Fórmula de masa semiempírica

En física nuclear, la fórmula de masa semiempírica (SEMF) (a veces también llamada fórmula de Weizsäcker, Bethe– La fórmula de Weizsäcker, o fórmula de masas de Bethe-Weizsäcker para distinguirla del proceso de Bethe-Weizsäcker) se utiliza para aproximar la masa de un núcleo atómico a partir de su número de protones y neutrones. Como sugiere el nombre, se basa en parte en teoría y en parte en mediciones empíricas. La fórmula representa el modelo de gota de líquido propuesto por George Gamow, que puede dar cuenta de la mayoría de los términos de la fórmula y proporciona estimaciones aproximadas de los valores de los coeficientes. Fue formulado por primera vez en 1935 por el físico alemán Carl Friedrich von Weizsäcker y, aunque se han ido perfeccionando los coeficientes a lo largo de los años, la estructura de la fórmula sigue siendo la misma en la actualidad.

La fórmula proporciona una buena aproximación a las masas atómicas y, por tanto, a otros efectos. Sin embargo, no logra explicar la existencia de líneas de mayor energía de enlace en ciertos números de protones y neutrones. Estos números, conocidos como números mágicos, son la base del modelo de capa nuclear.

El modelo de la gota de líquido

El modelo de gota de líquido fue propuesto por primera vez por George Gamow y desarrollado posteriormente por Niels Bohr y John Archibald Wheeler. Trata al núcleo como una gota de fluido incompresible de muy alta densidad, mantenida unida por la fuerza nuclear (un efecto residual de la fuerza fuerte), existe una similitud con la estructura de una gota de líquido esférica. Si bien es un modelo tosco, el modelo de gota de líquido tiene en cuenta la forma esférica de la mayoría de los núcleos y hace una predicción aproximada de la energía de enlace.

La fórmula de masa correspondiente se define únicamente en términos del número de protones y neutrones que contiene. La fórmula original de Weizsäcker define cinco términos:

• Energía del volumen, cuando una asamblea de núcleos del mismo tamaño se empaquetan en el volumen más pequeño, cada núcleo interior tiene un cierto número de otros núcleos en contacto con él. Por lo tanto, esta energía nuclear es proporcional al volumen.
• Energía superficial correctos para la suposición anterior hizo que cada núcleo interactúa con el mismo número de otros núcleos. Este término es negativo y proporcional a la superficie, por lo que es aproximadamente equivalente a la tensión de superficie líquida.
• Energía de Coulombla energía potencial de cada par de protones. Como esta es una fuerza repelente, la energía vinculante se reduce.
• Energía asimétrica (también llamada energía Pauli), que explica el principio de exclusión Pauli. Números inigualables de neutrones y protones implican llenar niveles de energía más altos para un tipo de partícula, dejando los niveles de energía más bajos vacantes para el otro tipo.
• Combinar energía, que explica la tendencia de pares de protones y pares de neutrones a ocurrir. Un número uniforme de partículas es más estable que un número impar debido al acoplamiento de giro.

La fórmula

La masa de un núcleo atómico, para ${displaystyle N}$ neutrones, ${displaystyle Z}$ protones, y por lo tanto ${displaystyle A=N+Z$ nucleones, es dado por

${displaystyle m=Zm_{text{p}+Nm_{text{n}-{frac {E_{text{B}(N,Z)}{c^{2}}}}$

Donde ${displaystyle #$ y ${displaystyle m_{text{n}}$ son la masa restante de un protón y un neutron respectivamente, y ${displaystyle E_{text{B}}$ es la energía vinculante del núcleo. La fórmula de masa semi-empírica declara que la energía vinculante es

${displaystyle E_{text{B}=a_{text{V}A-a_{S}A^{2/3}-a_{text{C}{frac {Z(Z-1)}{ ¿Qué? (N-Z)^{2} {A}+delta (N,Z). }$

El ${displaystyle delta (N,Z)}$ término es cero o ${displaystyle pm delta ¿Qué?$, dependiendo de la paridad de ${displaystyle N}$ y ${displaystyle Z}$, donde ${displaystyle delta {0} {fn} {fnK}} {fnK}}}} {fnK}}}}$ para algún exponente ${displaystyle K_{text{P}}$. Note que ${displaystyle A=N+Z$, el numerador del ${displaystyle a_{text{A}}$ el mandato puede ser reescrito ${displaystyle (A-2Z)}{2}$.

