Fracción egipcia

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Suma finita de distintas fracciones de la unidad

Una fracción egipcia es una suma finita de distintas fracciones unitarias, como

{displaystyle {frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+{frac {1}{16}}.}

{tfrac {a}{b}}

{displaystyle {tfrac {43}{48}}}

{tfrac {2}{3}}

{tfrac {3}{4}}

Aplicaciones

Más allá de su uso histórico, las fracciones egipcias tienen algunas ventajas prácticas sobre otras representaciones de números fraccionarios. Por ejemplo, las fracciones egipcias pueden ayudar a dividir alimentos u otros objetos en partes iguales. Por ejemplo, si uno quiere dividir 5 pizzas en partes iguales entre 8 comensales, la fracción egipcia

{displaystyle {frac {5}{8}}={frac {1}{2}}+{frac {1}{8}}}

Las fracciones egipcias pueden proporcionar una solución a los rompecabezas quemaduras de cuerda, en los que se debe medir una duración determinada al encender cuerdas no uniformes que se queman después de un tiempo de unidad. Cualquier fracción racional de una unidad de tiempo se puede medir ampliando la fracción en una suma de fracciones unitarias y luego, para cada fracción unitaria $1/x$ , quema una cuerda para que siempre tenga $x$ simultáneamente los puntos encendidos donde se quema. Para esta aplicación, no es necesario que las fracciones de la unidad sean distintas entre sí. Sin embargo, esta solución puede necesitar un número infinito de pasos de re-lighting.

Historia temprana

La notación de la fracción egipcia se desarrolló en el Reino Medio de Egipto. Cinco textos tempranos en los que aparecen las fracciones egipcias fueron el rodillo de cuero matemático egipcio, el papiro matemático de Moscú, el papiro reisner, el papiro Kahun y la tabla de madera de akhmim. Un texto posterior, el papiro matemático Rhind, introdujo mejores formas de escribir fracciones egipcias. El papiro Rhind fue escrito por Ahmes y data del segundo período intermedio; incluye un tabla de expansiones de fracciones egipcias para números racionales ${tfrac {2}{n}}$ , así como 84 problemas de palabras. Las soluciones a cada problema fueron escritas en mano corta escribida, con las respuestas finales de los 84 problemas que se expresan en la notación de la fracción egipcia. Cuadros de expansiones para ${tfrac {2}{n}}$ similar al del papiro Rhind también aparecen en algunos de los otros textos. Sin embargo, como muestra el Papyrus Kahun, las fracciones vulgares también fueron utilizadas por los escribas dentro de sus cálculos.

Notación

Did you mean:

To write the unit fractions used in their Egyptian fraction notation, in hieroglyphic script, the Egyptians placed the hieroglyph

(er, "[uno] entre" o posiblemente re, boca) encima de un número para representar el recíproco de ese número. De manera similar, en escritura hierática, dibujaron una línea sobre la letra que representaba el número. Por ejemplo:

={frac {1}{3}}

={frac {1}{10}}

Los egipcios tenían símbolos especiales para ${tfrac {1}{2}}$ , ${tfrac {2}{3}}$ , y ${tfrac {3}{4}}$ que se utilizaron para reducir el tamaño de los números mayor que ${tfrac {1}{2}}$ cuando tales números se convirtieron en una serie de fracciones egipcias. El número restante después de restar una de estas fracciones especiales fue escrito como una suma de fracciones unitarias distintas según la usual notación de fracciones egipcias.

={frac {1}{2}}

={frac {2}{3}}

={frac {3}{4}}

Los egipcios también utilizaron una notación alternativa modificada del Reino Viejo para denotar un conjunto especial de fracciones de la forma ${displaystyle 1/2^{k}}$ (por ${displaystyle k=1,2,dots6}$ ) y sumas de estos números, que son necesariamente números racionales dyadicos. Estas han sido llamadas "Facciones de Oso-Horo" después de una teoría (ahora desacreditada) que estaban basadas en las partes del símbolo del Ojo de Horus. Se utilizaron en el Reino Medio en conjunción con la notación posterior para las fracciones egipcias para subdividir un hekat, la primera medida antigua de volumen egipcio para grano, pan y otras pequeñas cantidades de volumen, como se describe en la Tabla de madera de Akhmim. Si queda algún resto después de expresar una cantidad en las fracciones de Ojo de Horus de un hekat, el resto fue escrito usando la notación de la fracción egipcia habitual como múltiplos de una #, una unidad igual a ${displaystyle {tfrac {1}{320}}}$ de un hekat.

