Fracción continua

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Una fracción regular de continuidad finita, donde ${displaystyle n}$ es un entero no negativo, ${displaystyle A_{0}$ es un entero, y ${displaystyle A_{i}$ es un entero positivo, para ${displaystyle i=1,ldotsn}$.

En matemáticas, a fracción continua es una expresión obtenida a través de un proceso iterativo de representar a un número como la suma de su parte entero y la reciproca de otro número, luego escribir este otro número como la suma de su parte entero y otra recíproca, y así sucesivamente. En un fracción continua finita (o fracción continua terminada), la iteración/recursión se termina después de finitamente muchos pasos utilizando un entero en lugar de otra fracción continua. En contraste, un fracción continua infinita es una expresión infinita. En cualquier caso, todos los enteros en la secuencia, aparte del primero, deben ser positivos. Los enteros ${displaystyle A_{i}$ se denominan coeficientes o términos de la fracción continua.

Por lo general, se supone que el numerador de todas las fracciones es 1. Si se utilizan valores y/o funciones arbitrarias en lugar de uno o más de los numeradores o los números enteros en los denominadores, la expresión resultante es una fracción continua generalizada. Cuando es necesario distinguir la primera forma de las fracciones continuas generalizadas, la primera puede llamarse simple o fracción continua regular, o decir que está en forma canónica .

Las fracciones continuas tienen una serie de propiedades notables relacionadas con el algoritmo de Euclidean para números enteros o reales. Cada número racional ${displaystyle p}$/${displaystyle q}$ tiene dos expresiones estrechamente relacionadas como una fracción continua finita, cuyos coeficientes a_i puede determinarse aplicando el algoritmo de Euclidean ${displaystyle (p,q)}$. El valor numérico de una fracción continua infinita es irracional; se define de su secuencia infinita de enteros como el límite de una secuencia de valores para fracciones continuas finitas. Cada fracción continua finita de la secuencia se obtiene utilizando un prefijo finito de la secuencia de definición de enteros de la fracción continua infinita. Además, cada número irracional ${displaystyle alpha }$ es el valor de un único infinita fracción continua regular, cuyos coeficientes se pueden encontrar utilizando la versión no-terminante del algoritmo de Euclidea aplicada a los valores incommensurables ${displaystyle alpha }$ y 1. Esta manera de expresar números reales (racional e irracional) se llama Representación de la fracción continua.

El término fracción continua también puede referirse a representaciones de funciones racionales, surgidas en su teoría analítica. Para este uso del término, consulte la aproximación de Padé y las funciones racionales de Chebyshev.

Motivación y notación

Considere, por ejemplo, el número racional 415/< /span>93, que es alrededor de 4,4624. Como primera aproximación, empieza por 4, que es la parte entera; 415/ 93 = 4 + 43/93. La parte fraccionaria es el recíproco de 93/< span class="den">43 que es aproximadamente 2,1628. Utilice la parte entera, 2, como una aproximación del recíproco para obtener una segunda aproximación de 4 + 1/2 = 4,5; 93/ 43 = 2 + 7/ 43. La parte fraccionaria restante, 7/43, es el recíproco de 43/7 y 43/7 es alrededor de 6,1429. Use 6 como una aproximación para obtener 2 + 1/6 como una aproximación para 93/43 y 4 + 1/2 + 1/ 6, aproximadamente 4,4615, como tercera aproximación; 43/ 7 = 6 + 1/7. Finalmente, la parte fraccionaria, 1/7, es el recíproco de 7, por lo que su aproximación en este esquema, 7, es exacta (7/1 = 7 + 0/1) y produce la expresión exacta 4 + 1/2 + < span class="num">1/6 + 1/7 para 415/93.

La expresión 4 + 1/2 + 1/6 + 1/7 se llama la representación de fracción continua de 415/93. Esto se puede representar mediante la notación abreviada 415/ 93 = [4; 2, 6, 7]. (Es costumbre reemplazar solo la primera coma por un punto y coma). Algunos libros de texto antiguos usan solo comas en (n + 1) -tupla, por ejemplo, [4, 2, 6, 7].

Si el número inicial es racional, entonces este proceso es exactamente paralelo al algoritmo euclidiano aplicado al numerador y al denominador del número. En particular, debe terminar y producir una representación de fracción continua finita del número. La secuencia de números enteros que ocurren en esta representación es la secuencia de cocientes sucesivos calculados por el algoritmo euclidiano. Si el número inicial es irracional, entonces el proceso continúa indefinidamente. Esto produce una secuencia de aproximaciones, todos los cuales son números racionales, y estos convergen al número inicial como límite. Esta es la representación de fracción continua (infinita) del número. Ejemplos de representaciones de fracciones continuas de números irracionales son:

• √19 = [4;2,1,3,1,2,8,1,1,2,8,...] (secuencia) A010124 en el OEIS). El patrón se repite indefinidamente con un período de 6.
• e = [2;1,2,1,1,4,1,6,1,8,...] (secuencia) A003417 en el OEIS). El patrón se repite indefinidamente con un período de 3, excepto que 2 se añade a uno de los términos en cada ciclo.
• π = [3;7,15,1,292,1,1,2,1,1,3,1,...] (secuencia) A001203 en el OEIS). No se ha encontrado ningún patrón en esta representación.
• Ё = [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...] (secuencia) A000012 en el OEIS). La relación de oro, el número irracional que es el "más difícil" para aproximarse racionalmente (ver § A property of the golden ratio φ below).
• γ = [0;1,1,2,1,4,3,13,5,1,...] (secuencia) A002852 en el OEIS). La constante Euler-Mascheroni, que se espera pero no se sabe que es irracional, y cuya fracción continua no tiene un patrón aparente.

Las fracciones continuas son, en cierto modo, más "matemáticamente naturales" representaciones de un número real que otras representaciones, como las representaciones decimales, y tienen varias propiedades deseables:

• La representación continua de la fracción para un número real es finita si y sólo si es un número racional. En cambio, la representación decimal de un número racional puede ser finita, por ejemplo 137/1600 = 0,085625, o infinito con un ciclo de repetición, por ejemplo 4/27 = 0.148148148148...
• Cada número racional tiene una representación de fracción continua esencialmente única. Cada racional puede ser representado de exactamente dos maneras, ya que [a₀;a₁,... a_n−1,a_n=a₀;a₁,... a_n−1,(a_n−1),1]. Normalmente el primero, más corto es elegido como la representación canónica.
• La simple representación de la fracción continua de un número irracional es única. (Sin embargo, las representaciones adicionales son posibles al utilizar generalizado fracciones continuas; véase infra.)
• Los números reales cuya fracción continua repetida son precisamente los irracionales cuadráticos. Por ejemplo, la fracción continua de repetición [1;1,1,1,...] es la relación de oro, y la fracción continua de repetición [1;2,2,2,2,...] es la raíz cuadrada de 2. En cambio, las representaciones decimales de los irracionales cuadráticos son aparentemente al azar. Las raíces cuadradas de todos los enteros (positivos) que no son cuadrados perfectos son irracionales cuadráticas, y por lo tanto son fracciones continuas periódicas únicas.
• Las aproximaciones sucesivas generadas en la búsqueda de la representación de la fracción continua de un número, es decir, al truncar la representación de la fracción continua, son en cierto sentido (descrito abajo) el "mejor posible".

