Formulación matemática de la mecánica cuántica

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Estructuras matemáticas que permiten explicar mecánica cuántica

Las formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica son aquellos formalismos matemáticos que permiten una descripción rigurosa de la mecánica cuántica. Este formalismo matemático utiliza principalmente una parte del análisis funcional, especialmente los espacios de Hilbert, que son una especie de espacio lineal. Estos se distinguen de los formalismos matemáticos para las teorías físicas desarrolladas antes de principios del siglo XX por el uso de estructuras matemáticas abstractas, como espacios de Hilbert de dimensión infinita (espacio L2 principalmente) y operadores en estos espacios. En resumen, los valores de los observables físicos como la energía y el momento ya no se consideraban como valores de funciones en el espacio de fase, sino como valores propios; más precisamente como valores espectrales de operadores lineales en el espacio de Hilbert.

Estas formulaciones de la mecánica cuántica se siguen utilizando en la actualidad. En el centro de la descripción se encuentran las ideas de estado cuántico y observables cuánticos, que son radicalmente diferentes de las utilizadas en modelos anteriores de la realidad física. Si bien las matemáticas permiten el cálculo de muchas cantidades que pueden medirse experimentalmente, existe un límite teórico definido para los valores que pueden medirse simultáneamente. Esta limitación fue aclarada por primera vez por Heisenberg a través de un experimento mental y está representada matemáticamente en el nuevo formalismo por la no conmutatividad de los operadores que representan observables cuánticos.

Antes del desarrollo de la mecánica cuántica como una teoría independiente, las matemáticas utilizadas en la física consistían principalmente en análisis matemáticos formales, comenzando con el cálculo y aumentando en complejidad hasta la geometría diferencial y las ecuaciones diferenciales parciales. La teoría de la probabilidad se utilizó en la mecánica estadística. La intuición geométrica desempeñó un papel importante en los dos primeros y, en consecuencia, las teorías de la relatividad se formularon enteramente en términos de conceptos geométricos diferenciales. La fenomenología de la física cuántica surgió aproximadamente entre 1895 y 1915, y durante los 10 a 15 años anteriores al desarrollo de la mecánica cuántica (alrededor de 1925), los físicos continuaron pensando en la teoría cuántica dentro de los límites de lo que ahora se llama física clásica, y en particular dentro de las mismas estructuras matemáticas. El ejemplo más sofisticado de esto es la regla de cuantización de Sommerfeld-Wilson-Ishiwara, que se formuló completamente en el espacio de fase clásico.

Historia del formalismo

La "vieja teoría cuántica" y la necesidad de nuevas matemáticas

En la década de 1890, Planck pudo derivar el espectro del cuerpo negro, que luego se usó para evitar la catástrofe ultravioleta clásica al hacer la suposición poco ortodoxa de que, en la interacción de la radiación electromagnética con la materia, la energía solo podía intercambiarse en unidades discretas. que llamó cuantos. Planck postuló una proporcionalidad directa entre la frecuencia de la radiación y el cuanto de energía a esa frecuencia. La constante de proporcionalidad, $h$ , ahora se llama constante de Planck en su honor.

En 1905, Einstein explicó ciertas características del efecto fotoeléctrico al suponer que los cuantos de energía de Planck eran partículas reales, que luego se denominaron fotones.

Todos estos desarrollos fueron fenomenológicos y desafiaron la física teórica de la época. Bohr y Sommerfeld procedieron a modificar la mecánica clásica en un intento de deducir el modelo de Bohr a partir de los primeros principios. Propusieron que, de todas las órbitas clásicas cerradas trazadas por un sistema mecánico en su espacio de fase, solo se permitían las que encerraban un área que era un múltiplo de la constante de Planck. La versión más sofisticada de este formalismo fue la llamada cuantización de Sommerfeld-Wilson-Ishiwara. Aunque el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno podría explicarse de esta manera, el espectro del átomo de helio (clásicamente un problema irresoluble de 3 cuerpos) no pudo predecirse. El estatus matemático de la teoría cuántica permaneció incierto durante algún tiempo.

En 1923, de Broglie propuso que la dualidad onda-partícula se aplicaba no solo a los fotones, sino también a los electrones y a todos los demás sistemas físicos.

La situación cambió rápidamente entre los años 1925 y 1930, cuando se encontraron fundamentos matemáticos funcionales a través del trabajo innovador de Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Max Born, Pascual Jordan y el trabajo fundacional de John von Neumann, Hermann Weyl y Paul. Dirac, y fue posible unificar varios enfoques diferentes en términos de un nuevo conjunto de ideas. La interpretación física de la teoría también se aclaró en estos años luego de que Werner Heisenberg descubriera las relaciones de incertidumbre y Niels Bohr introdujera la idea de complementariedad.

La "nueva teoría cuántica"

La mecánica de matrices de Werner Heisenberg fue el primer intento exitoso de replicar la cuantización observada de los espectros atómicos. Más tarde en el mismo año, Schrödinger creó su mecánica ondulatoria. El formalismo de Schrödinger se consideró más fácil de entender, visualizar y calcular, ya que condujo a ecuaciones diferenciales, cuya resolución los físicos ya estaban familiarizados. En un año, se demostró que las dos teorías eran equivalentes.

