Fórmula para números primos

En teoría de números, una fórmula para números primos es una fórmula que genera los números primos, exactamente y sin excepción. No se conoce ninguna fórmula que sea computable eficientemente. Se conocen una serie de restricciones que muestran lo que significa dicha "fórmula" puede y no puede ser.

Fórmulas basadas en el teorema de Wilson

Una fórmula simple es

${displaystyle f(n)=leftlfloor {fnMicroc {bmod {}n+1)}n}rightrfloor (n-1)+2}$

para entero positivo ${displaystyle n}$, donde ${displaystyle lfloor rfloor }$ es la función del suelo, que redondea al entero más cercano. Por el teorema de Wilson, ${displaystyle n+1}$ es primo si y sólo si ${displaystyle n!equiv n{pmod {n+1}}}$. Así, cuando ${displaystyle n+1}$ es primo, el primer factor en el producto se convierte en uno, y la fórmula produce el número primo ${displaystyle n+1}$. Pero cuando ${displaystyle n+1}$ no es primo, el primer factor se convierte en cero y la fórmula produce el número primo 2. Esta fórmula no es una manera eficiente de generar números primos porque evaluar ${displaystyle n! {bmod {}n+1)}$ requiere ${displaystyle n-1}$ modulo de multiplicaciones y reducciones ${displaystyle n+1}$.

En 1964, Willans dio la fórmula

${displaystyle p_{n}=1+sum ¿Por qué? ¿Por qué? Está bien. }$

para el ${displaystyle n}$número primo ${displaystyle P_{n}$. Esta fórmula se reduce a ${displaystyle p_{n}=1+sum ¿Qué?$; es decir, define tautológicamente ${displaystyle P_{n}$ como el más pequeño entero m para la cual la función de venta ${displaystyle pi (m)}$ al menos n. Esta fórmula tampoco es eficiente. Además de la apariencia de ${displaystyle (j-1)}$, computes ${displaystyle P_{n}$ añadiendo ${displaystyle P_{n}$ copias de ${displaystyle 1}$; por ejemplo, ${displaystyle p_{5}=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+0+0+dots +0=11}$.

Los artículos ¿Qué es una respuesta? de Herbert Wilf (1982) y Fórmulas para números primos de Underwood Dudley (1983) analizan más a fondo la inutilidad de tales fórmulas.

Fórmula basada en un sistema de ecuaciones diofánticas

Debido a que el conjunto de números primos es un conjunto computable enumerable, según el teorema de Matiyasevich, se puede obtener a partir de un sistema de ecuaciones diofánticas. Jones y cols. (1976) encontraron un conjunto explícito de 14 ecuaciones diofánticas en 26 variables, de modo que un número dado k + 2 es primo si y sólo si ese sistema tiene una solución en números enteros no negativos:

${displaystyle alpha ¿Qué?$

${displaystyle alpha _{1}=(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z=0}$

${displaystyle alpha _{2}=16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}=0}$

${displaystyle alpha ¿Qué?$

${displaystyle alpha ¿Por qué?$

${displaystyle alpha _{5}=(a^{2}-1)y^{2}+1-x^{2}=0}$

${displaystyle alpha ¿Por qué?$

${displaystyle alpha ¿Qué?$

${displaystyle alpha _{8}=(a^{2}-1)ell ^{2}+1-m^{2}=0}$

${displaystyle alpha _{9}=ai+k+1-ell - Sí.$

${displaystyle alpha _{10}=(a+u^{2}(u^{2}-a)^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^{2}=0}$

${displaystyle alpha _{11}=p+ell (a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m=0}$

${displaystyle alpha _{12}=q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^{2}-2p-2)-x=0}$

${displaystyle alpha _{13}=z+pell (a-p)+t(2ap-p^{2}-1)-pm=0}$

Las 14 ecuaciones α₀, …, α₁₃ se pueden utilizar para producir un generador de primos. desigualdad polinómica en 26 variables:

${displaystyle (k+2)(1-alpha ¿Qué? {1} {2}-cdots -alpha _{13} {2})} {0}$

Es decir,

${2}{2} {2} {2} {2} ^{2}+1-m^{2} {2}-{}[6pt] [p+] {2} {2p]$

es una desigualdad polinómica en 26 variables, y el conjunto de números primos es idéntico al conjunto de valores positivos tomados por el lado izquierdo como las variables a, b, …, z abarcan los números enteros no negativos.

