Fractal de Lyapunov

Standard Lyapunov logistic fractal with iteration sequence AB, in the region [2, 4] × [2, 4].

Detalle del fractal de Lyapunov en forma de golondrina. Secuencia de iteración AB, en la región [3.81, 3.87] x [3.81, 3.87].

Generalizado fractal logístico de Lyapunov con secuencia de iteración AABAB, en la región [2, 4] × [2, 4].

Generalizado fractal logístico de Lyapunov con secuencia de iteración BBBBBBAAAAAA, en la región del parámetro de crecimiento (A,B) en [3.4, 4.0] × [2.5, 3.4], conocido como Zircon Zity.

En matemáticas, los fractales de Lyapunov (también conocidos como fractales de Markus-Lyapunov) son fractales bifurcacionales derivados de una extensión del mapa logístico en el que el grado de crecimiento de la población, r, cambia periódicamente entre dos valores A y B.

Un fractal de Lyapunov se construye mediante el mapeo de las regiones de estabilidad y comportamiento caótico (medido utilizando el exponente de Lyapunov λ λ {displaystyle lambda }) en el a−b plano para determinadas secuencias periódicas de a y b. En las imágenes, amarillo corresponde a <math alttext="{displaystyle lambda λ λ .0{displaystyle lambda #<img alt="lambda (estabilidad), y azul corresponde a 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">λ λ ■0{displaystyle lambda }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea25afc0351140f919cf791c49c1964b8b081de" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.616ex; height:2.176ex;"/> (chaos).

Los fractales de Lyapunov fueron descubiertos a fines de la década de 1980 por el físico germano-chileno Mario Markus [de] del Instituto Max Planck de Fisiología Molecular. Fueron presentados a un gran público por un artículo de divulgación científica sobre matemáticas recreativas publicado en Scientific American en 1991.

Propiedades

Los fractales de Lyapunov generalmente se dibujan para valores de A y B en el intervalo [0,4]{displaystyle [0,4]}. Para valores más grandes, el intervalo [0,1] ya no es estable, y es probable que la secuencia sea atraída por el infinito, aunque los ciclos convergentes de valores finitos continúan existiendo para algunos parámetros. Para todas las secuencias de iteración, la diagonal a = b es siempre el mismo que para la función logística estándar de un parámetro.

La secuencia suele comenzar en el valor 0,5, que es un punto crítico de la función iterativa. Los otros puntos críticos (incluso de valor complejo) de la función iterativa durante una ronda completa son aquellos que pasan por el valor 0.5 en la primera ronda. Un ciclo convergente debe atraer al menos un punto crítico. Por lo tanto, todos los ciclos convergentes se pueden obtener simplemente cambiando la secuencia de iteraciones y manteniendo el valor inicial en 0.5. En la práctica, cambiar esta secuencia conduce a cambios en el fractal, ya que algunas ramas quedan cubiertas por otras. Por ejemplo, el fractal de Lyapunov para la secuencia de iteraciones AB (ver la figura superior a la derecha) no es perfectamente simétrico con respecto a a y b.

Algoritmo

El algoritmo para calcular los fractales de Lyapunov funciona de la siguiente manera:

1. Elija una cadena de As y Bs de cualquier longitud notrivial (por ejemplo, AAB).
2. Construir la secuencia S{displaystyle S. formado por términos sucesivos en la cuerda, repetido tantas veces como sea necesario.
3. Elige un punto ()a,b)▪ ▪ [0,4]× × [0,4]{displaystyle (a,b)in [0,4]times [0,4]}.
4. Define la función rn=a{displaystyle R_{n}=a} si Sn=A{displaystyle S_{n}=A}, y rn=b{displaystyle R_{n}=b} si Sn=B{displaystyle S_{n}=B}.
5. Vamos x0=0.5{displaystyle x_{0}=0.5}, y computar los iterates xn+1=rnxn()1− − xn){displaystyle x_{n+1}=r_{n}x_{n}(1-x_{n}}.
6. Computar el exponente de Lyapunov:
   λ λ =limN→ → JUEGO JUEGO 1N.. n=1Nlog⁡ ⁡ Silenciodxn+1dxnSilencio=limN→ → JUEGO JUEGO 1N.. n=1Nlog⁡ ⁡ Silenciorn()1− − 2xn)Silencio{displaystyle lambda =lim # {Nrightarrow infty }{1over N}sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ # {Nrightarrow infty }{1over N}sum ¿Por qué?
   En la práctica, λ λ {displaystyle lambda } se aproxima al elegir un tamaño adecuado N{displaystyle N} y dejar caer el primer summand r0()1− − 2x0)=rn⋅ ⋅ 0=0{displaystyle [2x]=r_{n}cdot 0=0} para x0=0.5{displaystyle x_{0}=0.5}.
7. Colorear el punto ()a,b){displaystyle (a,b)} según el valor de λ λ {displaystyle lambda } obtenido.
8. Repita los pasos (3–7) para cada punto en el plano de imagen.

Más dimensiones

Los fractales de Lyapunov se pueden calcular en más de dos dimensiones. La cadena de secuencia para un fractal n-dimensional debe construirse a partir de un alfabeto con n caracteres, p. "ABBBCA" para un fractal 3D, que se puede visualizar como un objeto 3D o como una animación que muestra un "rebanado" en la dirección C para cada cuadro de animación, como el ejemplo que se muestra aquí.