Formulación integral de camino

La formulación de integral de trayectoria es una descripción en mecánica cuántica que generaliza el principio de acción de la mecánica clásica. Reemplaza la noción clásica de una trayectoria clásica única y única para un sistema con una suma, o integral funcional, sobre una infinidad de trayectorias mecánicamente cuánticas posibles para calcular una amplitud cuántica.

Esta formulación ha demostrado ser crucial para el desarrollo posterior de la física teórica, porque la covarianza manifiesta de Lorentz (los componentes de tiempo y espacio de las cantidades entran en las ecuaciones de la misma manera) es más fácil de lograr que en el formalismo de operador de la cuantificación canónica. A diferencia de los métodos anteriores, la integral de ruta permite cambiar fácilmente las coordenadas entre descripciones canónicas muy diferentes del mismo sistema cuántico. Otra ventaja es que en la práctica es más fácil adivinar la forma correcta del lagrangiano de una teoría, que naturalmente entra en las integrales de trayectoria (para interacciones de cierto tipo, éstas son espacio de coordenadas o integrales de camino de Feynman), que el hamiltoniano. Las posibles desventajas del enfoque incluyen que la unitaridad (esto está relacionado con la conservación de la probabilidad; las probabilidades de todos los resultados físicamente posibles deben sumar uno) de la matriz S es oscura en la formulación. El enfoque de trayectoria integral ha demostrado ser equivalente a otros formalismos de la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos. Por lo tanto, al derivar cualquiera de los enfoques del otro, los problemas asociados con uno u otro enfoque (como lo ejemplifican la covarianza o unitaridad de Lorentz) desaparecen.

La integral de trayectoria también relaciona procesos cuánticos y estocásticos, y esto proporcionó la base para la gran síntesis de la década de 1970, que unificó la teoría cuántica de campos con la teoría estadística de campos de un campo fluctuante cerca de una transición de fase de segundo orden. La ecuación de Schrödinger es una ecuación de difusión con una constante de difusión imaginaria, y la integral de trayectoria es una continuación analítica de un método para resumir todos los paseos aleatorios posibles.

La idea básica de la formulación de la integral de trayectoria se remonta a Norbert Wiener, quien introdujo la integral de Wiener para resolver problemas de difusión y movimiento browniano. Esta idea fue ampliada al uso del lagrangiano en mecánica cuántica por Paul Dirac en su artículo de 1933. El método completo fue desarrollado en 1948 por Richard Feynman. Algunos preliminares fueron elaborados anteriormente en su trabajo doctoral bajo la supervisión de John Archibald Wheeler. La motivación original surgió del deseo de obtener una formulación mecánico-cuántica para la teoría del absorbente de Wheeler-Feynman utilizando un lagrangiano (en lugar de un hamiltoniano) como punto de partida.

Principio de acción cuántica

En la mecánica cuántica, como en la mecánica clásica, el hamiltoniano es el generador de las traslaciones del tiempo. Esto significa que el estado en un momento ligeramente posterior difiere del estado en el momento actual por el resultado de actuar con el operador hamiltoniano (multiplicado por la unidad imaginaria negativa, −i). Para estados con una energía definida, esta es una declaración de la relación de De Broglie entre frecuencia y energía, y la relación general es consistente con eso más el principio de superposición.

El hamiltoniano en la mecánica clásica se deriva de un lagrangiano, que es una cantidad más fundamental en relación con la relatividad especial. El hamiltoniano indica cómo avanzar en el tiempo, pero el tiempo es diferente en diferentes marcos de referencia. El lagrangiano es un escalar de Lorentz, mientras que el hamiltoniano es la componente temporal de un cuatro vectores. De modo que el hamiltoniano es diferente en diferentes marcos, y este tipo de simetría no es evidente en la formulación original de la mecánica cuántica.

El hamiltoniano es una función de la posición y el impulso en un momento dado, y determina la posición y el impulso un poco más tarde. El lagrangiano es una función de la posición ahora y de la posición un poco más tarde (o, de manera equivalente, para separaciones de tiempo infinitesimales, es una función de la posición y la velocidad). La relación entre los dos es mediante una transformación de Legendre, y la condición que determina las ecuaciones de movimiento clásicas (las ecuaciones de Euler-Lagrange) es que la acción tenga un extremo.

En mecánica cuántica, la transformada de Legendre es difícil de interpretar, porque el movimiento no sigue una trayectoria definida. En mecánica clásica, con discretización en el tiempo, la transformada de Legendre se convierte en

ε ε H=p()t)()q()t+ε ε )− − q()t))− − ε ε L{displaystyle varepsilon H=p(t){big (}q(t+varepsilon)-q(t){big)}-varepsilon L.

y

p=∂ ∂ L∂ ∂ qÍ Í ,{displaystyle p={frac {partial L}{partial {dot {}}}}}

donde el derivado parcial con respecto a qÍ Í {displaystyle { dot {}}} ostenciones q()t + ε) fijo. La inversa transformación Legendre

ε ε L=ε ε pqÍ Í − − ε ε H,{displaystyle varepsilon L=varepsilon p{dot Varepsilon H,}

dónde

qÍ Í =∂ ∂ H∂ ∂ p,{displaystyle {dot {}={frac {partial H}{partial p}}}}

Did you mean:

and the partial derivative now is with respect to p at fixed q.

En mecánica cuántica, el estado es una superposición de diferentes estados con diferentes valores de q, o diferentes valores de p, y las cantidades p y q pueden interpretarse como operadores que no conmutan. El operador p sólo es definido en estados que son indefinidos con respecto a q. Consideremos entonces dos estados separados en el tiempo y actuemos con el operador correspondiente al lagrangiano:

ei[p()q()t+ε ε )− − q()t))− − ε ε H()p,q)].{displaystyle e^{i{big [}p{big (}q(t+varepsilon)-q(t){big)}-varepsilon H(p,q){big ]}}

Si las multiplicaciones implícitas en esta fórmula se reinterpretan como multiplicaciones matriciales, el primer factor es

e− − ipq()t),{displaystyle e^{-ipq(t)},}

y si esto también se interpreta como una multiplicación de matrices, la suma de todos los estados se integra sobre todos los q(t), por lo que se necesita la transformada de Fourier en q(t) para cambiar la base a p(t). Esa es la acción en el espacio de Hilbert: cambiar la base a p en el momento t.

Lo siguiente viene

e− − iε ε H()p,q),{displaystyle e^{-ivarepsilon H(p,q)},}

o evolucionar un tiempo infinitesimal hacia el futuro.

Finalmente, el último factor en esta interpretación es

eipq()t+ε ε ),{displaystyle e^{ipq(t+varepsilon)}

Did you mean:

which means change basis back to q at a later time.

Esto no es muy diferente de la evolución temporal ordinaria: el factor H contiene toda la información dinámica: impulsa el estado adelante en el tiempo. La primera parte y la última parte son simplemente transformaciones de Fourier para cambiar a una base q pura desde una base p base.

Otra forma de decir esto es que, dado que el hamiltoniano es naturalmente una función de p y q, exponenciando esta cantidad y cambiando la base de p a q en cada paso permite el elemento de matriz de H se expresará como una función simple a lo largo de cada ruta. Esta función es el análogo cuántico de la acción clásica. Esta observación se debe a Paul Dirac.

Did you mean:

Dirac further noted that one could square the time-evolution operator in the S representation:

eiε ε S,{displaystyle e^{ivarepsilon S} }

y esto proporciona el operador de evolución temporal entre el tiempo t y el tiempo t + 2ε. Mientras que en la representación H la cantidad que se suma en los estados intermedios es un elemento de matriz oscuro, en la representación S se reinterpreta como una cantidad asociada a la ruta. En el límite en el que se toma una gran potencia de este operador, se reconstruye la evolución cuántica completa entre dos estados, el primero con un valor fijo de q(0) y el último con un valor fijo de q(t). El resultado es una suma de caminos con una fase, que es la acción cuántica. Fundamentalmente, Dirac identificó en este artículo la profunda razón mecánico-cuántica del principio de mínima acción que controla el límite clásico (ver cuadro de citas).

Did you mean:

Feynman 's interpretation

El trabajo de Dirac no proporcionó una prescripción precisa para calcular la suma de caminos, y no demostró que se pudiera recuperar la ecuación de Schrödinger o las relaciones de conmutación canónicas a partir de esta regla. Esto fue hecho por Feynman. Es decir, el camino clásico surge naturalmente en el límite clásico.

Feynman demostró que la acción cuántica de Dirac era, para la mayoría de los casos de interés, simplemente igual a la acción clásica, apropiadamente discretizada. Esto significa que la acción clásica es la fase adquirida por la evolución cuántica entre dos puntos finales fijos. Propuso recuperar toda la mecánica cuántica a partir de los siguientes postulados:

1. La probabilidad de un evento es dada por el módulo cuadrado de un número complejo llamado "la amplitud de probabilidad".
2. La amplitud de probabilidad se da agregando las contribuciones de todos los caminos en el espacio de configuración.
3. La contribución de un camino es proporcional a e^iS/▪, donde S es la acción dada por el tiempo integral del Lagrangiano a lo largo del camino.

Para encontrar la amplitud de probabilidad general para un proceso dado, entonces, se suma, o integra, la amplitud del tercer postulado sobre el espacio de todos caminos posibles del sistema en el medio. los estados inicial y final, incluidos aquellos que son absurdos según los estándares clásicos. Al calcular la amplitud de probabilidad de que una sola partícula vaya de una coordenada espacio-temporal a otra, es correcto incluir trayectorias en las que la partícula describe elaboradas espirales, curvas en las que la partícula sale disparada hacia el espacio exterior y vuela de regreso, y y así sucesivamente. La integral de trayectoria asigna a todas estas amplitudes igual peso pero variable de fase, o argumento del número complejo. Las contribuciones de caminos muy diferentes de la trayectoria clásica pueden ser suprimidas por interferencia (ver más abajo).

Feynman demostró que esta formulación de la mecánica cuántica es equivalente al enfoque canónico de la mecánica cuántica cuando el hamiltoniano es, como máximo, cuadrático en el momento. Una amplitud calculada según los principios de Feynman también obedecerá a la ecuación de Schrödinger para el hamiltoniano correspondiente a la acción dada.

La formulación integral de trayectoria de la teoría cuántica de campos representa la amplitud de transición (correspondiente a la función de correlación clásica) como una suma ponderada de todas las historias posibles del sistema desde el estado inicial hasta el final. Un diagrama de Feynman es una representación gráfica de una contribución perturbativa a la amplitud de transición.

Integral de trayectoria en mecánica cuántica

Derivación de división de tiempo

Un método común para derivar la fórmula de la integral de trayectoria es dividir el intervalo de tiempo en partes pequeñas. Una vez hecho esto, la fórmula del producto de Trotter nos dice que se puede ignorar la no conmutatividad de los operadores de energía cinética y potencial.