Métodos de cálculo

Historiadores modernos de matemáticas han estudiado el papiro Rhind y otras fuentes antiguas en un intento de descubrir los métodos que los egipcios utilizaron para calcular con fracciones egipcias. En particular, el estudio en esta esfera se ha concentrado en la comprensión de los cuadros de expansiones para el número de la forma ${tfrac {2}{n}}$ en el papiro Rhind. Aunque estas expansiones se pueden describir generalmente como identidades algebraicas, los métodos utilizados por los egipcios pueden no corresponder directamente a estas identidades. Además, las expansiones en la tabla no coinciden con ninguna identidad única; más bien, diferentes identidades coinciden con las expansiones para los denominadores principales y compuestos, y más de una identidad se ajusta a los números de cada tipo:

Para pequeños denominadores primitivos $p$ , la expansión ${displaystyle {frac {2}{p}}={frac {1}{(p+1)/2}}+{frac {1}{p(p+1)/2}}}$ fue usado.
Para los denominadores principales más grandes, una expansión de la forma ${displaystyle {frac {2}{p}}={frac {1}{A}}+{frac {2A-p}{Ap}}}$ fue utilizado, donde $A$ es un número con muchos divisores (como un número práctico) entre ${displaystyle {tfrac {p}{2}}}$ y $p$ . El mandato restante ${displaystyle (2A-p)/Ap}$ se amplió representando el número ${displaystyle 2A-p}$ como una suma de divisores $A$ y formando una fracción ${displaystyle {tfrac {d}{Ap}}}$ para cada divisor $d$ en esta suma. Como ejemplo, la expansión de Ahmes ${displaystyle {tfrac {2}{37}}={tfrac {1}{24}}+{tfrac {1}{111}}+{frac {1}{296}}}$ encaja con este patrón ${displaystyle A=24}$ y ${displaystyle 2A-p=11=8+3}$ , como ${displaystyle {tfrac {1}{111}}={tfrac {8}{24cdot 37}}}$ y ${displaystyle {tfrac {1}{296}}={tfrac {3}{24cdot 37}}}$ . Puede haber muchas expansiones diferentes de este tipo para un determinado $p$ ; sin embargo, como observó K. S. Brown, la expansión elegida por los egipcios fue a menudo la que causó que el denominador más grande fuera lo más pequeño posible, entre todas las expansiones que encajan este patrón.
Para algunos denominadores compuestos, considerados ${displaystyle pcdot q}$ , la expansión para ${displaystyle {tfrac {2}{pq}}}$ tiene la forma de una expansión ${displaystyle {tfrac {2}{p}}}$ con cada denominador multiplicado por $q$ . Este método parece haber sido utilizado para muchos de los números compuestos en el papiro Rhind, pero hay excepciones, especialmente ${displaystyle {tfrac {2}{35}}}$ , ${displaystyle {tfrac {2}{91}}}$ , y ${displaystyle {tfrac {2}{95}}}$ .
También se puede ampliar ${displaystyle {frac {2}{pq}}={frac {1}{p(p+q)/2}}+{frac {1}{q(p+q)/2}}.}$ Por ejemplo, Ahmes se expande ${displaystyle {tfrac {2}{35}}={tfrac {2}{5cdot 7}}={tfrac {1}{30}}+{tfrac {1}{42}}}$ . Los escribas posteriores utilizaron una forma más general de esta expansión, ${displaystyle {frac {n}{pq}}={frac {1}{p(p+q)/n}}+{frac {1}{q(p+q)/n}},}$ que funciona cuando $p+q$ es un múltiple de $n$ .
La expansión final (prime) en el papiro Rhind, ${displaystyle {tfrac {2}{101}}}$ , no cabe ninguna de estas formas, pero en lugar de utilizar una expansión ${displaystyle {frac {2}{p}}={frac {1}{p}}+{frac {1}{2p}}+{frac {1}{3p}}+{frac {1}{6p}}}$ que pueda aplicarse independientemente del valor $p$ . Eso es, ${displaystyle {tfrac {2}{101}}={tfrac {1}{101}}+{tfrac {1}{202}}+{tfrac {1}{303}}+{tfrac {1}{606}}}$ . También se utilizó una expansión relacionada en el rodillo de cuero matemático egipcio para varios casos.