El propio Schrödinger inicialmente no entendió la naturaleza probabilística fundamental de la mecánica cuántica, ya que pensó que el cuadrado absoluto de la función de onda de un electrón debería interpretarse como la densidad de carga de un objeto esparcido sobre un extenso, posiblemente infinito, volumen de espacio. Fue Max Born quien introdujo la interpretación del cuadrado absoluto de la función de onda como la distribución de probabilidad de la posición de un objeto puntual. La idea de Born pronto fue asumida por Niels Bohr en Copenhague, quien luego se convirtió en el 'padre'. de la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica. Se puede ver que la función de onda de Schrödinger está estrechamente relacionada con la ecuación clásica de Hamilton-Jacobi. La correspondencia con la mecánica clásica era aún más explícita, aunque algo más formal, en la mecánica matricial de Heisenberg. En su proyecto de tesis doctoral, Paul Dirac descubrió que la ecuación para los operadores en la representación de Heisenberg, como ahora se la llama, se traduce de cerca a las ecuaciones clásicas para la dinámica de ciertas cantidades en el formalismo hamiltoniano de la mecánica clásica, cuando uno las expresa a través de Los corchetes de Poisson, un procedimiento ahora conocido como cuantización canónica.

Para ser más precisos, ya antes de Schrödinger, el joven becario postdoctoral Werner Heisenberg inventó su mecánica matricial, que fue la primera mecánica cuántica correcta, el avance esencial. La formulación de la mecánica de matrices de Heisenberg se basó en álgebras de matrices infinitas, una formulación muy radical a la luz de las matemáticas de la física clásica, aunque partía de la terminología índice de los experimentalistas de la época, sin siquiera darse cuenta de que su & #34;esquemas de índice" eran matrices, como Born pronto le señaló. De hecho, en estos primeros años, el álgebra lineal generalmente no era popular entre los físicos en su forma actual.

Aunque el mismo Schrödinger después de un año demostró la equivalencia de su mecánica ondulatoria y la mecánica matricial de Heisenberg, la reconciliación de los dos enfoques y su abstracción moderna como movimientos en el espacio de Hilbert generalmente se atribuye a Paul Dirac, quien escribió un relato lúcido en su clásico de 1930 Los principios de la mecánica cuántica. Es el tercer pilar, y posiblemente el más importante, de ese campo (pronto fue el único que descubrió una generalización relativista de la teoría). En su relato antes mencionado, introdujo la notación bra-ket, junto con una formulación abstracta en términos del espacio de Hilbert utilizado en el análisis funcional; mostró que los enfoques de Schrödinger y Heisenberg eran dos representaciones diferentes de la misma teoría, y encontró una tercera, más general, que representaba la dinámica del sistema. Su trabajo fue particularmente fructífero en muchos tipos de generalizaciones del campo.

La primera formulación matemática completa de este enfoque, conocida como los axiomas de Dirac-von Neumann, generalmente se atribuye al libro de John von Neumann de 1932 Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica, aunque Hermann Weyl ya se había referido a los espacios de Hilbert (a los que llamó espacios unitarios) en su artículo y libro clásicos de 1927. Fue desarrollado en paralelo con un nuevo enfoque de la teoría espectral matemática basada en operadores lineales en lugar de las formas cuadráticas que fueron el enfoque de David Hilbert una generación antes. Aunque las teorías de la mecánica cuántica continúan evolucionando hasta el día de hoy, existe un marco básico para la formulación matemática de la mecánica cuántica que subyace en la mayoría de los enfoques y se remonta al trabajo matemático de John von Neumann. En otras palabras, las discusiones sobre la interpretación de la teoría y sus extensiones ahora se llevan a cabo principalmente sobre la base de suposiciones compartidas sobre los fundamentos matemáticos.

Desarrollos posteriores

La aplicación de la nueva teoría cuántica al electromagnetismo dio como resultado la teoría cuántica de campos, que se desarrolló a partir de 1930. La teoría cuántica de campos ha impulsado el desarrollo de formulaciones más sofisticadas de la mecánica cuántica, de las cuales las que se presentan aquí son casos especiales simples..

Formulación integral
Formulación del espacio-fase de la mecánica cuántica
teoría de campo cuántico en tiempo espacial curva
axiomática, algebraica y constructiva teoría de campo cuántico
C* formalismo álgebra
Modelo estadístico generalizado de mecánica cuántica

Un tema relacionado es la relación con la mecánica clásica. Se supone que cualquier teoría física nueva se reduce a viejas teorías exitosas en alguna aproximación. Para la mecánica cuántica, esto se traduce en la necesidad de estudiar el llamado límite clásico de la mecánica cuántica. Además, como enfatizó Bohr, las habilidades cognitivas humanas y el lenguaje están inextricablemente vinculados al ámbito clásico, por lo que las descripciones clásicas son intuitivamente más accesibles que las cuánticas. En particular, la cuantización, es decir, la construcción de una teoría cuántica cuyo límite clásico es una teoría clásica dada y conocida, se convierte en un área importante de la física cuántica en sí misma.