Para una partícula en un potencial suave, la integral de trayectoria se aproxima mediante trayectorias en zigzag, que en una dimensión es un producto de integrales ordinarias. Para el movimiento de la partícula desde la posición x_a en el tiempo t_a a x_b en el momento t_b, la secuencia de tiempo

<math alttext="{displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<cdots <t_{n-1}<t_{n}ta=t0.t1.⋯ ⋯ .tn− − 1.tn.tn+1=tb{displaystyle No lo sé. - No.<img alt="{displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<cdots <t_{n-1}<t_{n}

se puede dividir en n + 1 segmentos más pequeños t_j − t_{j − 1}, donde j = 1,..., n + 1, de duración fija

ε ε =Δ Δ t=tb− − tan+1.{displaystyle varepsilon =Delta t={frac {T_{b}-t_{n+1}}

Este proceso se llama corte de tiempo.

Una aproximación para la integral de trayectoria se puede calcular como proporcional a

∫ ∫ − − JUEGO JUEGO +JUEGO JUEGO ⋯ ⋯ ∫ ∫ − − JUEGO JUEGO +JUEGO JUEGO exp⁡ ⁡ ()i▪ ▪ ∫ ∫ tatbL()x()t),v()t))dt)dx0⋯ ⋯ dxn,{displaystyle int limits _{-infty }{+infty }cdots int limits # {-infty }{+infty }exp left({frac {}{hbar }int} ¿Por qué?

donde L(x, v) es el lagrangiano del uno- sistema dimensional con variable de posición x(t) y velocidad v = ẋ(t) considerado (ver más abajo), y dx_j corresponde a la posición en el jésimo paso de tiempo, si la integral de tiempo se aproxima mediante una suma de n términos.

En el límite n → ∞, esto se convierte en una integral funcional, que, además de un factor no esencial, es directamente el producto de las amplitudes de probabilidad ⟨x_b, t _b|x_a, t_a⟩ (más precisamente, ya que hay que trabajar con un espectro continuo, las densidades respectivas) para encontrar la partícula de mecánica cuántica en t_a en el estado inicial x_a y en t_b en el estado final x_b.

En realidad L es el lagrangiano clásico del sistema unidimensional considerado,

L()x,xÍ Í )=T− − V=12mSilencioxÍ Í Silencio2− − V()x){displaystyle L(x,{dot {x})=T-V={frac {1}{2}m remain{dot {x} sobrevivir{2}-V(x)}

Did you mean:

and the above mentioned "zigzagging#34; corresponds to the appearance of the terms

exp⁡ ⁡ ()i▪ ▪ ε ε .. j=1n+1L()x~ ~ j,xj− − xj− − 1ε ε ,j)){displaystyle exp left({frac {hbar }varepsilon sum _{j=1}{n+1}Lleft({tilde {x}_{j},{frac} {x_{j}-x_{j-1} {varepsilon }},jright)}}

en la suma de Riemann que aproxima la integral de tiempo, que finalmente se integran sobre x₁ a x_n con la medida de integración dx₁...dx_n, x̃ _j es un valor arbitrario del intervalo correspondiente a j, p.e. su centro, x_j + x_j−1/2.

Así, a diferencia de la mecánica clásica, no sólo contribuye la trayectoria estacionaria, sino que también contribuyen todas las trayectorias virtuales entre el punto inicial y el final.

Integral de ruta

En términos de la función de onda en la representación de la posición, la fórmula de la integral de trayectoria dice lo siguiente:

↑ ↑ ()x,t)=1Z∫ ∫ x()0)=xDxeiS[x,xÍ Í ]↑ ↑ 0()x()t)){displaystyle psi (x,t)={frac {1}{Z}int _{mathbf {x} (0)=x}{mathcal {}mathbf {x} ,e^{iS[mathbf {x}{dot {mathbf {x}}}}psi _{0} {mathbf {x} {x}}} {f}}} {f}}}}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}cH00}cH0}cH00}cH0}f}cH00}cH00}cH0}cH00}cH00}cH00}cH0}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}}cH

Donde Dx{fnMicrosoft} denota la integración en todos los caminos x{displaystyle mathbf {x} con x()0)=x{displaystyle mathbf {x} (0)=x} y dónde Z{displaystyle Z} es un factor de normalización. Aquí. S{displaystyle S. es la acción, dada por

S[x,xÍ Í ]=∫ ∫ dtL()x()t),xÍ Í ()t)){fnMitbf {x} {fnMitbf {f}]=int dt,L(mathbf {x} (t),{dot {mthbf {x} {} t)}}}} {fnuncio)}

Partícula libre

La representación integral de ruta proporciona la amplitud cuántica para ir desde el punto x al punto y como una integral en todos los caminos. Para una acción de partícula libre (para simplificar, sea m = 1, ħ = 1)

S=∫ ∫ xÍ Í 22dt,{displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ {x}} {2} {2}},dt,}

la integral se puede evaluar explícitamente.

Para hacer esto, es conveniente comenzar sin el factor i en el exponencial, de modo que las desviaciones grandes sean suprimidas por números pequeños, no cancelando las contribuciones oscilatorias. La amplitud (o Kernel) dice:

K()x− − Sí.;T)=∫ ∫ x()0)=xx()T)=Sí.exp⁡ ⁡ ()− − ∫ ∫ 0TxÍ Í 22dt)Dx.{displaystyle K(x-y;T)=int _{x(0)=x}{x(T)=y}exp left(-int _{0}{T}{frac {dot {x}{2}}{2}}},dtright),Dx.}

Dividir la integral en intervalos de tiempo:

K()x,Sí.;T)=∫ ∫ x()0)=xx()T)=Sí.∏ ∏ texp⁡ ⁡ ()− − 12()x()t+ε ε )− − x()t)ε ε )2ε ε )Dx,{displaystyle K(x,y;T)=int _{x(0)=x}{x(T)=y}prod _{t}exp left(-{tfrac {1}{2}left({frac {x(t+varepsilon)-x(t)}{vareright)}dereright

donde Dx se interpreta como una colección finita de integraciones en cada múltiplo entero de ε. Cada factor del producto es gaussiano en función de x(t + ε) centrado en x(t) con variación ε. Las integrales múltiples son una convolución repetida de este G_ε gaussiano con copias de sí mismo en momentos adyacentes:

K()x− − Sí.;T)=Gε ε Alternativa Alternativa Gε ε Alternativa Alternativa ⋯ ⋯ Alternativa Alternativa Gε ε ,{displaystyle K(x-y;T)=G_{varepsilon # G_{varepsilon }*cdots *G_{varepsilon }

donde el número de convoluciones es T/ε. El resultado es fácil de evaluar tomando la transformada de Fourier de ambos lados, de modo que las convoluciones se conviertan en multiplicaciones:

K~ ~ ()p;T)=G~ ~ ε ε ()p)T/ε ε .{displaystyle {tilde {K}(p;T)={tilde {G}_{varepsilon }(p)^{T/varepsilon }

La transformada de Fourier de la G gaussiana es otra gaussiana de varianza recíproca:

G~ ~ ε ε ()p)=e− − ε ε p22,{displaystyle {tilde {} {varepsilon}(p)=e^{frac {varepsilon {fnMicrosoft Sans Serif}

y el resultado es

K~ ~ ()p;T)=e− − Tp22.{displaystyle {tilde {}(p;T)=e^{-{frac {Tp^{2} {2}}}}}

La transformada de Fourier da K, y nuevamente es gaussiana con varianza recíproca:

K()x− − Sí.;T)∝ ∝ e− − ()x− − Sí.)22T.{displaystyle K(x-y;T)propto e^{-{frac {(x-y)^{2}{2T}}}}

La constante de proporcionalidad no está realmente determinada por el enfoque de división de tiempo, solo se determina la proporción de valores para diferentes opciones de puntos finales. La constante de proporcionalidad debe elegirse para garantizar que entre cada dos intervalos de tiempo la evolución del tiempo sea mecánicamente cuántica unitaria, pero una forma más esclarecedora de fijar la normalización es considerar la integral de trayectoria como una descripción de un proceso estocástico.

El resultado tiene una interpretación probabilística. La suma de todos los caminos del factor exponencial puede verse como la suma de cada camino de la probabilidad de seleccionar ese camino. La probabilidad es el producto de cada segmento de la probabilidad de seleccionar ese segmento, de modo que cada segmento se elige probabilísticamente de forma independiente. El hecho de que la respuesta sea una propagación gaussiana lineal en el tiempo es el teorema del límite central, que puede interpretarse como la primera evaluación histórica de una integral de trayectoria estadística.

La interpretación de probabilidad ofrece una opción de normalización natural. La integral de trayectoria debe definirse de modo que

∫ ∫ K()x− − Sí.;T)dSí.=1.{displaystyle int K(x-y;T),dy=1.}

Esta condición normaliza el gaussiano y produce un núcleo que obedece a la ecuación de difusión:

ddtK()x;T)=Silencio Silencio 22K.{displaystyle {frac {d}K(x;T)={frac {nabla} - Sí.

Para integrales de trayectoria oscilatoria, aquellas con una i en el numerador, la división de tiempo produce gaussianas convolucionadas, como antes. Ahora, sin embargo, el producto de convolución es marginalmente singular, ya que requiere límites cuidadosos para evaluar las integrales oscilantes. Para definir bien los factores, la forma más sencilla es añadir una pequeña parte imaginaria al incremento de tiempo ε. Esto está estrechamente relacionado con la rotación de Wick. Luego, el mismo argumento de convolución que antes da el núcleo de propagación:

K()x− − Sí.;T)∝ ∝ ei()x− − Sí.)22T,{displaystyle K(x-y;T)propto e^{frac {i(x-y)^{2}{2T}}}}

que, con la misma normalización que antes (no la normalización de suma de cuadrados; esta función tiene una norma divergente), obedece a una ecuación de Schrödinger libre:

ddtK()x;T)=iSilencio Silencio 22K.{displaystyle {frac {d}{dt}K(x;T)=i{frac {nabla} - Sí.

