura más fina, que antes era invisible. Sin embargo, si esto se hace en fractales, no aparece ningún detalle nuevo; nada cambia y el mismo patrón se repite una y otra vez, o para algunos fractales, casi el mismo patrón reaparece una y otra vez. La autosimilitud en sí misma no es necesariamente contraria a la intuición (p. ej., la gente ha reflexionado informalmente sobre la autosimilitud, como en la regresión infinita en espejos paralelos o el homúnculo, el hombrecito dentro de la cabeza del hombrecito dentro de la cabeza...). La diferencia con los fractales es que el patrón reproducido debe ser detallado.

Esta idea de ser detallado se relaciona con otra característica que se puede entender sin muchos antecedentes matemáticos: tener una dimensión fractal mayor que su dimensión topológica, por ejemplo, se refiere a cómo se escala un fractal en comparación con cómo se perciben normalmente las formas geométricas. Una línea recta, por ejemplo, se entiende convencionalmente como unidimensional; si esa figura se vuelve a teselar en pedazos cada 1/3 de la longitud del original, entonces siempre hay tres pedazos iguales. Se entiende que un cuadrado sólido es bidimensional; si dicha figura se vuelve a dividir en mosaicos, cada uno reducido por un factor de 1/3 en ambas dimensiones, hay un total de 3² = 9 piezas.

Vemos que para los objetos ordinarios autosimilares, ser n-dimensionales significa que cuando se repiten en mosaicos, cada uno reducido por un factor de escala de 1/r, hay un total de rⁿ piezas. Ahora, considere la curva de Koch. Se puede repetir en mosaico en cuatro subcopias, cada una reducida por un factor de escala de 1/3. Entonces, estrictamente por analogía, podemos considerar la "dimensión" de la curva de Koch como el único número real D que satisface 3^D = 4. Este número es lo que los matemáticos llaman el fractal dimensión de la curva de Koch; ciertamente no lo que convencionalmente se percibe como la dimensión de una curva (¡este número ni siquiera es un número entero!). En general, una propiedad clave de los fractales es que la dimensión fractal difiere de la dimensión entendida convencionalmente (formalmente llamada dimensión topológica).

computador 3D generado fractal

Esto también lleva a comprender una tercera característica, que los fractales como ecuaciones matemáticas son "no diferenciables en ninguna parte". En un sentido concreto, esto significa que los fractales no se pueden medir de forma tradicional. Para elaborar, al tratar de encontrar la longitud de una curva ondulada no fractal, uno podría encontrar segmentos rectos de alguna herramienta de medición lo suficientemente pequeña como para colocarlos de extremo a extremo sobre las ondas, donde las piezas podrían volverse lo suficientemente pequeñas como para considerarlas conforme a la curva en la forma normal de medir con una cinta métrica. Pero al medir un movimiento infinitamente "ondulante" curva fractal como el copo de nieve de Koch, uno nunca encontraría un segmento recto lo suficientemente pequeño para ajustarse a la curva, porque el patrón dentado siempre volvería a aparecer, en escalas arbitrariamente pequeñas, esencialmente tirando un poco más de la cinta métrica en el total longitud medida cada vez que se intentaba ajustarla más y más a la curva. El resultado es que se necesita cinta infinita para cubrir perfectamente toda la curva, es decir, el copo de nieve tiene un perímetro infinito.

Historia

Un copo de nieve Koch es un fractal que comienza con un triángulo equilátero y luego reemplaza el tercio medio de cada segmento de línea con un par de segmentos de línea que forman un golpe equilátero

Conjunto de cantor (ternario).

La historia de los fractales traza un camino desde los estudios principalmente teóricos hasta las aplicaciones modernas en gráficos por computadora, con varias personas notables contribuyendo con formas fractales canónicas a lo largo del camino. Un tema común en la arquitectura africana tradicional es el uso de escalas fractales, por lo que las partes pequeñas de la estructura tienden a parecerse a las partes más grandes, como una aldea circular hecha de casas circulares. Según Pickover, las matemáticas detrás de los fractales comenzaron a tomar forma en el siglo XVII cuando el matemático y filósofo Gottfried Leibniz reflexionó sobre la autosimilitud recursiva (aunque cometió el error de pensar que solo la línea recta era autosimilar en este sentido).