Por último, algunos de los creadores de la teoría cuántica (en particular, Einstein y Schrödinger) no estaban contentos con lo que pensaban que eran las implicaciones filosóficas de la mecánica cuántica. En particular, Einstein tomó la posición de que la mecánica cuántica debe ser incompleta, lo que motivó la investigación de las llamadas teorías de variables ocultas. El tema de las variables ocultas se ha convertido en parte en un tema experimental con la ayuda de la óptica cuántica.

Postulados de la mecánica cuántica

Un sistema físico generalmente se describe mediante tres ingredientes básicos: estados; observables; y dinámica (o ley de evolución del tiempo) o, más generalmente, un grupo de simetrías físicas. Se puede dar una descripción clásica de una manera bastante directa mediante un modelo de espacio de fase de la mecánica: los estados son puntos en un espacio de fase formulado por una variedad simpléctica, los observables son funciones de valor real en él, la evolución del tiempo está dada por un grupo de un parámetro de transformaciones simplécticas del espacio de fases, y las simetrías físicas se realizan mediante transformaciones simplécticas. Una descripción cuántica normalmente consiste en un espacio de estados de Hilbert, los observables son operadores autoadjuntos en el espacio de estados, la evolución temporal viene dada por un grupo de transformaciones unitarias de un parámetro en el espacio de estados de Hilbert, y las simetrías físicas se realizan mediante transformaciones unitarias. (Es posible mapear esta imagen del espacio de Hilbert a una formulación de espacio de fase, de manera invertible. Ver más abajo).

El siguiente resumen del marco matemático de la mecánica cuántica se remonta en parte a los axiomas de Dirac-von Neumann.

Descripción del estado de un sistema

Cada sistema físico aislado está asociado con un espacio de Hilbert complejo (topológicamente) separable $H$ con producto interno $⟨ φ | ψ ⟩$ . Los rayos (es decir, subespacios de complejo dimensión 1) en $H$ están asociados con estados cuánticos del sistema.

Postulado I

El estado de un sistema físico aislado está representado, en un tiempo fijo $t$ , por un vector estatal ${displaystyle |psi rangle }$ perteneciente a un espacio Hilbert ${mathcal {H}}$ llamado espacio estatal.

En otras palabras, los estados cuánticos se pueden identificar con clases de equivalencia (rayos) de vectores de longitud 1 en $H$ , donde dos vectores representan el mismo estado si difieren sólo por un factor de fase. Separabilidad es una hipótesis matemáticamente conveniente, con la interpretación física de que numerablemente muchas observaciones son suficientes para determinar de forma única el estado. Un estado mecánico cuántico es un rayo en el espacio proyectivo de Hilbert, no un vector. Muchos libros de texto no hacen esta distinción, lo que podría deberse en parte al hecho de que la propia ecuación de Schrödinger implica "vectores" del espacio de Hilbert, con el resultado de que el uso impreciso de "vector de estado" 34; en lugar de ray es muy difícil de evitar.

Acompañando al Postulado I está el postulado del sistema compuesto:

postulado del sistema compuesto

El espacio Hilbert de un sistema compuesto es el producto del tensor espacial Hilbert de los espacios estatales asociados con los sistemas de componentes. Para un sistema no relativista que consiste en un número finito de partículas diferenciables, los sistemas componentes son las partículas individuales.

En presencia de entrelazamiento cuántico, el estado cuántico del sistema compuesto no puede factorizarse como un producto tensorial de los estados de sus constituyentes locales; En cambio, se expresa como una suma, o superposición, de productos tensoriales de estados de subsistemas componentes. Un subsistema en un sistema compuesto entrelazado generalmente no puede ser descrito por un vector de estado (o un rayo), sino por un operador de densidad; Tal estado cuántico se conoce como estado mixto. El operador de densidad de un estado mixto es una clase de traza, operador autoadjunto no negativo (positivo semidefinido) $ρ$ normalizado para ser de traza 1. A su vez, cualquier operador de densidad de estado mixto se puede representar como un subsistema de un sistema compuesto mayor en estado puro (ver teorema de purificación).

En ausencia de enredamiento cuántico, el estado cuántico del sistema compuesto se llama estado separable. La matriz de densidad de un sistema bipartito en un estado separable se puede expresar como $rho =sum _{k}p_{k}rho _{1}^{k}otimes rho _{2}^{k}$ , donde ${displaystyle ;sum _{k}p_{k}=1}$ . Si sólo hay un solo no cero $p_{k}$ , entonces el estado puede ser expresado como ${textstyle rho =rho _{1}otimes rho _{2},}$ y se llama simplemente separable o estado de producto.

Medición en un sistema

Descripción de cantidades físicas

Los observables físicos están representados por matrices hermitianas en $H$ . Dado que estos operadores son hermitianos, sus valores propios son siempre reales y representan los posibles resultados de medir el observable correspondiente. Si el espectro del observable es discreto, entonces los posibles resultados están cuantificados.

