Fórmula de Rydberg

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Fórmula para longitudes de onda espectral en metales alcalinos

La fórmula de Rydberg como aparece en un registro de noviembre de 1888

En física atómica, la fórmula de Rydberg calcula las longitudes de onda de una línea espectral en muchos elementos químicos. La fórmula se presentó principalmente como una generalización de la serie de Balmer para todas las transiciones de electrones atómicos de hidrógeno. Primero fue establecido empíricamente en 1888 por el físico sueco Johannes Rydberg, luego teóricamente por Niels Bohr en 1913, quien usó una forma primitiva de mecánica cuántica. La fórmula generaliza directamente las ecuaciones utilizadas para calcular las longitudes de onda de la serie espectral del hidrógeno.

Historia

En 1880, Rydberg trabajó en una fórmula que describía la relación entre las longitudes de onda en las líneas espectrales de los metales alcalinos. Se dio cuenta de que las líneas venían en serie y descubrió que podía simplificar sus cálculos usando el número de onda (el número de ondas que ocupan la unidad de longitud, igual a 1/λ, el inverso de la longitud de onda) como su unidad de medida. Trazó los números de onda (n) de líneas sucesivas en cada serie frente a enteros consecutivos que representaban el orden de las líneas en esa serie en particular. Al descubrir que las curvas resultantes tenían una forma similar, buscó una sola función que pudiera generarlas todas, cuando se insertaban las constantes apropiadas.

Primero intentó la fórmula: ${displaystyle textstyle n=n_{0}-{frac {C_{0}}{m+m'}}}$ , donde n es el número de onda de la línea, n₀ es el límite de la serie, m es el número ordinal de la línea en la serie, m ' es una constante diferente para diferentes series y C₀ es una constante universal. Esto no funcionó muy bien.

Rydberg estaba intentando: ${displaystyle textstyle n=n_{0}-{frac {C_{0}}{left(m+m'right)^{2}}}}$ cuando se dio cuenta de la fórmula de Balmer para el espectro de hidrógeno ${displaystyle textstyle lambda ={hm^{2} over m^{2}-4}}$ En esta ecuación, m es un entero y h es una constante (no confundirse con la constante Planck posterior).

Rydberg reescribió la fórmula de Balmer en términos de números de onda, como ${displaystyle textstyle n=n_{0}-{4n_{0} over m^{2}}}$ .

Esto sugirió que la fórmula Balmer para el hidrógeno podría ser un caso especial con ${displaystyle textstyle m'=0}$ y ${displaystyle {text{C}}_{0}=4n_{0}}$ , donde ${displaystyle textstyle n_{0}={frac {1}{h}}}$ , el recíproco de la constante de Balmer (esta constante h escrito B en el artículo de la ecuación Balmer, de nuevo para evitar confusión con la constante de Planck).

El término ${displaystyle {text{C}}_{0}}$ se encontró como una constante universal común a todos los elementos, igual a 4/h. Esta constante se conoce ahora como la constante de Rydberg, y m′ se conoce como el defecto cuántico.

Como destacó Niels Bohr, expresar resultados en términos de número de onda, no longitud de onda, fue la clave para el descubrimiento de Rydberg. El papel fundamental de los números de onda también se hizo hincapié en el principio de la combinación Rydberg-Ritz de 1908. La razón fundamental de esto radica en la mecánica cuántica. Número de onda de luz es proporcional a la frecuencia ${displaystyle textstyle {frac {1}{lambda }}={frac {f}{c}}}$ , y por lo tanto también proporcional a la energía cuántica de la luz E. Así, ${displaystyle textstyle {frac {1}{lambda }}={frac {E}{hc}}}$ (en esta fórmula la h representaciones Planck es constante). La comprensión moderna es que los hallazgos de Rydberg fueron un reflejo de la sencillez subyacente del comportamiento de las líneas espectrales, en términos de fijo (cuantizado) energía diferencias entre órbitas electrones en átomos. La expresión clásica de Rydberg 1888 para la forma de la serie espectral no fue acompañada por una explicación física. Walther Ritz pre-quantum 1908 explicación para la mecanismo subyacente la serie espectral fue que los electrones atómicos se comportaban como imanes y que los imanes podían vibrar con respecto al núcleo atómico (al menos temporalmente) para producir radiación electromagnética, pero esta teoría fue superada en 1913 por el modelo del átomo de Niels Bohr.

En la concepción del átomo de Bohr, los números enteros de Rydberg (y Balmer) n representan orbitales electrónicos a diferentes distancias integrales del átomo. Una frecuencia (o energía espectral) emitida en una transición de n₁ a n₂ por lo tanto representa la energía del fotón emitido o absorbido cuando un electrón salta del orbital 1 al orbital 2.

Modelos posteriores encontraron que los valores de n₁ y n₂ correspondían a los principales números cuánticos de los dos orbitales.