En sus escritos, Leibniz usó el término "exponentes fraccionarios", pero lamentó que "Geometría" aún no sabía de ellos. De hecho, según varios relatos históricos, después de ese punto, pocos matemáticos abordaron los problemas y el trabajo de quienes lo hicieron permaneció oculto en gran parte debido a la resistencia a conceptos emergentes tan desconocidos, a los que a veces se hacía referencia como "monstruos" matemáticos;. Por lo tanto, no fue sino hasta que pasaron dos siglos que el 18 de julio de 1872 Karl Weierstrass presentó la primera definición de una función con un gráfico que hoy se consideraría un fractal, que tiene la propiedad no intuitiva de ser continuo en todas partes pero diferenciable en ninguna parte en la Real Academia de Ciencias de Prusia.

Además, la diferencia del cociente se vuelve arbitrariamente grande a medida que aumenta el índice de suma. No mucho después, en 1883, Georg Cantor, que asistió a conferencias de Weierstrass, publicó ejemplos de subconjuntos de la línea real conocidos como conjuntos de Cantor, que tenían propiedades inusuales y ahora se reconocen como fractales. También en la última parte de ese siglo, Felix Klein y Henri Poincaré introdujeron una categoría de fractal que se ha dado en llamar "auto-inversa" fractales.

Un set de Julia, un fractal relacionado con el conjunto Mandelbrot

Un mosquete Sierpinski puede ser generado por un árbol fractal.

Uno de los siguientes hitos se produjo en 1904, cuando Helge von Koch, ampliando las ideas de Poincaré e insatisfecho con la definición abstracta y analítica de Weierstrass, dio una definición más geométrica que incluía imágenes dibujadas a mano de una función similar, que ahora se llama el copo de nieve de Koch. Otro hito llegó una década después, en 1915, cuando Wacław Sierpiński construyó su famoso triángulo y, un año después, su alfombra. En 1918, dos matemáticos franceses, Pierre Fatou y Gaston Julia, aunque trabajaron de forma independiente, llegaron esencialmente de forma simultánea a resultados que describían lo que ahora se considera un comportamiento fractal asociado con el mapeo de números complejos y funciones iterativas y que condujo a nuevas ideas sobre atractores y repelentes (es decir, puntos que se atraen o repelen otros puntos), que se han vuelto muy importantes en el estudio de los fractales.

Poco después de que se enviara ese trabajo, en marzo de 1918, Felix Hausdorff amplió la definición de "dimensión", significativamente para la evolución de la definición de fractales, para permitir que los conjuntos tengan dimensiones no enteras.. La idea de las curvas autosimilares fue llevada más allá por Paul Lévy, quien, en su artículo de 1938 Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole, describió una nueva curva fractal, la Lévy C curva.

Un extraño atractivo que exhibe escala multifractal

triángulo fractal del centro de masa uniforme

2x 120 grados IFS recidivante

Diferentes investigadores han postulado que sin la ayuda de los modernos gráficos por computadora, los primeros investigadores estaban limitados a lo que podían representar en dibujos manuales, por lo que carecían de los medios para visualizar la belleza y apreciar algunas de las implicaciones de muchos de los patrones que tenían. descubierto (el conjunto de Julia, por ejemplo, solo podía visualizarse a través de unas pocas iteraciones como dibujos muy simples). Sin embargo, eso cambió en la década de 1960, cuando Benoit Mandelbrot comenzó a escribir sobre la autosimilitud en artículos como ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Autosimilitud estadística y dimensión fraccionaria, que se basó en un trabajo anterior de Lewis Fry Richardson.

En 1975, Mandelbrot solidificó cientos de años de pensamiento y desarrollo matemático al acuñar la palabra "fractal" e ilustró su definición matemática con impresionantes visualizaciones construidas por computadora. Estas imágenes, como las de su conjunto canónico de Mandelbrot, capturaron la imaginación popular; muchos de ellos se basaron en la recursividad, lo que llevó al significado popular del término "fractal".