Un teorema general de Matiyasevich dice que si un conjunto está definido por un sistema de ecuaciones diofánticas, también puede definirse mediante un sistema de ecuaciones diofánticas en sólo 9 variables. Por lo tanto, existe un polinomio generador de primos como el anterior con solo 10 variables. Sin embargo, su grado es grande (del orden de 10⁴⁵). Por otro lado, también existe un conjunto de ecuaciones de grado sólo 4, pero en 58 variables.

Molinos' fórmula

La primera fórmula de este tipo conocida fue establecida por W. H. Mills (1947), quien demostró que existe un número real A tal que, si

${displaystyle ♪♪$

entonces

${displaystyle leftlfloor ################################################################################################################################################################################################################################################################ = 'izquierda' ¿Qué?$

es un número primo para todos los enteros positivos n. Si la hipótesis Riemann es verdad, entonces la más pequeña A tiene un valor de alrededor de 1.3063778838630806904686144926... (secuencia) A051021 en el OEIS) y se conoce como constante de Mills. Este valor da lugar a los primos ${displaystyle leftlfloor ################################################################################################################################################################################################################################################################ =2}$, ${displaystyle leftlfloor ################################################################################################################################################################################################################################################################$, ${displaystyle leftlfloor ################################################################################################################################################################################################################################################################$,... A051254 en el OEIS). Muy poco se sabe sobre la constante A (ni siquiera si es racional). Esta fórmula no tiene ningún valor práctico, porque no hay una forma conocida de calcular la constante sin encontrar primos en primer lugar.

Tenga en cuenta que no hay nada especial sobre la función del suelo en la fórmula. Tóth demostró que también existe una constante ${displaystyle B}$ tales que

${displaystyle lceil B^{n}rceil }$

es también primera representación para ${displaystyle r confía2.106ldots }$.

En el caso ${displaystyle r=3}$, el valor de la constante ${displaystyle B}$ comienza con 1.24055470525201424067... Los primeros pocos primos generados son:

${displaystyle 2,7,337,382739,56062005704198360319209,}$

${displaystyle 1761999958143272873566712091045864397055039072110696028654438846269,ldots }$

Sin asumiendo la hipótesis Riemann, Elsholtz desarrolló varias funciones de primera representación similares a las de Mills. Por ejemplo, si ${displaystyle A=1.00536773279814724017ldots }$, entonces ${displaystyle leftlfloor ¿Qué?$ es ideal para todos los enteros positivos ${displaystyle n}$. Del mismo modo, si ${displaystyle A=3.8249998073439146171615551375ldots }$, entonces ${displaystyle leftlfloor A^{3^{13n}rightrfloor }$ es ideal para todos los enteros positivos ${displaystyle n}$.

La fórmula de Wright

Otra fórmula generadora de primas de crecimiento tetracional similar a la de Mills. proviene de un teorema de E. M. Wright. Demostró que existe un número real α tal que, si

${displaystyle G_{0}=alpha }$ y

${displaystyle G_{n+1}=2^{g_{n}}$ para ${displaystyle ngeq 0}$,

entonces

${displaystyle leftlfloor G_{n}rightrfloor =leftlfloor 2^{dots ^{2^{2^{alpha Está bien.$

es primo para todos ${displaystyle ngeq 1}$. Wright da los primeros siete lugares decimales de tal constante: ${displaystyle alpha =1.9287800}$. Este valor da lugar a los primos ${displaystyle leftlfloor G_{1}rightrfloor =leftlfloor 2^{alpha }rightrfloor =3}$, ${displaystyle leftlfloor G_{2}rightrfloor =13}$, y ${displaystyle leftlfloor G_{3}rightrfloor =16381}$. ${displaystyle leftlfloor G_{4}rightrfloor }$ es incluso, y así no es primo. Sin embargo, con ${displaystyle alpha =1.9287800+8.2843cdot 10^{-4933}$, ${displaystyle leftlfloor G_{1}rightrfloor }$, ${displaystyle leftlfloor G_{2}rightrfloor }$, y ${displaystyle leftlfloor G_{3}rightrfloor }$ son inmutables, mientras ${displaystyle leftlfloor G_{4}rightrfloor }$ es un primo con 4932 dígitos. Esta secuencia de primos no se puede extender más allá ${displaystyle leftlfloor G_{4}rightrfloor }$ sin saber más dígitos de ${displaystyle alpha }$. Como la fórmula de Mills, y por las mismas razones, la fórmula de Wright no se puede utilizar para encontrar primos.