Para hidrógeno

{displaystyle {frac {1}{lambda _{mathrm {vac} }}}=R_{text{H}}left({frac {1}{n_{1}^{2}}}-{frac {1}{n_{2}^{2}}}right),}

${displaystyle lambda _{mathrm {vac} }}$ es la longitud de onda de la radiación electromagnética emitida en vacío,
$R_{text{H}}$ es la constante Rydberg para hidrógeno, aproximadamente 1.09677583×10⁷m⁻¹,
$n_{1}$ es el número cuántico principal de un nivel de energía, y
$n_{2}$ es el número cuántico principal de un nivel de energía para la transición de electrones atómicos.

Nota: Aquí, $n_{1}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n2■n1{displaystyle No.n_{1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7dff47d66f4b8b88a98a78832c447aee02c9d48" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.996ex; height:2.176ex;"/>$

Por configuración $n_{1}$ a 1 y dejar $n_{2}$ correr de 2 a infinito, las líneas espectrales conocidas como la serie Lyman convergiendo a 91 nm se obtienen, de la misma manera:

n₁	n₂	Nombre	Converge hacia
1	2 – $JUEGO$	Serie Lyman	91.13 nm (UV)
2	3 – $JUEGO$	Serie Balmer	364.51 nm (Visible)
3	4 – $JUEGO$	Serie Paschen	820.14 nm (IR)
4	5 – $JUEGO$	Serie Brackett	1458.03 nm (Far IR)
5	6 – $JUEGO$	Serie Pfund	2278.17 nm (Far IR)
6	7 – $JUEGO$	Serie Humphreys	3280.56 nm (Far IR)

Comparación visual de la serie espectral de hidrógeno n₁ = 1 a n₁ = 6 en una escala de registro

Para cualquier elemento similar al hidrógeno

La fórmula anterior se puede ampliar para su uso con cualquier elemento químico similar al hidrógeno con

{displaystyle {frac {1}{lambda }}=RZ^{2}left({frac {1}{n_{1}^{2}}}-{frac {1}{n_{2}^{2}}}right),}

dónde

$lambda$ es la longitud de onda (en vacío) de la luz emitida,
$R$ es la constante Rydberg para este elemento,
$Z$ es el número atómico, es decir, el número de protones en el núcleo atómico de este elemento,
$n_{1}$ es el número cuántico principal del nivel de energía inferior, y
$n_{2}$ es el número cuántico principal del nivel de energía superior para la transición de electrones atómicos.

Esta fórmula se puede aplicar directamente solo a los átomos de elementos químicos similares al hidrógeno, también llamados hidrogénicos, es decir, átomos con un solo electrón afectado por una carga nuclear efectiva (que se estima fácilmente). Los ejemplos incluirían He⁺, Li²⁺, Be³⁺, etc., donde no existen otros electrones en el átomo.

Pero la fórmula de Rydberg también proporciona longitudes de onda correctas para electrones distantes, donde la carga nuclear efectiva se puede estimar como la misma que para el hidrógeno, ya que todas las cargas nucleares excepto una han sido apantalladas por otros electrones, y el núcleo de el átomo tiene una carga positiva efectiva de +1.

Finalmente, con ciertas modificaciones (reemplazo de Z por Z − 1, y uso de los enteros 1 y 2 para los ns para dar un valor numérico de 3⁄4 para la diferencia de sus cuadrados inversos), la fórmula de Rydberg proporciona valores correctos en el caso especial de las líneas K-alfa, ya que la transición en cuestión es la transición K-alfa del electrón del orbital 1s al orbital 2p. Esto es análogo a la transición de la línea Lyman-alfa para el hidrógeno y tiene el mismo factor de frecuencia. Debido a que el electrón 2p no es apantallado por ningún otro electrón en el átomo del núcleo, la carga nuclear disminuye solo por el único electrón 1s restante, lo que hace que el sistema sea efectivamente un átomo hidrogenado, pero con una carga nuclear disminuida Z − 1. Su frecuencia es, por tanto, la frecuencia del hidrógeno Lyman-alfa, aumentada por un factor de (Z − 1)². Esta fórmula de f = c/λ = (frecuencia Lyman-alfa)⋅(Z − 1)² se conoce históricamente como la ley de Moseley (habiendo agregado un factor c para convertir la longitud de onda en frecuencia), y puede usarse para predecir longitudes de onda de la K_α (K-alfa) Líneas de emisión espectral de rayos X de elementos químicos desde el aluminio hasta el oro. Consulte la biografía de Henry Moseley para conocer la importancia histórica de esta ley, que se derivó empíricamente aproximadamente al mismo tiempo que se explicaba mediante el modelo atómico de Bohr.

Para otras transiciones espectrales en átomos multielectrónicos, la fórmula de Rydberg generalmente proporciona resultados incorrectos, ya que la magnitud de la detección de electrones internos para las transiciones de electrones externos es variable y no es posible compensarla. de la manera simple anterior. La corrección de la fórmula de Rydberg para estos átomos se conoce como defecto cuántico.

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