Postulado II.a

Cada cantidad física mensurable ${mathcal {A}}$ es descrito por un operador Hermitiano $A$ actuando en el espacio estatal ${mathcal {H}}$ . Este operador es un observable, lo que significa que sus eigenvectores forman una base para ${mathcal {H}}$ . El resultado de medir una cantidad física ${mathcal {A}}$ debe ser uno de los eigenvalues del observable correspondiente $A$ .

Resultados de la medición

Por teoría espectral, podemos asociar una medida de probabilidad a los valores de $A$ en cualquier estado $↑$ . También podemos demostrar que los posibles valores del observable $A$ en cualquier estado debe pertenecer al espectro de $A$ . El valor de expectativa (en el sentido de la teoría de probabilidad) del observable $A$ para el sistema en estado representado por el vector unitario $↑$ ▪ H es ${displaystyle langle psi |A|psi rangle }$ . Si representamos al estado $↑$ en la base formada por los eigenvectores de $A$ , entonces el cuadrado del módulo del componente adjunto a un eigenvector dado es la probabilidad de observar su eigenvalue correspondiente.

Postulado II.b

Cuando la cantidad física ${mathcal {A}}$ se mide en un sistema en un estado normalizado $|psi rangle$ , la probabilidad de obtener un eigenvalue (denotado) $a_{n}$ para espectros discretos y $alpha$ para espectros continuos) del observable correspondiente $A$ es dado por amplitud cuadrada de la función de onda apropiada (proyección sobre eigenvector correspondiente).

${displaystyle {begin{aligned}mathbb {P} (a_{n})&=|langle a_{n}|psi rangle |^{2}&{text{(Discrete, nondegenerate spectrum)}}\mathbb {P} (a_{n})&=sum _{i}^{g_{n}}|langle a_{n}^{i}|psi rangle |^{2}&{text{(Discrete, degenerate spectrum)}}\dmathbb {P} (alpha)&=|langle alpha |psi rangle |^{2}dalpha &{text{(Continuous, nondegenerate spectrum)}}end{aligned}}}$

Para un estado mixto $***$ , el valor esperado de $A$ en el estado $***$ es $operatorname {tr} (Arho)$ , y la probabilidad de obtener un eigenvalue $a_{n}$ en un espectro discreto y nodegenerado del observable correspondiente $A$ es dado por ${displaystyle mathbb {P} (a_{n})=operatorname {tr} (|a_{n}rangle langle a_{n}|rho)=langle a_{n}|rho |a_{n}rangle }$ .

Si el eigenvalue $a_{n}$ ha eigenvectores degenerados, ortonormales ${displaystyle {|a_{n1}rangle|a_{n2}rangledots|a_{nm}rangle }}$ , entonces el operador de proyección en el eigensubspace se puede definir como el operador de identidad en el eigensubspace:

{displaystyle P_{n}=|a_{n1}rangle langle a_{n1}|+|a_{n2}rangle langle a_{n2}|+dots +|a_{nm}rangle langle a_{nm}|,}

{displaystyle mathbb {P} (a_{n})=operatorname {tr} (P_{n}rho)}

Los postulados II.a y II.b se conocen colectivamente como la regla de Born de la mecánica cuántica.

Efecto de la medición en el estado

Cuando se realiza una medición, solo se obtiene un resultado (según algunas interpretaciones de la mecánica cuántica). Esto se modela matemáticamente como el procesamiento de información adicional a partir de la medición, limitando las probabilidades de una segunda medición inmediata del mismo observable. En el caso de un espectro discreto, no degenerado, dos mediciones secuenciales del mismo observable siempre darán el mismo valor, asumiendo que la segunda sigue inmediatamente a la primera. Por lo tanto, el vector de estado debe cambiar como resultado de la medición y colapsar en el subespacio propio asociado con el valor propio medido.

Postulado II.c

Si la medición de la cantidad física ${mathcal {A}}$ sobre el sistema en el estado $|psirangle$ da el resultado ${displaystyle a_{n}}$ , entonces el estado del sistema inmediatamente después de la medición es la proyección normalizada $|psirangle$ sobre el eigensubspace asociado con ${displaystyle a_{n}}$

${displaystyle psi quad {overset {a_{n}}{Longrightarrow }}quad {frac {P_{n}|psi rangle }{sqrt {langle psi |P_{n}|psi rangle }}}}$

Para un estado mixto $***$ , después de obtener un eigenvalue $a_{n}$ en un espectro discreto y nodegenerado del observable correspondiente $A$ , el estado actualizado es dado por ${textstyle rho '={frac {P_{n}rho P_{n}^{dagger }}{operatorname {tr} (P_{n}rho P_{n}^{dagger })}}}$ . Si el eigenvalue $a_{n}$ ha eigenvectores degenerados, ortonormales ${displaystyle {|a_{n1}rangle|a_{n2}rangledots|a_{nm}rangle }}$ , entonces el operador de proyección en el eigensubspace es ${displaystyle P_{n}=|a_{n1}rangle langle a_{n1}|+|a_{n2}rangle langle a_{n2}|+dots +|a_{nm}rangle langle a_{nm}|}$ .

Postulados II.c a veces se denomina "regla de actualización de estado" o "contraer regla"; Junto con la regla de Born (Postulados II.a y II.b), forman una representación completa de las medidas y, a veces, se denominan colectivamente postulado(s) de medida.