Una función que representa todos los números primos

Dada la constante ${displaystyle f_{1}=2.920050977316ldots$ (secuencia) A249270 en el OEIS), para ${displaystyle ngeq 2}$, definir la secuencia

${displaystyle F_{n}=leftlfloor F_{n-1}rightrfloor (f_{n-1}-leftlfloor F_{n-1}rightrfloor +1)}$

()1)

Donde ${displaystyle leftlfloor rightrfloor }$ es la función del suelo. Entonces... ${displaystyle ngeq 1}$, ${displaystyle leftlfloor ¿Por qué?$ iguales a los ${displaystyle n}$th prime: ${displaystyle leftlfloor F_{1}rightrfloor =2}$, ${displaystyle leftlfloor F_{2}rightrfloor =3}$, ${displaystyle leftlfloor F_{3}rightrfloor =5}$, etc. La constante inicial ${displaystyle f_{1}=2.920050977316}$ dado en el artículo es lo suficientemente preciso para la ecuación (1) para generar los primos a través de 37, el ${displaystyle 12}$La primera.

El exacta valor ${displaystyle f_{1}$ que genera Todos primos es dado por la serie de convergencia rápida

${displaystyle F_{1}=sum ¿Qué? {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}}}} {fn} {fn}}}} {fn}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}}} {fnfn}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {fn}}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f}} {fn}}}}}}}}f}}}}}}}}}} {f} {fn}} {\fn}}}}fn} {f}fn}}}}fn}fn}f}}}fn}fn}fn}fn}fn}fn}f}fn}}}}}fn {2-1}{1}+{frac} {3-1}{2}+{frac {5-1}{2cdot 3}+{frac {7-1}{2cdot 3cdot 5}}+cdots}$

Donde ${displaystyle P_{n}$ es ${displaystyle n}$y ${displaystyle P_{n}$ es el producto de todos los primos menos que ${displaystyle P_{n}$. Los más dígitos de ${displaystyle f_{1}$ que sabemos, la ecuación más primos (1) generará. Por ejemplo, podemos utilizar 25 términos en la serie, utilizando los 25 primeros menos de 100, para calcular la siguiente aproximación más precisa:

${displaystyle f_{1}simeq 2.920050977316134712092562917112019.}$

Esto tiene suficientes dígitos para que la ecuación (1) produzca nuevamente los 25 primos menores que 100.

Como con la fórmula de Mills y la fórmula de Wright arriba, para generar una lista más larga de primos, necesitamos empezar por conocer más dígitos de la constante inicial, ${displaystyle f_{1}$, que en este caso requiere una lista más larga de primos en su cálculo.

Las fórmulas de Plouffe

En 2018, Simon Plouffe conjeturó un conjunto de fórmulas para los números primos. De manera similar a la fórmula de Mills, tienen la forma

${displaystyle left{a_{0}{r^{n}right}}$

Donde ${displaystyle {\\}}$ es la función redondeando al entero más cercano. Por ejemplo, con ${displaystyle a_{0}approx 43.80468771580293481}$ y ${displaystyle r=5/4}$, esto da 113, 367, 1607, 10177, 102217... (secuencia) A323176 en el OEIS). Uso ${displaystyle a_{0}=10^{500}+961+varepsilon }$ y ${displaystyle r=1.01}$ con ${displaystyle varepsilon }$ un cierto número entre 0 y una mitad, Plouffe encontró que podría generar una secuencia de 50 primos probables (con alta probabilidad de ser primo). Presumiblemente existe un ε tal que esta fórmula dará una secuencia infinita de números primos reales. El número de dígitos comienza en 501 y aumenta alrededor de 1% cada vez.