Cada uno de los términos de esta fórmula tiene una base teórica. Los coeficientes ${displaystyle a_{text{V}}$, ${displaystyle a_{text{S}}$, ${displaystyle a_{text{C}}$, ${displaystyle a_{text{A}}$, y ${displaystyle a_{text{P}}$ se determinan empíricamente; mientras que pueden derivarse de experimentos, se derivan típicamente de los mínimos cuadrados adecuados a los datos contemporáneos. Aunque normalmente se expresan por sus cinco términos básicos, existen nuevas condiciones para explicar fenómenos adicionales. Al igual que el cambio de un ajuste polinomio cambiará sus coeficientes, la interacción entre estos coeficientes como nuevos fenómenos se introduce es compleja; algunos términos influyen entre sí, mientras que los ${displaystyle a_{text{P}}$ term is largely independent.

Período de volumen

El término ${displaystyle a_{text{V}A}$ es conocido como volumen. El volumen del núcleo es proporcional a A, por lo que este término es proporcional al volumen, por lo tanto el nombre.

La base de este término es la fuerza nuclear fuerte. La fuerza fuerte afecta tanto a protones como a neutrones, y como se esperaba, este término es independiente de Z. Porque el número de parejas que se pueden tomar A partículas es ${displaystyle A(A-1)/2}$, uno podría esperar un término proporcional a ${displaystyle A^{2}$. Sin embargo, la fuerza fuerte tiene un rango muy limitado, y un núcleo dado sólo puede interactuar fuertemente con sus vecinos más cercanos y los próximos vecinos más cercanos. Por lo tanto, el número de pares de partículas que realmente interactúan es aproximadamente proporcional a A, dando el término de volumen su forma.

El coeficiente ${displaystyle a_{text{V}}$ es más pequeña que la energía vinculante poseída por los núcleos con respecto a sus vecinos (${displaystyle E_{text{b}}$), que es de orden de 40 MeV. Esto se debe a que cuanto mayor es el número de núcleos en el núcleo, mayor es su energía cinética, debido al principio de exclusión Pauli. Si uno trata al núcleo como una bola de Fermi ${displaystyle A}$ núcleos, con números iguales de protones y neutrones, entonces la energía cinética total es ${fnMicroc} {3}{5}Avarepsilon _{text{F}$Con ${displaystyle varepsilon _{F}}$ la energía Fermi, que se estima como 38 MeV. Así pues, el valor esperado ${displaystyle a_{text{V}}$ en este modelo ${displaystyle E_{text{b}-{tfrac {3}{5}varepsilon _{text{F}sim 17~mathrm {MeV}$ no lejos del valor medido.

Término de superficie

El término ${displaystyle A_{text{S}A^{2/3}$ es conocido como término. Este término, también basado en la fuerza fuerte, es una corrección al término del volumen.

El término de volumen sugiere que cada nucleón interactúa con un número constante de nucleones, independiente de A. Si bien esto es casi cierto para los nucleones profundos dentro del núcleo, los nucleones en la superficie del núcleo tienen menos vecinos más cercanos, lo que justifica esta corrección. Esto también puede considerarse como un término de tensión superficial y, de hecho, un mecanismo similar crea tensión superficial en los líquidos.

Si el volumen del núcleo es proporcional a A, entonces el radio debe ser proporcional a ${displaystyle A^{1/3}$ y la superficie a ${displaystyle A^{2/3}$. Esto explica por qué el término superficial es proporcional a ${displaystyle A^{2/3}$. También se puede deducir que ${displaystyle a_{text{S}}$ debe tener un orden de magnitud similar a ${displaystyle a_{text{V}}$.

Coulomb term

El término ${displaystyle a_{text{C}{frac {Z(Z-1)}{ A^{1/3}}}$ o ${displaystyle a_{text{C}{frac} {Z^{2}{1/3}}}$ es conocido como Coulomb o término electrostático.

