Fórmula integral de Cauchy

En matemáticas, la fórmula integral de Cauchy, llamada así por Augustin-Louis Cauchy, es una declaración central en el análisis complejo. Expresa el hecho de que una función holomorfa definida en un disco está completamente determinada por sus valores en la frontera del disco y proporciona fórmulas integrales para todas las derivadas de una función holomorfa. La fórmula de Cauchy muestra que, en el análisis complejo, "la diferenciación es equivalente a la integración": la diferenciación compleja, como la integración, se comporta bien bajo límites uniformes, un resultado que no se cumple en el análisis real.

Teorema

Sea U un subconjunto abierto del plano complejo C, y supongamos que el disco cerrado D se define como

${displaystyle D={}z:$

está contenido completamente en U. Sea f: U → C una función holomorfa, y sea γ sea el círculo, orientado en sentido antihorario, que forma el límite de D. Luego, para cada a en el interior de D,

${displaystyle f(a)={1}{2pi Estoy bien.$

La prueba de esta declaración utiliza el teorema integral Cauchy y como ese teorema, sólo requiere f ser complejo diferenciable. Desde ${displaystyle 1/(z-a)}$ se puede ampliar como una serie de potencia en la variable ${displaystyle a}$

${fnMicroc} {1}{z-a}={frac} {1+{frac {a}}+left({frac {a}right)}{2}+cdots } {z}}$

Se deduce que las funciones holomorfas son analíticas, es decir, pueden expandirse como series de potencias convergentes. En particular, f es en realidad infinitamente diferenciable, con

${displaystyle f^{(n)}(a)={frac {n}{2pi Estoy bien.$

Esta fórmula a veces se denomina fórmula de diferenciación de Cauchy.

El teorema establecido anteriormente se puede generalizar. El círculo γ puede ser reemplazado por cualquier curva rectificable cerrada en U que tiene el devanado número uno sobre a. Además, en cuanto al teorema integral de Cauchy, es suficiente exigir que f sea holomorfo en la región abierta encerrada por el camino y continuo en su cierre.

Tenga en cuenta que no todas las funciones continuas en el límite se pueden usar para producir una función dentro del límite que se ajuste a la función de límite dada. Por ejemplo, si ponemos la función f(z) = < span class="num">1/z, definido para |z| = 1, en la fórmula integral de Cauchy, obtenemos cero para todos los puntos dentro del círculo. De hecho, dar solo la parte real en el límite de una función holomorfa es suficiente para determinar la función hasta una constante imaginaria: solo hay una parte imaginaria en el límite que corresponde a la parte real dada, hasta la suma de una constante. Podemos usar una combinación de una transformación de Möbius y la fórmula de inversión de Stieltjes para construir la función holomorfa a partir de la parte real en el límite. Por ejemplo, la función f(z) = i − iz< /span> tiene una parte real Re f(z) = Im z. En el círculo unitario esto se puede escribir i/z − iz/2. Usando la transformación de Möbius y la fórmula de Stieltjes construimos la función dentro del círculo. El i/z el término no contribuye, y encontramos la función −iz. Esto tiene la parte real correcta en el límite, y también nos da la parte imaginaria correspondiente, pero fuera de una constante, a saber, i.

Boceto de prueba

Usando el teorema integral de Cauchy, se puede demostrar que la integral sobre C (o la curva rectificable cerrada) es igual a la misma integral tomado el control de un círculo arbitrariamente pequeño alrededor de a. Dado que f(z) es continuo, podemos elegir un círculo lo suficientemente pequeño en el que f(z) está arbitrariamente cerca de f(a). Por otro lado, la integral

${displaystyle oint _{C}{frac {1},dz=2pi i,}$

sobre cualquier círculo C centrado en a. Esto se puede calcular directamente a través de una parametrización (integración por sustitución) z(t) = a + < i>εe^it donde 0 ≤ t ≤ 2π y ε es el radio del círculo.

Dejar ε → 0 da la estimación deseada

${displaystyle {begin{aligned}begin{fnMicroc {1}{2pi Estoy bien. ¿Por qué? {1}{2pi Estoy bien. {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f} {f}f} {f} {f}} {f}f} {f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f} ################################################################################################################################################################################################################################################################ }{frac {bigl {bigl(}z(t){bigr)}-f(a) habit}{varepsilon },varepsilon ,dt[.5em] implicaleqmax _{ habitz-a tolera=varepsilon }justf(z)-f(a) sometida{xrightarrow[{varepsilonto 0}0.end{aligned}}}}}}}}$

Ejemplo

Superficie de la parte real de la función g()z) z²/z² + 2z + 2 y sus singularidades, con los contornos descritos en el texto.