Fórmula básica

Una fracción continua (generalizada) es una expresión de la forma

${displaystyle a_{0}+{cfrac {b_{1}{a_{1}+{cfrac {b_{2}{a_{2}+{cfrac {b_{3}{a_{3}+{_{ddots - Sí.$

donde a_i y b_i pueden ser cualquier número complejo.

Cuando b_i = 1 para todo i la expresión se llama fracción continua simple. Cuando la expresión contiene un número finito de términos, se denomina fracción continua finita. Cuando la expresión contiene una cantidad infinita de términos, se denomina fracción continua infinita. Cuando los términos eventualmente se repiten desde algún punto en adelante, la expresión se llama fracción continua periódica.

Por lo tanto, todo lo siguiente ilustra fracciones continuas simples finitas válidas:

Ejemplos de fracciones simples finitas continuadas

Formula	Numeric	Observaciones
${displaystyle a_{0}$	${displaystyle 2}$	Todos los enteros son un caso degenerado
${displaystyle a_{0}+{cfrac {1}{a_{1}}}$	${displaystyle 2+{cfrac {1}{3}}$	Forma fraccional más simple posible
${displaystyle a_{0}+{cfrac {1}{a_{1}+{cfrac {1}{a_{2}}}}$	${displaystyle -3+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{18}}}}$	El primer entero puede ser negativo
${displaystyle a_{0}+{cfrac {1}{a_{1}+{cfrac {1}{a_{2}+{cfrac {1}{a_{3}}}}}} {} {}} {}}}}} {}}}} {}}}}} {}}}}}}} {}}}}}} {}} {}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}} {} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$	${displaystyle {cfrac {1}{15+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{102}}}}} {}}} {}}}}}}} {}}}} {}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}} {}}}} {}}}}}}}} {}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$	El primer entero puede ser cero

Para fracciones continuas simples de la forma

${displaystyle r=a_{0}+{cfrac {1}{a_{1}+{cfrac {1}{a_{2}+{cfrac {1}{a_{3}+{ddots - Sí.$

el ${displaystyle a_{n}$ término se puede calcular utilizando la siguiente fórmula recursiva:

${displaystyle A_{n}=leftlfloor {frac {N_{n}{N_{n+1}}rightrfloor }$

Donde ${displaystyle N_{n+1}=N_{n-1}{bmod {N}_{n}$ y ${displaystyle {begin{cases}N_{0}=rN_{1}=1end{cases}}$

De la cual se puede entender que ${displaystyle a_{n}$ secuencia se detiene si ${displaystyle N_{n+1}=0}$.

Calcular representaciones de fracciones continuas

Considere un número real r. Vamos ${displaystyle i=lfloor rrfloor }$ ser la parte entero de r y dejar ${displaystyle f=r-i}$ ser la parte fraccional de r. Luego la representación continua de la fracción r es ${displaystyle [i;a_{1},a_{2},ldots ]$, donde ${displaystyle [a_{1};a_{2},ldots ]$ es la representación continua de la fracción ${displaystyle 1/f}$.

Para calcular una representación de fracción continua de un número r, escribe la parte entera (técnicamente el suelo) de r. Resta esta parte entera de r. Si la diferencia es 0, deténgase; de lo contrario, encuentre el recíproco de la diferencia y repita. El procedimiento se detendrá si y solo si r es racional. Este proceso se puede implementar de manera eficiente utilizando el algoritmo de Euclides cuando el número es racional. La siguiente tabla muestra una implementación de este procedimiento para el número 3.245, lo que resulta en la expansión de fracción continua [3; 4,12,4].

Encontrar la simple fracción continua para ${displaystyle 3.245={frac {649}{200}}$

Paso	Real Número	Integer Parte	Fraccional Parte	Simplificado	Reciprocal de f
1	${displaystyle r={frac {649}{200}$	${displaystyle i=3}$	${displaystyle f={frac {649}{200}-3}$	${displaystyle ={frac {49}{200}}$	${displaystyle {frac} {f}={frac} {200}{49}}$
2	${displaystyle r={frac {}{49}}$	${displaystyle i=4}$	${displaystyle f={frac {49}-4}$	${displaystyle ={frac {4}{49}}$	${displaystyle {frac} {f}={frac} {49}{4}}$
3	${displaystyle r={frac {49}{4}}$	${displaystyle i=12}$	${displaystyle f={frac {49}{4}-12}$	${displaystyle ={frac {1}{4}}$	${displaystyle {frac} {f}={frac} {4}{1}}$
4	${displaystyle r=4}$	${displaystyle i=4}$	${displaystyle f=4-4}$	${displaystyle =0}$	STOP
Forma de fracción continua para ${displaystyle 3.245={frac {649}{200}=[3;4,12,4]}$ = 3 + 1/4 + 1/12 + 1/4

Anotaciones

Los enteros ${displaystyle A_{0}$, ${displaystyle A_{1}$ etc., se llaman el coeficientes o términos de la fracción continua. Uno puede abreviar la fracción continua

${displaystyle x=a_{0}+{cfrac {1}{a_{1}+{cfrac {1}{a_{2}+{cfrac {1}{a_{3}}}}}} {} {}} {}}}}} {}}}} {}}}}} {}}}}}}} {}}}}}} {}} {}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}} {} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

en la notación de Carl Friedrich Gauss

${displaystyle x=a_{0}+{underset {I=1}{overset {3}{mathrm {K} }~{frac {1}{a_{i}}}$

o como

${displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}}$,

o en la notación de Pringsheim como

${displaystyle x=a_{0}+{frac {1mid ♫{mid A_{1}}+{frac {1mid A_{2}}+{frac {1mid } {mid a_{3}}} {fnMicroc {fn}}}$

o en otra notación relacionada como

${displaystyle x=a_{0}+{1 over a_{1}+{}{1 over a_{2}+{1 over a_{3} {}}$

A veces se utilizan paréntesis angulares, como este:

${displaystyle x=leftlangle a..$

El punto y coma en las notaciones de corchetes y corchetes angulares a veces se reemplaza por una coma.

