Fórmulas de Newton-Cotes

fórmula Newton-Cotes paran=2{displaystyle n=2}

En análisis numérico, las fórmulas de Newton-Cotes, también llamadas reglas de cuadratura de Newton-Cotes o simplemente reglas de Newton-Cotes, son un grupo de fórmulas para la integración numérica (también llamado cuadratura) basado en la evaluación del integrando en puntos igualmente espaciados. Llevan el nombre de Isaac Newton y Roger Cotes.

Las fórmulas de Newton-Cotes pueden ser útiles si se proporciona el valor del integrando en puntos igualmente espaciados. Si es posible cambiar los puntos en los que se evalúa el integrando, entonces probablemente sean más adecuados otros métodos como la cuadratura gaussiana y la cuadratura de Clenshaw-Curtis.

Descripción

Se supone que el valor de una función f definidas [a,b]{displaystyle [a,b]} es conocido n+1{displaystyle n+1} puntos igualmente espaciados: <math alttext="{displaystyle aleq x_{0}<x_{1}<dots a≤ ≤ x0.x1.⋯ ⋯ .xn≤ ≤ b{displaystyle aleq x_{0}cantadox_{1} - No.<img alt="{displaystyle aleq x_{0}<x_{1}<dots . Hay dos clases de cuadratura Newton-Cotes: se llaman "cerrado" cuando x0=a{displaystyle x_{0}=a} y xn=b{displaystyle x_{n}=b}, es decir, utilizan los valores de función en los puntos finales del intervalo, y "abierto" cuando a}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x0■a{displaystyle x_{0}a}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576395f3e33292f4174564fb8f6ea85a44e94cad" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.712ex; height:2.176ex;"/> y <math alttext="{displaystyle x_{n}xn.b{displaystyle x_{n}tratadob}<img alt="{displaystyle x_{n}, es decir, no utilizan los valores de función en los puntos finales. Fórmulas Newton-Cotes usando n+1{displaystyle n+1} puntos se pueden definir (para ambas clases) como

∫ ∫ abf()x)dx.. .. i=0nwif()xi),{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxapprox sum ¿Qué?

• para una fórmula cerrada, xi=a+ih{displaystyle x_{i}=a+ih}, con h=b− − an{displaystyle h={frac {B-a}{n}},
• para una fórmula abierta, xi=a+()i+1)h{displaystyle x_{i}=a+(i+1)h}, con h=b− − an+2{displaystyle h={frac {b-a}{n+2}}.

El número h se llama tamaño del paso, wi{displaystyle ¿Qué? se llaman pesos.

Los pesos se pueden calcular como la parte integral de los polinomios de base Lagrange. Ellos dependen sólo de xi{displaystyle x_{i}} y no en la función f.

Vamos L()x){displaystyle L(x)} ser el polinomio de interpolación en el formulario Lagrange para los puntos de datos dados ()x0,f()x0)),()x1,f()x1)),...... ,()xn,f()xn)){displaystyle (x_{0},f(x_{0})),(x_{1},f(x_{1})),ldots(x_{n},f(x_{n})}, entonces

∫ ∫ abf()x)dx.. ∫ ∫ abL()x)dx=∫ ∫ ab().. i=0nf()xi)li()x))dx=.. i=0nf()xi)∫ ∫ abli()x)dx⏟ ⏟ wi.{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxapproxint _{a}^{b}L(x),dx=int _{a}b}left(sum) ¿Por qué? ¿Por qué?

Inestabilidad de alto grado

Se puede construir una fórmula de Newton-Cotes de cualquier grado n. Sin embargo, para grandes n, una regla de Newton-Cotes a veces puede sufrir el catastrófico fenómeno de Runge en el que el error crece exponencialmente para grande n. Los métodos como la cuadratura gaussiana y la cuadratura de Clenshaw-Curtis con puntos desigualmente espaciados (agrupados en los puntos finales del intervalo de integración) son estables y mucho más precisos, y normalmente se prefieren a Newton-Cotes. Si estos métodos no se pueden usar, porque el integrando solo se da en la cuadrícula equidistribuida fija, entonces el fenómeno de Runge se puede evitar usando una regla compuesta, como se explica a continuación.

Como alternativa, se pueden construir fórmulas estables de Newton-Cotes utilizando la aproximación de mínimos cuadrados en lugar de la interpolación. Esto permite construir fórmulas numéricamente estables incluso para grados altos.