Uso posterior

La notación de fracciones egipcias siguió usándose en la época griega y hasta la Edad Media, a pesar de las quejas que ya existían en el Almagesto de Ptolomeo sobre la torpeza de la notación en comparación con alternativas como la notación babilónica de base 60. Los problemas relacionados con la descomposición en fracciones unitarias también fueron estudiados en la India del siglo IX por el matemático jainista Mahāvīra. Un texto importante de las matemáticas europeas medievales, el Liber Abaci (1202) de Leonardo de Pisa (más conocido como Fibonacci), proporciona una idea de los usos de las fracciones egipcias en la Edad Media e introduce temas que continúan siendo importantes en el estudio matemático moderno de estas series.

El tema principal del Liber Abaci son los cálculos que involucran la notación de fracciones decimales y vulgares, que finalmente reemplazó a las fracciones egipcias. El mismo Fibonacci usó una notación compleja para fracciones que involucraba una combinación de una notación de base mixta con sumas de fracciones. Muchos de los cálculos a lo largo del libro de Fibonacci involucran números representados como fracciones egipcias, y una sección de este libro proporciona una lista de métodos para convertir fracciones vulgares a fracciones egipcias. Si el número aún no es una fracción unitaria, el primer método en esta lista es intentar dividir el numerador en una suma de divisores del denominador; esto es posible siempre que el denominador sea un número práctico, y Liber Abaci incluye tablas de desarrollos de este tipo para los números prácticos 6, 8, 12, 20, 24, 60 y 100.

Los siguientes métodos involucran identidades algebraicas como

{displaystyle {frac {a}{ab-1}}={frac {1}{b}}+{frac {1}{b(ab-1)}}.}

811811 = 611 + 211811 = 12 + 122 + 16 + 166

En el raro caso de que todos estos otros métodos fallen, Fibonacci sugiere un "codicioso" algoritmo para calcular fracciones egipcias, en el que se elige repetidamente la fracción unitaria con el denominador más pequeño que no sea mayor que la fracción restante a expandir: es decir, en una notación más moderna, reemplazamos una fracción x/y por la expansión

{displaystyle {frac {x}{y}}={frac {1}{,leftlceil {frac {y}{x}}rightrceil ,}}+{frac {(-y),{bmod {,}}x}{yleftlceil {frac {y}{x}}rightrceil }},}

⌈() -Sí.Mod x. x

Fibonacci sugiere cambiar a otro método después de la primera expansión de este tipo, pero también da ejemplos en los que esta expansión codiciosa se repitió hasta que se construyó una expansión de fracción egipcia completa: 4/13 = 1/4 + 1/18 + 1/468 y 17/29 = 1/2 + 1/12 + 1/348.

En comparación con las expansiones del antiguo Egipto o con métodos más modernos, este método puede producir expansiones que son bastante largas, con denominadores grandes, y el propio Fibonacci notó la dificultad de las expansiones producidas por este método. Por ejemplo, el método codicioso se expande

{displaystyle {frac {5}{121}}={frac {1}{25}}+{frac {1}{757}}+{frac {1}{763,309}}+{frac {1}{873,960,180,913}}+{frac {1}{1,527,612,795,642,093,418,846,225}},}

{displaystyle {frac {5}{121}}={frac {1}{33}}+{frac {1}{121}}+{frac {1}{363}}.}

La secuencia de Sylvester 2, 3, 7, 43, 1807,... puede verse como generada por una expansión codiciosa infinita de este tipo para el número 1, donde en cada paso elegimos el denominador ⌊ y/x ⌋ + 1 en lugar de ⌈ y/x ⌉ y, a veces, el algoritmo codicioso de Fibonacci se atribuye a James Joseph Sylvester.