Esto significa que cualquier superposición de Ks también obedecerá a la misma ecuación, por linealidad. Definiendo

↑ ↑ t()Sí.)=∫ ∫ ↑ ↑ 0()x)K()x− − Sí.;t)dx=∫ ∫ ↑ ↑ 0()x)∫ ∫ x()0)=xx()t)=Sí.eiSDx,{displaystyle psi _{t}(y)=int psi _{0}(x)K(x-y;t),dx=int psi _{0}(x)int _{x(0)=x}{x(t)=y}e^{iS},Dx,}

entonces ψ_t obedece a la ecuación libre de Schrödinger tal como K hace:

i∂ ∂ ∂ ∂ t↑ ↑ t=− − Silencio Silencio 22↑ ↑ t.{displaystyle i{frac {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft\fnMicrosoft {fnMicrosoftfnMicrosoftfnMicrosoftfnMicrosoft {\fnMicrosoftfnMicrosoft {\\fnMicrosoft {fnMicrosoft\\\\fnMicrosoftfnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoftfnMicrosoftfnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoftfnMicrosoft\fnMicrosoft\fnMicrosoft\fnMicrosoft\fnMicrosoftfnMicrosoft\\\\\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft }{partial. ¿Qué? {nabla }{2}{2}}psi _{t}

Oscilador armónico simple

El Lagrangiano para el oscilador armónico simple es

L=12mxÍ Í 2− − 12m⋅ ⋅ 2x2.{fnMicroc}= {fnMicroc} {2}m{}m {x} {2}-{tfrac} {1} {2}momega ^{2}x^{2}

Escribe su trayectoria x(t) como la trayectoria clásica más alguna perturbación, x(t) = x_c(t) + δx(t) y la acción como S = S_c + δS. La trayectoria clásica se puede escribir como

xc()t)=xipecado⁡ ⁡ ⋅ ⋅ ()tf− − t)pecado⁡ ⁡ ⋅ ⋅ ()tf− − ti)+xfpecado⁡ ⁡ ⋅ ⋅ ()t− − ti)pecado⁡ ⁡ ⋅ ⋅ ()tf− − ti).{displaystyle x_{text{c}(t)=x_{i}{frac {sin omega (t_{f}-t)}{sin omega (t_{f}-t_{i}}}+x_{f}{frac {sin omega (t-t_{i})}{sin omega (t_{f}-t_{i}}}}}

Esta trayectoria produce la acción clásica

Sc=∫ ∫ titfLdt=∫ ∫ titf()12mxÍ Í 2− − 12m⋅ ⋅ 2x2)dt=12m⋅ ⋅ ()()xi2+xf2)#⁡ ⁡ ⋅ ⋅ ()tf− − ti)− − 2xixfpecado⁡ ⁡ ⋅ ⋅ ()tf− − ti)).{displaystyle {begin{aligned}S_{text{c} ¿Qué? {L},dt=int ¿Por qué? {2}m{}m {x} {2}-{tfrac} {2} {2}}momega }{2}x^{2}right),dt[6pt] limit={2} {2}momega left({frac {x_{i}{2}+x_{2}{2}} {2}}} {}{2} {f}{i}{i}{i}{i} {} {} {i}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}} {} {}}}}}}}}}} {m} {} {} {}}}}} {} {}}}}} {} {} {}}}}} {}}}} {} {} {}}} {}}}} {} {}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}

A continuación, expanda la desviación de la ruta clásica como una serie de Fourier y calcule la contribución a la acción δS, que da

S=Sc+.. n=1JUEGO JUEGO 12an2m2()()nπ π )2tf− − ti− − ⋅ ⋅ 2()tf− − ti)).{displaystyle S=S_{text{c}+sum ¿Qué? {1}{2}a_{n}{2}{2}{frac {m}{2}left {frac {npi)}{t_{f}-t_{i}}}}-omega ^{2}(t_{f}-t_{i})right).}}

Esto significa que el propagador es

K()xf,tf;xi,ti)=QeiSc▪ ▪ ∏ ∏ j=1JUEGO JUEGO jπ π 2∫ ∫ dajexp⁡ ⁡ ()i2▪ ▪ aj2m2()()jπ π )2tf− − ti− − ⋅ ⋅ 2()tf− − ti)))=eiSc▪ ▪ Q∏ ∏ j=1JUEGO JUEGO ()1− − ()⋅ ⋅ ()tf− − ti)jπ π )2)− − 12{displaystyle {begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i}) {IS_{text{c}} {hbar}prod _{j=1}{infty {fnh} {fnh} {fnh} {fnh} {fnfnh} {fnh} {fnh} {fnfnfnh} {fnfnh} {fnfnh}} {f}fnfnfnf}fnfnfnh}fnfnh}fnfnh}fnh}fnfnh}fnh}fnh}fnh}fnh}fnh}fnfnf}fnh}fnh}fnh} {fnhfnh}fnh}fnh}fnfnh}fnh}fnfnh}fnh}fnh}fnh}fnh}fnh}fnh} {fn ¿Qué? {IS_{text{c} {hbar} }Qprod _{j=1} {infty }left(1-left({frac {omega (t_{f}-t_{i} {jpi}right)}{2}right)^{-{-{frac {1}{2}}}end{aligned}}}

para cierta normalización

Q=m2π π i▪ ▪ ()tf− − ti).{displaystyle Q={sqrt {frac {m}{2pi ihbar (t_{f}}}~}}

Usando la representación de producto infinito de la función sinc,

∏ ∏ j=1JUEGO JUEGO ()1− − x2j2)=pecado⁡ ⁡ π π xπ π x,{displaystyle prod _{j=1}{infty }left(1-{frac {x^{2}{j^{2}}right)={frac {sin pi x}{pi x}}}}}

el propagador se puede escribir como

K()xf,tf;xi,ti)=QeiSc▪ ▪ ⋅ ⋅ ()tf− − ti)pecado⁡ ⁡ ⋅ ⋅ ()tf− − ti)=eiSc▪ ▪ m⋅ ⋅ 2π π i▪ ▪ pecado⁡ ⁡ ⋅ ⋅ ()tf− − ti).{displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{frac {IS_{text{c} {hbar} {f} {f} {f} {f} {f}} {f} {f}}} {sin omega (t_{f}-t_{i}}}}}=e^{frac} {fnK}{hbar}{sqrt {momega }{2pi ihbar sin omega {f}}}}

Sea T = t_f − t_i . Se puede escribir este propagador en términos de estados propios de energía como

K()xf,tf;xi,ti)=()m⋅ ⋅ 2π π i▪ ▪ pecado⁡ ⁡ ⋅ ⋅ T)12exp⁡ ⁡ ()i▪ ▪ 12m⋅ ⋅ ()xi2+xf2)#⁡ ⁡ ⋅ ⋅ T− − 2xixfpecado⁡ ⁡ ⋅ ⋅ T)=.. n=0JUEGO JUEGO exp⁡ ⁡ ()− − iEnT▪ ▪ )↑ ↑ n()xf)↑ ↑ n()xi)Alternativa Alternativa .{displaystyle {begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i}) Sent=left({frac {momega }{2pi ihbaromega T}right)^{frac {1}{2}}exp {left({f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {} {f} {2}momega {f} {f}f}}cos omega {f}}cc}cc}f}cf}f}cH0}f} T-2x_{i}x_{f}{sin omega T}right)}\[6pt] ¿Por qué? {E_{n}T} {hbar}}right)}psi _{n}ps}psi _{n}(x_{i})}} {}} {}}} {f}} {f}}}}}}} {f}}}

Usando las identidades i sin ωT = 1/2e^iωT (1 − e^−2iωT) y cos ωT = 1/2e^iωT (1 + e^−2iωT), esto equivale a

K()xf,tf;xi,ti)=()m⋅ ⋅ π π ▪ ▪ )12e− − i⋅ ⋅ T2()1− − e− − 2i⋅ ⋅ T)− − 12exp⁡ ⁡ ()− − m⋅ ⋅ 2▪ ▪ ()()xi2+xf2)1+e− − 2i⋅ ⋅ T1− − e− − 2i⋅ ⋅ T− − 4xixfe− − i⋅ ⋅ T1− − e− − 2i⋅ ⋅ T)).{displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i}=left({frac} {momega }{pihbar}right)}{frac {1} {2}e^{frac {-iomega T}{2}left(1-e^{-2iomega T}right)^{-{frac {1}{2}}exp {left(-{frac {momega }{2hbar }left(x_{i}{2}+x_{f}{2}derecha){frac} {f}}f}{2}derecha){f}}f}f}}f}}f}}{f}}}}}}}f}f}}}f}f}f}}f}f}}}f}f}{f}}f}f}f}}f}}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {1+e^{-2iomega T}{1-e^{-2iomega T}-{frac {4x_{i}x_{f}e^{-iomega Sí.

Did you mean:

One may absorb all terms after the first e^−iωT/2 into R(T), thereby obtaining

K()xf,tf;xi,ti)=()m⋅ ⋅ π π ▪ ▪ )12e− − i⋅ ⋅ T2⋅ ⋅ R()T).{displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i}=left({frac} {momega }{pihbar}right)} {frac} {2}e^{frac} {-iomega T} {2}cdot R(T).}

Finalmente se puede expandir R(T) en potencias de e^−iωT: Todos los términos en esta expansión se multiplican por e^−iωT/2 factor en el frente, lo que produce términos de la forma

e− − i⋅ ⋅ T2e− − in⋅ ⋅ T=e− − i⋅ ⋅ T()12+n)paran=0,1,2,...... .{displaystyle e^{frac {-iomega T} {2}e^{-inomega T}=e^{-iomega Tleft({frac {1}{2}+nright)}quad {text{for }n=0,1,2,ldots.}

La comparación con la expansión del estado propio anterior produce el espectro de energía estándar para el oscilador armónico simple,

En=()n+12)▪ ▪ ⋅ ⋅ .{displaystyle E_{n}=left(n+{tfrac {1}right)hbar omega ~.}

Potencial de Coulomb

Sin embargo, la aproximación dividida en tiempo de Feynman no existe para las integrales de trayectoria mecánico-cuánticas más importantes de los átomos, debido a la singularidad del potencial de Coulomb e²/r en el origen. Solo después de reemplazar el tiempo t por otro parámetro de pseudotiempo dependiente de la ruta

s=∫ ∫ dtr()t){displaystyle s=int {frac} {}}}

Se elimina la singularidad y existe una aproximación dividida en tiempo, que es exactamente integrable, ya que puede volverse armónica mediante una simple transformación de coordenadas, como lo descubrieron en 1979 İsmail Hakkı Duru y Hagen Kleinert. La combinación de una transformación de tiempo dependiente de la trayectoria y una transformación de coordenadas es una herramienta importante para resolver muchas integrales de trayectoria y se denomina genéricamente transformación de Duru-Kleinert.

La ecuación de Schrödinger

La integral de trayectoria reproduce la ecuación de Schrödinger para el estado inicial y final incluso cuando hay un potencial presente. Esto es más fácil de ver tomando una integral de camino en tiempos infinitamente separados.

↑ ↑ ()Sí.;t+ε ε )=∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO ↑ ↑ ()x;t)∫ ∫ x()t)=xx()t+ε ε )=Sí.ei∫ ∫ tt+ε ε ()12xÍ Í 2− − V()x))dtDx()t)dx()1){displaystyle psi (y;t+varepsilon)=int _{-infty }infty }psi (x;t)int _{x(t)=x}^{x(t+varepsilon)=y}e^{iint ¿Qué? {fnK} {fnMicroc {2} {fnK}} {2}-V(x){bigr)}dt}dx(t),dxqquad (1)}

Dado que la separación temporal es infinitesimal y las oscilaciones de cancelación se vuelven severas para valores grandes de ẋ, la integral de ruta tiene mayor peso para y cerca de x. En este caso, en el orden más bajo, la energía potencial es constante y sólo la contribución de la energía cinética no es trivial. (Esta separación de los términos de energía cinética y potencial en el exponente es esencialmente la fórmula del producto de Trotter). La exponencial de la acción es

e− − iε ε V()x)eixÍ Í 22ε ε {displaystyle e^{-ivarepsilon V(x)}e^{i{frac {cHFF} {cH00}}varepsilon}

El primer término rota la fase de ψ(x) localmente en una cantidad proporcional a la energía potencial. El segundo término es el propagador de partículas libres, correspondiente a i veces un proceso de difusión. En el orden más bajo en ε son aditivos; en cualquier caso se tiene con (1):

↑ ↑ ()Sí.;t+ε ε ).. ∫ ∫ ↑ ↑ ()x;t)e− − iε ε V()x)ei()x− − Sí.)22ε ε dx.{displaystyle psi (y;t+varepsilon)approx int psi (x;t)e^{-ivarepsilon V(x)}e^{frac {i(x-y)^{2}{2varepsilon },dx,

Como se mencionó, la dispersión en ψ es difusiva de la propagación libre de partículas, con una rotación de fase extra infinitesimal que lentamente varía de un punto a otro del potencial:

∂ ∂ ↑ ↑ ∂ ∂ t=i⋅ ⋅ ()12Silencio Silencio 2− − V()x))↑ ↑ {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} psi }{partial t}=icdot left({tfrac {1} {2}nabla ^{2}-V(x)right)psi ,}

y esta es la ecuación de Schrödinger. La normalización de la integral de trayectoria debe fijarse exactamente de la misma manera que en el caso de las partículas libres. Un potencial continuo arbitrario no afecta la normalización, aunque los potenciales singulares requieren un tratamiento cuidadoso.

