Fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon

La fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon o interpolación sinc es un método para construir una función de tiempo continuo con límite de banda a partir de una secuencia de números reales. La fórmula se remonta a los trabajos de E. Borel en 1898 y E. T. Whittaker en 1915, y fue citada de los trabajos de J. M. Whittaker en 1935, y en la formulación del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon por Claude Shannon en 1949. Es también comúnmente llamada fórmula de interpolación de Shannon y fórmula de interpolación de Whittaker. E. T. Whittaker, que lo publicó en 1915, lo llamó la serie Cardinal.

Definición

La figura de la izquierda muestra una función (en gris/negro) que se muestra y reconstruye (en oro) aumentando constantemente las densidades de muestra, mientras que la figura de la derecha muestra el espectro de frecuencia de la función gris/negro, que no cambia. La frecuencia más alta en el espectro es 1⁄2 el ancho de todo el espectro. El ancho de la afeitada rosa cada vez mayor es igual al rango de muestra. Cuando abarca todo el espectro de frecuencias es dos veces más grande que la frecuencia más alta, y es cuando la forma de onda reconstruida coincide con la muestra.

Dada una secuencia de números reales, x[n], la función continua

x()t)=.. n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO x[n]sinc()t− − nTT){displaystyle x(t)=sum _{n=-infty }{infty }x[n],{rm {sinc}}left({frac] Bueno...

(donde "sinc" denota la función sinc normalizada) tiene una transformada de Fourier, X(f), cuyos valores distintos de cero están confinados a la región |f| ≤ 1/(2T). Cuando el parámetro T tiene unidades de segundos, el bandlimit, 1/(2T), tiene unidades de ciclos/seg (hertz). Cuando la secuencia x[n] representa muestras de tiempo, en el intervalo T, de una función continua, la cantidad f_s = 1/T se conoce como frecuencia de muestreo, y f_s /2 es la frecuencia de Nyquist correspondiente. Cuando la función muestreada tiene un límite de banda, B, menor que la frecuencia de Nyquist, x(t) es una reconstrucción perfecta de la función original. (Consulte el teorema de muestreo). De lo contrario, los componentes de frecuencia por encima de la frecuencia de Nyquist "veces" en la región sub-Nyquist de X(f), lo que produce distorsión. (Consulte Alias).

Formulación equivalente: convolución/filtro de paso bajo

La fórmula de interpolación se deriva del artículo del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, que señala que también se puede expresar como la convolución de un tren de impulsos infinito con una función sinc:

x()t)=().. n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO T⋅ ⋅ x()nT)⏟ ⏟ x[n]⋅ ⋅ δ δ ()t− − nT))⊛ ⊛ ()1Tsinc()tT)).{displaystyle x(t)=left(sum _{n=-infty }{infty }Tcdot underbrace {x(nT)} _{x[n]}cdot delta left(t-nTright)right)circledast left({frac {1} {} {rm {c}left {frac} {f}derecha)}}}}

Esto es equivalente a filtrar el tren de impulsos con un filtro de paso bajo ideal (pared de ladrillo) con una ganancia de 1 (o 0 dB) en la banda de paso. Si la frecuencia de muestreo es lo suficientemente alta, esto significa que la imagen de banda base (la señal original antes del muestreo) pasa sin cambios y el filtro de pared elimina las otras imágenes.

Convergencia

La fórmula de interpolación siempre converge absoluta y uniformemente localmente siempre que

<math alttext="{displaystyle sum _{nin mathbb {Z},nneq 0}left|{frac {x[n]}{n}}right|.. n▪ ▪ Z,nل ل 0Silenciox[n]nSilencio.JUEGO JUEGO .{displaystyle sum _{nin mathbb {Z},nneq 0}left upon{frac {x[n]}justo arrestadoinfty.}<img alt="sum _{{nin mathbb{Z },nneq 0}}left|{frac {x[n]}n}right|

Por la desigualdad Hölder esto está satisfecho si la secuencia ()x[n])n▪ ▪ Z{displaystyle (x[n])_{nin mathbb {Z} pertenece a cualquiera de los l l p()Z,C){displaystyle ell ^{p}(mathbb {Z}mathbb {C})} espacios con 1 ≤p- No.

<math alttext="{displaystyle sum _{nin mathbb {Z} }left|x[n]right|^{p}.. n▪ ▪ ZSilenciox[n]Silenciop.JUEGO JUEGO .{displaystyle sum _{nin mathbb {Z}izquierda torturax[n]right sobre la vida.<img alt="sum _{{nin mathbb{Z } }}left|x[n]right|^{p}

Esta condición es suficiente, pero no necesaria. Por ejemplo, la suma generalmente convergerá si la secuencia de muestra viene de muestreo casi cualquier proceso estacionario, en cuyo caso la secuencia de muestra no es cuadrada sumible, y no está en ninguna l l p()Z,C){displaystyle ell ^{p}(mathbb {Z}mathbb {C})} espacio.

Procesos aleatorios estacionarios

Si x[n] es una secuencia infinita de muestras de una función de muestra de un proceso estacionario de amplio sentido, entonces no es miembro de ningún l l p{displaystyle ell ^{p} o espacio Lp, con probabilidad 1; es decir, la suma infinita de las muestras elevadas a un poder p no tiene un valor esperado finito. Sin embargo, la fórmula de interpolación converge con probabilidad 1. La convergencia se puede demostrar fácilmente computando las diferencias de los términos truncados de la suma, y mostrando que la varianza puede hacerse arbitrariamente pequeña eligiendo un número suficiente de términos. Si el proceso significa no cero, entonces los pares de términos deben ser considerados también mostrar que el valor esperado de los términos truncados convergen a cero.

Dado que un proceso aleatorio no tiene una transformada de Fourier, la condición bajo la cual la suma converge a la función original también debe ser diferente. Un proceso aleatorio estacionario tiene una función de autocorrelación y, por tanto, una densidad espectral según el teorema de Wiener-Khinchin. Una condición adecuada para la convergencia a una función de muestra del proceso es que la densidad espectral del proceso sea cero en todas las frecuencias iguales y superiores a la mitad de la frecuencia de muestreo.