Después de su descripción del algoritmo codicioso, Fibonacci sugiere otro método, expandir una fracción a /b buscando un número c que tiene muchos divisores, con b/2 < c < b, reemplazando a/b por ac/bc, y expandiendo ac como una suma de divisores de bc, similar al método propuesto por Hultsch y Bruins para explicar algunos de las expansiones en el papiro Rhind.

Teoría de números moderna

Aunque las fracciones egipcias ya no se usan en la mayoría de las aplicaciones prácticas de las matemáticas, los teóricos de números modernos han seguido estudiando muchos problemas diferentes relacionados con ellas. Estos incluyen problemas de acotar la longitud o el máximo denominador en representaciones de fracciones egipcias, encontrar expansiones de ciertas formas especiales o en las que los denominadores son todos de algún tipo especial, la terminación de varios métodos para la expansión de fracciones egipcias y mostrar que existen expansiones para cualquier conjunto suficientemente denso de números suficientemente suaves.

Una de las primeras publicaciones de Paul Erdős demostró que no es posible que una progresión armónica forme una representación de la fracción egipcia de un entero. La razón es que, necesariamente, al menos un denominador de la progresión será divisible por un número primario que no divide a ningún otro denominador. La última publicación de Erdős, casi 20 años después de su muerte, demuestra que cada entero tiene una representación en la que todos los denominadores son productos de tres primos.
La conjetura de Erdős-Graham en la teoría combinatoria del número afirma que, si los enteros mayores de 1 se dividen en finitos muchos subconjuntos, entonces uno de los subconjuntos tiene un subconjunto finito de sí mismo cuya suma recíproca a uno. Eso es, para todos r ■ 0, y todos r-coloración de los enteros más grande que uno, hay un subconjunto monocromático finito S de estos enteros tal que ${displaystyle sum _{nin S}{frac {1}{n}}=1.}$ La conjetura fue probada en 2003 por Ernest S. Croot III.
El problema de Znám y los números primarios de pseudoperfectos están estrechamente relacionados con la existencia de fracciones egipcias de la forma ${displaystyle sum {frac {1}{x_{i}}}+prod {frac {1}{x_{i}}}=1.}$ Por ejemplo, el pseudoperfecto primario 1806 es el producto de los números primos 2, 3, 7 y 43, y da lugar a la fracción egipcia 1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806.
Las fracciones egipcias normalmente se definen como exigir que todos los denominadores sean distintos, pero este requisito puede ser relajado para permitir repetidos denominadores. Sin embargo, esta forma relajada de fracciones egipcias no permite que ningún número se represente utilizando menos fracciones, ya que cualquier expansión con fracciones repetidas puede convertirse a una fracción egipcia de igual o menor longitud mediante la aplicación repetida del reemplazo ${displaystyle {frac {1}{k}}+{frac {1}{k}}={frac {2}{k+1}}+{frac {2}{k(k+1)}}}$ si k es extraño, o simplemente reemplazando 1/k + 1/k por 2/k si k es incluso. Este resultado fue probado por primera vez por Takenouchi (1921).
Graham y Jewett demostraron que es igualmente posible convertir expansiones con repetidos denominadores a (más lejos) fracciones egipcias, a través de la sustitución ${displaystyle {frac {1}{k}}+{frac {1}{k}}={frac {1}{k}}+{frac {1}{k+1}}+{frac {1}{k(k+1)}}.}$ Este método puede conducir a largas expansiones con grandes denominadores, como ${displaystyle {frac {4}{5}}={frac {1}{5}}+{frac {1}{6}}+{frac {1}{7}}+{frac {1}{8}}+{frac {1}{30}}+{frac {1}{31}}+{frac {1}{32}}+{frac {1}{42}}+{frac {1}{43}}+{frac {1}{56}}+{frac {1}{930}}+{frac {1}{931}}+{frac {1}{992}}+{frac {1}{1806}}+{frac {1}{865,830}}.}$ Botts (1967) había utilizado originalmente esta técnica de reemplazo para demostrar que cualquier número racional tiene representaciones de fracciones egipcias con denominadores mínimos arbitrariamente grandes.
Cualquier fracción x/Sí. tiene una representación de la fracción egipcia en la que el máximo denominador está obligado por ${displaystyle Oleft(ylog yleft(log log yright)^{4}left(log log log yright)^{2}right),}$ y una representación con ${displaystyle Oleft({sqrt {log y}}right)}$ términos. El número de términos a veces debe ser al menos proporcional a log Sí.; por ejemplo esto es cierto para las fracciones en la secuencia 1/2, 2/3, 6/7, 42/43, 1806/1807,... cuyos denominadores forman la secuencia de Sylvester. It has been conjectured that O(log log Sí.) los términos siempre son suficientes. También es posible encontrar representaciones en las que tanto el denominador máximo como el número de términos son pequeños.
Graham (1964) caracterizó los números que pueden ser representados por fracciones egipcias en las que todos los denominadores son npoderes. En particular, un número racional q puede ser representado como una fracción egipcia con denominadores cuadrados si y sólo si q miente en uno de los dos intervalos medio abiertos ${displaystyle left[0,{frac {pi ^{2}}{6}}-1right)cup left[1,{frac {pi ^{2}}{6}}right).}$
Martin (1999) mostró que cualquier número racional tiene expansiones muy densas, utilizando una fracción constante de los denominadores hasta N para todo lo suficientemente grande N.
Expansión engel, a veces llamada Producto egipcio, es una forma de expansión de la fracción egipcia en la que cada denominador es un múltiplo de la anterior: ${displaystyle x={frac {1}{a_{1}}}+{frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+cdots.}$ Además, la secuencia de multiplicadores a_i es necesario para no aderezar. Cada número racional tiene una expansión finita engel, mientras que los números irracionales tienen una expansión infinita engel.
Anshel & Goldfeld (1991) números de estudio que tienen múltiples representaciones de fracciones egipcias distintas con el mismo número de términos y el mismo producto de denominadores; por ejemplo, uno de los ejemplos que suministran es ${displaystyle {frac {5}{12}}={frac {1}{4}}+{frac {1}{10}}+{frac {1}{15}}={frac {1}{5}}+{frac {1}{6}}+{frac {1}{20}}.}$ A diferencia de los antiguos egipcios, permiten que los denominadores sean repetidos en estas expansiones. Aplican sus resultados para este problema a la caracterización de productos libres de grupos abelianos por un pequeño número de parámetros numéricos: el rango del subgrupo de conmutadores, el número de términos en el producto libre, y el producto de las órdenes de los factores.
El número de diferentes n- las representaciones de la fracción egipcia a plazo del número uno se limitan arriba y abajo por dobles funciones exponenciales n.