Dejar

${displaystyle g(z)={2}{2}{2}+2z+2}}}$

y sea C el contorno descrito por |z| = 2 (el círculo de radio 2).

Para encontrar la integral de g(z) alrededor del contorno < i>C, necesitamos conocer las singularidades de g(z). Observe que podemos reescribir g de la siguiente manera:

${displaystyle g(z)={2}{(z-z_{1})(z-z_{2}}}}}$

donde z₁ = −1 + i y z₂ = −1 − i.

Por lo tanto, g tiene polos en z₁ y z₂. Los módulos de estos puntos son menores que 2 y, por lo tanto, se encuentran dentro del contorno. Esta integral se puede dividir en dos integrales más pequeñas mediante el teorema de Cauchy-Goursat; es decir, podemos expresar la integral alrededor del contorno como la suma de la integral alrededor de z₁ y z₂ donde el contorno es un pequeño círculo alrededor de cada polo. Llame a estos contornos C₁ alrededor de z₁ y C₂ alrededor de z₂.

Ahora, cada una de estas integrales más pequeñas puede evaluarse mediante la fórmula integral de Cauchy, pero primero deben reescribirse para aplicar el teorema. Para la integral alrededor de C₁, defina f ₁ como f₁(z) = (< i>z − z₁)g(z). Esto es analítico (ya que el contorno no contiene la otra singularidad). Podemos simplificar f₁ para que sea:

${displaystyle f_{1}(z)={frac {2}{z-z_{2}}}}$

y ahora

${displaystyle g(z)={frac {f_{1}{z-z_{1}}}}}$

Puesto que la fórmula integral de Cauchy dice que:

${displaystyle oint _{C}{f_{1} {z-a},dz=2pi icdot f_{1}(a),}$

Podemos evaluar la integral de la siguiente manera:

${displaystyle oint _{C_{1}g(z),dz=oint {fnMicroc} {fnMicroc}{1}},dz=2pi i{frac {z_{1} {2} {z_{1}}}}}$

Haciendo lo mismo para el otro contorno:

${displaystyle f_{2}(z)={frac {Z^{2}{z-z_{1}}}$

evaluamos

${displaystyle oint _{C_{2}g(z),dz=oint {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}},dz=2pi i{frac] {z_{2} {2} {z_{2}}}}}$

La integral alrededor del contorno original C entonces es la suma de estas dos integrales:

${displaystyle {begin{aligned}oint _{C}g(z),dz reducida{}=oint ¿Por qué? {}=2pi ileft({frac] {Z_{1}{2}{z_{1}-z_{2}}+{frac} {f}} {f}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}} {f} {f}}} {f}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\ {z_{2} {2} {z_{2}}}derecha)\fnMicrosoft Sans Serif} {}=4pi iend{aligned}}$

Un truco elemental usando la descomposición en fracciones parciales:

${displaystyle oint _{C}g(z),dz=oint ¿Por qué? {1}{z-z_{1}}-{frac {1}{z-z_{2}}derecha),dz=0-2pi i-2pi i=-4pi i$

Consecuencias

La fórmula integral tiene amplias aplicaciones. Primero, implica que una función que es holomorfa en un conjunto abierto es de hecho infinitamente diferenciable allí. Además, es una función analítica, lo que significa que se puede representar como una serie de potencias. La demostración de esto utiliza el teorema de la convergencia dominada y la serie geométrica aplicada a

${displaystyle f(zeta)={2pi i}int _{C}{frac {f(z)}{z-zeta },dz.}$

La fórmula también se usa para demostrar el teorema del residuo, que es un resultado de las funciones meromórficas, y un resultado relacionado, el principio del argumento. Se sabe por el teorema de Morera que el límite uniforme de las funciones holomorfas es holomorfa. Esto también se puede deducir de la fórmula integral de Cauchy: de hecho, la fórmula también se cumple en el límite y el integrando, y por lo tanto la integral, se puede expandir como una serie de potencias. Además, las fórmulas de Cauchy para las derivadas de orden superior muestran que todas estas derivadas también convergen uniformemente.