En 1980, Loren Carpenter hizo una presentación en SIGGRAPH donde presentó su software para generar y renderizar paisajes generados mediante fractales.

Definición y características

Una descripción frecuentemente citada que Mandelbrot publicó para describir los fractales geométricos es "una forma geométrica tosca o fragmentada que se puede dividir en partes, cada una de las cuales es (al menos aproximadamente) una copia de tamaño reducido del todo" 34;; esto es generalmente útil pero limitado. Los autores no están de acuerdo con la definición exacta de fractal, pero generalmente elaboran las ideas básicas de autosimilitud y la relación inusual que tienen los fractales con el espacio en el que están incrustados.

Un punto acordado es que los patrones fractales se caracterizan por sus dimensiones fractales, pero mientras que estos números cuantifican la complejidad (es decir, el cambio de detalle con el cambio de escala), no describen de forma única ni especifican los detalles de cómo construir patrones fractales particulares. En 1975, cuando Mandelbrot acuñó la palabra "fractal", lo hizo para denotar un objeto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es mayor que su dimensión topológica. Sin embargo, este requisito no se cumple con las curvas que llenan el espacio, como la curva de Hilbert.

Debido al problema que implica encontrar una definición para los fractales, algunos argumentan que los fractales no deberían definirse estrictamente en absoluto. Según Falconer, los fractales solo deberían caracterizarse generalmente por una gestalt de las siguientes características;

• Auto-similaridad, que puede incluir:

• Exacto auto-similaridad: idéntico en todas las escalas, como el copo de nieve Koch
• Auto-similaridad cuasi: aproxima el mismo patrón a diferentes escalas; puede contener pequeñas copias de todo el fractal en formas distorsionadas y degeneradas; por ejemplo, los satélites del conjunto Mandelbrot son aproximaciones de todo el conjunto, pero no copias exactas.
• Auto-similaridad estadística: repite un patrón estocásticamente así las medidas numéricas o estadísticas se conservan a través de escalas; por ejemplo, fractales generados aleatoriamente como el conocido ejemplo de la costa de Gran Bretaña para la que no se espera encontrar un segmento escalado y repetido tan bien como la unidad repetida que define fractales como el copo de nieve Koch.
• Auto-similaridad cualitativa: como en una serie de tiempo
• Escalada multifractal: caracterizada por más de una dimensión fractal o regla de escalado

• Estructura fina o detallada a escalas arbitrariamente pequeñas. Una consecuencia de esta estructura es que los fractales pueden tener propiedades emergentes (relacionadas con el siguiente criterio en esta lista).
• La irregularidad local y globalmente que no se puede describir fácilmente en el lenguaje de la geometría tradicional euclidiana más que como el límite de una secuencia de etapas recurrentemente definida. Para imágenes de patrones fractales, esto se ha expresado por frases como "smoothly piling up surfaces" y "swirls on swirls";ver Técnicas comunes para generar fractales.

Como grupo, estos criterios forman pautas para excluir ciertos casos, como aquellos que pueden ser autosimilares sin tener otras características típicamente fractales. Una línea recta, por ejemplo, es autosimilar pero no fractal porque carece de detalles y se describe fácilmente en lenguaje euclidiano sin necesidad de recursividad.

Técnicas comunes para generar fractales

Patrón de ramificación autosimilar modelado en silico utilizando principios de sistemas L

Se pueden crear imágenes de fractales mediante programas de generación de fractales. Debido al efecto mariposa, un pequeño cambio en una sola variable puede tener un resultado impredecible.

