Fórmulas de Frenet-Serret

En geometría diferencial, la Fórmulas Frenet-Serret describir las propiedades cinemáticas de una partícula moviéndose a lo largo de una curva diferenciable en el espacio Euclideano tridimensional ${displaystyle mathbb {R} } {}} {}displaystyle mathbb {R} }$, o las propiedades geométricas de la curva misma independientemente de cualquier movimiento. Más específicamente, las fórmulas describen los derivados de los llamados tangente, normal y binormal vectores de unidad en términos de uno al otro. Las fórmulas son nombradas por los dos matemáticos franceses que las descubrieron independientemente: Jean Frédéric Frenet, en su tesis de 1847, y Joseph Alfred Serret, en 1851. La notación de vectores y el álgebra lineal utilizado actualmente para escribir estas fórmulas no estaban todavía disponibles en el momento de su descubrimiento.

Los vectores de unidad tangente, normal y binormal, a menudo llamados T, N, y B, o colectivamente Frenet–Serret frame o Marco TNB, juntos forman una base ortonormal que abarca ${displaystyle mathbb {R} } {}} {}displaystyle mathbb {R} }$ y se definen de la siguiente manera:

• T es el vector de unidad tangente a la curva, apuntando en la dirección del movimiento.
• N es el vector de unidad normal, el derivado de T con respecto al parámetro de longitud de la curva, dividido por su longitud.
• B es el vector de unidad binormal, el producto de la cruz T y N.

Las fórmulas de Frenet-Serret son:

${displaystyle {begin{aligned}{frac {mathrm {d}mathbf {}{mathrm {d} s}} {kappamathbf} {}} {f}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} { {N}{frac {mathrm {d} mathbf {N}{mathrm {d} {} {=-kappa mathbf {T} +tau mathbf {B}\\frac {m} {m} {d}m} {m} {m} {m}t}t} {c} {c}t} {c} {c} {c} {c}t}t} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c}c}c}c}c}c} {c} {c}c} {c}c} {c}c} {c}c}c}c}c}c}c}c}c} {c} {c}c}c}c}c}cc}c}c}c {N}end{aligned}}$

donde d/ds es la derivada con respecto a la longitud del arco, κ es la curvatura y τ es la torsión de la curva. Los dos escalares κ y τ definen efectivamente la curvatura y torsión de una curva espacial. La colección asociada, T, N, B, κ y τ, se llama aparato de Frenet-Serret. Intuitivamente, la curvatura mide el fracaso de una curva para ser una línea recta, mientras que la torsión mide el fracaso de una curva para ser plana.

Definiciones

Sea r(t) una curva en el espacio euclidiano, que representa el vector de posición de la partícula en función del tiempo. Las fórmulas de Frenet-Serret se aplican a curvas que son no degeneradas, lo que significa aproximadamente que tienen una curvatura distinta de cero. Más formalmente, en esta situación el vector velocidad r′(t) y el vector aceleración r′′(t) no deben ser proporcionales.

Sea s(t) la longitud del arco que la partícula se ha movido a lo largo de la curva en el tiempo t. La cantidad s se utiliza para dar a la curva trazada por la trayectoria de la partícula una parametrización natural por longitud de arco (es decir, parametrización de longitud de arco), ya que muchas trayectorias diferentes de partículas pueden trazar la misma curva geométrica. atravesándolo a diferentes velocidades. En detalle, s viene dado por

${displaystyle s(t)=int _{0} {t}leftmathbf {r} '(sigma)right sometidassigma.}$

Además, dado que hemos asumido que r′ ≠ 0, se deduce que s(t) es una función estrictamente monótona y creciente. Por lo tanto, es posible resolver t como función de s y, por tanto, escribir r(s) = r(t(s)). De este modo, la curva se parametriza preferentemente mediante su longitud de arco.

Con una curva no degenerada r(s), parametrizada por su longitud de arco, ahora es posible definir el marco Frenet-Serret (o trama TNB):

• El vector de unidad tangente T se define como
  $${displaystyle mathbf {T}:={frac {mathrm {d} mathbf {r} }{mathrm {d} }$$

  
• El vector de unidad normal N se define como
  $${displaystyle mathbf {N}:={frac {mathrm {d} {mathbf {T}{mathrm {d} s}}overlefttuc {frac {mathrm {d}mathbf {} {} {} {} {} {}}}}}}derech}}}derech}$$

  
  de la que sigue, T siempre tiene una magnitud unitaria, que N (el cambio de T) es siempre perpendicular a T, ya que no hay cambio de longitud T. Note que llamando curvatura ${displaystyle kappa =leftfncip {mhm} {mhm} {} {mhm} {f}}}justaf}}}}$ obtenemos automáticamente la primera relación.

• El vector de unidad binormal B se define como el producto de la cruz T y N:
  $${displaystyle mathbf {B}:=mathbf {T} times mathbf {N}$$

  

de lo que se deduce que B es siempre perpendicular tanto a T como a N. Por lo tanto, los tres vectores unitarios T, N y B son todos perpendiculares entre sí.

Las fórmulas de Frenet-Serret son:

${displaystyle {begin{aligned}{frac {mathrm {d}mathbf {}{mathrm {d} s}} {kappamathbf} {}} {f}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} { {N}{frac {mathrm {d} mathbf {N}{mathrm {d} {} {=-kappa mathbf {T} +tau mathbf {B}\\frac {m} {m} {d}m} {m} {m} {m}t}t} {c} {c}t} {c} {c} {c} {c}t}t} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c}c}c}c}c}c} {c} {c}c} {c}c} {c}c} {c}c}c}c}c}c}c}c}c} {c} {c}c}c}c}c}cc}c}c}c {N}end{aligned}}$

Donde ${displaystyle kappa }$ es la curvatura y ${displaystyle tau }$ es la torsión.

Las fórmulas de Frenet-Serret también se conocen como teorema de Frenet-Serret y se pueden expresar de manera más concisa utilizando notación matricial:

${displaystyle {begin{bmatrix}mathbf {T'} \mathbf {N'}\\\\\mcHFF}={begin{bmatrix}0 âkappa &0\-kappa &0}tau \0 âTMatau >$