También se pueden definir fracciones continuas simples infinitas como límites:

${displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},ldots ]=lim _{nto infty [a_{0};a_{1},a_{2},,ldotsa_{n}$

Este límite existe para cualquier opción ${displaystyle A_{0}$ y números enteros positivos ${displaystyle a_{1},a_{2},ldots }$.

Fracciones continuas finitas

Toda fracción continua finita representa un número racional, y cada número racional puede representarse precisamente de dos maneras diferentes como una fracción continua finita, con las condiciones de que el primer coeficiente sea un número entero y los demás coeficientes sean números enteros positivos. Estas dos representaciones concuerdan excepto en sus términos finales. En la representación más larga, el término final de la fracción continua es 1; la representación más corta elimina el 1 final, pero aumenta el nuevo término final en 1. Por lo tanto, el elemento final en la representación corta siempre es mayor que 1, si está presente. En símbolos:

[a₀; a₁, a₂,... a_{n − 1}, a_n, 1] = [a₀; a₁, a₂,... a_{n − 1}, a_n + 1].

[a₀; 1] = [a₀ + 1].

Recíprocos

Las representaciones de fracciones continuas de un número racional positivo y su recíproco son idénticas excepto para un cambio de lugar izquierda o derecha dependiendo de si el número es inferior o superior a uno respectivamente. En otras palabras, los números representados ${displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},ldotsa_{n}$ y ${displaystyle [0;a_{0},a_{1},ldotsa_{n}$ son recíprocos.

Por ejemplo si ${displaystyle a}$ es un entero y ${displaystyle x won1}$ entonces

${displaystyle x=0+{frac {1}{a+{frac} {1} {}}}}$ y ${displaystyle {frac}{x}=a+{frac} {1}{b}}$.

Si ${displaystyle x confianza1}$ entonces

${displaystyle x=a+{frac {1}{b}}$ y ${displaystyle {frac}{x}=0+{frac} {1}{a+{frac} {1} {}}}}$.

El último número que genera el resto de la fracción continua es el mismo para ambos ${displaystyle x}$ y su recíproco.

Por ejemplo,

${displaystyle 2.25={frac {9}{4}=[2;4]$ y ${displaystyle {frac}{2.25}={frac} {4}{9}=[0;2,4]$.

Fracciones continuas infinitas y convergentes

Convergentes acercando la relación de oro

Toda fracción continua infinita es irracional, y cada número irracional se puede representar precisamente de una manera como una fracción continua infinita.

Una representación de fracción continua infinita para un número irracional es útil porque sus segmentos iniciales proporcionan aproximaciones racionales al número. Estos números racionales se llaman los convergentes de la fracción continua. Cuanto más grande es un término en la fracción continua, más cerca está el convergente correspondiente del número irracional que se está aproximando. Los números como π tienen términos grandes ocasionales en su fracción continua, lo que los hace fáciles de aproximar con números racionales. Otros números como e solo tienen términos pequeños al principio de su fracción continua, lo que los hace más difíciles de aproximar racionalmente. La proporción áurea Φ tiene términos iguales a 1 en todas partes, los valores más pequeños posibles, lo que hace que Φ sea el número más difícil de aproximar racionalmente. En este sentido, por tanto, es el "más irracional" de todos los números irracionales. Los convergentes con números pares son más pequeños que el número original, mientras que los impares son más grandes.

Para una fracción continua [a₀; a₁, a₂,...], los primeros cuatro convergentes (numerados 0 a 3) son

a₀/1, a₁a₀ + 1/a₁, a₂()a₁a₀ + 1) + a₀/a₂a₁ + 1, a₃()a₂()a₁a₀ + 1) + a₀) + (a₁a₀ + 1)/ a₃()a₂a₁ + 1) + a₁.

El numerador del tercer convergente se forma multiplicando el numerador del segundo convergente por el tercer coeficiente y sumando el numerador del primer convergente. Los denominadores se forman de manera similar. Por lo tanto, cada convergente se puede expresar explícitamente en términos de la fracción continua como el cociente de ciertos polinomios multivariados llamados continuantes.

Si se encuentran convergentes sucesivos, con numeradores h₁, h₂,... y denominadores k₁, k₂,.. entonces la relación recursiva relevante es:

h_n = a_nh_{n − 1} + h_{n − 2},

k_n = a_nk_{n − 1} + k_{n − 2}.

Los convergentes sucesivos están dados por la fórmula

h_n/k_n = a_nh_{n − 1} + h_{n − 2}/a_nk_{n − 1} + k_{n − 2}.

Así, para incorporar un nuevo término a una aproximación racional, solo son necesarios los dos convergentes anteriores. Los "convergentes" iniciales (obligatorio para los dos primeros términos) son ⁰⁄₁ y ¹⁄₀. Por ejemplo, aquí están los convergentes para [0;1,5,2,2].

n	−2	−1	0	1	2	3	4
an			0	1	5	2	2
hn	0	1	0	1	5	11	27
kn	1	0	1	1	6	13	32

Cuando se usa el método babilónico para generar aproximaciones sucesivas a la raíz cuadrada de un número entero, si uno comienza con el número entero más bajo como primera aproximación, todos los racionales generados aparecen en la lista de convergentes para la fracción continua. En concreto, las aproximantes aparecerán en la lista de convergentes en las posiciones 0, 1, 3, 7, 15, ... , 2^k −1,... Por ejemplo, la expansión de fracción continua para √3 es [1;1,2,1,2,1,2,1,2,...]. Comparando los convergentes con los aproximantes derivados del método babilónico:

n	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7
an			1	1	2	1	2	1	2	1
hn	0	1	1	2	5	7	19	26	71	97
kn	1	0	1	1	3	4	11	15	41	56

x₀ = 1 = 1/1

x₁ = 1/2(1 + 3/1) 2/1 = 2

x₂ = 1/2(2 + 3/2) 7/4

x₃ = 1/2()7/4 + 3/7/4) 97/56

Propiedades

Un espacio de Baire es un espacio topológico sobre secuencias infinitas de números naturales. La fracción continua infinita proporciona un homeomorfismo del espacio de Baire al espacio de los números reales irracionales (con la topología del subespacio heredada de la topología habitual sobre los reales). La fracción continua infinita también proporciona un mapa entre los irracionales cuadráticos y los racionales diádicos, y de otros irracionales al conjunto de cadenas infinitas de números binarios (es decir, el conjunto de Cantor); este mapa se llama la función de signo de interrogación de Minkowski. El mapeo tiene interesantes propiedades fractales auto-similares; estos están dados por el grupo modular, que es el subgrupo de transformaciones de Möbius que tienen valores enteros en la transformada. En términos generales, los convergentes de fracciones continuas pueden tomarse como transformaciones de Möbius que actúan en el semiplano superior (hiperbólico); esto es lo que conduce a la autosimetría fractal.