La base de este término es la repulsión electrostática entre protones. En una aproximación muy aproximada, el núcleo puede considerarse una esfera de densidad de carga uniforme. Se puede demostrar que la energía potencial de tal distribución de carga es

${displaystyle E={frac {3}{5}{frac {1}{4pi} varepsilon ¿Qué?$

Donde Q es el cargo total, y R es el radio de la esfera. El valor de ${displaystyle a_{text{C}}$ puede calcularse aproximadamente utilizando esta ecuación para calcular la energía potencial, utilizando un radio nuclear empírico ${displaystyle Rapprox ¿Qué? {1}{3}}$ y Q = Ze. Sin embargo, porque la repulsión electrostática sólo existirá por más de un protón, ${displaystyle Z^{2}$ se convierte en ${displaystyle Z(Z-1)}$:

${displaystyle E={frac {3}{5}{frac {1}{4pi} "varepsilon" {fnK} {fnMicroc}}} {fnMicroc}} {fnK}}} {f}} {f}}} {f}} {f}}}}} {fnMicroc}}} {f}}} {f}} {f}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}f}f}f}f}f}f} {f}f} {f}f} {f}f}f}f} {f}f}f} {f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fn {3}{5}{frac {1}{4pi varepsilon _{0}{frac {(Ze)^{2} {r_{0}A^{1/3}={frac}} {f} {fnK}}}} {f}}} {f}}}} {f}}} {f}}}}} {f} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}}} {f}} {f} {f}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}} {f}} {f} {f}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {3e^{2}Z^{2}{20pi varepsilon {fnMicroc {3e^{2}Z(Z-1)}{20pivarepsilon {fnMicroc {Z(Z-1)}{1/3}}}}$

donde ahora la constante de Coulomb electrostático ${displaystyle a_{text{C}}$ es

${displaystyle a_{text{C}={frac} {3e^{2}{20pivarepsilon.$

Usando la constante de estructura fina, podemos reescribir el valor de ${displaystyle a_{text{C}}$ como

${displaystyle a_{text{C}={frac} {3}{5}{fchbar calpha {fnK}}={fnMic {3}{5}{frac} {R_{text{P} {R_}}} {R_}} {f}} {f}}}} {f}}}}} {f}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {Alfa m_{text{p}c^{2}$

Donde ${displaystyle alpha }$ es la constante de estructura fina, y ${displaystyle ¿Qué?$ es el radio de un núcleo, dando ${displaystyle R_{0}$ para ser aproximadamente 1,25 femetros. ${displaystyle R_{text{P}}$ es el protón reducido longitud de onda Compton, y ${displaystyle #$ es la masa de protones. Esto da ${displaystyle a_{text{C}}$ un valor teórico aproximado de 0.691 MeV, no lejos del valor medido.

Término de asimetría

El término ${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}}} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnK}}}}} {f}}} {f}}} {fnMicroc}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}$ es conocido como término asimetría (o Pauli term).

La justificación teórica de este término es más compleja. El principio de exclusión de Pauli establece que dos fermiones idénticos no pueden ocupar exactamente el mismo estado cuántico en un átomo. En un nivel de energía dado, sólo hay un número finito de estados cuánticos disponibles para las partículas. Lo que esto significa en el núcleo es que a medida que se "agregan" más partículas, estas partículas deben ocupar niveles de energía más altos, lo que aumenta la energía total del núcleo (y disminuye la energía de enlace). Tenga en cuenta que este efecto no se basa en ninguna de las fuerzas fundamentales (gravitacional, electromagnética, etc.), sólo en el principio de exclusión de Pauli.

Los protones y los neutrones, al ser tipos distintos de partículas, ocupan diferentes estados cuánticos. Se pueden pensar en dos "grupos" de estados: uno para protones y otro para neutrones. Ahora bien, por ejemplo, si hay significativamente más neutrones que protones en un núcleo, algunos de los neutrones tendrán mayor energía que los estados disponibles en el conjunto de protones. Si pudiéramos mover algunas partículas del grupo de neutrones al grupo de protones, en otras palabras, convertir algunos neutrones en protones, disminuiríamos significativamente la energía. El desequilibrio entre el número de protones y neutrones hace que la energía sea mayor de lo necesario, para un número determinado de nucleones. Ésta es la base del término de asimetría.