Ecuaciones de movimiento

Dado que los estados obedecen a la ecuación de Schrödinger, la integral de trayectoria debe reproducir las ecuaciones de movimiento de Heisenberg para los promedios de x y ẋ variables, pero es instructivo ver esto directamente. El enfoque directo muestra que los valores esperados calculados a partir de la integral de trayectoria reproducen los habituales de la mecánica cuántica.

Comience considerando la ruta integral con algún estado inicial fijo

∫ ∫ ↑ ↑ 0()x)∫ ∫ x()0)=xeiS()x,xÍ Í )Dx{displaystyle int psi _{0}(x)int _{x(0)=x}e^{iS(x,{dot {x})},Dx,}

Ahora x(t) en cada momento por separado es una variable de integración separada. Por lo tanto, es legítimo cambiar variables en la integral cambiando: x(t) = u(t) + ε(t) donde ε(t) es un turno diferente en cada momento pero ε(0) = ε(T) = 0, ya que los puntos finales no están integrados:

∫ ∫ ↑ ↑ 0()x)∫ ∫ u()0)=xeiS()u+ε ε ,uÍ Í +ε ε Í Í )Du{displaystyle int psi _{0}(x)int _{u(0)=x}e^{iS(u+varepsilon{dot {u}+{dot {varepsilon }}}},Du,}

Did you mean:

The change in the integral from the shift is, to first infinitesimal order in ε:

∫ ∫ ↑ ↑ 0()x)∫ ∫ u()0)=x()∫ ∫ ∂ ∂ S∂ ∂ uε ε +∂ ∂ S∂ ∂ uÍ Í ε ε Í Í dt)eiSDu{displaystyle int psi _{0}(x)int _{u(0)=x}left(int {frac {partial S}{partial u}varepsilon +{frac {partial ¿Qué?

que integrando por partes en t, da:

∫ ∫ ↑ ↑ 0()x)∫ ∫ u()0)=x− − ()∫ ∫ ()ddt∂ ∂ S∂ ∂ uÍ Í − − ∂ ∂ S∂ ∂ u)ε ε ()t)dt)eiSDu{displaystyle int psi _{0}(x)int _{u(0)=x}-left(int left({frac {d}{dt}{frac {partial S}{partial { dot {}}} {fnMicroc {partial S}{partial u}right)varepsilon (t),dtright)e^{iS},Du,}

Pero esto fue solo un cambio de las variables de integración, lo que no cambia el valor de la integral para cualquier elección de ε(t). La conclusión es que esta variación de primer orden es cero para un estado inicial arbitrario y en cualquier momento arbitrario:

.↑ ↑ 0Silencioδ δ Sδ δ x()t)Silencio↑ ↑ 0.=0{displaystyle leftlangle psi _{0}(t)right privacypsi ¿Qué? =0}

esta es la ecuación de movimiento de Heisenberg.

Si la acción contiene términos que multiplican ẋ y x, en el mismo momento, las manipulaciones anteriores son solo heurísticas, porque las reglas de multiplicación para estas cantidades no son conmutables en la integral de trayectoria como en el formalismo del operador.

Aproximación de fase estacionaria

Si la variación en la acción excede ħ en muchos órdenes de magnitud, normalmente tenemos interferencia destructiva fuera de la vecindad. de esas trayectorias que satisfacen la ecuación de Euler-Lagrange, que ahora se reinterpreta como la condición para la interferencia constructiva. Esto se puede demostrar utilizando el método de fase estacionaria aplicado al propagador. A medida que ħ disminuye, la exponencial de la integral oscila rápidamente en el dominio complejo ante cualquier cambio en la acción. Por lo tanto, en el límite en el que ħ llega a cero, solo los puntos donde la acción clásica no varía contribuyen al propagador.

Relaciones de conmutación canónicas

La formulación de la integral de ruta no deja claro a primera vista que las cantidades x y p no conmuta. En la integral de ruta, éstas son sólo variables de integración y no tienen un orden obvio. Feynman descubrió que la no conmutatividad todavía está presente.

Para ver esto, considere la integral de camino más simple, el camino browniano. Esto aún no es mecánica cuántica, por lo que en la integral de ruta la acción no se multiplica por i:

S=∫ ∫ ()dxdt)2dt{displaystyle S=int left({frac {dx}{dt}right)^{2},dt}

La cantidad x(t) está fluctuando y la derivada se define como el límite de una diferencia discreta.

dxdt=x()t+ε ε )− − x()t)ε ε {displaystyle {frac {dx}{frac {x(t+varepsilon)-x(t)}{varepsilon }

La distancia que recorre una caminata aleatoria es proporcional a √ t, de modo que:

x()t+ε ε )− − x()t).. ε ε {displaystyle x(t+varepsilon)-x(t)approx {sqrt {varepsilon }

Esto muestra que el paseo aleatorio no es diferenciable, ya que la relación que define la derivada diverge con probabilidad uno.

La cantidad xẋ es ambigua, con dos posibles significados:

[1]=xdxdt=x()t)x()t+ε ε )− − x()t)ε ε {displaystyle [1]=x{frac {dx}=x(t){frac {x(t+varepsilon)-x(t)}{varepsilon }

[2]=xdxdt=x()t+ε ε )x()t+ε ε )− − x()t)ε ε {displaystyle [2]=x{frac {dx}=x(t+varepsilon){frac {x(t+varepsilon)-x(t)}{varepsilon }

En cálculo elemental, los dos sólo se diferencian en una cantidad que llega a 0 cuando ε llega a 0. Pero en En este caso, la diferencia entre ambos no es 0:

[2]− − [1]=()x()t+ε ε )− − x()t))2ε ε .. ε ε ε ε {displaystyle [2]-[1]={frac {{big (}x(t+varepsilon)-x(t){big)}{2}{varepsilon }approx {frac {varepsilon }{varepsilon }

Dejar

f()t)=()x()t+ε ε )− − x()t))2ε ε {displaystyle f(t)={big {big (}x(t+varepsilon)-x(t){big)}{2}{varepsilon }

Entonces f(t) es una cantidad estadística que fluctúa rápidamente, cuyo valor promedio es 1, es decir, una cantidad normalizada. "proceso gaussiano". Las fluctuaciones de tal cantidad pueden describirse mediante un método estadístico lagrangiano.

L=()f()t)− − 1)2,{displaystyle {mathcal {L}=(f(t)-1)},}

y las ecuaciones de movimiento para f derivadas de extremar la acción S correspondiente a L simplemente configúrelo igual a 1. En física, dicha cantidad es "igual a 1 como identidad del operador". En matemáticas, "converge débilmente a 1". En cualquier caso, es 1 en cualquier valor esperado, o cuando se promedia en cualquier intervalo, o para todos los fines prácticos.

Definición del orden de tiempo para ser el orden del operador:

[x,xÍ Í ]=xdxdt− − dxdtx=1[x,{dot {x}]=x{frac {dx}-{frac {dt}-{frac {dx} {dt}x=1}

Esto se llama lema de Itō en cálculo estocástico y relaciones de conmutación canónicas (euclidianizadas) en física.

Para una acción estadística general, un argumento similar muestra que

[x,∂ ∂ S∂ ∂ xÍ Í ]=1{displaystyle left[x,{frac {partial S}{dot {dot {dot}}right]=1}

y en mecánica cuántica, la unidad imaginaria extra en la acción la convierte en la relación de conmutación canónica,

[x,p]=i{displaystyle [x,p]=i}

Partícula en espacio curvo

Para una partícula en un espacio curvo, el término cinético depende de la posición, y la división de tiempo anterior no se puede aplicar, siendo esto una manifestación del notorio problema de ordenamiento de operadores en la mecánica cuántica de Schrödinger. Sin embargo, se puede resolver este problema transformando la integral de la trayectoria del espacio plano dividido en el tiempo en un espacio curvo utilizando una transformación de coordenadas multivalor (el mapeo no holonómico se explica aquí).

Factores teóricos de la medida

A veces (por ejemplo, una partícula que se mueve en un espacio curvo) también tenemos factores teóricos de medida en la integral funcional:

∫ ∫ μ μ [x]eiS[x]Dx.{displaystyle int mu [x]e^{iS[x]},{mathcal {D}x.}

Este factor es necesario para restaurar la unitaridad.

Por ejemplo, si

S=∫ ∫ ()m2gijxÍ Í ixÍ Í j− − V()x))dt,{displaystyle S=int left({frac {m}{2}g_{} { dot {x}{i} { dot {x}}{j}-V(x)right),dt,}

entonces significa que cada sector espacial se multiplica por la medida √g. Esta medida no se puede expresar como una multiplicación funcional de Dx medida porque pertenecen a clases completamente diferentes.

Valores esperados y elementos de la matriz

Matriz elementos del tipo .. xfSilencioe− − i▪ ▪ H^ ^ ()t− − t.)F()x^ ^ )e− − i▪ ▪ H^ ^ ()t.)Silencioxi.. {displaystyle langle x_{f} {}{hbar} ¿Qué? {}{hbar} - Hola. tomar el formulario

∫ ∫ x()0)=xix()t)=xfD[x]F()x()t.))ei▪ ▪ ∫ ∫ dtL()x()t),xÍ Í ()t)){displaystyle int _{x(0)=x_{i}{x(t)=x_{f}{mathcal {d}[x]F(x(t))e^{frac {}{hbar }int dtL(x(t),{dot {}(t)}}}}}} {}} {}}}} {.

Esto se generaliza a múltiples operadores, por ejemplo

.. xfSilencioe− − i▪ ▪ H^ ^ ()t− − t1)F1()x^ ^ )e− − i▪ ▪ H^ ^ ()t1− − t2)F2()x^ ^ )e− − i▪ ▪ H^ ^ ()t2)Silencioxi.. =∫ ∫ x()0)=xix()t)=xfD[x]F1()x()t1))F2()x()t2))ei▪ ▪ ∫ ∫ dtL()x()t),xÍ Í ()t)){displaystyle langle x_{f} {} {hbar} ¿Qué? {} {hbar} ¿Qué? {} {hbar} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}} {f}} {f} {f}} {c}} {c}} {c}} {c}} {c}} {cc}}} {c}}} {c}}}}} {c}}}}c}} {cc}}}}}}} {c} {c} {c}}} {c}} {c}}}}}} {cc}}}}}}}}}}}}}}}} {c} {c}}}} {cccc}}}ccccccc}}}}}}}}}}}}}}cccccccccc}}}}}}},

y al valor esperado general

.. F.. =∫ ∫ D[φ φ ]F()φ φ )ei▪ ▪ S[φ φ ]∫ ∫ D[φ φ ]ei▪ ▪ S[φ φ ]{displaystyle langle Frangle ={frac {int}[fi]F(phi]e^{frac} {}{hbar} [phi] {fnMitcal {fnMicrosoft ] {}{hbar} Sí..