La distribución de probabilidad límite de los coeficientes en la expansión de fracción continua de una variable aleatoria distribuida uniformemente en (0, 1) es la distribución de Gauss-Kuzmin.

Algunos teoremas útiles

Si ${displaystyle A_{0}$, ${displaystyle A_{1}$, ${displaystyle a_{2}$, ${displaystyle ldots }$ es una secuencia infinita de enteros positivos, definir las secuencias ${displaystyle H_{n}$ y ${displaystyle K_{n}$ recursivamente:

${displaystyle ¿Qué?$			${displaystyle h_{-1}=1}$		${displaystyle H_{-2}=0}$
${displaystyle K_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}$			${displaystyle K_{-1}=0}$		${displaystyle K_{-2}=1}$

Teorema 1. Para cualquier número real positivo ${displaystyle z}$

${displaystyle left[a_{0};a_{1},dotsa_{n-1},zright]={frac {zh_{n-1}+h_{n-2}{zk_{n-1} {n-2}}}}} {n2}} {n2}}} {n1}}} {n1}}}} {n1}}}}}}}} {\n1}}}}}}} {n1}}}}} {\n1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\n1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\$

Teorema 2. Los convergentes de [${displaystyle A_{0}$; ${displaystyle A_{1}$, ${displaystyle a_{2}$, ${displaystyle ldots }$] son dados por

${displaystyle left[a_{0};a_{1},dotsa_{n}right]={frac {fn} {fn}} {fn}} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}} {$

Teorema 3. Si ${displaystyle n}$t convergent to a continued fraction is ${displaystyle H_{n}$/${displaystyle K_{n}$, entonces

${displaystyle k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}=(-1)^{n}$

Corollario 1: Cada convergente está en sus términos más bajos (para si ${displaystyle H_{n}$ y ${displaystyle K_{n}$ tenía un divisor común no tripartito que dividiría ${displaystyle ¿Qué?$, que es imposible).

Corolario 2: La diferencia entre convergentes sucesivos es una fracción cuyo numerador es la unidad:

${fnMicroc} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}}} {fnfn}}}} {fnfn}}} {fnfnfnfn}}}}}} {fn}}}}}}}}}}\\\fn}}}}}\\\fnfnfnfn}fnH\fn}}}}fn}}}}}\\fnfn}}\fnfnfn}}fn}\\fn\\fnfn}fn}\fn}fn}fn}fnfn}}\fn}\\fn}}}}}}}} {h_{n-1}{k_{n-1}={frac {h_{n}k_{n-1}}={frac {n+1}{k_{n-1}}}}={frac {=-1)}{n+1}{k_{n}k_{n-1}}}}}}}} {n-1}$

Corolario 3: La fracción continua equivale a una serie de términos alternos:

${displaystyle a_{0}+sum _{n=0}{infty }{frac {(-1)^{n}{k_{n}k_{n+1}}}}$

Corolario 4: La matriz

${begin{n}h_{n-1}k_{n}{n-1} {n} {n} {n} {n} {n}n}n}}}}} {cH}}}}}}}}}}}$

tiene determinante más o menos uno, y por lo tanto pertenece al grupo de ${displaystyle 2times 2}$ matrices unimodulares ${displaystyle mathrm {GL} (2,mathbb {Z})}$.

Teorema 4. Cada uno${displaystyle s}$t) La convergencia está más cerca de un subsiguiente (${displaystyle n}$to) convergent than any preceding (${displaystyle r}$t) convergente es. En símbolos, si ${displaystyle n}$t convergent is taken to be ${displaystyle [a_{0};a_{1},ldotsa_{n}=x_{n}$, entonces

${displaystyle left habitx_{r}-x_{n}right confiandoleft habitx_{s}-x_{n}right WordPress}$

para todos ${displaystyle r segn]$.

Corollario 1: Los incluso convergentes (antes de los ${displaystyle n}$a) Aumentar continuamente, pero siempre son menos que ${displaystyle x_{n}$.

Corollario 2: Los convergentes extraños (antes de los ${displaystyle n}$t) Disminuir continuamente, pero siempre son mayores que ${displaystyle x_{n}$.

Teorema 5.

${displaystyle {frac {1}{k_{n}(k_{n+1}+k_{n}} {)} {left habitx-{frac} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}}} {fn} {fn}} {fn}}}}}}}}}}}justo}}}}justo}}}}justo} {1}{k_{n+1}}}$

Corolario 1: Un convergente está más cerca del límite de la fracción continua que cualquier fracción cuyo denominador sea menor que el del convergente.

Corolario 2: Un convergente obtenido al terminar la fracción continua justo antes de un término grande es una aproximación cercana al límite de la fracción continua.

Semiconvergentes

Si

${fnMicroc} {h_{n-1}{k_{n-1}}} {frac {fn} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {cH}} {}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$

son convergentes consecutivos, entonces cualquier fracción de la forma

${fnMicroc} {h_{n-1}+mh_{n}{k_{n-1} {n}}}}} {cH} {cH}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}}}}} {ccH}}}} {cH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Donde ${displaystyle m}$ es un entero tal que ${displaystyle 0leq mleq a_{n+1}$, se llaman semiconvergentes, convergentes secundarios, o fracciones intermedias. El ${displaystyle (m+1)}$- el semiconvergente es igual al mediador del ${displaystyle m}$- el uno y el convergente ${fnMicroc} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {cH}} {}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$. A veces el término se toma para significar que ser un semiconvergente excluye la posibilidad de ser un convergente (es decir, ${displaystyle 0 0 0 0 0 0$En lugar de eso un convergente es una especie de semiconvergente.

Sigue que los semiconvergentes representan una secuencia monotónica de fracciones entre los convergentes ${fnMicroc} {h_{n-1} {k_{n-1}}}} {h_{n-1}} {c} {c}} {c}} {c}}}}} {c}}}}}}}} {c}}}}}}} {c}}}} {c}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$ (correspondiente a ${displaystyle m=0}$) y ${fnMicroc} {h_{n+1}{k_{n+1}}} {fn} {fn} {fn}} {c}}} {fn}}}}}}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$ (correspondiente a ${displaystyle m=a_{n+1}$). Los semiconvergentes consecutivos ${displaystyle {tfrac {}{b}}$ y ${fnMicroc} {C} {d}}$ satisfacer la propiedad ${displaystyle ad-bc=pm 1}$.