Tenga en cuenta que las medidas con valor de proyección (PVM) descritas en los postulados de medida se pueden generalizar a medidas con valor de operador positivo (POVM), que es el tipo de medida más general en la mecánica cuántica. Un POVM puede entenderse como el efecto en un subsistema componente cuando se realiza un PVM en un sistema compuesto más grande (consulte el teorema de dilatación de Naimark).

Evolución temporal de un sistema

Aunque es posible derivar la ecuación de Schrödinger, que describe cómo evoluciona un vector de estado en el tiempo, la mayoría de los textos afirman la ecuación como un postulado. Las derivaciones comunes incluyen el uso de la hipótesis de DeBroglie o integrales de trayectoria.

Postulado III

La evolución del tiempo del vector estatal $|psi (t)rangle$ se rige por la ecuación Schrödinger, donde $H(t)$ es el observable asociado con la energía total del sistema (llamado el Hamiltonian)

${displaystyle ihbar {frac {d}{dt}}|psi (t)rangle =H(t)|psi (t)rangle }$

Equivalentemente, el postulado de la evolución temporal se puede establecer como:

Postulado III

La evolución del tiempo de un sistema cerrado es descrita por una transformación unitaria en el estado inicial.

${displaystyle |psi (t)rangle =U(t;t_{0})|psi (t_{0})rangle }$

Para un sistema cerrado en un estado mixto $***$ , la evolución del tiempo es ${displaystyle rho (t)=U(t;t_{0})rho (t_{0})U^{dagger }(t;t_{0})}$ .

La evolución de un sistema cuántico abierto se puede describir mediante operaciones cuánticas (en un formalismo de suma de operadores) e instrumentos cuánticos, y generalmente no tiene que ser unitario.

Otras implicaciones de los postulados

Las simetrías físicas actúan en el espacio Hilbert de estados cuánticos unitaria o antiuniárdicamente debido al teorema de Wigner (supersimetría es otra materia entera).

Los operadores de densidad son los que están en el cierre del casco convexo de los proyectores ortogonales de una dimensión. Por el contrario, los proyectores ortogonales de una dimensión son puntos extremos del conjunto de operadores de densidad. Los físicos también llaman proyectores ortogonales únicos estados puros y otros operadores de densidad estados mixtos.
Uno puede en este formalismo indicar el principio de incertidumbre de Heisenberg y probarlo como teorema, aunque la secuencia histórica exacta de los acontecimientos, concerniente a quién deriva qué y bajo qué marco, es el tema de las investigaciones históricas fuera del alcance de este artículo.
La investigación reciente ha demostrado que el postulado del sistema compuesto (postulado de producto elevado) puede derivarse del postulado estatal (Postulado I) y los postulados de medición (Postulados II); Además, también se ha demostrado que los postulados de medición (Postulados II) pueden derivarse de "mecánica cuántica unitaria", que incluye sólo el postulado estatal (Postulado I), el postulado de producto composito (evolución)

Además, a los postulados de la mecánica cuántica también se deben agregar afirmaciones básicas sobre las propiedades del espín y el principio de exclusión de Pauli, ver más abajo.

Girar

Además de sus otras propiedades, todas las partículas poseen una cantidad llamada espín, un momento angular intrínseco. A pesar del nombre, las partículas no giran literalmente alrededor de un eje, y el giro de la mecánica cuántica no tiene correspondencia en la física clásica. En la representación de posición, una función de onda sin espín tiene posición $r$ y tiempo $t$ como variables continuas, $ψ = ψ (r, t)$ . Para las funciones de onda de espín, el espín es una variable discreta adicional: $ψ = ψ (r, t, σ)$ , donde $σ$ toma los valores;

{displaystyle sigma =-Shbar-(S-1)hbardots0,dots+(S-1)hbar+Shbar ,.}

Es decir, el estado de una sola partícula con espín $S$ está representado por un $(2 S + 1)$ -componente espinor de funciones de onda de valores complejos.

Dos clases de partículas con un comportamiento muy diferente son los bosones que tienen espín entero ( $S = 0, 1, 2,...$ ) y fermiones que poseen un espín medio entero ( $S = 1 ⁄ 2, 3 ⁄ 2, 5 ⁄2$ ,...).

Principio de Pauli

La propiedad de espín se relaciona con otra propiedad básica relacionada con los sistemas de $N$ partículas idénticas: el principio de exclusión de Pauli, que es una consecuencia del siguiente comportamiento de permutación de una función de onda de partículas $N$ ; de nuevo en la representación de la posición se debe postular que para la transposición de dos de las $N$ partículas siempre se debe tener

Principio de Pauli

$psi (dots,mathbf {r} _{i},sigma _{i},,dots,mathbf {r} _{j},sigma _{j},,dots)=(-1)^{2S}cdot psi (dots,mathbf {r} _{j},sigma _{j},,dotsmathbf {r} _{i},sigma _{i},,dots)$

es decir, en la transposición de los argumentos de dos partículas cualesquiera, la función de onda debería reproducir, además de un prefactor $(-1) 2 S$ que es $+1$ para bosones, pero ( $-1$ ) para fermiones. Los electrones son fermiones con $S = 1/2$ ; los cuantos de luz son bosones con $S = 1$ . En la mecánica cuántica no relativista todas las partículas son bosones o fermiones; en las teorías cuánticas relativistas también "supersimétrica" existen teorías, donde una partícula es una combinación lineal de una parte bosónica y fermiónica. Solo en la dimensión $d = 2$ se pueden construir entidades donde $(-1) 2 S$ se reemplaza por un número complejo arbitrario con magnitud 1, llamado anyons.