El análogo de la fórmula integral de Cauchy en análisis real es la fórmula integral de Poisson para funciones armónicas; muchos de los resultados de las funciones holomorfas se transfieren a esta configuración. Sin embargo, tales resultados no son válidos para clases más generales de funciones analíticas diferenciables o reales. Por ejemplo, la existencia de la primera derivada de una función real no implica necesariamente la existencia de derivadas de orden superior, ni en particular la analiticidad de la función. Asimismo, el límite uniforme de una sucesión de funciones diferenciables (reales) puede dejar de ser diferenciable, o puede ser diferenciable pero con una derivada que no es el límite de las derivadas de los miembros de la sucesión.

Otra consecuencia es que si f(z) = Σ a _n zⁿ es holomorfo en |z| < R y 0 < r < R luego los coeficientes a_n satisfacer la desigualdad de Cauchy

${displaystyle - ¿Qué?$

De la desigualdad de Cauchy, se puede deducir fácilmente que toda función entera acotada debe ser constante (que es el teorema de Liouville).

La fórmula también se puede usar para derivar el Teorema del valor medio de Gauss, que establece

${displaystyle f(z)={2pi}int _{0}^{2pi }f(z+re^{itheta }dtheta.}$

En otras palabras, el valor promedio de f sobre el círculo centrado en z con radio r es f(z ). Esto se puede calcular directamente a través de una parametrización del círculo.

Generalizaciones

Funciones fluidas

Una versión de la fórmula integral de Cauchy es la fórmula de Cauchy-Pompeiu, y también es válida para funciones suaves, ya que se basa en la fórmula de Stokes; teorema. Sea D un disco en C y suponga que f es una función C1 de valor complejo en el cierre de < i>D. Entonces (Hörmander 1966, Teorema 1.2.1)

${displaystyle f(zeta)={2pi i}int _{partial D}{frac {f(z),dz}{z-zeta }-{frac {1}{pi} ####### {fnMicroc {partial f} {bar {z} {fnMicroc {dxwedge dy}{z-zeta }}$

Se puede usar esta fórmula de representación para resolver las ecuaciones no homogéneas de Cauchy-Riemann en D. De hecho, si φ es una función en D, entonces una la solución particular f de la ecuación es una función holomorfa fuera del soporte de μ< /lapso>. Además, si en un conjunto abierto D,

${displaystyle dmu ={frac {1}{2pi }varphi ,dzwedge d {bar {z}$

para algunos φ ∈ C ^k(D) (donde k ≥ 1), luego f(ζ, ζ) también está en C^k (D) y satisface la ecuación

${displaystyle {frac {partial f}{partial {bar {z}}=varphi (z,{bar {z}). }$

La primera conclusión es, sucintamente, que la convolución μ ∗ k(z) de una medida compatible de forma compacta con el núcleo de Cauchy

${displaystyle k(z)=operatorname {p.v.} {frac {1}{z}}$

es una función holomorfa fuera del soporte de μ. Aquí p.v. denota el valor principal. La segunda conclusión afirma que el núcleo de Cauchy es una solución fundamental de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Tenga en cuenta que para funciones fluidas de valores complejos f de soporte compacto en C la fórmula integral de Cauchy generalizada se simplifica a

${displaystyle f(zeta)={frac {1}{2pi {fnMicroc {f} {b}} {fn}} {fnMicroc {dzwedge d {b}} {fn}}} {fn}}} {fn}}$

y es una reafirmación del hecho de que, considerada como una distribución, (πz)⁻¹ es una solución fundamental del operador de Cauchy-Riemann ∂/∂z̄. La fórmula integral de Cauchy generalizada se puede deducir para cualquier región abierta acotada X con C ¹ límite ∂X de este resultado y la fórmula para la derivada distribucional de la función característica χ_X de X:

${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} chi {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc} {I}{2}oint _{partial ¿Qué?$

donde la distribución del lado derecho indica integración de contorno a lo largo de ∂X.