Si una aproximación racional ${fnMicroc} {} {}}}$ a un número real ${displaystyle x}$ es tal que el valor ${displaystyle left WordPressx-{tfrac {p}{q} 'justo en la vida$ es más pequeño que el de cualquier aproximación con un denominador más pequeño, entonces ${fnMicroc} {} {}}}$ es un semiconvergente de la continua expansión de la fracción ${displaystyle x}$. El contrario no es cierto, sin embargo.

Mejores aproximaciones racionales

Se puede optar por definir una mejor aproximación racional a un número real x como racional número n/d, d > 0, que está más cerca de x que cualquier aproximación con un denominador menor o igual. La fracción continua simple para x puede usarse para generar todas las mejores aproximaciones racionales para x aplicando estas tres reglas:

1. Realizar la fracción continua, y reducir su último término por una cantidad elegida (posiblemente cero).
2. El plazo reducido no puede tener menos de la mitad de su valor original.
3. Si el término final es incluso, la mitad de su valor es admisible sólo si el semiconvergente correspondiente es mejor que el convergente anterior. (Véase a continuación.)

Por ejemplo, 0,84375 tiene una fracción continua [0;1,5,2,2]. Aquí están todas sus mejores aproximaciones racionales.

Fracción continua	[0;1]	[0;1,3]	[0;1,4]	[0;1,5]	[0;1,5,2]	[0;1,5,2,1]	[0;1,5,2,2]
aproximación racional	1	3/4	4/5	5/6	11/13	16/19	27/32
equivalente decimal	1	0,75	0,8	~0.83333	~0.84615	~0.84211	0.84375
Error	+18.519%	−11,111%	−5.1852%	−1.2346%	+0.28490%	−0.19493%	0%

Mejores aproximaciones racionales para π (círculo verde), e (Roma azul) φ (oblong de horquilla), (√3)/2 (hexágono gris), 1/√2 (octagon rojo) y 1/√3 (triángulo extraño) calculado a partir de sus continuas expansiones de fracciones, trazadas como pendientes Sí./x con errores de sus verdaderos valores

• v
• t
• e

El aumento estrictamente monótono en los denominadores a medida que se incluyen términos adicionales permite que un algoritmo imponga un límite, ya sea en el tamaño del denominador o en la cercanía de la aproximación.

La "regla de la mitad" mencionado anteriormente requiere que cuando a_k es par, el término reducido a la mitad a_k/2 es admisible si y solo si |x − [a₀; a₁,..., a_{k − 1}]| > |x − [a₀; a₁,..., a_{k − 1}, a_k/2]| Esto es equivalente a: Shoemake (1995).

[a_k; a_{k − 1},... a₁♪a_k; a_{k + 1},...].

Los convergentes a x son "mejores aproximaciones" en un sentido mucho más fuerte que el definido anteriormente. Es decir, n/d es un convergente para x si y solo si |dx − n| tiene el valor más pequeño entre las expresiones análogas para todas las aproximaciones racionales m /c con c ≤ d; es decir, tenemos |dx − n| < |cx − m| siempre que c < d. (Tenga en cuenta también que |d_kx − n_k| → 0 como k → ∞).

Mejor racional dentro de un intervalo

Un racional que cae dentro del intervalo (x, y), para 0 < x < y, se puede encontrar con las fracciones continuas para x y y. Cuando tanto x como y son irracionales y

x =a₀; a₁, a₂,... a_{k − 1}, a_k, a_{k + 1},...]

Sí. =a₀; a₁, a₂,... a_{k − 1}, b_k, b_{k + 1},...]

donde x y y< /span> tienen expansiones de fracciones continuas idénticas hasta a_k−1, un racional que cae dentro del intervalo (x, y) viene dado por la fracción continua finita,

z()x,Sí..a₀; a₁, a₂,... a_{k − 1}, min(a_k, b_k) + 1]

Este racional será mejor en el sentido de que ningún otro racional en (x, y) tendrá un numerador más pequeño o un denominador más pequeño.

Si x es racional, tendrá dos representaciones de fracciones continuas que son finito, x₁ y x₂, y de manera similar un racional y tendrá dos representaciones, y₁ y y₂ . Los coeficientes posteriores al último en cualquiera de estas representaciones deben interpretarse como +∞; y el mejor racional será uno de z(x₁, y ₁), z(x₁, y₂), z(x_{2< /sub>, y1)}, o z(x₂, y₂).

Por ejemplo, la representación decimal 3,1416 podría redondearse a partir de cualquier número en el intervalo [3,14155, 3,14165). Las representaciones de fracciones continuas de 3.14155 y 3.14165 son

3.14155 = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2]

3.14165 = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4]

y el mejor racional entre estos dos es

[3; 7, 16] = 355/113 = 3.1415929...

Por lo tanto, 355/113 es el mejor número racional correspondiente al número decimal redondeado 3,1416, en el sentido de que ningún otro número racional que se redondearía a 3,1416 tendrá un numerador más pequeño o un denominador más pequeño.

Intervalo para un convergente

Un número racional, que se puede expresar como fracción continua finita de dos maneras,

z =a₀; a₁,... a_{k − 1}, a_k, 1] = [a₀; a₁,... a_{k − 1}, a_k + 1] = p_k/q_k

será uno de los convergentes para la expansión en fracción continua de un número, si y solo si el número está estrictamente entre (ver esta prueba)

x =a₀; a₁,... a_{k − 1}, a_k, 2] = 2p_k - p_k-1/2q_k - q_k-1 y

Sí. =a₀; a₁,... a_{k − 1}, a_k + 2] = p_k + p_k-1/q_k + q_k-1

Los números x y y se forman incrementando el último coeficiente en las dos representaciones de z. Se da el caso de que x < y cuando k es par, y < i>x > y cuando k es impar.

Por ejemplo, el número 355/ 113 tiene las representaciones de fracciones continuas

355/113 = [3; 7, 15, 1] = [3; 7, 16]

y por lo tanto 355/113 es un convergente de cualquier número estrictamente entre

[3; 7, 15, 2]	=	688/219 ■ 3.1415525
[3; 7, 17]	=	377/120 ■ 3.1416667

Comparación

Considere x = [a₀; a₁,...] y y = [b₀; b₁,...]. Si k es el índice más pequeño para el que a _k no es igual a b_k luego x < y si (−1)^k(a< sub>k − b_k) < 0 y y < x de lo contrario.