Aunque el espín y el principio de Pauli solo pueden derivarse de generalizaciones relativistas de la mecánica cuántica, las propiedades mencionadas en los dos últimos párrafos pertenecen a los postulados básicos ya en el límite no relativista. Especialmente, muchas propiedades importantes en las ciencias naturales, p. el sistema periódico de la química, son consecuencias de las dos propiedades.

Estructura matemática de la mecánica cuántica

Imágenes de dinámica

In the so-called Schrödinger picture of quantum mechanics, the dynamics is given as follows:
The time evolution of the state is given by a differentiable function from the real numbers $R$ , representing instants of time, to the Hilbert space of system states. This map is characterized by a differential equation as follows: If $| ψ (t)⟩$ denotes the state of the system at any one time $t$ , the following Schrödinger equation holds:

Schrödinger equation (general)
$ihbar {frac {d}{dt}}left|psi (t)rightrangle =Hleft|psi (t)rightrangle$

where $H$ is a densely defined self-adjoint operator, called the system Hamiltonian, $i$ is the imaginary unit and $ħ$ is the reduced Planck constant. As an observable, $H$ corresponds to the total energy of the system.
Alternatively, by Stone's theorem one can state that there is a strongly continuous one-parameter unitary map $U (t)$ : $H \to H$ such that
${displaystyle left|psi (t+s)rightrangle =U(t)left|psi (s)rightrangle }$ for all times $s, t$ . The existence of a self-adjoint Hamiltonian $H$ such that ${displaystyle U(t)=e^{-(i/hbar)tH}}$ is a consequence of Stone's theorem on one-parameter unitary groups. It is assumed that $H$ does not depend on time and that the perturbation starts at $t 0 = 0$ ; otherwise one must use the Dyson series, formally written as ${displaystyle U(t)={mathcal {T}}left[exp left(-{frac {i}{hbar }}int _{t_{0}}^{t}dt',H(t')right)right],}$ where ${mathcal {T}}$ is Dyson's time-ordering symbol.
(This symbol permutes a product of noncommuting operators of the form
${displaystyle B_{1}(t_{1})cdot B_{2}(t_{2})cdot dots cdot B_{n}(t_{n})}$ into the uniquely determined re-ordered expression ${displaystyle B_{i_{1}}(t_{i_{1}})cdot B_{i_{2}}(t_{i_{2}})cdot dots cdot B_{i_{n}}(t_{i_{n}})}$ with $t_{i_{1}}geq t_{i_{2}}geq dots geq t_{i_{n}},.$
The result is a causal chain, the primary cause in the past on the utmost r.h.s., and finally the present effect on the utmost l.h.s..)
The Heisenberg picture of quantum mechanics focuses on observables and instead of considering states as varying in time, it regards the states as fixed and the observables as changing. To go from the Schrödinger to the Heisenberg picture one needs to define time-independent states and time-dependent operators thus: ${displaystyle left|psi rightrangle =left|psi (0)rightrangle }$ ${displaystyle A(t)=U(-t)AU(t).}$ It is then easily checked that the expected values of all observables are the same in both pictures ${displaystyle langle psi mid A(t)mid psi rangle =langle psi (t)mid Amid psi (t)rangle }$ and that the time-dependent Heisenberg operators satisfy
Heisenberg picture (general)
${frac {d}{dt}}A(t)={frac {i}{hbar }}[H,A(t)]+{frac {partial A(t)}{partial t}},$

which is true for time-dependent $A = A (t)$ . Notice the commutator expression is purely formal when one of the operators is unbounded. One would specify a representation for the expression to make sense of it.
The so-called Dirac picture or interaction picture has time-dependent states and observables, evolving with respect to different Hamiltonians. This picture is most useful when the evolution of the observables can be solved exactly, confining any complications to the evolution of the states. For this reason, the Hamiltonian for the observables is called "free Hamiltonian" and the Hamiltonian for the states is called "interaction Hamiltonian". In symbols:
Dirac picture
${displaystyle ihbar {frac {d}{dt}}left|psi (t)rightrangle ={H}_{rm {int}}(t)left|psi (t)rightrangle }$
${displaystyle ihbar {frac {d}{dt}}A(t)=[A(t),H_{0}].}$