Fórmulas primas y funciones polinómicas

It is known that no non-constant polynomial function P()n) con coeficientes enteros existe que evalúa a un número primo para todos los enteros n. La prueba es la siguiente: supongamos que tal polinomio existía. Entonces... P(1) evaluaría a un primo pAsí que ${displaystyle P(1)equiv 0{pmod {p}}$. Pero para cualquier entero k, ${displaystyle P(1+kp)equiv 0{pmod {p}}$ también, así ${displaystyle P(1+kp)}$ no puede ser también primo (como sería divisible por pA menos que fuera p en sí mismo. Pero la única manera ${displaystyle P(1+kp)=P(1)=p}$ para todos k es si la función polinomio es constante. El mismo razonamiento muestra un resultado aún más fuerte: ninguna función polinómica no constante P()n) existe que evalúa a un número primo para casi todos los enteros n.

Euler notó por primera vez (en 1772) que el polinomio cuadrático

${displaystyle P(n)=n^{2}+n+41}$

es ideal para los 40 enteros n = 0, 1, 2,..., 39, con los primos correspondientes 41, 43, 47, 53, 61, 71,..., 1601. Las diferencias entre los términos son 2, 4, 6, 8, 10... Para n = 40, produce un número cuadrado, 1681, que es igual al 41 × 41, el número compuesto más pequeño para esta fórmula para n ≥ 0. Si 41 se divide n, divide P()nTambién. Además, desde entonces P()n) puede ser escrito como n()n + 1) + 41, si 41 divide n + 1 en cambio, también divide P()n). El fenómeno está relacionado con la espiral Ulam, que también es implícitamente cuadrática, y el número de clase; este polinomio está relacionado con el número Heegner ${displaystyle 163=4cdot 41-1}$. Hay polinomios análogos para ${displaystyle p=2,3,5,11{text{ and }17}$ (el número afortunado de Euler), correspondiente a otros números Heegner.

Dado un entero positivo S, puede haber infinitos c tales que la expresión n² + n + c siempre es coprimo con S. El número entero c puede ser negativo, en cuyo caso hay un retraso antes de que se produzcan los números primos.

Es conocido, basado en el teorema de Dirichlet en progresiones aritméticas, que funciones polinomiales lineales ${displaystyle L(n)=an+b}$ producir infinitamente muchos primos mientras a y b son relativamente primos (aunque ninguna de tales funciones asumirá valores primos para todos los valores de n). Además, el Green-Tao teorem dice que para cualquier k existe un par de a y b, con la propiedad que ${displaystyle L(n)=an+b}$ es primo para cualquier n de 0 a 0 k1. Sin embargo, a partir de 2020, el resultado más conocido de este tipo es para k = 27:

${displaystyle 224584605939537911+18135696597948930n}$

es primo para todo n desde 0 hasta 26. Ni siquiera se sabe si existe un polinomio univariado de grado al menos 2, que asuma un número infinito de valores primos; ver la conjetura de Bunyakovsky.

Posible fórmula usando una relación de recurrencia

Otro generador de primos está definido por la relación de recurrencia

${displaystyle a_{n}=a_{n-1}+gcd(n,a_{n-1}),quad A_{1}=7,}$

donde mcd(x, y) denota el máximo común divisor de x y y. La secuencia de diferencias a_n+1 − a_n comienza con 1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 23, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 47, 3, 1, 5, 3,.. (secuencia A132199 en el OEIS). Rowland (2008) demostró que esta secuencia contiene sólo unos y números primos. Sin embargo, no contiene todos los números primos, ya que los términos mcd(n + 1, a_n) son siempre impares y por lo tanto nunca igual a 2. 587 es el primo más pequeño (aparte de 2) que no aparece en los primeros 10.000 resultados diferentes de 1. Sin embargo, en el mismo artículo se conjeturó que contiene todos los primos impares, aunque es bastante ineficiente.

Tenga en cuenta que existe un programa trivial que enumera todos y sólo los números primos, así como los más eficientes, por lo que dichas relaciones de recurrencia son más una cuestión de curiosidad que de uso práctico.