Si no existe tal k, pero una expansión es más corta que la otra, diga x = [a₀; a₁,..., a_n] y y = [b₀; b₁,..., b_n, b< /i>_{n + 1},...] con a_{< i>i} = b_i para 0 ≤ i ≤ n, luego x < y si n es par y y < x si n es impar.

Expansión en fracciones continuas de π y sus convergentes

Para calcular los convergentes de π podemos establecer a₀ = ⌊π⌋ = 3, define u₁ = 1/π − 3 ≈ 7,0625 y a< /i>₁ = ⌊u₁⌋ = 7, u< /i>₂ = 1/ u₁ − 7 ≈ 15,9966 y a₂ = ⌊u₂⌋ = 15, u₃ = 1/u₂ − 15< /span> ≈ 1.0034. Continuando así, se puede determinar la fracción continua infinita de π como

[3;7,15,1,292,1,1,1,...] (secuencia) A001203 en el OEIS).

El cuarto convergente de π es [3;7,15,1] = 355/113 = 3.14159292035..., a veces llamado Milü, que está bastante cerca del verdadero valor de π.

Supongamos que los cocientes encontrados son, como arriba, [3;7,15,1]. La siguiente es una regla por la cual podemos escribir de inmediato las fracciones convergentes que resultan de estos cocientes sin desarrollar la fracción continua.

El primer cociente, supuestamente dividido por la unidad, dará la primera fracción, que será demasiado pequeña, a saber, 3< /span>/1. Entonces, multiplicando el numerador y el denominador de esta fracción por el segundo cociente y sumando la unidad al numerador, tendremos la segunda fracción, 22/7, que será demasiado grande. Multiplicando de igual manera el numerador y el denominador de esta fracción por el tercer cociente, y sumando al numerador el numerador de la fracción precedente, y al denominador el denominador de la fracción precedente, tendremos la tercera fracción, que será también pequeña. Así, siendo el tercer cociente 15, tenemos como numerador (22 × 15 = 330) + 3 = 333, y como denominador, (7 × 15 = 105) + 1 = 106. El tercer convergente, por lo tanto, es 333/< abarcan clase="den">106. Procedemos de la misma manera para el cuarto convergente. Siendo el cuarto cociente 1, decimos que 333 por 1 es 333, y este más 22, el numerador de la fracción anterior, es 355; Del mismo modo, 106 por 1 es 106, y esto más 7 es 113. De esta manera, empleando los cuatro cocientes [3;7,15,1], obtenemos las cuatro fracciones:

3/1, 22/7, 333/106, 355/113,...

El siguiente código Maple generará expansiones de fracciones continuas de pi

Para resumir, el patrón es ${displaystyle {text{Numerator}}_{i}={text{Numerator}_{(i-1)}cdot {text{Quotient}}_{i}+{text{Numerator}_{(i-2)}}}}}}}}}} {i}}} {f}}} {f}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}} {f}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$${displaystyle {text{Denominator}}_{i}={text{Denominator}_{(i-1)}cdot {text{Quotient}}_{i}+{text{Denominator}_{(i-2)}}}}}}}}}} {i}} {i}}}}}} {$

Estos convergentes son alternativamente más pequeños y más grandes que el valor verdadero de π, y se acercan cada vez más a π. La diferencia entre un convergente dado y π es menor que el recíproco del producto de los denominadores de ese convergente y el siguiente convergente. Por ejemplo, la fracción 22/7 es mayor que π, pero 22/7 − π es menor que 1/7 × 106 = 1/742 (de hecho, 22/7 − π es más que 1/791 = 1/7 × 113).

La demostración de las propiedades anteriores se deduce de que si buscamos la diferencia entre una de las fracciones convergentes y la siguiente contigua obtendremos una fracción cuyo numerador es siempre la unidad y el denominador el producto de los dos denominadores. Así, la diferencia entre 22/7 y 3/1 es 1/7, en exceso; entre 333/106 y 22/< /span>7, 1/742, en déficit; entre 355/113 y 333/< /span>106, 1/11978, en exceso; y así. El resultado es que empleando esta serie de diferencias podemos expresar de otra manera muy simple las fracciones que aquí nos ocupan, por medio de una segunda serie de fracciones cuyos numeradores son todos la unidad y los denominadores son sucesivamente la producto de cada dos denominadores adyacentes. En lugar de las fracciones escritas arriba, tenemos así la serie:

3/1 + 1/1 × 7 − 1/7 × 106 + 1/106 × 113 −

El primer término, como vemos, es la primera fracción; el primero y el segundo juntos dan la segunda fracción, 22/7; el primero, el segundo y el tercero dan la tercera fracción 333/ 106, y así sucesivamente con el resto; el resultado es que la serie entera es equivalente al valor original.

Fracción continua generalizada

Una fracción continua generalizada es una expresión de la forma

${displaystyle x=b_{0}+{cfrac {a_{1}{b_{1}+{cfrac {a_{2}{b_{2}+{cfrac {a_{3}{b_{3}+{cfrac {a_{4}{b_{4}+ddots {fnMicrosoft Sans Serif}}}}}}}$

donde a_n (n > 0) son los numeradores parciales, los b_n son los denominadores parciales, y el término inicial b₀ se llama entero parte de la fracción continua.

Para ilustrar el uso de fracciones continuas generalizadas, considere el siguiente ejemplo. La secuencia de denominadores parciales de la fracción continua simple de π no muestra ningún patrón obvio:

${displaystyle pi =[3;7,15,1,292,1,1,2,1,3,1,ldots]}$

o

${displaystyle pi =3+{cfrac {1}{7+{cfrac {1}{15+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{292+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{3+{cfrac {1}{1+ddots - Sí.$

Sin embargo, varias fracciones continuas generalizadas para π tienen una estructura perfectamente regular, como:

${displaystyle pi ={cfrac {4}{1+{cfrac {1^{2}{2+{cfrac {3^{2}{2+{cfrac {5^{2}{2+{cfrac {7^{2}{2+{cfrac {9^{2}{2+ddots {}}}}}}} {frac {4}{1+{cfrac {1^{2}{3+{cfrac {2}{5+{cfrac {3^{2}{7+{cfrac {4^{2}{9+ddots - Sí. {1}{6+{frac {3^{2}{6+{cfrac {5}{6+{cfrac {7^{2}{6+{cfrac {9^{2}{6+ddots {}}}}}}} {}}}}$

${displaystyle displaystyle pi =2+{cfrac {2}{1+{cfrac {1}{1/2+{cfrac {1}{1/3+{cfrac {1}{1/4+ddots - Sí. {2}{1+{cdot 2}{1+{2cdot 3}{1+{cfrac {3cdot 4}{1+ddots - Sí.$

${displaystyle displaystyle pi =2+{cfrac {4}{3+{cdot 3}{4+{4+{3cdot 5}{4+{cfrac {5cdot 7}{4+ddots - Sí.$

Los dos primeros son casos especiales de la función arcotangente con π = 4 arctan (1) y el cuarto y el quinto se puede derivar usando el producto de Wallis.