• Sistemas de función iterados (IFS) – utilizar reglas de sustitución geométricas fijas; puede ser estocástico o determinista; por ejemplo, copo de nieve Koch, conjunto de cántor, alfombra Haferman, alfombra Sierpinski, junta de gas Sierpinski, curva de Peano, curva de dragón Harter-Heighway, T-square, esponja Menger
• Extraños atractivos – utilizar iteraciones de un mapa o soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales o diferenciales de valor inicial que exhiban caos (por ejemplo, ver imagen multifractal, o mapa logístico)
• Sistemas L – usar la reescritura de cadenas; puede parecerse a patrones de ramificación, como en plantas, células biológicas (por ejemplo, neuronas y células del sistema inmunitario), vasos sanguíneos, estructura pulmonar, etc. o patrones gráficos de tortuga como curvas y revestimientos espaciales
• fractales de tiempo de escape – utilizar una relación de fórmula o recurrencia en cada punto en un espacio (como el plano complejo); generalmente cuasi-self-similar; también conocido como fractales "orbit"; por ejemplo, el conjunto Mandelbrot, Julia set, Burning Ship fractal, Nova fractal y Lyapunov fractal. Los campos vectoriales 2d que se generan por una o dos iteraciones de fórmulas de escape-time también dan lugar a una forma fractal cuando puntos (o datos de píxeles) se pasan a través de este campo repetidamente.
• fractales aleatorios – usar reglas estocásticas; por ejemplo, Vuelo liviano, grupos de percolación, auto evitando caminatas, paisajes fractales, trayectorias del movimiento marroniano y el árbol marroniano (es decir, fractales dendriáticos generados por modelar la agregación limitada por la difusión o grupos de agregación limitada por la reacción).

Un fractal generado por una regla de subdivisión finita para un enlace alternante

• Reglas de subdivisión finita – utilizar un algoritmo topológico recurrente para refinar los revestimientos y son similares al proceso de división celular. Los procesos iterativos utilizados en la creación del conjunto Cantor y la alfombra Sierpinski son ejemplos de reglas de subdivisión finita, como es la subdivisión barígena.

Aplicaciones

Fractales simulados

Los patrones fractales se han modelado ampliamente, aunque dentro de un rango de escalas en lugar de infinito, debido a los límites prácticos del tiempo y el espacio físicos. Los modelos pueden simular fractales teóricos o fenómenos naturales con características fractales. Los resultados del proceso de modelado pueden ser representaciones muy artísticas, resultados para la investigación o puntos de referencia para el análisis fractal. Algunas aplicaciones específicas de los fractales a la tecnología se enumeran en otra parte. Las imágenes y otros resultados del modelado normalmente se denominan "fractales" incluso si no tienen características estrictamente fractales, como cuando es posible ampliar una región de la imagen fractal que no presenta ninguna propiedad fractal. Además, estos pueden incluir artefactos de cálculo o visualización que no son características de los verdaderos fractales.

Los fractales modelados pueden ser sonidos, imágenes digitales, patrones electroquímicos, ritmos circadianos, etc. Los patrones fractales se han reconstruido en el espacio físico tridimensional y virtualmente, a menudo llamado "in silico" modelado. Los modelos de fractales generalmente se crean utilizando software de generación de fractales que implementa técnicas como las descritas anteriormente. Como ejemplo, los árboles, los helechos, las células del sistema nervioso, la vasculatura sanguínea y pulmonar y otros patrones de ramificación en la naturaleza pueden modelarse en una computadora usando algoritmos recursivos y técnicas de sistemas L.

La naturaleza recursiva de algunos patrones es obvia en ciertos ejemplos: una rama de un árbol o una hoja de un helecho es una réplica en miniatura del todo: no idéntica, pero de naturaleza similar. De manera similar, los fractales aleatorios se han utilizado para describir/crear muchos objetos del mundo real altamente irregulares. Una limitación del modelado de fractales es que la semejanza de un modelo fractal con un fenómeno natural no prueba que el fenómeno que se modela esté formado por un proceso similar a los algoritmos de modelado.

Fenómenos naturales con características fractales

Los fractales aproximados que se encuentran en la naturaleza muestran autosimilitud en rangos de escala extensos, pero finitos. La conexión entre fractales y hojas, por ejemplo, se está utilizando actualmente para determinar cuánto carbono contienen los árboles. Los fenómenos que se sabe que tienen características fractales incluyen:

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  Cristales de escoria que se producen naturalmente en los patrones fractales de forma de vidrio frío

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  Límite de la cuenca fractal en un sistema óptico geométrico

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  Se forma un fractal al separar dos hojas acrílicas cubiertas de pegamento

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  Descomposición de alta tensión dentro de un bloque de vidrio acrílico de 4 pulgadas (100 mm) crea una figura fractal Lichtenberg

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  brócoli románico, mostrando forma autosimilar aproximando un fractal natural

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  Patrones de descongelación, Marte polar. Los patrones se forman por sublimación de CO congelado₂. Ancho de imagen es de aproximadamente un kilómetro.