Problemas abiertos

Algunos problemas notables siguen sin resolverse con respecto a las fracciones egipcias, a pesar del considerable esfuerzo de los matemáticos.

La conjetura Erdős–Straus se refiere a la longitud de la expansión más corta para una fracción de la forma 4/n. Hace una expansión ${displaystyle {frac {4}{n}}={frac {1}{x}}+{frac {1}{y}}+{frac {1}{z}}}$ existen para cada n? Se sabe que es verdad para todos n 10¹⁷, y para todos menos una fracción de los posibles valores n, pero la verdad general de la conjetura sigue siendo desconocida.
Se desconoce si existe una extraña expansión codictiva por cada fracción con un denominador extraño. Si el método codicioso de Fibonacci es modificado para que siempre elija lo más pequeño posible extraño denominador, bajo qué condiciones este algoritmo modificado produce una expansión finita? Una condición obvia necesaria es que la fracción inicial x/Sí. tienen un denominador extraño Sí., y se conjetura pero no se sabe que esto es también una condición suficiente. Se sabe que cada x/Sí. con extraño Sí. tiene una expansión en distintas fracciones de unidades extrañas, construidas usando un método diferente al algoritmo codicioso.
Es posible utilizar algoritmos de búsqueda de fuerza bruta para encontrar la representación de la fracción egipcia de un número determinado con los pocos términos posibles o minimizar el denominador más grande; sin embargo, tales algoritmos pueden ser bastante ineficientes. La existencia de algoritmos de tiempo polinomio para estos problemas, o más generalmente la complejidad computacional de tales problemas, sigue siendo desconocida.

Guy (2004) describe estos problemas con más detalle y enumera numerosos problemas abiertos adicionales.

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