${displaystyle pi =3+{cfrac {1}{6+{cfrac {1^{3}+2^{3}{6+{cfrac {1^{3}+2^{3}+3}+4^{3}{6+{cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}{6+{cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5}+6^{3}+7^{3}+8^{3}{6+ddots {}}}}}}} {}}}}$

La fracción continua de ${displaystyle pi}$ arriba consiste de cubos utiliza la serie Nilakantha y una explotación de Leonhard Euler.

Otros desarrollos en fracciones continuas

Fracciones continuas periódicas

Los números con expansión periódica en fracción continua son precisamente las soluciones irracionales de ecuaciones cuadráticas con coeficientes racionales; Las soluciones racionales tienen expansiones en fracciones continuas finitas como se indicó anteriormente. Los ejemplos más simples son la proporción áurea φ = [1;1,1,1,1,1,...] y √2 = [1;2,2,2,2,...], mientras que √14 = [3;1,2,1,6,1,2,1,6...] y √42 = [6;2,12,2,12,2,12...]. Todas las raíces cuadradas irracionales de números enteros tienen una forma especial para el período; una cadena simétrica, como la cadena vacía (para √2) o 1,2,1 (para √14), seguido del el doble del entero principal.

Una propiedad de la proporción áurea φ

Debido a que la expansión de fracciones continuas para φ no usa números enteros mayores que 1, φ es una de las más "difíciles" números reales para aproximar con números racionales. El teorema de Hurwitz establece que cualquier número irracional k puede ser aproximado por un número infinito de m/< i>n con

${displaystyle left habitk-{mover n}right obedeció {1over n^{2}{sqrt {5}}}$

Mientras que prácticamente todos los números reales k eventualmente tendrá infinitamente muchos convergentes m/n cuya distancia k es significativamente menor que este límite, los convergentes para φ (es decir, los números 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, etc.) consistentemente "toe el límite", manteniendo una distancia casi exactamente ${displaystyle {scriptstyle {1 over n^{2}{sqrt {}}}$ lejos de φ, por lo tanto nunca producir una aproximación casi tan impresionante como, por ejemplo, 355/113 para π. También se puede demostrar que cada número real de la forma a + bφ/c + dφ, donde a, b, c, y d son enteros tales que ad − bc = ±1, comparte esta propiedad con la relación de oro φ; y que todos los demás números reales pueden ser más cerca aproximados.

Patrones regulares en fracciones continuas

Si bien no hay un patrón perceptible en la expansión de fracción continua simple de π, hay uno para e, la base del logaritmo natural:

${displaystyle e=e^{1}=[2;1,2,1,4,1,6,1,1,1,8,1,10,1,12,1,dots ],}$

que es un caso especial de esta expresión general para enteros positivos n:

${displaystyle e^{1/n}=[1;n-1,1,3,3n-1,1,1,5n-1,1,1,1,7n-1,1,dots ],!$

Otro patrón más complejo aparece en esta expansión de fracción continua para n impares positivos:

${displaystyle e^{2/n}=left[1;{frac {n-1}{2},6n,{frac {5n-1}{2}},1,{frac {7n-1}{2}}},18n,{frac {11n-1}{2}}},1, {frac {13n-1}{2}}}},30n,{frac {17n-1}{2}}}},1,1, {dots} {} {} {} {}} {} {} {}}} {} {} {} {} {} {}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}} {f} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}$

con un caso especial para n = 1:

${displaystyle e^{2}=[7;2,1,3,18,5,1,6,30,8,1,1,1,2,1,1,1,1,12,54,14,1,1dots3k,12k+6,3k+2,1,1dots ],!}$

Otras fracciones continuas de este tipo son

${displaystyle tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,dots]}$

donde n es un número entero positivo; también, para el número entero n:

${displaystyle tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,9n-2,1,dots ],!,}$

con un caso especial para n = 1:

${displaystyle tan(1)=[1;1,3,1,5,1,7,1,1,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19,1,dots ],!}$

Si I_n(x) es la función de Bessel modificada, o hiperbólica, del primer tipo, podemos definir una función en los racionales p/q por

${displaystyle S(p/q)={frac {I_{p/q}(2/q)}{I_{1+p/q}(2/q)}}}}$

que se define para todos los números racionales, con p y q en términos mínimos. Entonces, para todos los racionales no negativos, tenemos

${displaystyle S(p/q)=[p+q;p+2q,p+3q,p+4q,dots ],}$

con fórmulas similares para racionales negativos; en particular tenemos

${displaystyle S(0)=S(0/1)=[1;2,3,4,5,6,7,dots ].}$

Muchas de las fórmulas se pueden probar usando la fracción continua de Gauss.

Fracciones continuas típicas

La mayoría de los números irracionales no tienen ningún comportamiento periódico o regular en su expansión de fracción continua. Sin embargo, Khinchin probó que para casi todos los números reales x, la a_i (para i = 1, 2, 3, ...< /span>) tienen una propiedad asombrosa: su media geométrica tiende a una constante (conocida como la constante de Khinchin, K ≈ 2.6854520010...) independiente del valor de x. Paul Lévy demostró que la nésima raíz del denominador de la nésimo convergente de la expansión de fracción continua de casi todos los números reales se acerca a un límite asintótico, aproximadamente 3,27582, que se conoce como la constante de Lévy. Lagos' El teorema establece que el nésimo convergente de la expansión de fracción continua de casi todos los números reales determina el número con una precisión promedio de poco más de < span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n lugares decimales.

Aplicaciones

Raíces cuadradas

Las fracciones continuas generalizadas se utilizan en un método para calcular raíces cuadradas.

