Fórmula de Klein-Nishina

En física de partículas, la fórmula de Klein-Nishina proporciona la sección transversal diferencial (es decir, la "probabilidad" y la distribución angular) de los fotones dispersos desde un único electrón libre, calculada en el orden más bajo de la electrodinámica cuántica. Fue derivada por primera vez en 1928 por Oskar Klein y Yoshio Nishina, constituyendo una de las primeras aplicaciones exitosas de la ecuación de Dirac. La fórmula describe tanto la dispersión Thomson de fotones de baja energía (por ejemplo, luz visible) como la dispersión Compton de fotones de alta energía (por ejemplo, rayos X y rayos gamma), lo que muestra que la sección transversal total y el ángulo de deflexión esperado disminuyen al aumentar la energía del fotón..

Fórmula

Para un incidente sin polarizar fotones de energía ${displaystyle E_{gamma }$, la sección transversal diferencial es:

${displaystyle {frac {sigma} }{d Omega. {lambda}{lambda '}+{frac {lambda ' {lambda }sin ^{2}(theta)right]$

dónde

• ${displaystyle r_{e}$ es el radio de electrones clásico (~2.82 fm, ${displaystyle ¿Qué?$ es sobre 7.94 × 10⁻³⁰ m² o 79.4 mb)
• ${displaystyle lambda /lambda '$ es la relación de las longitudes de onda del incidente y fotones dispersos
• ${displaystyle theta }$ es el ángulo de dispersión (0 para un fotón sin desviar).

La relación de longitud de onda (o energía o frecuencia) del fotón dependiente del ángulo es

${fnMicroc {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ♫{lambda '={frac {E_{gamma {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft}} {fn}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fn}}}}} {f}}}} {fnfnf}} {f}}}}} {f}}}}}} {fnf}}}}}}}}}}}} {f}}}} {fnf}}} {f} {f} {fnf} {fnf}f}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn }={frac ################################################################################################################################################################################################################################################################ '{omega {1+epsilon (1-cos theta)}}}$

como exige la conservación de la energía relativista y el impulso (ver dispersión Compton). La cantidad adimensional ${displaystyle epsilon =E_{gamma }/m_{e}c^{2}$ expresa la energía del fotón del incidente en términos de la energía del reposo del electrón (~511 keV), y puede ser expresado también como ${displaystyle epsilon =lambda _{c}/lambda }$, donde ${displaystyle lambda ¿Qué?$ es la longitud de onda Compton del electrón (~2.42 pm). Note que la relación de dispersión ${displaystyle lambda '/lambda }$ aumenta monotonicamente con el ángulo de deflexión, desde ${displaystyle 1}$ (desperdicio futuro, no transferencia de energía) a ${displaystyle 1+2epsilon }$ (Rescatter de 180 grados, transferencia de energía máxima).

En algunos casos es conveniente expresar el radio de electrones clásico en términos de longitud de onda Compton: ${displaystyle r_{e}=alpha {fnfnfnhfnhfnh\fnh\fnh\\fn\\\fn\\\fn\\\\fn\\fn\\\fn\\\\\\\\fn\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\cH\\\\\\\\\\\\cH\\\\\\\\\\\\\cH\\cH\\\\\cH\\\\\\cHcHcH\\\\\\\\\\cH }_{c}=alpha lambda ¿Qué?$, donde ${displaystyle alpha }$ es la constante de estructura fina (~1/137) y ${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\fn\\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }_{c}=hbar /m_{e}c}$ es reducido Longitud de onda compton del electrón (~0.386 pm), para que la constante en la sección de la cruz pueda ser dada como:

${fnMicroc} {1} {2}r_{e} {2}={frac} {1}{2}alpha ^{2}{bar {fnMicrode - ¿Qué? {alpha ^{2}lambda {fnK} {fnK} {fnK}}fnMicroc {lpha ^{2}hbar ¿Qué?$

Fotones polarizados

Si el fotón entrante está polarizado, el fotón disperso ya no es isotrópico con respecto al ángulo azimutal. Para un fotón polarizado linealmente disperso con un electrón libre en reposo, la sección transversal diferencial viene dada por:

${displaystyle {frac {sigma} }{d Omega. {lambda}{lambda '}+{frac {lambda ' {lambda }-2sin ^{2}(theta)cos ^{2}(phi)right]$

Donde ${displaystyle phi }$ es el ángulo de dispersión azimutal. Tenga en cuenta que la sección transversal diferencial no polarizada puede obtenerse mediante un promedio sobre ${displaystyle cos ^{2}(phi)}$.