Integrales del camino euclidiano

Es muy común en integrales de trayectoria realizar una rotación de Wick desde tiempos reales a imaginarios. En el marco de la teoría cuántica de campos, la rotación de Wick cambia la geometría del espacio-tiempo de Lorentziana a Euclidiana; como resultado, las integrales de trayectoria girada por Wick a menudo se denominan integrales de trayectoria euclidiana.

Rotación de mechas y fórmula de Feynman-Kac

Si reemplazamos t{displaystyle t} por − − it{displaystyle -it}, el operador de la evolución del tiempo e− − itH^ ^ /▪ ▪ {displaystyle e^{-it{hat {H}/hbar } es reemplazado por e− − tH^ ^ /▪ ▪ {displaystyle e^{-t{hat {H}/hbar }. (Este cambio se conoce como una rotación Wick.) Si repetimos la derivación de la fórmula de integración del camino en este entorno, obtenemos

↑ ↑ ()x,t)=1Z∫ ∫ x()0)=xe− − SEuclidean()x,xÍ Í )/▪ ▪ ↑ ↑ 0()x()t))Dx{displaystyle psi (x,t)={frac {1}{Z}int _{mathbf {x} (0)=x}e^{-S_{mathrm [Euclidean] }(mathbf {x}{dot {mathbf {x}})/hbar }psi _{0}(mathbf {x} (t),{mathcal {D}mathbf {x},} {x}}} {f} {f} {f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f},

Donde SEuclidean{displaystyle S_{mathrm {Euclidean} es la acción euclidiana, dada por

SEuclidean()x,xÍ Í )=∫ ∫ [m2SilencioxÍ Í ()t)Silencio2+V()x()t))]dt{fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft {f}})=int left[{frac {m}}}{dot {mathbf {x} t)} {} {cHFF}} {cH00}}cH00}cH0} {cH00}} {cH00}}}}}}}}} {cH00}}}}}}}}}}}}cH00}} {f}}cH00} {cH00}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f} {cH00} {cH0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}.

Observe el cambio de signo entre esta y la acción normal, donde el término de energía potencial es negativo. (El término Euclidiano proviene del contexto de la teoría cuántica de campos, donde el cambio del tiempo real al imaginario cambia la geometría del espacio-tiempo de Lorentziana a Euclidiana).

Ahora, la contribución de la energía cinética a la integral de trayectoria es la siguiente:

1Z∫ ∫ x()0)=xf()x)e− − m2∫ ∫ SilencioxÍ Í Silencio2dtDx{displaystyle {frac {1}{Z}}int _{mathbf {x}=x}f(mathbf {x})e^{-{frac {m}int }int Неный {dot {mathbf {x}}} {f}}f} - ¿Qué?

Donde f()x){displaystyle f(mathbf {x})} incluye toda la dependencia restante del integrado en el camino. Esta integral tiene una interpretación matemática rigurosa como integración contra la medida Wiener, denotada μ μ x{displaystyle mu _{x}}. La medida Wiener, construida por Norbert Wiener, da una base rigurosa al modelo matemático de Einstein del movimiento Browniano. El subscript x{displaystyle x} indica que la medida μ μ x{displaystyle mu _{x}} se apoya en caminos x{displaystyle mathbf {x} con x()0)=x{displaystyle mathbf {x} (0)=x}.

Tenemos entonces una versión rigurosa de la integral de trayectoria de Feynman, conocida como fórmula de Feynman-Kac:

↑ ↑ ()x,t)=∫ ∫ e− − ∫ ∫ V()x()t))dt/▪ ▪ ↑ ↑ 0()x()t))dμ μ x()x){displaystyle psi (x,t)=int e^{-int V(mathbf {x} (t),dt/hbar },psi _{0}(mathbf {x} (t)),dmu _{x}(mathbf {x})}}},

donde ahora ↑ ↑ ()x,t){displaystyle psi (x,t)} satisfecha la versión de Wick-rotated de la ecuación de Schrödinger,

▪ ▪ ∂ ∂ ∂ ∂ t↑ ↑ ()x,t)=− − H^ ^ ↑ ↑ ()x,t){displaystyle hbar {frac {partial }{partial t}psi (x,t)=-{hat {H}psi (x,t)}}.

Aunque la ecuación Schrödinger con Wick no tiene un significado físico directo, propiedades interesantes del operador Schrödinger H^ ^ {displaystyle {hat {}}} se puede extraer estudiando.

Gran parte del estudio de las teorías cuánticas de campos desde la perspectiva de trayectoria integral, tanto en la literatura de matemáticas como de física, se realiza en el entorno euclidiano, es decir, después de una rotación de Wick. En particular, hay varios resultados que muestran que si se puede construir una teoría de campo euclidiana con propiedades adecuadas, entonces se puede deshacer la rotación de Wick para recuperar la teoría física lorentziana. Por otro lado, es mucho más difícil dar un significado a las integrales de trayectoria (incluso a las integrales de trayectoria euclidiana) en la teoría cuántica de campos que en la mecánica cuántica.

La integral de ruta y la función de partición

La integral de trayectoria es simplemente la generalización de la integral anterior a todos los problemas de la mecánica cuántica.

Z=∫ ∫ eiS[x]▪ ▪ DxDondeS[x]=∫ ∫ 0tfL[x()t),xÍ Í ()t)]dt{fnMicrosoft} {f} {fnMicrosoft} {f} {f} {f}} {f}} {f}} {f} {f} {f}f} {f}f}f}} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}

es la acción del problema clásico en el que uno investiga el camino que comienza en el tiempo t = 0 y terminando a tiempo t = t_f, y Dx{fnMicrosoft} denota la medida de integración en todos los caminos. En el límite clásico, S[x]≫ ≫ ▪ ▪ {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} ##gg hbar }, el camino de la acción mínima domina la integral, porque la fase de cualquier camino lejos de esto fluctúa rápidamente y las diferentes contribuciones cancelan.

La conexión con la mecánica estadística sigue. Considerando solo las rutas que comienzan y terminan en la misma configuración, realice la rotación de Wick it = ħβ, es decir, haga tiempo imaginario e integrarlo en todas las configuraciones posibles de principio a fin. La integral de trayectoria rotada por Wick, descrita en la subsección anterior, con la acción ordinaria reemplazada por su acción "euclidiana" contraparte: ahora se parece a la función de partición de la mecánica estadística definida en un conjunto canónico con temperatura inversa proporcional al tiempo imaginario, 1/T = ik_Bt/ħ. Sin embargo, en sentido estricto, ésta es la función de partición de una teoría estadística de campos.

Claramente, una analogía tan profunda entre la mecánica cuántica y la mecánica estadística no puede depender de la formulación. En la formulación canónica, se ve que el operador de evolución unitaria de un estado está dado por

Silencioα α ;t.. =e− − iHt▪ ▪ Silencioα α ;0.. {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {hbar} }} sobrevivióalpha;0rangle }

donde el estado α evoluciona desde el tiempo t = 0. Si uno hace una rotación de Wick aquí y encuentra la amplitud para ir desde cualquier estado, regresar al mismo estado en tiempo (imaginario) iβ está dado por

Z=Tr⁡ ⁡ [e− − Hβ β ]{displaystyle Z=operatorname {Tr} left [e^{-Hbeta }right]

que es precisamente la función de partición de la mecánica estadística para el mismo sistema a la temperatura citada anteriormente. Erwin Schrödinger también conocía un aspecto de esta equivalencia, quien comentó que la ecuación que lleva su nombre se parecía a la ecuación de difusión después de la rotación de Wick. Sin embargo, tenga en cuenta que la integral de trayectoria euclidiana en realidad tiene la forma de un modelo de mecánica estadística clásica.

Teoría cuántica de campos

Tanto el enfoque de Schrödinger como el de Heisenberg sobre la mecánica cuántica señalan el tiempo y no siguen el espíritu de la relatividad. Por ejemplo, el enfoque de Heisenberg requiere que los operadores de campo escalar obedezcan la relación de conmutación

[φ φ ()x),∂ ∂ tφ φ ()Sí.)]=iδ δ 3()x− − Sí.){displaystyle [varphi (x),partial _{t}varphi (y)]=idelta ^{3}(x-y)}

para dos posiciones espaciales simultáneas x y y, y este no es un concepto relativistamente invariante. Los resultados de un cálculo son covariantes, pero la simetría no es evidente en las etapas intermedias. Si los cálculos ingenuos de la teoría de campos no hubieran producido infinitas respuestas en el límite del continuo, esto no habría sido un problema tan grande: simplemente habría sido una mala elección de coordenadas. Pero la falta de simetría significa que las cantidades infinitas deben ser eliminadas, y las malas coordenadas hacen que sea casi imposible eliminar la teoría sin estropear la simetría. Esto dificulta la extracción de predicciones físicas, que requieren un procedimiento de limitación cuidadoso.

El problema de la simetría perdida también aparece en la mecánica clásica, donde la formulación hamiltoniana también destaca superficialmente el tiempo. La formulación lagrangiana hace evidente la invariancia relativista. De la misma manera, la integral de trayectoria es manifiestamente relativista. Reproduce la ecuación de Schrödinger, las ecuaciones de movimiento de Heisenberg y las relaciones de conmutación canónicas y demuestra que son compatibles con la relatividad. Extiende el álgebra de operadores de tipo Heisenberg a reglas de producto de operadores, que son relaciones nuevas difíciles de ver en el antiguo formalismo.

Además, diferentes elecciones de variables canónicas conducen a formulaciones aparentemente muy diferentes de la misma teoría. Las transformaciones entre variables pueden ser muy complicadas, pero la integral de ruta las convierte en cambios razonablemente sencillos de variables de integración. Por estas razones, la integral de ruta de Feynman ha hecho que los formalismos anteriores queden en gran medida obsoletos.

El precio de una representación integral de trayectoria es que la unitaridad de una teoría ya no es evidente, pero se puede probar cambiando las variables a alguna representación canónica. La integral de trayectoria en sí misma también trata con espacios matemáticos más grandes de lo habitual, lo que requiere matemáticas más cuidadosas, las cuales no todas han sido completamente resueltas. Históricamente, la integral de ruta no fue aceptada de inmediato, en parte porque tomó muchos años incorporar adecuadamente los fermiones. Esto requirió que los físicos inventaran un objeto matemático completamente nuevo, la variable de Grassmann, que también permitiera que los cambios de variables se realizaran de forma natural, además de permitir una cuantificación restringida.

Las variables de integración en la integral de trayectoria son sutilmente no conmutantes. El valor del producto de dos operadores de campo en lo que parece el mismo punto depende de cómo se ordenan los dos puntos en el espacio y el tiempo. Esto hace que algunas identidades ingenuas fracasen.