The interaction picture does not always exist, though. In interacting quantum field theories, Haag's theorem states that the interaction picture does not exist. This is because the Hamiltonian cannot be split into a free and an interacting part within a superselection sector. Moreover, even if in the Schrödinger picture the Hamiltonian does not depend on time, e.g. $H = H 0 + V$ , in the interaction picture it does, at least, if $V$ does not commute with $H 0$ , since
${displaystyle H_{rm {int}}(t)equiv e^{{(i/hbar })tH_{0}},V,e^{{(-i/hbar })tH_{0}}.}$
So the above-mentioned Dyson-series has to be used anyhow.
The Heisenberg picture is the closest to classical Hamiltonian mechanics (for example, the commutators appearing in the above equations directly translate into the classical Poisson brackets); but this is already rather "high-browed", and the Schrödinger picture is considered easiest to visualize and understand by most people, to judge from pedagogical accounts of quantum mechanics. The Dirac picture is the one used in perturbation theory, and is specially associated to quantum field theory and many-body physics.
Similar equations can be written for any one-parameter unitary group of symmetries of the physical system. Time would be replaced by a suitable coordinate parameterizing the unitary group (for instance, a rotation angle, or a translation distance) and the Hamiltonian would be replaced by the conserved quantity associated with the symmetry (for instance, angular or linear momentum).

Resumen:

Evolución	Imagen v t e )
de:	Schrödinger (S)	Heisenberg (H)	Interacción (I)
estado Ket	${displaystyle \|psi _{rm {S}}(t)rangle =e^{-iH_{rm {S}}~t/hbar }\|psi _{rm {S}}(0)rangle }$	constante	${displaystyle \|psi _{rm {I}}(t)rangle =e^{iH_{0,mathrm {S} }~t/hbar }\|psi _{rm {S}}(t)rangle }$
Observable	constante	${displaystyle A_{rm {H}}(t)=e^{iH_{rm {S}}~t/hbar }A_{rm {S}}e^{-iH_{rm {S}}~t/hbar }}$	${displaystyle A_{rm {I}}(t)=e^{iH_{0,mathrm {S} }~t/hbar }A_{rm {S}}e^{-iH_{0,mathrm {S} }~t/hbar }}$
Matriz de densidad	${displaystyle rho _{rm {S}}(t)=e^{-iH_{rm {S}}~t/hbar }rho _{rm {S}}(0)e^{iH_{rm {S}}~t/hbar }}$	constante	${displaystyle rho _{rm {I}}(t)=e^{iH_{0,mathrm {S} }~t/hbar }rho _{rm {S}}(t)e^{-iH_{0,mathrm {S} }~t/hbar }}$

Representaciones

La forma original de la ecuación de Schrödinger depende de elegir una representación particular de las relaciones canónicas de conmutación de Heisenberg. El teorema de Stone-von Neumann dicta que todas las representaciones irreducibles de las relaciones de conmutación de Heisenberg de dimensión finita son unitariamente equivalentes. Una comprensión sistemática de sus consecuencias ha llevado a la formulación del espacio de fase de la mecánica cuántica, que funciona en el espacio de fase completo en lugar del espacio de Hilbert, por lo que tiene un vínculo más intuitivo con el límite clásico del mismo. Esta imagen también simplifica las consideraciones de cuantización, la extensión de la deformación de la mecánica clásica a la cuántica.

El oscilador armónico cuántico es un sistema exactamente solucionable donde las diferentes representaciones se comparan fácilmente. Allí, además de las representaciones de Heisenberg, Schrödinger (posición o momento), o espacio de fase, también se encuentra la representación de Fock (número) y la representación de Segal-Bargmann (espacio de Fock o estado coherente) (llamada así por Irving Segal y Valentín Bargmann). Los cuatro son unitariamente equivalentes.

Tiempo como operador

El marco presentado hasta ahora destaca el tiempo como el parámetro del que todo depende. Es posible formular la mecánica de tal manera que el tiempo mismo se convierta en un observable asociado a un operador autoadjunto. En el nivel clásico, es posible parametrizar arbitrariamente las trayectorias de partículas en términos de un parámetro no físico $s$ , y en ese caso el tiempo t se convierte en una coordenada generalizada adicional del sistema físico. A nivel cuántico, las traducciones en $s$ serían generadas por un "Hamiltoniano" $H - E$ , donde E es el operador de energía y $H$ es el "ordinario" hamiltoniano. Sin embargo, dado que s es un parámetro no físico, los estados físicos deben permanecer invariantes por "s-evolución", y así el espacio de estado físico es el kernel de $H - E$ (esto requiere el uso de un espacio de Hilbert amañado y una renormalización de la norma).

Esto está relacionado con la cuantificación de sistemas restringidos y la cuantificación de teorías de calibre. Eso También es posible formular una teoría cuántica de "eventos" donde el tiempo se vuelve observable (ver D. Edwards).