Límites

Baja energía

Para fotones de baja energía el cambio de longitud de onda se vuelve insignificante (${displaystyle lambda /lambdaapprox 1}$) y la fórmula Klein-Nishina reduce a la expresión clásica de Thomson:

${displaystyle {frac {sigma} }{d Omega.$

que es simétrico en el ángulo de dispersión, es decir, es tan probable que el fotón se disperse hacia atrás como hacia adelante. Al aumentar la energía, esta simetría se rompe y es más probable que el fotón se disperse hacia adelante.

Alta energía

Para fotones de alta energía es útil distinguir entre la dispersión de ángulo pequeño y grande. Para grandes ángulos, donde ${displaystyle epsilon (1-cos theta)gg 1}$, la relación de dispersión ${displaystyle lambda '/lambda }$ es grande y

${displaystyle {frac {sigma} }{d Omega {1} {2}r_{e}{2}{2}{frac} {f} {f}} {f} {f}} {f}}}} {f}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}} {f} {f}} {f}}} {f}}}f}}}}}}}}}}}}}}f}f}}f}f}f} {f} {f}f}f}f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}}f}}}}}f} {f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}}}}}}} {lambda}{lambda}approx {frac {1} {2}r_{e}{2}{2}{frac} {f} {f}} {f} {f}} {f}}}} {f}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}} {f} {f}} {f}}} {f}}}f}}}}}}}}}}}}}}f}f}}f}f}f} {f} {f}f}f}f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}}f}}}}}f} {f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}}}}}}} {1}{1+epsilon (1-cos theta)}qquad (epsilon gg 1,theta gg epsilon ^{-1/2})}$

mostrando que la sección transversal diferencial (ángulo grande) es inversamente proporcional a la energía del fotón.

La sección transversal diferencial tiene un pico constante en la dirección de avance:

${displaystyle left({frac {dsigma Bien. =0}=r_{e} {2}$

independiente ${displaystyle epsilon }$. Desde el gran análisis de ángulo sigue que este pico sólo puede extenderse a cerca ${displaystyle theta _{c}approx epsilon ^{-1/2}$. El pico delantero se limita así a un pequeño ángulo sólido de aproximadamente ${displaystyle pi theta ¿Qué?$, y podemos concluir que la sección transversal de ángulo pequeño total disminuye con ${displaystyle epsilon ^{-1}$.

Sección transversal total

La sección transversal diferencial se puede integrar para encontrar la sección transversal total.

En el límite bajo de energía no hay dependencia energética y recuperamos la sección transversal de Thomson (~66,5 fm²):

${displaystyle sigma approx {frac {8}{3}pi} {fnMicrosoft Sans Serif}$

Historia

La fórmula de Klein-Nishina fue derivada en 1928 por Oskar Klein y Yoshio Nishina, y fue uno de los primeros resultados obtenidos del estudio de la electrodinámica cuántica. La consideración de los efectos de la mecánica cuántica y relativista permitió desarrollar una ecuación precisa para la dispersión de la radiación de un electrón objetivo. Antes de esta derivación, la sección transversal del electrón había sido deducida clásicamente por el físico británico y descubridor del electrón, J.J. Thompson. Sin embargo, los experimentos de dispersión mostraron desviaciones significativas de los resultados predichos por la sección transversal de Thomson. Otros experimentos de dispersión coincidieron perfectamente con las predicciones de la fórmula de Klein-Nishina.