La propagadora

(feminine)

En las teorías relativistas, existe una representación tanto de partícula como de campo para cada teoría. La representación del campo es una suma de todas las configuraciones del campo, y la representación de partículas es una suma de diferentes trayectorias de partículas.

La formulación no relativista se da tradicionalmente en términos de trayectorias de partículas, no de campos. Allí, la integral de trayectoria en las variables habituales, con condiciones de contorno fijas, da la amplitud de probabilidad de que una partícula vaya desde el punto x para señalar y en el tiempo T:

K()x,Sí.;T)=.. Sí.;T▪ ▪ x;0.. =∫ ∫ x()0)=xx()T)=Sí.eiS[x]Dx.{displaystyle K(x,y;T)=langle y;Tmid x;0rangle =int _{x(0)=x}^{x(T)=y}e^{iS[x]},Dx.}

Esto se llama propagador. Superponer diferentes valores de la posición inicial x con un estado inicial arbitrario ψ₀(x) construye el estado final:

↑ ↑ T()Sí.)=∫ ∫ x↑ ↑ 0()x)K()x,Sí.;T)dx=∫ ∫ x()T)=Sí.↑ ↑ 0()x()0))eiS[x]Dx.{displaystyle psi _{T}(y)=int _{x}psi _{0}(x)K(x,y;T),dx=int ^{x(T)=y}psi _{0}(x(0))e^{iS[x]},Dx.}

Para un sistema espacialmente homogéneo, donde K(x, y) es solo una función de (x − y), la integral es una convolución, el estado final es el estado inicial convolucionado con el propagador:

↑ ↑ T=↑ ↑ 0Alternativa Alternativa K();T).{displaystyle psi _{T}=psi _{0}*K(T). }

Para una partícula libre de masa m, el propagador se puede evaluar explícitamente a partir de la integral de trayectoria o observando que la La ecuación de Schrödinger es una ecuación de difusión en tiempo imaginario y la solución debe ser una gaussiana normalizada:

K()x,Sí.;T)∝ ∝ eim()x− − Sí.)22T.{displaystyle K(x,y;T)propto e^{frac {im(x-y)^{2}{2T}}}

Tomar la transformada de Fourier en (x − y) produce otro gaussiano:

K()p;T)=eiTp22m,{displaystyle K(p;T)=e^{frac {ITp^{2}{2m}}}}

y en el espacio p el factor de proporcionalidad aquí es constante en el tiempo, como se comprobará en un momento. La transformada de Fourier en el tiempo, extendiendo K(p; T) a cero para tiempos negativos, da la función de Green, o el propagador de frecuencia-espacio:

GF()p,E)=− − iE− − p→ → 22m+iε ε ,{displaystyle G_{text{F}(p,E)={frac {fnMicroc {fnMicroc} {p} {2}} {2m}}ivarepsilon }}} {cH}} {cH}}}} {c}}} {c}}}

que es el recíproco del operador que aniquila la función de onda en la ecuación de Schrödinger, que no hubiera salido bien si el factor de proporcionalidad no fuera constante en el estilo representación del espacio p.

El término infinitesimal en el denominador es un pequeño número positivo, lo que garantiza que la transformada de Fourier inversa en E será distinta de cero sólo para tiempos futuros. En el pasado, el contorno de la transformada de Fourier inversa se cierra hacia valores de E donde no hay singularidad. Esto garantiza que K propaga la partícula hacia el futuro y es la razón del subíndice "F" en G. El término infinitesimal puede interpretarse como una rotación infinitesimal hacia el tiempo imaginario.

También es posible reexpresar la evolución temporal no relativista en términos de propagadores que van hacia el pasado, ya que la ecuación de Schrödinger es reversible en el tiempo. El propagador pasado es el mismo que el propagador futuro excepto por la diferencia obvia de que desaparece en el futuro y en el t gaussiano. se reemplaza por −t. En este caso, la interpretación es que estas son las cantidades para convolucionar la función de onda final para obtener la función de onda inicial:

GB()p,E)=− − i− − E− − ip→ → 22m+iε ε .{displaystyle G_{text{B}(p,E)={frac {-i}{-E-{frac {fnMic} {p}} {2m}=ivarepsilon }}

Dado el único cambio casi idéntico es el signo de E y ε, el parámetro E en la función de Green puede ser el energía si los caminos van hacia el futuro, o el negativo de la energía si los caminos van hacia el pasado.

Para una teoría no relativista, el tiempo medido a lo largo de la trayectoria de una partícula en movimiento y el tiempo medido por un observador externo son el mismo. En relatividad, esto ya no es cierto. Para una teoría relativista, el propagador debe definirse como la suma de todos los caminos que viajan entre dos puntos en un tiempo adecuado fijo, medido a lo largo del camino (estos caminos describen la trayectoria de una partícula en el espacio y en el tiempo):

K()x− − Sí.,T)=∫ ∫ x()0)=xx()T)=Sí.ei∫ ∫ 0TxÍ Í 2− − α α dτ τ .{displaystyle K(x-y,mathrm {T})=int _{x(0)=x}^{x(mathrm {T})=y}e^{iint {fnMicrosoft Sans Serif}

La integral anterior no es fácil de interpretar debido a la raíz cuadrada. Afortunadamente, existe un truco heurístico. La suma está sobre la longitud del arco relativista de la trayectoria de una cantidad oscilante y, al igual que la integral de trayectoria no relativista, debe interpretarse como ligeramente girada en el tiempo imaginario. La función K(x − y, τ) se puede evaluar cuando la suma supera caminos en el espacio euclidiano:

K()x− − Sí.,T)=e− − α α T∫ ∫ x()0)=xx()T)=Sí.e− − L.{displaystyle K(x-y,mathrm {T})=e^{-alpha mathrm {T}int _{x(0)=x}^{x(mathrm {T}y}e^{-L}}

Esto describe una suma sobre todos los caminos de longitud Τ del exponencial de menos la longitud. A esto se le puede dar una interpretación de probabilidad. La suma de todos los caminos es un promedio de probabilidad de un camino construido paso a paso. El número total de pasos es proporcional a Τ y cada paso es menos probable cuanto más largo sea. Según el teorema del límite central, el resultado de muchos pasos independientes es una varianza gaussiana proporcional a Τ:

K()x− − Sí.,T)=e− − α α Te− − ()x− − Sí.)2T.{displaystyle K(x-y,mathrm {T})=e^{-alpha mathrm {T}e^{-{frac {(x-y)}{2}{mathrm {T}}}}}}}

La definición habitual del propagador relativista solo pide que la amplitud viaje desde x a y, después de sumar todos los tiempos adecuados posibles que podrían tomar:

K()x− − Sí.)=∫ ∫ 0JUEGO JUEGO K()x− − Sí.,T)W()T)dT,{displaystyle K(x-y)=int _{0}{infty }K(x-y,mathrm {T})W(mathrm {T}),dmathrm {T}

donde W(Τ) es un factor de peso, la importancia relativa de rutas de diferente tiempo adecuado. Por la simetría de traducción en el tiempo adecuado, este peso sólo puede ser un factor exponencial y puede absorberse en la constante α:

K()x− − Sí.)=∫ ∫ 0JUEGO JUEGO e− − ()x− − Sí.)2T− − α α TdT.{displaystyle K(x-y)=int _{0}{infty }e^{-{frac {(x-y)^{2}{mathrm {T}}-alpha mathrm {T},dmathrm {T}}

Esta es la representación de Schwinger. Se puede realizar una transformada de Fourier sobre la variable (x − y) para cada valor de Τ por separado, y debido a que cada contribución Τ separada es una gaussiana, se obtiene cuya transformada de Fourier es otra gaussiana con ancho recíproco. Entonces, en el espacio p, el propagador se puede reexpresar simplemente:

K()p)=∫ ∫ 0JUEGO JUEGO e− − Tp2− − Tα α dT=1p2+α α ,{displaystyle K(p)=int ¿Qué? {T} p^{2}-mathrm {T} alpha },dmathrm {T} ={frac {1}{2}+alpha }}}

que es el propagador euclidiano de una partícula escalar. Al rotar p₀ para que sea imaginario se obtiene el propagador relativista habitual, hasta un factor de −i y una ambigüedad, que se aclarará a continuación:

K()p)=ip02− − p→ → 2− − m2.{displaystyle K(p)={frac {}{0} {2}-{vec} {p} {2}-m^{2}}}

Esta expresión se puede interpretar en el límite no relativista, donde conviene dividirla en fracciones parciales:

2p0K()p)=ip0− − p→ → 2+m2+ip0+p→ → 2+m2.{displaystyle 2p_{0}K(p)={frac {fnK} {fnK} {fnK} {fnK}} {f}} {fn} {fn} {fn}fn}fn} {fn} {fn} {fn}f} {fnf}f}fnfnf}fn}f}f}fn}fn}f}fn}fn}fn}fnfnfn}f}fn}f}f}fnfnfn}fnfnf}f}fnf}fnfnfn}fn}f}fn}f}fnf}fnfnfnf}fnfn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}\fn} {} {fn}} {fnK}}} {fnMicroc}}}} {f}}} {f}}} {fn}}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}} { {}{0}+{sqrt {fnMic {p}} {2}+m^{2}}}}}

Para estados donde está presente una partícula no relativista, la función de onda inicial tiene una distribución de frecuencia concentrada cerca de p₀ = m . Al convolucionar con el propagador, que en el espacio p simplemente significa multiplicar por el propagador, el segundo término se suprime y el primer término se mejorado. Para frecuencias cercanas a p₀ = m, el primer término dominante tiene la forma

2mKNR()p)=i()p0− − m)− − p→ → 22m.{displaystyle 2mK_{text{NR}(p)={frac {fnMicrosoft Sans Serif} {}} {2} {2m}}}}}

Ésta es la expresión de la función no relativista de Green de una partícula de Schrödinger libre.

El segundo término también tiene un límite no relativista, pero este límite se concentra en frecuencias que son negativas. El segundo polo está dominado por contribuciones de trayectorias en las que el tiempo propio y el tiempo coordinado corren en sentido opuesto, lo que significa que el segundo término debe interpretarse como la antipartícula. El análisis no relativista muestra que con esta forma la antipartícula todavía tiene energía positiva.