La identidad

${displaystyle {sqrt {x}=1+{frac {x-1}{1+{sqrt {x}}}$

()1)

lleva vía recursiva a la fracción continua generalizada para cualquier raíz cuadrada:

${displaystyle {sqrt {x}=1+{cfrac {x-1}{2+{cfrac {x-1}{2+{cfrac {x-1}{2+{ddots - Sí.$

()2)

Ecuación de Pell

Las fracciones continuas juegan un papel esencial en la solución de la ecuación de Pell. Por ejemplo, para números enteros positivos p y q, y n no cuadrados, es cierto que si p² − nq² = ±1, luego p/q es un convergente de la fracción continua regular para √n. Lo contrario es válido si el período de la fracción continua regular para √n es 1 y, en general, el período describe qué convergentes dan soluciones a la ecuación de Pell.

Sistemas dinámicos

Las fracciones continuas también desempeñan un papel en el estudio de los sistemas dinámicos, donde unen las fracciones de Farey que se ven en el conjunto de Mandelbrot con la función de signo de interrogación de Minkowski y el grupo modular Gamma.

El operador de desplazamiento hacia atrás para fracciones continuas es el mapa h(x) = 1/x − ⌊1/x⌋ llamado el mapa de Gauss, que corta dígitos de una expansión de fracción continua: h([0; a< sub>1, a₂, a₃,...]) = [0; a₂, a₃,...]. El operador de transferencia de este mapa se llama operador de Gauss-Kuzmin-Wirsing. La distribución de los dígitos en fracciones continuas viene dada por el autovector cero de este operador y se denomina distribución de Gauss-Kuzmin.

Valores propios y vectores propios

El algoritmo de Lanczos utiliza una expansión de fracción continua para aproximar iterativamente los valores y vectores propios de una matriz dispersa grande.

Aplicaciones de red

Las fracciones continuas también se han utilizado en el modelado de problemas de optimización para la virtualización de redes inalámbricas para encontrar una ruta entre un origen y un destino.

Ejemplos de números racionales e irracionales

Number	r	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
123	ar	123
	ra	123
12.3	ar	12	3	3
	ra	12	37/3	123/10
1.23	ar	1	4	2	1	7
	ra	1	5/4	11/9	16/13	123/100
0.123	ar	0	8	7	1	2	5
	ra	0	1/8	7/57	8/65	23/187	123/1 000
Φ = ${displaystyle {frac {1+{sqrt {5}}}{2}}}$	ar	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	ra	1	2	3/2	5/3	8/5	13/8	21/13	34/21	55/34	89/55	144/89
-Φ = ${displaystyle -{frac {1+{sqrt {5}}}{2}}}$	ar	-2	2	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	ra	-2	-3/2	-5/3	-8/5	-13/8	-21/13	-34/21	-55/34	-89/55	-144/89	-233/144
${displaystyle {sqrt {2}}}$	ar	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
	ra	1	3/2	7/5	17/12	41/29	99/70	239/169	577/408	1 393/985	3 363/2 378	8 119/5 741
${displaystyle {frac {1}{sqrt {2}}}}$	ar	0	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2
	ra	0	1	2/3	5/7	12/17	29/41	70/99	169/239	408/577	985/1 393	2 378/3 363
${displaystyle {sqrt {3}}}$	ar	1	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2
	ra	1	2	5/3	7/4	19/11	26/15	71/41	97/56	265/153	362/209	989/571
${displaystyle {frac {1}{sqrt {3}}}}$	ar	0	1	1	2	1	2	1	2	1	2	1
	ra	0	1	1/2	3/5	4/7	11/19	15/26	41/71	56/97	153/265	209/362
${displaystyle {frac {sqrt {3}}{2}}}$	ar	0	1	6	2	6	2	6	2	6	2	6
	ra	0	1	6/7	13/15	84/97	181/209	1 170/1 351	2 521/2 911	16 296/18 817	35 113/40 545	226 974/262 087
${displaystyle {sqrt[{3}]{2}}}$	ar	1	3	1	5	1	1	4	1	1	8	1
	ra	1	4/3	5/4	29/23	34/27	63/50	286/227	349/277	635/504	5 429/4 309	6 064/4 813
e	ar	2	1	2	1	1	4	1	1	6	1	1
	ra	2	3	8/3	11/4	19/7	87/32	106/39	193/71	1 264/465	1 457/536	2 721/1 001
π	ar	3	7	15	1	292	1	1	1	2	1	3
	ra	3	22/7	333/106	355/113	103 993/33 102	104 348/33 215	208 341/66 317	312 689/99 532	833 719/265 381	1 146 408/364 913	4 272 943/1 360 120
Number	r	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

ra: aproximante racional obtenida al expandir la fracción continua hasta a_r

Historia

• 300 BCE Elementos de Euclid contiene un algoritmo para el mayor divisor común, cuya versión moderna genera una fracción continua como la secuencia de cocientes de divisiones Euclides sucesivas que ocurren en ella.
• 499 El Aryabhatiya contiene la solución de ecuaciones indeterminadas utilizando fracciones continuas
• 1572 Rafael Bombelli, L'Algebra Opera – método para la extracción de raíces cuadradas que se relaciona con fracciones continuas
• 1613 Pietro Cataldi, Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri – primera notación para fracciones continuas

Cataldi representó una fracción continua como ${displaystyle A_{0}$ " ${fnMicroc} {n_{1}{d_{1}cdot }$ " ${fnMicroc} {n_{2}{d_{2}cdot }$ " ${fnMicroc} {n_{3}{d_{3}cdot }$ con los puntos que indican dónde fueron las siguientes fracciones.

• 1695 John Wallis, Opera Mathematica – introducción del término "Fracción suspendida"
• 1737 Leonhard Euler, De fractionibus continuis dissertatio – Proporcionó la primera cuenta entonces comprensiva de las propiedades de fracciones continuas, e incluyó la primera prueba de que el número e es irracional.
• 1748 Euler, Introductio in analysin infinitorum. Vol. I, Capítulo 18 – probó la equivalencia de una cierta forma de fracción continua y una serie infinita generalizada, probó que cada número racional puede ser escrito como una fracción continua finita, y demostró que la fracción continua de un número irracional es infinita.
• 1761 Johann Lambert – dio la primera prueba de la irracionalidad de π utilizando una fracción continua para tan(x).
• 1768 Joseph-Louis Lagrange – proporcionó la solución general a la ecuación de Pell usando fracciones continuas similares a las de Bombelli
• 1770 Lagrange – demostró que los irracionales cuadráticos se expanden a fracciones continuas periódicas.
• 1813 Carl Friedrich Gauss, Werke, Vol. 3, pp. 134–138 - obtuvo una fracción continua de valor complejo muy general a través de una identidad inteligente que implica la función hipergeométrica
• 1892 Henri Padé definió Padé aproximant
• 1972 Bill Gosper – Primero algoritmos exactos para la aritmética de la fracción continua.