Varias variables

En varias variables complejas, la fórmula integral de Cauchy se puede generalizar a polidiscos (Hörmander 1966, Teorema 2.2.1). Sea D el polidisco dado como el producto cartesiano de n discos abiertos D₁,..., D_n :

${displaystyle D=prod ¿Qué?$

Suponga que f es una función holomorfa en D continuo en el cierre de D. Entonces

${displaystyle f(zeta)={frac {1}{left(2pi iright)^{n}}int cdots iint _{partial D_{1}times cdots partial ¿Qué? ¿Qué? Dz_{n}$

donde ζ = (ζ₁,...,ζ_n) ∈ D.

En álgebras reales

La fórmula integral de Cauchy es generalizable a espacios vectoriales reales de dos o más dimensiones. La comprensión de esta propiedad proviene del álgebra geométrica, donde se consideran los objetos más allá de los escalares y los vectores (como los bivectores planos y los trivectores volumétricos), y una generalización adecuada de Stokes' teorema.

El cálculo geométrico define un operador derivado ∇ = ê_i ∂_i bajo su producto geométrico, es decir, para un campo k-vector ψ(r), la derivada ∇ψ generalmente contiene términos de calificación k + 1 y k − 1. Por ejemplo, un campo vectorial (k = 1) generalmente tiene en su derivada una parte escalar, la divergencia ( k = 0), y una parte bivector, el rizo (k = 2). Este operador derivado en particular tiene una función de Green:

${displaystyle Gleft(mathbf {r}mathbf {r}right)={frac {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}} {fn}} {f}}} {fn}}}} {fn}}}} {f} {f}}} {f}}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {fn} {f} {f}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {fn} {fn}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {fnMitbf} - Mathbf {r} ' {fnMitbf {r} - Mathbf {r} 'justo a la vida'$

donde S_n es el área de superficie de una unidad n-bola en el espacio (es decir, S₂ = 2π, la circunferencia de un círculo con radio 1, y S₃ = 4π, el área de superficie de una esfera con radio 1). Por definición de una función de Green,

${displaystyle nabla Gleft(mathbf {r}mathbf {r} 'right)=delta left(mathbf {r} -mathbf {r} 'right). }$

Es esta propiedad útil la que se puede usar, junto con el teorema de Stokes generalizado:

${displaystyle oint _{partial V}dmathbf {S} ;f(mathbf {r})=int _{V}dmathbf {V} ;nabla f(mathbf {r})}$

donde, para un espacio vectorial n-dimensional, dS es un (n − 1)-vector y dV es un vector n. La función f(r) puede, en principio, estar compuesta por cualquier combinación de multivectores. La prueba del teorema integral de Cauchy para espacios de mayor dimensión se basa en el uso del teorema de Stokes generalizado en la cantidad G(r, r′) f(r′) y uso de la regla del producto:

${displaystyle oint _{partial V'}Gleft(mathbf {r}mathbf {r} 'right);dmathbf {f}f} {f} {f}f}m}f}m}cH00}cH00}cH00}cH00} {cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00}cH00cH00}cH00cH00cH00}cH00cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00cH00cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00}cH00cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH$

Cuando ∇f = 0, f(r) se denomina función monogénica, la generalización de funciones holomorfas a espacios de dimensiones superiores; de hecho, se puede demostrar que la condición de Cauchy-Riemann es solo la función bidimensional expresión de la condición monogénica. Cuando se cumple esa condición, el segundo término en la integral de la derecha desaparece, dejando solo

${displaystyle oint _{partial V'}Gleft(mathbf {r}mathbf {r} 'right);dmathbf {f}f} {f} {f}f} {f}f}f} {f}f}m} {f} {f}f}f}cHFF}cH0} {cHFF}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00} {fn}$

donde i_n es la unidad de álgebra n-vector, el pseudoescalar. El resultado es

${displaystyle f(mathbf {r})=-{frac {1}{i_{n}}oint _{partial V}Gleft(mathbf {r}mathbf {r} 'right);dmathbf {S} ;fleft(mathbf {r} 'right)=-{frac {1}{i_{n}oint {fnMicrosoft Sans Serif} - Mathbf {r} '{S_{n}left permanentlymathbf {r] - Mathbf {r} {f};dmathbf {S} ;fleft(mathbf {r}right)}$

Así, como en el caso bidimensional (análisis complejo), el valor de una función analítica (monogénica) en un punto se puede encontrar mediante una integral sobre la superficie que rodea el punto, y esto es válido no solo para escalares pero también funciones vectoriales y multivectoriales generales.