La forma correcta de expresar esto matemáticamente es que, agregando un pequeño factor de supresión en el tiempo adecuado, el límite donde t → −∞ del el primer término debe desaparecer, mientras que el límite t → +∞ del segundo término debe desaparecer. En la transformada de Fourier, esto significa desplazar ligeramente el polo en p₀, de modo que la transformada inversa de Fourier retome un pequeño factor de caída en una de las direcciones del tiempo:

K()p)=ip0− − p→ → 2+m2+iε ε +ip0− − p→ → 2+m2− − iε ε .{displaystyle K(p)={frac {fnK} {fnK} {fnK} {fnK}} {f}} {fn} {fn} {fn}fn}fn} {fn} {fn} {fn}f} {fnf}f}fnfnf}fn}f}f}fn}fn}f}fn}fn}fn}fnfnfn}f}fn}f}f}fnfnfn}fnfnf}f}fnf}fnfnfn}fn}f}fn}f}fnf}fnfnfnf}fnfn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}\fn} {p} {2}+m^{2}}+ivarepsilon }+{frac {fnK} {fnK} {fnK} {fnK}} {f}} {fn} {fn} {fn}fn}fn} {fn} {fn} {fn}f} {fnf}f}fnfnf}fn}f}f}fn}fn}f}fn}fn}fn}fnfnfn}f}fn}f}f}fnfnfn}fnfnf}f}fnf}fnfnfn}fn}f}fn}f}fnf}fnfnfnf}fnfn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}\fn} {p} {2}+m^{2}}-ivarepsilon }}

Sin estos términos, la contribución del polo no podría evaluarse sin ambigüedades al tomar la transformada inversa de Fourier de p₀. Los términos se pueden recombinar:

K()p)=ip2− − m2+iε ε ,{displaystyle K(p)={frac {i}{2}-m^{2}+ivarepsilon }}}

que, cuando se factoriza, produce términos infinitesimales de signos opuestos en cada factor. Esta es la forma matemáticamente precisa del propagador de partículas relativista, libre de ambigüedades. El término ε introduce una pequeña parte imaginaria al α = m², que en la versión de Minkowski es una pequeña supresión exponencial de caminos largos.

Entonces, en el caso relativista, la representación integral de trayectoria del propagador de Feynman incluye trayectorias que van hacia atrás en el tiempo, que describen antipartículas. Los caminos que contribuyen al propagador relativista van hacia adelante y hacia atrás en el tiempo, y la interpretación de esto es que la amplitud para que una partícula libre viaje entre dos puntos incluye amplitudes para que la partícula fluctúe hacia una antipartícula, viaje hacia atrás en el tiempo y luego adelante de nuevo.

A diferencia del caso no relativista, es imposible producir una teoría relativista de la propagación local de partículas sin incluir antipartículas. Todos los operadores diferenciales locales tienen inversas distintas de cero fuera del cono de luz, lo que significa que es imposible evitar que una partícula viaje más rápido que la luz. Una partícula así no puede tener una función de Green que sea sólo distinta de cero en el futuro en una teoría relativista invariante.

Funcionales de campos

Sin embargo, la formulación de la integral de trayectoria también es extremadamente importante en la aplicación directa a la teoría cuántica de campos, en la que las "rutas" o las historias que se consideran no son los movimientos de una sola partícula, sino las posibles evoluciones temporales de un campo en todo el espacio. La acción se denomina técnicamente funcional del campo: S[ϕ], donde el campo ϕ(x^μ) es en sí mismo una función del espacio y el tiempo, y los corchetes son una Recuerde que la acción depende de todos los valores del campo en todas partes, no solo de un valor en particular. Una función dada ϕ(x^μ) de El espacio-tiempo se denomina configuración de campo. En principio, se integra la amplitud de Feynman en la clase de todas las configuraciones de campo posibles.

Gran parte del estudio formal de QFT se dedica a las propiedades de la integral funcional resultante, y se ha hecho mucho esfuerzo (aún no del todo exitoso) para hacer que estas integrales funcionales sean matemáticamente precisas.

Esta integral funcional es extremadamente similar a la función de partición en mecánica estadística. De hecho, a veces se llama función de partición, y las dos son esencialmente matemáticamente idénticas excepto por el factor de i en el exponente del postulado 3 de Feynman. Continuar analíticamente con la integral de una variable de tiempo imaginaria (llamada rotación de Wick) hace que la integral funcional se parezca aún más a una función de partición estadística y también domina algunas de las dificultades matemáticas de trabajando con estas integrales.

Valores de expectativa

En la teoría cuántica de campos, si la acción está dada por el funcional S de configuraciones de campo (que solo depende localmente en los campos), luego el valor esperado de vacío ordenado en el tiempo del funcional acotado polinomialmente F, ⟨F⟩, está dado por

.. F.. =∫ ∫ Dφ φ F[φ φ ]eiS[φ φ ]∫ ∫ Dφ φ eiS[φ φ ].{displaystyle langle Frangle ={frac {nt {fnh}varphi F[varphi]e^{i{\mthcal {s}}} {m} {m} {fnh}m}m}cHFF}m}cH}m}m}m}m}m}cH}m}m}m}cH}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m} {S}[varphi]}}}}

El símbolo ∫Dϕ aquí hay una forma concisa de representar la integral de dimensión infinita sobre todas las configuraciones de campo posibles en todo el espacio-tiempo. Como se indicó anteriormente, la integral de ruta sencilla en el denominador garantiza una normalización adecuada.

Como probabilidad

Estrictamente hablando, la única pregunta que se puede hacer en física es: ¿Qué fracción de estados satisfacen la condición A también satisface la condición B? La respuesta a esto es un número entre 0 y 1, que puede interpretarse como un probabilidad condicional, escrita como P(B|A). En términos de integración de rutas, ya que P(B|A) = P(A∩B) / P(A), esto significa

P⁡ ⁡ ()B▪ ▪ A)=.. F⊂ ⊂ A∩ ∩ BSilencio∫ ∫ Dφ φ Odentro[φ φ ]eiS[φ φ ]F[φ φ ]Silencio2.. F⊂ ⊂ ASilencio∫ ∫ Dφ φ Odentro[φ φ ]eiS[φ φ ]F[φ φ ]Silencio2,{displaystyle operatorname (Bmid A)={frac {sum ¿Qué? O_{text{in}[varphi]e^{i{mathcal {S}F[varphi]right WordPress^{2}{sum ¿Qué? O_{text{in}[varphi] ¿Qué?

donde el funcional O_in[ϕ] es la superposición de todos los entrantes estados que podrían conducir a los estados que nos interesan. En particular, este podría ser un estado correspondiente al estado del Universo justo después del Big Bang, aunque para el cálculo real esto se puede simplificar usando métodos heurísticos. Dado que esta expresión es un cociente de integrales de trayectoria, está naturalmente normalizada.

Ecuaciones de Schwinger-Dyson

Dado que esta formulación de la mecánica cuántica es análoga al principio de acción clásico, uno podría esperar que las identidades relativas a la acción en la mecánica clásica tuvieran contrapartes cuánticas derivables de una integral funcional. Este suele ser el caso.

En el lenguaje del análisis funcional, podemos escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange como

δ δ S[φ φ ]δ δ φ φ =0{displaystyle {frac {delta {fnMitcal {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {fnMinMinMinMisssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss} {ssssssssssssssssssssssssssssss }=0}

(el lado izquierdo es una derivada funcional; la ecuación significa que la acción es estacionaria bajo pequeños cambios en la configuración del campo). Los análogos cuánticos de estas ecuaciones se denominan ecuaciones de Schwinger-Dyson.

Si la medida funcional Dϕ resulta ser invariante traslacional (asumiremos esto durante el resto de este artículo, aunque esto no es válido para, digamos, modelos sigma no lineales), y si asumimos que después de un Rotación de mecha

eiS[φ φ ],{displaystyle e^{i {\m1s0h00\fnMithcal {S}[varphi]}}

que ahora se convierte

e− − H[φ φ ]{displaystyle e^{-H[varphi]}

para algunos H, llega a cero más rápido que un recíproco de cualquier polinomio para valores grandes de φ, luego podemos integrar por partes (después de una rotación de Wick, seguida de una rotación de Wick hacia atrás) para obtener las siguientes ecuaciones de Schwinger-Dyson para la expectativa:

.δ δ F[φ φ ]δ δ φ φ .=− − i.F[φ φ ]δ δ S[φ φ ]δ δ φ φ .{displaystyle leftlangle {delta F[varphi]}{delta varphi } 'derecha 'rangle =-ileftlangle F[varphi]{frac {delta {fnMitcal {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans}} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}fnMinMinMinMisssssssssssssssss}fnMisssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss } 'derecha 'rangle }

para cualquier funcional F acotado polinomialmente. En la notación de Witt esto parece

.F,i.=− − i.FS,i..{displaystyle leftlangle F_{,i}rightrangle =-ileftlangle Bien.

Estas ecuaciones son análogas a las ecuaciones EL integradas. El orden de tiempo se toma antes de las derivadas de tiempo dentro de S_{, i}.

Si J (llamado campo fuente) es un elemento del espacio dual del campo configuraciones (que tiene al menos una estructura afín debido al supuesto de invariancia traslacional para la medida funcional), entonces el Z funcional generador de los campos fuente es definido para ser

Z[J]=∫ ∫ Dφ φ ei()S[φ φ ]+.. J,φ φ .. ).{displaystyle Z[J]=int {mathcal {D}varphi e^{ileft({mathcal {S}[varphi ]+langle J,varphi rangle right)}}}

Tenga en cuenta que

δ δ nZδ δ J()x1)⋯ ⋯ δ δ J()xn)[J]=inZ[J].φ φ ()x1)⋯ ⋯ φ φ ()xn).J,{displaystyle {frac {delta ^{n}Z}{delta J(x_{1})cdots delta J(x_{n}}} [J]=i^{n},Z[J],leftlangle varphi (x_{1})cdots varphi (x_{rangle}) ¿Qué?

o

Z,i1⋯ ⋯ in[J]=inZ[J].φ φ i1⋯ ⋯ φ φ in.J,{displaystyle Z^{,i_{1}cdots i_{n} [J]=i^{n}Z[J]leftlangle varphi ^{i_{1}cdots varphi ^{i_{n}rightrangle ¿Qué?

dónde

.. F.. J=∫ ∫ Dφ φ F[φ φ ]ei()S[φ φ ]+.. J,φ φ .. )∫ ∫ Dφ φ ei()S[φ φ ]+.. J,φ φ .. ).{displaystyle langle Frangle ¿Qué?

Básicamente, si Dφ < es decir^{iS[φ ]} se ve como una distribución funcional (esto no debe tomarse demasiado literalmente como una interpretación de QFT, a diferencia de su análogo de mecánica estadística rotada por Wick, porque tenemos tiempo para ordenar ¡complicaciones aquí!), entonces ⟨φ(x₁)... φ(x_n)⟩ son sus momentos, y Z es su transformada de Fourier.

Si F es un funcional de φ, luego para un operador K, F[K] se define como el operador que sustituye K por φ. Por ejemplo, si

F[φ φ ]=∂ ∂ k1∂ ∂ x1k1φ φ ()x1)⋯ ⋯ ∂ ∂ kn∂ ∂ xnknφ φ ()xn),{displaystyle F[varphi]={frac {partial ################################################################################################################################################################################################################################################################. {fn} {fn} {fn}} {fn}}}} {fn}}}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}} {.

y G es un funcional de J, entonces

F[− − iδ δ δ δ J]G[J]=()− − i)n∂ ∂ k1∂ ∂ x1k1δ δ δ δ J()x1)⋯ ⋯ ∂ ∂ kn∂ ∂ xnknδ δ δ δ J()xn)G[J].{displaystyle Fleft[-i{frac {delta G [J]=(-i)^{n}{frac {partial ^{k_{1}}{partial {delta }}}cdots {frac {delta }{delta J(x_{1}}}}cdots {frac {partial} {fn} {fn} {fn}} {fn}}}} {fn}}}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}} { [J].