Fórmulas cerradas de Newton-Cotes

Esta tabla enumera algunas de las fórmulas Newton-Cotes del tipo cerrado. Para 0≤ ≤ i≤ ≤ n{displaystyle 0leq ileq n}, vamos xi=a+ih{displaystyle x_{i}=a+ih} Donde h=b− − an{displaystyle h={frac {B-a}{n}}, y fi=f()xi){displaystyle f_{i}=f(x_{i}}.

Cerrado Newton–Cotes Fórmulas

n	Tamaño del paso h	Nombre común	Formula	Período de error
1	b− − a{displaystyle b-a}	Regla Trapezoidal	12h()f0+f1){displaystyle {frac {2}h(f_{0}+f_{1}}	− − 112h3f()2)().. ){displaystyle -{frac {1}h^{3}f^{(2)}(xi)}
2	b− − a2{fnMicroc} {b-a}{2}}	Regla de Simpson	13h()f0+4f1+f2){displaystyle {frac {3}h(f_{0}+4f_{1}+f_{2} }	− − 190h5f()4)().. ){displaystyle -{frac {1}h^{5}f^{(4)}(xi)}
3	b− − a3{fnMicroc} {b-a}{3}}	Regla 3/8 de Simpson	38h()f0+3f1+3f2+f3){fnMicroc} {3} {8}h(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3}}}	− − 380h5f()4)().. ){displaystyle -{frac {3}h^{5}f^{(4)}(xi)}
4	b− − a4{fnMicroc} {b-a}{4}}	Regla de Boole	245h()7f0+32f1+12f2+32f3+7f4){displaystyle {frac {2}h(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4}}}	− − 8945h7f()6)().. ){displaystyle -{frac {8}h^{7}f^{(6)}(xi)}

La regla de Boole a veces se denomina erróneamente regla de Bode, como resultado de la propagación de un error tipográfico en Abramowitz y Stegun, uno de los primeros libros de referencia.

El exponente del tamaño del paso h en el término de error da la tasa a la que disminuye el error de aproximación. El orden del derivado de f en el término de error da el grado más bajo de un polinomio que ya no puede ser integrado exactamente (es decir, con error igual a cero) con esta regla. El número .. {displaystyle xi } debe tomarse del intervalo ()a,b), por lo tanto, el límite de error es igual al término de error cuando <math alttext="{displaystyle f(xi)=max(f(x)),a<xf().. )=max()f()x)),a.x.b{displaystyle f(xi)=max(f(x)),a traicionax obtenidosb}<img alt="{displaystyle f(xi)=max(f(x)),a<x.

Fórmulas abiertas de Newton-Cotes

Esta tabla enumera algunas de las fórmulas Newton-Cotes del tipo abierto. Para 0≤ ≤ i≤ ≤ n{displaystyle 0leq ileq n}, vamos xi=a+()i+1)h{displaystyle x_{i}=a+(i+1)h} Donde h=b− − an+2{displaystyle h={frac {b-a}{n+2}}, y fi=f()xi){displaystyle f_{i}=f(x_{i}}.

Open Newton–Cotes Fórmulas

n	Tamaño del paso h	Nombre común	Formula	Período de error
0	b− − a2{fnMicroc} {b-a}{2}}	Regla de rectángulo, o Regla de punto medio	2hf0{displaystyle 2hf_{0}	13h3f()2)().. ){displaystyle {frac {1}h^{3}f^{(2)}(xi)}
1	b− − a3{fnMicroc} {b-a}{3}}		32h()f0+f1){displaystyle {frac {3}h(f_{0}+f_{1}}	34h3f()2)().. ){displaystyle {frac {3}h^{3}f^{(2)}(xi)}
2	b− − a4{fnMicroc} {b-a}{4}}	Regla de Milne	43h()2f0− − f1+2f2){displaystyle {frac {4}h(2f_{0}-f_{1}+2f_{2}}	1445h5f()4)().. ){displaystyle {frac {14}h^{5}f}(xi)}
3	b− − a5{displaystyle {frac {b-a}{5}}		524h()11f0+f1+f2+11f3){displaystyle {frac {5}h(11f_{0}+f_{2}+11f_{3}}}	95144h5f()4)().. ){displaystyle {frac {95}h^{5}f^{(4)}(xi)}

Reglas compuestas

Para que las reglas Newton-Cotes sean precisas, el tamaño del paso h necesita ser pequeña, lo que significa que el intervalo de integración [a,b]{displaystyle [a,b]} debe ser pequeña, que no es verdad la mayor parte del tiempo. Por esta razón, uno generalmente realiza la integración numérica dividiendo [a,b]{displaystyle [a,b]} en subintervalos más pequeños, aplicando una regla Newton-Cotes en cada subintervalo, y agregando los resultados. Esto se llama norma compuesta. Ver integración numérica.