El problema de la medición

La imagen dada en los párrafos anteriores es suficiente para la descripción de un sistema completamente aislado. Sin embargo, no tiene en cuenta una de las principales diferencias entre la mecánica cuántica y la mecánica clásica, es decir, los efectos de la medición. La descripción de von Neumann de la medida cuántica de un $A$ observable, cuando el sistema se prepara en estado puro $ψ$ es el siguiente (tenga en cuenta, sin embargo, que la descripción de von Neumann se remonta a la década de 1930 y se basa en experimentos realizados durante ese tiempo, más específicamente el experimento de Compton-Simon; no es aplicable a la mayoría de las mediciones actuales dentro del dominio cuántico):

Vamos $A$ tienen una resolución espectral ${displaystyle A=int lambda ,doperatorname {E} _{A}(lambda),}$ Donde $E A$ es la resolución de la identidad (también llamada medida valorada por proyección) asociada con $A$ . Entonces la probabilidad del resultado de medición se encuentra en un intervalo $B$ de $R$ es $Silencio A () B) ↑ Silencio 2$ . En otras palabras, la probabilidad se obtiene mediante la integración de la función característica $B$ contra la medida aditiva contable ${displaystyle langle psi mid operatorname {E} _{A}psi rangle.}$
Si el valor medido está contenido en $B$ , luego inmediatamente después de la medición, el sistema estará en el estado (generalmente no normalizado) $E A () B) ↑$ . Si el valor medido no se encuentra $B$ , reemplazar $B$ por su complemento para el estado anterior.

Por ejemplo, supongamos que el espacio de estado es el $n$ espacio de Hilbert complejo $C n$ y $A$ es una matriz hermítica con valores propios $λ i$ , con los vectores propios correspondientes $ψ i$ . La medida con valor de proyección asociada con $A$ , $E A$ , es entonces

{displaystyle operatorname {E} _{A}(B)=|psi _{i}rangle langle psi _{i}|,}

donde $B$ es un conjunto de Borel que contiene solo el valor propio único $λ i$ . Si el sistema está preparado en estado

{displaystyle |psi rangle }

Entonces, la probabilidad de que una medida devuelva el valor $λ i$ se puede calcular integrando la medida espectral

{displaystyle langle psi mid operatorname {E} _{A}psi rangle }

sobre $B i$ . Esto da trivialmente

{displaystyle langle psi |psi _{i}rangle langle psi _{i}mid psi rangle =|langle psi mid psi _{i}rangle |^{2}.}

La propiedad característica del esquema de medición de von Neumann es que repetir la misma medición dará los mismos resultados. Esto también se llama el postulado de proyección.

Una formulación más general reemplaza la medida con valor de proyección por una medida con valor de operador positivo (POVM). Para ilustrar, tome de nuevo el caso de dimensión finita. Aquí reemplazaríamos las proyecciones de rango 1

{displaystyle |psi _{i}rangle langle psi _{i}|}

{displaystyle F_{i}F_{i}^{*}}

{} λ 1 ... λ n}

λ i

{displaystyle |psi _{i}rangle langle psi _{i}|psi rangle }

{displaystyle F_{i}|psi rangle.}

Dado que los operadores $F i F i *$ no necesitan ser proyecciones mutuamente ortogonales, el postulado de proyección de von Neumann ya no se cumple.

La misma formulación se aplica a los estados mixtos generales.

En el enfoque de von Neumann, la transformación de estado debida a la medición es distinta de la debida a la evolución temporal de varias formas. Por ejemplo, la evolución temporal es determinista y unitaria, mientras que la medición no es determinista ni unitaria. Sin embargo, dado que ambos tipos de transformación de estado llevan un estado cuántico a otro, esta diferencia fue vista por muchos como insatisfactoria. El formalismo POVM ve la medición como una entre muchas otras operaciones cuánticas, que se describen mediante mapas completamente positivos que no aumentan la traza.

En cualquier caso, parece que los problemas antes mencionados solo pueden resolverse si la evolución temporal incluyera no solo el sistema cuántico, sino también, y esencialmente, el aparato de medición clásico (ver arriba).

La interpretación del estado relativo

Una interpretación alternativa de la medición es la interpretación del estado relativo de Everett, que más tarde se denominó "interpretación de muchos mundos" de la física cuántica.

Lista de herramientas matemáticas

Parte del folclore del tema se refiere al libro de texto de física matemática Methods of Mathematical Physics elaborado por Richard Courant de los cursos de la Universidad de Göttingen de David Hilbert. La historia se cuenta (por matemáticos) que los físicos habían descartado el material por no ser interesante en las áreas de investigación actuales, hasta el advenimiento de la ecuación de Schrödinger. En ese momento se dio cuenta de que las matemáticas de la nueva mecánica cuántica ya estaban establecidas en él. También se dice que Heisenberg había consultado a Hilbert sobre su mecánica de matrices, y Hilbert observó que su propia experiencia con matrices de dimensión infinita se había derivado de ecuaciones diferenciales, consejo que Heisenberg ignoró, perdiendo la oportunidad de unificar la teoría como lo hicieron Weyl y Dirac. unos años más tarde Cualquiera que sea la base de las anécdotas, las matemáticas de la teoría eran convencionales en ese momento, mientras que la física era radicalmente nueva.

Las herramientas principales incluyen:

álgebra lineal: números complejos, eigenvectores, eigenvalues
análisis funcional: Hilbert espacios, operadores lineales, teoría espectral
ecuaciones diferenciales: ecuaciones diferenciales parciales, separación de variables, ecuaciones diferenciales ordinarias, teoría de Sturm-Liouville, eigenfunctions
análisis armónico: Cuatro transformados más

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