Entonces, a partir de las propiedades de las integrales funcionales

.δ δ Sδ δ φ φ ()x)[φ φ ]+J()x).J=0{displaystyle leftlangle {delta {s}{delta varphi (x)}}}[varphi ]+J(x)rightrangle ¿Qué?

Did you mean:

we get the n#34;master" Schwinger–Dyson equation:

δ δ Sδ δ φ φ ()x)[− − iδ δ δ δ J]Z[J]+J()x)Z[J]=0,{displaystyle {frac {delta # Mathcal [S}} {delta varphi (x)}left [-i{frac {delta }{delta J}}right]Z[J]+J(x)Z[J]=0,}

o

S,i[− − i∂ ∂ ]Z+JiZ=0.{fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans Serif} #Z+J_{i}Z=0.}

Si la medida funcional no es invariante traslacionalmente, podría ser posible expresarla como el producto M[φ] Dφ, donde M es una Dφ es una medida traslacionalmente invariante. Esto es cierto, por ejemplo, para modelos sigma no lineales donde el espacio objetivo es difeomorfo a Rⁿ. Sin embargo, si la variedad objetivo es algún espacio topológicamente no trivial, el concepto de traducción ni siquiera tiene sentido.

En ese caso, tendríamos que reemplazar el S en esta ecuación por otra funcional

S^ ^ =S− − iIn⁡ ⁡ M.{displaystyle {hat {fnMithcal {S}= {fnMitcal {S}-iln M.}

Si expandimos esta ecuación como una serie de Taylor alrededor de J = 0, obtenemos el conjunto completo de ecuaciones de Schwinger-Dyson.

Localización

Las integrales de trayectoria generalmente se consideran como la suma de todas las trayectorias a través de un espacio-tiempo infinito. Sin embargo, en la teoría cuántica de campos local restringiríamos todo a que se encuentre dentro de una región finita causalmente completa, por ejemplo dentro de un doble cono de luz. Esto proporciona una definición más matemáticamente precisa y físicamente rigurosa de la teoría cuántica de campos.

Identidades de Ward-Takahashi

Ahora, ¿qué tal el teorema de Noether en el caparazón para el caso clásico? ¿Tiene también un análogo cuántico? Sí, pero con una salvedad. La medida funcional también tendría que ser invariante bajo el grupo de parámetros de transformación de simetría.

Para simplificar, supongamos que la simetría en cuestión es local (no local en el sentido de una simetría de calibre, sino en el sentido de que el valor transformado del campo en cualquier punto dado bajo una transformación infinitesimal sólo dependería de la configuración del campo en una vecindad arbitrariamente pequeña del punto en cuestión). Supongamos también que la acción es local en el sentido de que es la integral sobre el espacio-tiempo de un lagrangiano, y que

Q[L()x)]=∂ ∂ μ μ fμ μ ()x){displaystyle Q[{mathcal {L}(x)]=partial _{mu }f^{mu }(x)}

para alguna función f donde f solo depende localmente de φ (y posiblemente de la posición del espacio-tiempo).

Si no asumimos ninguna condición de contorno especial, esto no sería una situación "verdadera". simetría en el verdadero sentido del término en general a menos que f = 0 o algo así. Aquí, Q es una derivación que genera el grupo de parámetros en cuestión. También podríamos tener antiderivaciones, como BRST y supersimetría.

Supongamos también

∫ ∫ Dφ φ Q[F][φ φ ]=0{displaystyle int {mathcal {}varphi ,Q[F][varphi ]=0}

para cualquier funcional F acotado polinomialmente. Esta propiedad se llama invariancia de la medida. Y esto no se cumple en general. Consulte anomalía (física) para obtener más detalles.

Entonces,

∫ ∫ Dφ φ Q[FeiS][φ φ ]=0,{displaystyle int {Mathcal {D}varphi ,Qleft [Fe^{iS}right] [varphi ]=0,}

lo que implica

.. Q[F].. +i.F∫ ∫ ∂ ∂ Vfμ μ dsμ μ .=0{displaystyle langle Q[F]rangle +ileftlangle Fint _{partial V}f^{mu },ds_{mu ♪ 'derecha 'rangle =0}

Did you mean:

where the integral is over the boundary. This is the quantum analog of Noether 's theorem.

Did you mean:

Now, let 's assume even further that Q is a local integral

Q=∫ ∫ ddxq()x){displaystyle Q=int d^{d}x,q(x)}

dónde

q()x)[φ φ ()Sí.)]=δ δ ()d)()X− − Sí.)Q[φ φ ()Sí.)]{displaystyle q(x)[varphi (y)]=delta ^{(d)}(X-y)Q[varphi (y)],}

para que

q()x)[S]=∂ ∂ μ μ jμ μ ()x){displaystyle q(x)[S]=partial _{mu }j^{mu }(x),}

dónde

jμ μ ()x)=fμ μ ()x)− − ∂ ∂ ∂ ∂ ()∂ ∂ μ μ φ φ )L()x)Q[φ φ ]{displaystyle j^{mu }(x)=f^{mu }(x)-{frac {partial }{partial (partial _{mu }varphi)}{mathcal {L}(x)Q[varphi] ],}

(esto supone que el lagrangiano solo depende de φ y sus primeras derivadas parciales. Los lagrangianos más generales requerirían una modificación a esta definición!). No insistimos en que q(x) sea el generador de una simetría (es decir, somos no insistiendo en el principio de calibre), sino simplemente que Q es. Y también asumimos el supuesto aún más fuerte de que la medida funcional es localmente invariante:

∫ ∫ Dφ φ q()x)[F][φ φ ]=0.{displaystyle int {mathcal {}varphi ,q(x)[F][varphi ]=0.}

Entonces, tendríamos

.. q()x)[F].. +i.. Fq()x)[S].. =.. q()x)[F].. +i.F∂ ∂ μ μ jμ μ ()x).=0.{displaystyle langle q(x)[F]rangle +ilangle Fq(x)[S]rangle =langle q(x)[F]rangle +ileftlangle Fpartial _{mu }j^{mu }(x)rightrangle =0.}

Alternativamente,

q()x)[S][− − iδ δ δ δ J]Z[J]+J()x)Q[φ φ ()x)][− − iδ δ δ δ J]Z[J]=∂ ∂ μ μ jμ μ ()x)[− − iδ δ δ δ J]Z[J]+J()x)Q[φ φ ()x)][− − iδ δ δ δ J]Z[J]=0.{displaystyle q(x)[S]left[-i{frac [J]+J(x)Q[varphi (x)]left[-i{frac] [J]=partial _{mu }(x)left[-i{frac] [J]+J(x)Q[varphi (x)]left[-i{frac {delta }{delta J}right]Z[J]=0.}

Las dos ecuaciones anteriores son las identidades Ward-Takahashi.

Did you mean:

Now for the case where <if = 0, we can forget about all the boundary conditions and locality assumptions. We N#39;d simply have

.Q[F].=0.{displaystyle leftlangle Q[F]rightrangle =0.}

Alternativamente,

∫ ∫ ddxJ()x)Q[φ φ ()x)][− − iδ δ δ δ J]Z[J]=0.{displaystyle int d^{d}x,J(x)Q[varphi (x)]left[-i{frac {delta }{delta J}}right]Z[J]=0.}

Advertencias

La necesidad de reguladores y de renormalización

Las integrales de ruta, tal como se definen aquí, requieren la introducción de reguladores. Cambiar la escala del regulador conduce al grupo de renormalización. De hecho, la renormalización es el principal obstáculo para que las integrales de trayectoria estén bien definidas.

Solicitar prescripción médica

Independientemente de si uno trabaja en espacio de configuración o espacio de fase, al equiparar el formalismo del operador y la formulación integral del camino, se requiere una receta de orden para resolver la ambigüedad en la correspondencia entre operadores no conmutativos y las funciones conmutativas que aparecen en los componentes del camino. Por ejemplo, el operador 12()q^ ^ p^ ^ +p^ ^ q^ ^ ){displaystyle {frac {2} {hat {}{hat {}+{hat {}{hat {}{hat {}}}}} {f}}} {f}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}} { puede ser traducido de nuevo qp− − i▪ ▪ 2{displaystyle qp-{frac {ihbar } {2}}, qp+i▪ ▪ 2{displaystyle qp+{frac {ihbar }{2}}}, o qp{displaystyle qp} dependiendo de si uno elige el q^ ^ p^ ^ {displaystyle {hat {}{hat {}}} {f}} {f}}} {f}} {f}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {, p^ ^ q^ ^ {displaystyle {hat {fn} {fnK}} {fnK}}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {fnK}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {, o Weyl ordenando receta; por el contrario, qp{displaystyle qp} puede ser traducido a q^ ^ p^ ^ {displaystyle {hat {}{hat {}}} {f}} {f}}} {f}} {f}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {, p^ ^ q^ ^ {displaystyle {hat {fn} {fnK}} {fnK}}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {fnK}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {, o 12()q^ ^ p^ ^ +p^ ^ q^ ^ ){displaystyle {frac {2} {hat {}{hat {}+{hat {}{hat {}{hat {}}}}} {f}}} {f}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}} { para la misma elección respectiva de ordenar receta.

La integral de camino en la interpretación de la mecánica cuántica

En una interpretación de la mecánica cuántica, la "suma de historias" En esta interpretación, la integral de camino se considera fundamental y la realidad se ve como una única e indistinguible "clase" de caminos que comparten todos los mismos eventos. Para esta interpretación, es crucial entender qué es exactamente un evento. El método de suma de historias da resultados idénticos a los de la mecánica cuántica canónica, y Sinha y Sorkin afirman que la interpretación explica la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen sin recurrir a la no localidad.

Algunos defensores de interpretaciones de la mecánica cuántica que enfatizan la decoherencia han intentado hacer más rigurosa la noción de extraer una interpretación clásica de "grano grueso" historia desde el espacio de todas las historias posibles.

Gravedad cuántica

Mientras que en mecánica cuántica la formulación de integral de trayectoria es totalmente equivalente a otras formulaciones, es posible que pueda extenderse a la gravedad cuántica, lo que la haría diferente del modelo espacial de Hilbert. Feynman tuvo cierto éxito en esta dirección, y Hawking y otros han ampliado su trabajo. Los enfoques que utilizan este método incluyen triangulaciones dinámicas causales y modelos de espuma de espín.

Túnel cuántico

Los túneles cuánticos se pueden modelar utilizando la formación de integral de trayectoria para determinar la acción de la trayectoria a través de una barrera potencial. Utilizando la aproximación WKB, se puede determinar que la tasa de tunelización (Γ) tiene la forma

.. =Aoexp⁡ ⁡ ()− − Seff▪ ▪ ){displaystyle Gamma =A_{mathrm {o}exp left(-{frac {S_{mathrm {eff}}{hbar }}right)}

con la acción efectiva S_eff y factor preexponencial A_o. Esta forma es específicamente útil en un sistema disipativo, en el que los sistemas y sus alrededores deben modelarse juntos. Utilizando la ecuación de Langevin para modelar el movimiento browniano, la formación de la integral de trayectoria se puede utilizar para determinar una acción efectiva y un modelo preexponencial para ver el efecto de la disipación en la formación de túneles. A partir de este modelo, se pueden predecir las tasas de formación de túneles de sistemas macroscópicos (a temperaturas finitas).

Observaciones