La forma real del término de asimetría se puede derivar nuevamente modelando el núcleo como una bola de Fermi de protones y neutrones. Su energía cinética total es

${displaystyle E_{text{k}={frac {3}{5} {Zvarepsilon _{text{F,p}+Nvarepsilon _{F,n}}}}$

Donde ${displaystyle varepsilon _{F,p}}$ y ${displaystyle varepsilon _{F,n}}$ son las energías fermi de los protones y neutrones. Puesto que son proporcionales a ${displaystyle Z^{2/3}$ y ${displaystyle N^{2/3}$ respectivamente, uno recibe

${displaystyle E_{text{k}=C(Z^{5/3}+N^{5/3}}$ para algunos constantes C.

Los términos principales en la expansión de la diferencia ${displaystyle N-Z}$ entonces

${displaystyle E_{text{k}={frac {C}{2^{2/3}}}left(A^{5/3}+{frac {5}{9}{frac {(N-Z)}{2}}{A^{1/3}}right)+O{big (}(N-Z)}{4}{big)}}}}}} {} {c}}}{2}}}}}}}}}}}}}}{2}} {c} {c}}}}}}}} {c}}}}}}}}} {c} {c} {c} {c} {c} {c}}}}}}{c}}{c}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

En el orden cero en la expansión la energía cinética es sólo la energía fermi global ${displaystyle varepsilon _{text{F}equiv varepsilon _{text{F,p}=varepsilon - ¿Qué?$ multiplicado por ${displaystyle {tfrac}A}$. Así que...

${displaystyle E_{text{k}={frac {3}{5}varepsilon _{text{F}A+{frac {1}{3}varepsilon _{text{F}}{frac {(N-Z)}{2}{A}}+O{big (}(N-Z)}{4}{4}{big)}}}} {}{3}{5}}}}}}}}}}} {}}}} {vare}}} {vare}}}}} {varepsi}}}}}}} {varepsi} {vare}varepsi}varepsi}}}}}}}varepsi}}vare}varepsi} {vare}varepsi}varepsi} {varepsi} {varepsi} {varepsi}varepsilon _{varepsilon _ {varepsilon _{varepsilon _{varepsilon _{varepsilon$

El primer término contribuye al término de volumen en la fórmula de masa semiempírica, y el segundo término es menos el término de asimetría (recuerde, la energía cinética contribuye a la energía de enlace total con un valor negativo firmar).

${displaystyle varepsilon _{F}}$ es 38 MeV, así que calcular ${displaystyle a_{text{A}}$ de la ecuación anterior, obtenemos sólo la mitad del valor medido. La discrepancia es explicada por nuestro modelo no siendo precisa: los núcleos de hecho interactúan entre sí y no se diseminan uniformemente a través del núcleo. Por ejemplo, en el modelo de cáscara, un protón y un neutrón con funciones de onda superpuestas tendrán una interacción más fuerte entre ellos y una energía vinculante más fuerte. Esto hace que sea energéticamente favorable (es decir, tener menor energía) para protones y neutrones tener los mismos números cuánticos (excepto el isospin), y así aumentar el coste energético de la asimetría entre ellos.

También se puede entender el término asimetría intuitivamente como sigue. Debe depender de la diferencia absoluta ${displaystyle SilencioN-Z$, y la forma ${displaystyle (N-Z)}{2}$ es simple y diferenciable, que es importante para ciertas aplicaciones de la fórmula. Además, pequeñas diferencias entre Z y N no tienen un alto costo de energía. El A en el denominador refleja el hecho de que una diferencia dada ${displaystyle SilencioN-Z$ es menos importante para valores más grandes A.

Mandato de pareja

El término ${displaystyle delta (A,Z)}$ es conocido como término pareado (posiblemente también conocido como la interacción de pareja). Este término captura el efecto del acoplamiento de giro. Es dado por

${displaystyle delta (A,Z)={begin{cases}+delta ################################################################################################################################################################################################################################################################ Incluso }Z,N~({text{even }A),$