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  Molde de limón Brefeldia maxima crecimiento fractal en madera

Fractales en biología celular

Los fractales suelen aparecer en el ámbito de los organismos vivos, donde surgen a través de procesos de ramificación y otra formación de patrones complejos. Ian Wong y sus colaboradores han demostrado que las células que migran pueden formar fractales al agruparse y ramificarse. Las células nerviosas funcionan a través de procesos en la superficie celular, con fenómenos que se potencian al aumentar en gran medida la relación superficie/volumen. Como consecuencia, a menudo se encuentra que las células nerviosas forman patrones fractales. Estos procesos son cruciales en la fisiología celular y diferentes patologías.

También se encuentran estructuras subcelulares múltiples que se ensamblan en fractales. Diego Krapf ha demostrado que a través de procesos de ramificación, los filamentos de actina en las células humanas se ensamblan en patrones fractales. De manera similar, Matthias Weiss demostró que el retículo endoplásmico muestra características fractales. La comprensión actual es que los fractales son ubicuos en la biología celular, desde proteínas hasta orgánulos y células completas.

En trabajos creativos

Desde 1999, numerosos grupos científicos han realizado análisis fractales en más de 50 pinturas creadas por Jackson Pollock vertiendo pintura directamente sobre lienzos horizontales.

Recientemente, se ha utilizado el análisis fractal para lograr una tasa de éxito del 93 % al distinguir Pollocks reales de los falsos. Los neurocientíficos cognitivos han demostrado que los fractales de Pollock inducen la misma reducción del estrés en los observadores que los fractales generados por computadora y los fractales de la Naturaleza.

La decalcomanía, una técnica utilizada por artistas como Max Ernst, puede producir patrones de tipo fractal. Implica presionar la pintura entre dos superficies y separarlas.

El cibernético Ron Eglash ha sugerido que la geometría fractal y las matemáticas prevalecen en el arte, los juegos, la adivinación, el comercio y la arquitectura africanos. Las casas circulares aparecen en círculos de círculos, las casas rectangulares en rectángulos de rectángulos, y así sucesivamente. Tales patrones de escala también se pueden encontrar en textiles africanos, esculturas e incluso peinados de trenzas. Hokky Situngkir también sugirió propiedades similares en el arte tradicional indonesio, el batik y los adornos que se encuentran en las casas tradicionales.

El etnomatemático Ron Eglash ha discutido el diseño planificado de la ciudad de Benin utilizando fractales como base, no solo en la ciudad misma y los pueblos, sino también en las habitaciones de las casas. Comentó que "Cuando los europeos llegaron por primera vez a África, consideraban que la arquitectura era muy desorganizada y, por lo tanto, primitiva. Nunca se les ocurrió que los africanos podrían haber estado usando una forma de matemáticas que ni siquiera habían descubierto todavía."

En una entrevista de 1996 con Michael Silverblatt, David Foster Wallace admitió que la estructura del primer borrador de Infinite Jest que le dio a su editor Michael Pietsch estaba inspirada en los fractales, específicamente en el triángulo de Sierpinski (a.k.a. junta de Sierpinski), pero que la novela editada es "más como una junta de Sierpinsky torcida".

Algunas obras del artista holandés M. C. Escher, como Circle Limit III, contienen formas repetidas hasta el infinito que se vuelven cada vez más pequeñas a medida que se acercan a los bordes, en un patrón que siempre se vería igual si se acercara.

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  Un fractal que modela la superficie de una montaña (animación)

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  Imagen recursiva 3D

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  Imagen de mariposa fractal

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  Una llama fractal

Respuestas fisiológicas

Los humanos parecen estar especialmente bien adaptados para procesar patrones fractales con valores D entre 1,3 y 1,5. Cuando los humanos ven patrones fractales con valores D entre 1,3 y 1,5, esto tiende a reducir el estrés fisiológico.

Aplicaciones en tecnología